高中数学全套讲义 选修2-3 组合 中等教师版

目录考点一：组合 (2)题型一、组合数计算 (3)题型二、组合在实际问题中的应用 (5)课后综合巩固练习 (6)考点一：组合组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mnn n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）排列组合一些常用方法特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．实际问题的解题策略排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．题型一、组合数计算1．（2019春•安徽期末）若0k m n ，且m ，n ，k N ∈，则0(mn m kn k n k C C --==∑ )A ．2m n+B ．2mnm CC ．2n mn C D ．2m m n C【分析】运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所求和． !)!!()!n k n k -!)!!()!m k m k -则010()2mn m k m m m mn k n n m m m n k C C C C C C C --==++⋯+=∑， 故选：D ．【点评】本题考查组合数公式的运用和二项式系数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．2．（2019春•淮安期末）已知3888x x C C -=，则实数x 的值为【分析】根据m n mn n C C -=求解即可．【解答】解：依题意，38x x =-或者(38)8x x +-=，且8388x N x x ∈⎧⎪⎨⎪-⎩，解得：4x =． 故答案为：4．【点评】本题考查了组合数公式的性质，属于基础题．3．（2019春•高邮市期中）若212626x x C C -=，则x =【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【解答】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =．故答案为：1或9．【点评】本题主要考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键，属于基础题．4．（2017春•青山区校级月考）计算：0121334516C C C C +++⋯+= ．（用数字作答）【分析】 原式12333333334333334567151667151666715161410=+++++⋯++=+++++⋯++=+++⋯++，利用111r r r nnn ++++=即可得出．【解答】解：原式0123333345671516=+++++⋯++33336715161410=+++++⋯++433336671516=+++⋯++4333771516=++⋯++431616=+417=2380=．故答案为：2380．【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2017春•东安区校级期中）222223411C C C C +++⋯= ． 【分析】利用111r r r nnn ++++=即可得出．【解答】解：原式322233411=+++⋯+3224411=++⋯+321111=+312220==．故答案为：220．【点评】本题考查了组合数的性质及其计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．题型二、组合在实际问题中的应用1．（2019春•湖州期末）若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是( )A ．12585C C B ．12589C C C ．339085C C - D ．329085C C -【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从90件产品中任取3件的取法，再排除其中全部为正品的取法，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，用间接法分析：从90件产品中任取3件，有390C 种取法，其中没有次品，即全部为正品的取法有385C 种取法，则至少有一件是次品的取法有339085C C -种；故选：C ．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题． 2．（2019春•静宁县校级月考）某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( ) A ．68种B ．70种C ．240种D ．280种【分析】先求出所有的选择4人的种数，再排除全是男生和全是女生的种数，即可求出．【解答】解：选出的4人中既有男生又有女生，则有4484270268C C -=-=， 故选：A ．【点评】本题考查了简单的排列组合问题，属于基础题．3．（2019春•城关区校级月考）从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有( )种 A ．21B ．120C ．60D ．91【分析】由排列组合及简单的计数问题，分类讨论4人中男生属即可得解． 【解答】解：分类讨论4人中男生属即可，即4人中须既有男生又有女生，选法有132231545454120C C C C C C ++=种， 故选：B ．【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题，4．（2019春•黄冈期末）只用1，2，3，4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有( ) A ．96B ．144C ．240D ．288【分析】由排列组合中的不相邻问题插空法可得：这样的五位数有132434144C A C =个，得解．【解答】解：由已知有这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有132434144C A C =个， 故选：B ．【点评】本题考查了排列组合中的不相邻问题，属中档题．课后综合巩固练习1．（2019春•乐山期末）从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( ) A ．18B ．24C ．30D ．36【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，②，选出的3人为1男2女，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，选出的3人为2男1女，有214318C C =种选法； ②，选出的3人为1男2女，有124312C C =种选法； 则男女生都有的选法有181230+=种； 故选：C ．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理2．（2019春•天津期末）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产．在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为( ) A ．54B ．45C ．45CD ．45A【分析】根据题意，分析可得甲、乙、丙、丁、戊每人有4种解法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五名同学借阅4种图书， 每人有4种解法，则五个人有5444444⨯⨯⨯⨯=种借阅方案， 故选：A ．【点评】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3．（2019春•西城区期末）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为( ) A ．14B ．24C ．28D ．48【分析】根据题意，由排除法分析：先计算从4名男生、2名女生中选派4人的选法，再排除其中没有女生即全部为男生的选法，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从4名男生、2名女生中选派4人，有4615C =种选法，其中没有女生即全部为男生的选法有441C =种选法， 则必须有女生的选法有15114-=种； 故选：A ．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意排除法分析，避免分类讨论．4．（2019春•龙岩期末）将3名教师，5名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每地至少去1名教师和1名学生，则不同的安排方法总数为( )A ．1800B ．1440C ．300D ．900【分析】由排列组合中的平均分组问题可得：不同的安排方法总数为3333)900A A =【解答】解：将3名教师，5名学生分成3个小组，每组至少1名教师和1名学生，33)150A =种不同的分法，再将分成3个小组安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，共336A =种不同的分法， 则不同的安排方法总数为1506900⨯=， 故选：D ．【点评】本题考查了平均分组问题、排列组合及简单的计数问题，属中档题．5．（2019春•许昌期末）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，去哪个工厂可以自由选择，但甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( ) A ．48种B ．37种C ．18种D ．16种【分析】满足题意的不同的分配方案有以下三类：①三个班中只有一个班去甲工厂；②三个班中只有两个班去甲工厂；③三个班都去甲工厂．利用排列与组合及分步乘法原理即可得出． 【解答】解：满足题意的不同的分配方案有以下三类：①三个班中只有一个班去甲工厂有123327C ⨯=种方案；②三个班中只有两个班去甲工厂有2339C ⨯=种方案； ③三个班都去甲工厂有1种方案．综上可知：共有279137++=种不同方案． 故选：B ．【点评】熟练掌握排列与组合的计算公式、分步乘法原理是解题的关键．6．（2019春•广陵区校级月考）已知212310889xx x x C C C C ---=++，则x = ． 【分析】由组合数的性质11mm m nn n C -++=，mn m nn-=；得到关于n 的方程解得即可．【解答】解：212310889x x x x C C C C ---=++，∴1231099xx x C C C --=+，。