三相电压不平衡度评估的算法原理

（10）
其中 n= 1 ,2 ,3 , ..., N-1。则第 n 次谐波的幅值 Cn 为
，当 n
取 1 时就可以得到基波的幅值。 但是这里存在一个计算量的问题，也就是实现算法的程序执行时间问题。考虑 x(n)是
长度为 N 的复数序列的一般情况，对某一个 k 值，直接计算 X(k)值需要 N 次复数乘法，(N-1) 次复数加法。因此，对所有 N 个 k 值，共需 次复数乘法，以及 N(N-1)次复数加法运算。当 N>>1 时，N(n-1)≈N2。由上述可见，N 点 DFT 的乘法和加法运算次数均与 成正比。当 N 较大
但是对称分量法包含电压矢量计算，需要测量三相电压的大小和相位，这就提高了对仪 器性能的要求。于是，有些标准就推荐了一些基于线电压方均根值的三相电压不平衡度估算 法。
2.4.2 基于线电压的其它不平衡度计算方法 线电压的特点就是没有零序分量，不必考虑中性点位移。基于线电压方均根值的不平衡 度定义汇总见表 2[12]。除了公式 25 是精确计算，与公式 4 结果相同之外，其它方法计算的电 压不平衡度均受负序电压的幅值和相位影响。
时间内，对电压进行均匀采样得到了采样序列 ，从中取出一个周期 T 内的 N 个点,记为
，此时若离散时间点为 t = kT/ N（采样时间间隔 dt=T/N），在此离散点 u (t) 的采样值为 u (k) ，则
（9）
根据离散时间序列 系数 An，Bn 的公式：
的数据, 按照离散傅立叶变换的理论,可以导出计算第 n 次谐波
2.3 对称分量法 为了量化三相系统电压或电流的不平衡，采用对称分量法。三相系统分解成的正序、负 序和零序系统，用下标 1、2、0 来表示。它们采用三相电压或电流矢量的矩阵变换来计算。下
标 a、b、c 来表示不同的相。这里的数学表达式是针对电压 U 而言，但是这个变量可以用电流 I 替代，没有任何问题。如图 2。
称为基波分量；
（n≥2）
为高次谐波。[9]傅立叶分析方法相当于光谱分析中的三棱镜，而信号 f(t)相当于一束白光， 将 f(t) “通过”傅立叶变换分析后可得到信号的“频谱”。通过傅立叶变换，我们就能在全 新的频率时空来认识信号 f(t)。一方面可能使在时域研究中比较复杂的问题在频域中变得简单 起来，简化其分析过程；另一方面信号与系统的物理本质在频域中能更好地被揭示出来。傅立 叶变换包括连续信号的傅立叶变换和离散信号的傅立叶变换，少其运算量，才能使 DFT 在工程计算中得到应用。于是 J.W.Cooley 和 J.W.Tukey 于 1965 年根据 DFT 导出了快速傅立叶变换算法（FFT）。迄今为止，
快速傅立叶变换的发展方向主要有两个：一个是针对 N 等于 2 的整数次幂的算法，如基 2 算 法、基 4 算法和分裂基算法等；另一个是 N 不等于 2 的整数次幂的算法，它是以 Winograd 为代 表的一类算法。因为 FFT 是 DFT 的一种快速算法，所以 FFT 的运算结果必然满足 DFT 的基本性 质。它使用一些算法上的技巧大大减少了 DFT 的运算量，使得计算机计算 FFT 时的速度更快。
表 2：基于线电压方均根值的不平衡度定义汇总表
在电能质量分析领域，傅立叶变换得到了广泛的应用。但是，在运用 FFT 时，必须满足 以下条件：一要满足采样定理的要求，即采样频率必须是最高信号频率的 2 倍以上；二要满足 被分析的波形必须是稳态的、随时间周期变化的。当采样频率或信号不能满足上述条件时，利 用 FFT 分析就会产生“频谱混叠”和“频谱泄露”现象，给分析带来误差。[10]
2.2 快速傅里叶变换 设电力系统中电压信号可用一个周期函数来表示,即：u(t)=u(t+kT)，式中 T 为周期函 数的周期，且 k=0，1,2,3……电力系统中电压、电流一般都满足狄里赫利条件, 因此可以分解 成如下形式的傅立叶级数：
也可以写成下面的形式：
（5）
（6）
其中
；
；
；
A0 为函数的直流分量；
综上所述，电压不平衡度是三相电压不平衡评估的基本参量。不同的电压不平衡度定义 会产生不同的评估结果。为使评估结果具有一致性和对比性，需要采用相同的合理定义。经过 以上对电压不平衡度各种定义的对比分析，本文对线电压的测量，采用比较简单的公式 25 定 义；如果测量的是相电压，仍然采用对称分量法，本文即采用对称分量法。
由上面的公式 14 可见，对于一个周期为 N 的离散的有限长序列，利用 Matlab 中的 FFT 函数计算出基波和各次谐波系数 X(k)后，再乘以 2/N 得到复数 An-jBn，而实部和虚部的平方和 再开方对应的是幅值，虚部除以实部在取反正切对应的就是相位。即通过 FFT 可得到与基于连 续信号傅立叶级数等效的基波和各次谐波的真正幅值与真正相位。这样的幅值和相位有若干个 点，是和采样点频率有关系的，但是每个点上的幅值和相位信息是互相对应的。
傅里叶原理表明，任何连续测量的信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠 加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信 号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。因此，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换 成了易于分析的频域信号。在设计滤波器的时候，使用 FFT 我们可以迅速得到原始信号的频 谱。通过对频谱进行进一步分析，就可以得知有效信号和噪声的频率范围，这样就可以确定滤 波器的相关参数了。另外的一些时候，我们需要对频域信号进行加工的时候也需要使用 FFT 将 原始信号转换成频域信号，进行完相关处理之后再使用反 FFT 将其还原成时域信号。本文中利 用 FFT 滤除谐波和噪声的影响，就可以很容易地获得基波分量的幅值和相位。
叶变换。对给定的实的或复的离散时间信号序列 x0,x1,…,xN-1，设该序列绝对可和，即满 足：
则有：
（7）
（8）
被称为序列
的离散傅立叶变换（DFT）。实际上，在对非正弦周期信号的测量
时，一般无法得到实际电压的函数，记录数据一般都不是连续的，而是在一段连续时间内，使 电压信号经过模数转换按一定频率来采样得到用有限字长表示的离散时间信号。为了计算出各 次谐波的幅值，只需从采样序列中截取整数个周期就可以计算各次谐波的幅值。设在一段连续
2. 4 三相电压不平衡度的计算 三相电压的测量对象有相电压和线电压两种。基于这两种测量对象，目前所采纳的定义 不同的电压不平衡度的计算结果是不相同的。
2.4.1 基于负序的电压不平衡度计算方法 如公式 4 所示，当不考虑负序分量的相位时，在三相三线制系统中，用户一般接在相间 电压上，电压不平衡度就只由线电压的负序分量决定。在三相四线制中，由以上的推导分析已 知，基于负序的线电压和相电压的不平衡度是相等的；但值得注意的是，当电源中性点和负荷 中性点之间存在电位差时，即使基于负序的电压不平衡度相等，零序电压也可以使三相相电压 的幅值相差比较大，基于电压幅值定义的不平衡度结果也就大有不同。对于这种情况，除了基 于负序的电压不平衡度外，还需要补充基于零序的电压不平衡度定义。 从敏感设备的受影响角度来看，对电压不平衡度比较敏感的三相旋转设备一般是基于线 电压工作，负序电压的含量决定了对其危害的严重程度，因此，基于负序的电压不平衡度评估 是非常重要的。目前，标准普遍采用并提出限值的也主要是基于负序的三相电压不平衡度定 义，对称分量法的公式 4 的定义既适合有零序分量的多相系统，也适合不含零序分量的多相系 统。我国电能质量国标就采用了公式 4 的定义。
三相电压不平衡度评估的算法原理
2.1 三相电压不平衡度的定义 三相电压不平衡度为三相电压不平衡的特征指标，其定义式为：
（4）
式中： U1——三相电压的正序分量方均根值，单位为伏（KV）； U2——三相电压的负序分量方均根值，单位为伏（KV）； U0——三相电压的零序分量方均根值，单位为伏（KV）。 将公式 4 中 U1、U2、U0 换为 I1、I2、I0 则为相应的电流不平衡度 εI2 和 εI0。