《线性代数》(经科社2013版)习题解答_20141104224704

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13-14线性代数试卷答案(B卷)

广东财经大学试题参考答案及评分标准2013-2014学年第1学期课程名称线性代数（B 卷）课程代码 101044 共3页……………………………………………………………………………………………………一、填空题（每题3分，共30分）1，正号； 2，相关； 3，-12； 4，32； 5，3； 6，；()()r A r B ≥ 7，(,)()r A b r A =； 8，1； 9，0； 10,1A A。

二、选择题（每题3分，共15分）1，C ；2，B ；3，C ；4，B ；5，B ；三、计算题（每题10分，共40分）1. 解：14142143423113092D -=14140765014750121210---=----………4分 7651475121210--=----16577501210--=---1650353001210--=--………4分3530(1)1210-=-⨯-530(1)210-=-⨯-10=。

………2分 2．解：1111()233132A b λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111101210141λλ-⎡⎤⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1111012100(3)(2)2λλλλ-⎡⎤⎢⎥→+⎢⎥⎢⎥-+--+⎣⎦………4分可知（1）3λ=-时，()2,(,)3r A r A b ==线性方程组无解； ………2分（2）2λ≠时，且3λ≠-()(,)3r A r A b ==线性方程组有唯一解； ………2分（3）2λ=时， ()(,)2r A r A b ==线性方程组有无穷多解。

………2分3 .解：111100()213010344001A I --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭111100011210011301--⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭ ………6分 102110011210002511--⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ………2分 100401111010222511001222⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭. ………2分1401111222511222A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦4 .解：21112112144622436979--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦11214011100001300000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10104011030001300000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦得12,,αα4α是极大无关组。

全国2013年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题及答案完整清晰版

0 由 ( E A) 0
0 0
0 0 r ( E A) 1 n r ( E A) 2
0 2 0
A 只有两个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化。四、23.证明：设 A 的特征值为，特征向量为 , ( 0) ∵ Ak 0 ∴ Ak k 0 ∴ k 0 =0 ∴ A 的特征值均为 0
一、1.C
2.D 3.A
4.B 5.C
二、6.6
1 1 1 7.-2 8. 1 5 5 1 5 14
9. (10, 25, 16)T
10. (2,1,0)T
11.2
12.3
13.-4
14.6
2 2 15. x1 2 x2 4 x2 x3
1 0 0 1 1 0 二、 16.解：D 0 1 1 0 0 1
( 0)
注：受同学之托，帮忙做了几份份卷子，我看了网上的答案要么不完整要么就看不清楚，可能我有些计算错误或者一些换
1 0 0 2 1 0 0 2 4 1 1 2 1 1 0 0 1 0 2 1 2 0 1 1 0 0 1 2
4 2 3 1 T X 2 2 2 7
4 3 2 7
T T
使 f x Ax x Ax y P APy y P APy 2 y1 4 y2
T
因为所有特征值都为正数，所以 f 为正定二次型。
1
22.解：由 | E A |
0 0
0 1 2
0 0
( 1)3 0 得 A 的特征值为 1（3 重）
1
0 0 1
∴其导出组的基础解系为 (1,1,1,1)T ，一个特解为 (1, , , 0)T 通解为： k (1,1,1,1)T (1, , , 0)T , 其中k 为任意常数 21.解：记二次型为 f ( x1 , x2 ) xT Ax ，则 A 由 | E A |

2013线性代数试题及答案

试卷得分评卷人一、填空题（每空2分，共分）1.若二阶行列式11122122a a a a a =,11112121b a b b a =,则111211212221a a b a a b +=+ . 2.已知12⨯矩阵(1,2)A =,则T AA = ；T A A = .3.设,A B 为三阶矩阵,3,2A B ==-,则12T A B --= .4.矩阵312101214A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的伴随矩阵*A 中的第一行第二列的元素是 . 5.向量(1,2,1)a =-与(1,1,1)b =-的内积[,]a b = .6.若线性方程组202020x y z x y z x y az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩存在基础解系,则a = .得分评卷人二、选择题（每小题 3分，共 15 分）1.若同阶方阵,A B 满足AB O =,则( )（A ）必有A O = （B ）当B O ≠时，A O =（C ）,A B 都可能不是零阵（D ）,A B 至少有一个为零阵2.若m 个n 维向量线性无关,则( )（A ）再增加一个向量后也线性无关（B ）再去掉一个向量后仍线性无关（C ）其中只有一个向量不能被其余的线性表出（D ）以上都不对3.若三阶矩阵123a b A cd e f -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有两个特征值为1-和1,则另一个特征值为( ) （A ）0 （B ）2 （C ）3 （D ）44.若三阶方阵A 与对角阵111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似,则2006A =( ) （A ）E （B ）A （C ）E - （D ）2006A5.若n 阶方阵A 与B 合同,则必有( )（A ）A 与B 等价（B ）A 与B 相似（C ）A B =（D ）AX O =与BX O =同解得分评卷人三、计算题（共8 分）计算行列式45103113124523271------得分评卷人四、计算题（共12 分）设矩阵201020103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121212B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且X AX B =+,求矩阵X .得分评卷人五、计算、判别题（共12 分）判别向量组(1,1,0,1)a =--，(1,2,1,2)b =--，(1,1,0,1)c =-，(1,0,1,0)d =的线性相关性；若线性相关，求出一个极大无关组.得分评卷人六、计算、讨论题（共12分）讨论k为何值时，线性方程组12312312312202x x xx kx xkx x x k+-=-⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩（1）无解？（2）有唯一解？（3）有无穷多解？并求通解.得分评卷人七、计算题（共12分）设矩阵320200002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求(1)A 的全部特征值；(2)A 的最大的特征值所对应的一个特征向量.得分评卷人八、计算题（共9分）求a 取何值时，22212313(1)42f x a x x ax x =+-++是正定二次型.得分评卷人九、证明题（共6分）设A 为n 阶方阵,若A 是正交矩阵,求证:伴随矩阵*A 也是正交矩阵.。

《线性代数》课后习题答案

《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。

（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

2013-2014-1《线性代数》经济A答案

考试班级： 2012级经济1,2,班 #2013-2014学年第一学期《线性代数》试卷答案及评分标准一、单项选择题(本题共5小题，每小题2分，满分10分)1.（C ）2.（B ）3.（C ）4. （C ）5. （A ）二、填空题 (本题共5题,每题2分,满分10分)6. 47.310 8. E A 4+ 9. B AX 8= 10. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,43,411 三、计算题(本题共2个小题, 每题10分，满分20分)11.24333)()(100001000010100101010011001001001x c b a x x c b a x x xc x b x axcx b x a x x x c x b x axx x x x c b a x ++-=++-=---== 将4,3,2,1====c b a x 代入得：81001010100114321-=12.,300130013100110011,)(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-X A E X E A 求得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300230223X四、解答题(本题共4个小题, 每题12分，满分48分)13.解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------++10008500301032011000525103010320122012231130103201a a a a a a a a a a a a a aa=-1时线性相关。

(2)()是一个极大无关组，，时，3214321,,0000591002010560010*******20103101,,,1ααααααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→-=a 321459256αααα++= 14.考试班级： 2012级经济1,2,班 #21434101131011310113214340121231101311010123107077070007211011301212000212000721a b a b a b a b -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪------- ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪--⎪→ ⎪ ⎪++⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++----→2160000610008021030101217000610002121031101a b b a ,0216≠--a b 时方程组无解；0216=--a b 时有无穷多解，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000061000802103011, 一个特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6083，导出组化为⎪⎩⎪⎨⎧==-=+002043231x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0121γ，全部解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6083+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0121c 。

线性代数习题册参考解答.docx

第一章行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。

(1) 1347265； (2) 〃(〃 —1)・・・321。

【解(1) r(1347265)=0 + 0 + 0 + 0 + 3 + l + 2 = 6,偶排列；(2) "〃(〃_1)...321] = 0 + ] + 2 + ... + (〃_1) = 〃(；1)。

当〃=4奴4女+ 1时，〃(〃；1)=2机4*—1),2机4* + 1)为偶数，即为偶排列；当〃 = 412,413时，丝* = (2*+1)(4*+ 1),(2*+1)(4*+ 3)为奇数,即为奇排列。

■2、用行列式定义计算2x x 1 21x1-1 f (X )=-- [3 2x1111%中『和r 的系数，并说明理由。

【解】由行列式定义可知：含b 有的项只能是主对角线元素乘积，故的系数为2；含有尸的项只能是(1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)的元素乘积项，而7(2134) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1,故/的系数为一1. ■2-512 --37-14 3、求 =o45 -9 2 7 4-612【解】三角化法：2-5121-522 1-522 尸2+八1-12 0 6C[0 2-160 113D 4 =- _八3-211 1 0 3 0 113 0 2-16 r 4+r 211 0 60 1160 1161 -52 2 r3~2r 2 0 11 3r4~r 2 00 -3 00 0 31111 rk~r l0 10 0=120= 120o )l=2,3,40 0 100 0 0 1【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。

1 x 2q+C2 +•••+&n D"=(，-就1 x 2-mi=l1x21 0 0C k -X L C I 凡 q (»i) k=2,3,---,n1 —m ••- 01 0…-m【解】观察特点: 行和相等。

2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。

2013年线性代数考研资料真题及答案解析

把这个实对称矩阵称为二次型的矩阵.并把它的秩称为二次型的秩, 如果二次型 f(x1,x2,…,xn)的矩阵为 A, X=(x1,x2,…,xn)T, 则 f(x1,x2,…,xn)= X TAX. 标准二次型的矩阵为对角矩阵. 规范二次型的矩阵为规范对角矩阵.
官方网址北大、人大、中财、北外教授创办集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军
② 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 ,使得 Q T AQ . 解：(1)A 的特征值为 0、0、3，属于 0 的特征向量： c1 1 c2 2 ， c1 ， c 2 不全为 0，属于 3 的特征向量： c 3，c 0 。 (2) Q T AQ 即 Q 1 AQ ，对 2 作施密特正交化， 2， 1 ， 1 先不动，修改
2007 年题
T 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1,2,-2, 1 =(1,-1,1) 是 A 的属于 1 的特征向
量.记 B=A5-4A3+E. (1)验证 1 也是 B 的特征向量. (2)求 B 的特征值和特征向量. (3) 求 B.
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, ) 0 ,则说和正交. 如果 (
如果向量组 … n 中的每个都是单位向量,并且两两正交,则称它们为 2， 1，单位正交向量组.
2. 正交矩阵定义 n 阶矩阵 Q 称为正交矩阵,如果它是实矩阵,并且 QQT=E(即 Q-1=QT). 命题 Q 是正交矩阵Q 的列向量组是单位正交向量组. Q 的行向量组是单位正交向量组.
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标准二次型规范二次型

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··· ··· ··· ···
an an ··· an + b
n 仿教材例1.4.4 n−1 ∑ = = = = = = = = = = = =b ( ai + b). i=1 或例1.4.6
a1 ··· a1
当b ̸= 0, 且
ai + b ̸= 0时, 方程组仅有零解.
i=1
13. 见《线性代数学习指导》P28例31.
−1 1
2
1 (4)A31 + A32 + A33 + A34 = 3 1
2 3 1
−3 6 3 1 3 1 .
3 4 1 8 3.(1)第i行减去末行的ai 倍(i = 1, 2, · · · , n), 再按末列展开. (2)仿教材例1.4.4. (3)从第一行开始, 上一行的x倍加到下一行, 再按末行展开. (4)按末列展开. 4.(1)见《线性代数学习指导》P25例25. (2)见《线性代数学习指导》P26例26. 或: 第一行减去第二行, 按第一行展开, 得递推关系式; 列同样处理. 联立解之. 注: ::::::::: 此题较难,::::::::::: 可不作要求. (3)从第一行开始, 用上一行消下一行, 化为上三角行列式. 1 5. M11 + M21 + M31 + M41 = A11 − A21 + A31 − A41 = −1 1 −1 1 A11 + A12 + A13 + A14 = 1 −1 1 1 3 1 0 1 1 −5 3 −3 . −5 1 3 −4 2 0 1 1 −5 3 .
第 2章矩阵
习题2.1
略.
习题 2.2
5.(1)待定系数法. 仿教材例2.2.6.
3
(2)见《线性代数学习指导》P45例2. 6.(1)直接计算. (2)先计算A2 , A3 , 猜测An = (3)要牢记此一结论 . :::::::::::::: (4)直接计算. (5)直接计算得, A = 4E, A = 4A, A = 4 E . 因此, A =
11. |BA | = |B | · |A | = (−|A|) · |A| .
12.(3)利用“初等变换和初等方阵”解此题将较为简捷(见§2.6).
4
习题 2.5
2.(1)利用结论:
[
= . O B O B −1 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. [ ]−1 [ ] O A O B −1 (2)利用结论: = . B O A−1 O 见《线性代数学习指导》P51例12. 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. λ1 4. 将P 按列分块为P = (α1 , α2 , · · · , αn ), 则AP = P Λ ⇒ A(α1 , α2 , · · · , αn ) = (α1 , α2 , · · · , αn ) λ2 .. . ⇒ (Aα1 , Aα2 , · · · , Aαn ) = (λ1 α1 , λ2 α2 , · · · , λn αn ) ⇒ Aαi = λi αi , i = 1, 2, · · · , n.
i=1 i=1 i=1
注: :::::::::::::::::::::::::::::::::: 要牢记矩阵乘法的口诀“前行乘后列”.
习题 2.3
4. aij = −aji = =⇒ aii = 0. 5. 见《线性代数学习指导》P46例4.
i=j
习题 2.4
3.(2)AA∗ = |A|E ⇒ |AA∗ | = 若|A| ̸= 0, 则|A∗ | = |A|n−1 . 若|A| = 0, 则r(A) < n, 由教材P83第4题的结论知, r(A∗ ) = 1或0, 于是|A∗ | = 0. 综上, |A∗ | = |A|n−1 恒成立. 注: “|A| = 0 ⇒ |A∗ | = 0”另证: (反证法)假设|A∗ | ̸= 0, 则A∗ 可逆, 于是AA∗ = |A|E = 0E = O ⇒ A = O ⇒ A∗ = O, 矛盾. 4. 直接验证(E − A)(E + A + A2 + · · · + Ak−1 ) = E . 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 7. 直接验证. 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 8. ABA−1 = BA−1 +3E ⇒ ABA−1 − BA−1 = 3E ⇒ (A − E )BA−1 = 3E ⇒ B = (A − E )−1 · 3E · A = 3(A − E )−1 A = 3(A−1 (A − E ))−1 = 3(E − A−1 )−1 , 其中A−1 = 9. AA∗ = |A|E ⇒ 10.
《线性代数》(经科社2013版)习题解答
山东财经大学数学院王继强∗
说明 : ::::::::::::::::::::::::::::: 本解答仅为同学们解题时参考使用, :::::::::::: 切勿照抄照搬 ,::::::::::::: 否则有悖我心.20 Nhomakorabea3. 9
第 1章行列式
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1
习题 1.4
1.(3)见《线性代数学习指导》P15例13. (4)仿教材例1.4.4. 2.(1)各行减去第一行, 化为上三角行列式. (2)见《线性代数学习指导》P16例15. (3)各列加到第一列, 按第一列展开. (4)各行减去第一行, 按第二行展开. (5)各列加到第一列, 按第一列展开. (6)见《线性代数学习指导》P17例16. (7)各行加到第一行, 按第一行展开. (8)见《线性代数学习指导》P18例17. 1 1 3.(1)A11 + A12 + A13 + A14 = −1 5 2 0 (2)异乘变零定理. 2 (3)M14 + M24 + M34 + M44 = −A14 + A24 − A34 + A44 = −1 2 0 (4)直接计算. 4. (2 − 1) · (3 − 1) · (4 − 1) · (3 − 2) · (4 − 2) · (4 − 3). −3 5 2 1 1 7 2 −1 −1 1 −1 1 . 2 1 1 7 2 −1 1 −8 2 0 .
2 3 4 2 n
(
1 0
3n 1
) , 再用数学归纳法证明.
{
2n E,
n为偶数
2n−1 A, n为奇数
.
(6)见《线性代数学习指导》P47例5. 7. A2 的第k 行l列的元素= A的第k 行· A的第l列 n ∑ = ak1 a1l + ak2 a2l + · · · + akn anl = aki bil . AAT 的第k 行l列的元素= A的第k 行· AT 的第l列= A的第k 行· A的第l行 n ∑ = ak1 al1 + ak2 al2 + · · · + akn aln = aki bli . AT A的第k 行l列的元素= AT 的第k 行· A的第l列= A的第k 列· A的第l列 n ∑ = a1k a1l + a2k a2l + · · · + ank anl = aik bil .
−1 −3
2 −4 −1 6. 见《线性代数学习指导》P14例12. 7. 见《线性代数学习指导》P15例14. 8. 见《线性代数学习指导》P24例24. 9. 按行展开法则+异乘变零定理. 10. 由范德蒙德行列式知, f (x) = ∏
1≤j<i≤n
(i − j ) · (x − 1)(x − 2)(x − 3) · · · (x − n).
n(n−1) . 2
习题 1.2
1.(3)∼(6)化行列式为上三角行列式是计算行列式的常用方法之一. 2. D = m → −m → 25 (−m) →
1 4
· 25 (−m).
5. 见《线性代数学习指导》P12例7.
习题 1.3
3.(2)取后三行, 使用Laplace定理展开最为简捷. 注: 另见习题1.1第9题. 4.(2)取后三行, 使用Laplace定理.
5. A2 − 2A − 4E = O ⇒ A2 − 2A − 3E = E ⇒ (A + E )(A − 3E ) = E , 故(A + E )−1 = (A − 3E ).
= |A|n−1 (n = 4).
4 3 4 3 16 ∗ ∗ 2 = |− 4 3 A | = (− 3 ) |A | = (− 3 ) |A| = − 27 .
习题 1.1
4.(5)显然, 数1, 2, 3, · · · , n之间不构成逆序. 与2n构成逆序的有1, 2, 3, · · · , n(n个)及2n − 1, 2n − 2, · · · , n + 1(n − 1个), 共2n − 1个; 与2n − 1构成逆序的有2, 3, · · · , n(n − 1个)及2n − 2, · · · , n + 1(n − 2个), 共2n − 3个; 依次类推,· · · 与n + 2构成逆序的有n − 1, n(2个)及n + 1(1个), 共3个; 与n + 1构成逆序的有n, 共1个. 因此, 逆序数为1 + 3 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) = n2 . (6)显然, 数1, 3, 5, · · · , 2n − 1之间不构成逆序, 数2, 4, 6, · · · , 2n之间也不构成逆序. 与3构成逆序的有2, 共1个; 与5构成逆序的有2, 4, 共2个; 与7构成逆序的有2, 4, 6, 共3个; 依次类推,· · · 与2n − 1构成逆序的有2, 4, 6, · · · , 2n − 2, 共n − 1个. 因此, 逆序数为1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) = 8. 见《线性代数学习指导》P11例6.