NOIp各类典型例题分析

2002 均分纸牌 字符串变换 自由落体 矩形覆盖 朴素 动归或图论 朴素 11 搜索
鹰蛋实验
• 数组f[i,j]表示用i个鹰蛋在第j层的最坏情况下确定E 的最小值 • 若在k层实验，如何确定最坏情况？
– 如果碎了。则用剩下i-1个鹰蛋实验k-1层，即f[i-1,k-1] – 如果没碎。则用这i个鹰蛋实验j-k层，即f[i,j-k]
• 优化状态转移
– low[n,h] = min{low[n,h-1], f(n,h) - C*h} – high[n,h] = min{high[n,h+1], f(n,h) + C*h} – F[i,h]=(H[i]-h)^2+min{-C*h+low[n-1,h]+C*h+high[n-1,h]}
典型例题分析
清华大学 计算机科学实验班 贾志豪
2011/10/3
1
动态规划
2011/10/3
2
麻烦的聚餐
• 最先想到——枚举O(N^3) • 优化到O(N^2)
– 部分和
• 动归
– minchanges[i][b] = min( minchanges[i-1][a] ) (a<=b)&&(b=num[i]) – minchanges[i][b] = 1 + min( minchanges[i-1][a] ) (a<=b) – O(N)
2011/10/3
20
完美旅行
• 明显的求平均值最大问题
– 可以想到用二分法计算最大值。
• 问题变成了：对于某一个实数p，是否存在 平均得分大于等于p的回路。 • 将边的权值T_i变成(T_i *p – F_j)即可将原问 题转化成求有向图是否存在负环的问题。
2011/10Biblioteka 321流星雨• BFS模拟题 • 以时间t为梯度模拟。 • 每次模拟出可能抵达的位置，在除掉流 星破坏的位置。
– For j = 1 to n-i do F[j][j+i]
2011/10/3 4
• void dfs(i, j) • { if (i > j) return; print(H[i][j]); dfs(i, H[i][j]-1); dfs(H[i][j]+1, j); return; • }
2011/10/3 5
– 边数<=100，想到了Floyd~
• F[i][j][k]表示从i出发到j，边数为k的最短路长度
– F[i][j][k]=min{F[i][j’][k-1]+e[j’][j]} 1<=j’<=T – O(N*T^3)
• 优化F[i][j][k]表示从i出发到j，边数为2^k的最短 路长度
– F[i][j][k]=min{F[i][j’][k-1]+F[j’][j][k-1]} 1<=j’<=T – O(T^3*logN)
• 读一道写一道还是全部读完题？ • 读题和写题的时间分配？
2011/10/3
13
背包问题选讲
• 《背包九讲》 • 完全背包
– 令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背 包的最大权值。 – f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
• for i=1..N • for v=0..V • f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
2011/10/3 14
背包问题选讲
• 多重背包
– f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]} – 复杂度是O(V*Σn[i]) – 优化：第i种物品分成了O(log n[i])种物品
– f[i,j]=min{f[i-k,j-k+1]+abs(a[i]-a[i-k])}(1<=k<=j+1) – 复杂度O(n^2)
2011/10/3
7
架设电话线
• H[i]为第i个电线杆的原始高度 • F[i][h]表示将第i个电线杆高度改为H的最小花费
– F[i][h] = min{(H[i]-h)^2 + F[i-1][h’] + C*|h’-h|} (h’为变 元) – O(N*H^2)
2011/10/3
22
综合题
2011/10/3
23
牛跑步
• 即是图论、也是动归
2011/10/3
24
买地
• • • • • • 贪心？搜索？图论？朴素？ 都不像……动归？ 可能的优化：去掉冗余矩形 按照长得递减排序，只有宽的递增有意义。 F[i]表示搞定了前i块地的最小费用 F[i] = min{F[j] + length[j+1]*width[i]}
2002 均分纸牌 字符串变换 自由落体 矩形覆盖 朴素 动归或图论 朴素 10 搜索
大礼包
2010 机器翻译 乌龟棋 关押罪犯 引水入城 朴素 动归 图论 动归、 动归、图论 2007 统计数字 字符展开 矩阵取数 树网的核 2004 储蓄计划 合并果子 合唱队形 2011/10/3 虫食算 朴素 贪心 动归 搜索 朴素 朴素 动归 图论 能量项链 预算方案 作业调度 2k进制 进制 2003 神经网络 侦探推理 加分二叉树 传染病控制 图论 并查集 动归 图论 潜伏 H的趣味 的趣味 最优贸易 靶形数独 2006 动归 动归 朴素 递推 2009 朴素 数论 图论 搜索 笨小猴 火柴取数 传纸条 双栈排序 2008 朴素 朴素 动归 贪心、 贪心、枚举 2005 奖学金 过河 篝火晚会 等价表达式 朴素 动归 数论 超麻烦朴素
关于赛前准备
• 做哪些题：
– 前5~10届NOIP历届题 – POJ OnlineJudge – USACO monthly, USACO gate – RQNOJ
• 如何做：
– 难题和水题结合 – 专题练习与综合练习结合
2011/10/3 6
书本整理
• 明显动归 • f[i,j]表示考虑前i本书，在前i本书中去掉j本 所能获得的最小不整齐度 • 设f[i,j]为考虑前i本书，保留第i本书，在前i 本书中去掉j本书所能获得的最小的复杂度。
2011/10/3 8
大礼包
2010 机器翻译 乌龟棋 关押罪犯 引水入城 朴素 动归 图论 动归、 动归、图论 2007 统计数字 字符展开 矩阵取数 树网的核 2004 储蓄计划 合并果子 合唱队形 2011/10/3 虫食算 朴素 贪心 动归 搜索 朴素 朴素 动归 图论 能量项链 预算方案 作业调度 2k进制 进制 2003 神经网络 侦探推理 加分二叉树 传染病控制 图论 并查集 动归 图论 潜伏 H的趣味 的趣味 最优贸易 靶形数独 2006 动归 动归 朴素 递推 2009 朴素 数论 图论 搜索 笨小猴 火柴取数 传纸条 双栈排序 2008 朴素 朴素 动归 贪心、 贪心、枚举 2005 奖学金 过河 篝火晚会 等价表达式 朴素 动归 数论 超麻烦朴素
2002 均分纸牌 字符串变换 自由落体 矩形覆盖 朴素 动归或图论 朴素 9 搜索
大礼包
2010 机器翻译 乌龟棋 关押罪犯 引水入城 朴素 动归 图论 动归、 动归、图论 2007 统计数字 字符展开 矩阵取数 树网的核 2004 储蓄计划 合并果子 合唱队形 2011/10/3 虫食算 朴素 贪心 动归 搜索 朴素 朴素 动归 图论 能量项链 预算方案 作业调度 2k进制 进制 2003 神经网络 侦探推理 加分二叉树 传染病控制 图论 并查集 动归 图论 潜伏 H的趣味 的趣味 最优贸易 靶形数独 2006 动归 动归 朴素 递推 2009 朴素 数论 图论 搜索 笨小猴 火柴取数 传纸条 双栈排序 2008 朴素 朴素 动归 贪心、 贪心、枚举 2005 奖学金 过河 篝火晚会 等价表达式 朴素 动归 数论 超麻烦朴素
2011/10/3 18
电线架设
• 最短路？最小生成树？ • 最长边？最短路？ • 二分答案
– 对于某一个阈值F，计算是否存在S到T的不超过 K条长于F的边的最短路
2011/10/3
19
有向图负环
• 考点：如何判断有无负环 • 方法：
– BFS、DFS？ – Bellman、SPFA？ – Dijkstra？ – Floyd？
2011/10/3
15
背包问题选讲
• 分组背包
– f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于 第k组}
• 有依赖背包
2011/10/3
16
图论
2011/10/3
17
奶牛接力
• 规定起点终点、求边数恰好为n的最短路 • 寻找切入点（题目中不自然的地方）
2011/10/3
25
电话网络
• 树形动归
– F[i][0]表示i不放，i父亲也不放的最小费用 – F[i][1]表示i不放，i的父亲放的最小费用 – F[i][2]表示i放的最小费用
F [i ][0] =
j∈son ( i )
∑ min( F[ j ][1], F [ j ][2])
F [i ][1] =
j∈son ( i )
∑ min( F[ j ][1], F[ j ][2])
26
2011/10/3
电话网络
• 树形动归通用技巧
– 多叉树转二叉树，孩子表示父亲的信息
2011/10/3
27
f [i, j ] = min{max{ f [i − 1, k − 1] + 1, f [i, j − k ] + 1}}
1≤ k ≤ j