复旦大学2012 ～2013学年《高等数学A下》第二学期期末考试试真题及答案
复旦大学2016～2017学年《高等数学A下》第二学期期末考试试卷及答案
(4) 求椭圆 3 2 2 3 2 1的面积。
(5) 计算 1 0
sin
。
(6) 计算 3
3
3
，其中 为 2 2 2 1的外侧。
2
(7) 求方程 2 3 的通解。
2
(8) 求幂级数
2 1 的收敛半径与收敛区间。
1 (3) 2
2. (本题共 10 分) 将 ( ) 2 在[0,2 ] 上展开成 Fourier 级数，并求其和函数 ( ) 。
解：
2
2 ，
22
2
。
2
(2) 求曲面 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程。 解：记 ( , , ) - 3 ， ( , , ) ( , , 1) ， (2,1,0) (1,2,0) ， 切平面方程为 2 4 0 。
(3) 求函数 3 2 在点 (1,0,1) 处的最大方向导数。
1
( )''
1
1
1 1
， (1,1) 。
两边积分得 ( ) ' ln(1 ) ， (1,1) 。
再积分得 ( ) (1 ) ln(1 ) ， (1,1) 。
由于原幂级数的收敛域为 [1,1]，由 ( ) 在 1 处的右连续， ( ) 在 1 处的
左连续，得
(1
) ln(1
( , ) ( ) ( ) ，则 ( , ) 满足 2 ；
2) 若 ( , ) 0 ，且满足 2 ，则 ( , ) 变量可分离。
6
复旦大学数学科学学院 2016～2017 学年第二学期期末考试试卷
A卷
数学科学学院
（装订线内不要答题）
1. (本题共 40 分，每小题 5 分) 计算下列各题 (1) 设 arctan ，求 。
复旦大学2017～2018学年《高等数学A下》第二学期期末考试试卷及答案
复旦大学数学科学学院2017～2018学年第二学期期末考试试卷 A 卷(1) 设)1ln()1(2xy xy z ++=，求x z '。
(2) 解方程222x y x y =-'。
(3) 求椭球面12222=++z y x 上一点，使得在这点的椭球面切平面与42=+-x y x 平行。
(4) 求函数y x y x u 123223--+=的极值。
已知悉学校对于考试纪律的严肃规定，将秉持诚实守信宗旨，严守考试纪律，不作弊，不剽窃；若有违反学校考试纪律的行为，自愿接受学校严肃处理。
签名:年月 日 ）(5)计算计算⎰+Lds y x )(，其中曲线L x y x 2:22=+。
(6)计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2，其中所围和由0322=--=Ωz y x z 。
(7) 求幂级数∑∞=-122)2(2ln n n n x n 的收敛半径与收敛区间。
(8)求球面4222=++z y x 被平面0=++z y x 所截的上半部分在xoy 面上的投影区域的面积。
2.（本题共10分）设x x y ln =是方程0)(2=+'+''y y x p y x 的一个解,（1）求)(x p 的表达式；（2）求解方程x x y y x p y x ln )(2=+'+''。
3.（本题共10分）设v u v u e y e x -+==,，试将方程022='+'+''+''y x yy xx z y z x z y z x 从化为关于自变量v u ,的方程（假设),(y x z z =有连续的二阶偏导数）。
4.（本题共10分）计算⎰⎰∑+++++dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x )2()2()2(222，其中∑为曲面221y x z --=的上侧。
5.（本题共10分）计算⎰-++Lx x dy y e xy dx y y e )sin 2()cos (2，其中有向曲线2x y L =是从)0,0(O 到)1,1(A 的一段。
2012-2013(2)苏理工高数2期末A卷
江苏科技大学（苏理工）20 12 ―20 13 学年 二 学期《高等数学2》试卷（A 卷）考试形式: 闭卷，2小时，总分100分一、填空题：（共9小题，每小题3分，共27分）2. 设222230,x y z z ++-=求 dz =____ . 7. 计算2223(234)x y a x y d σ+≤++=⎰⎰.9. 设∑为球面1222=++z y x ，则()⎰⎰∑++dS z y x 222=_______________.二.选择题：（共5小题，每小题3分，共15分）10 有关二元函数(),f x y 的下面四条性质：(1) (),f x y 在点()00,x y 可微分； (2) 0000(,),(,)x y f x y f x y ''存在； (3) (),f x y 在点()00,x y 连续； (4) (,),(,)x y f x y f x y ''在点()00,x y 连续.若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则下列四个选项中正确的是( )A ．(4)(1)(2)⇒⇒B ．(1)(4)(3)⇒⇒ C ．(1)(2)(3)⇒⇒ D ．(2)(1)(3)⇒⇒ 13. 设l 为圆周c o s,s i n (02),x a t y a t t a π==≤≤>，则22()n lx y ds +=⎰（ ）学院： 专业班级： 姓名： 学号：装 订A 、212n a π+ B 、0 C 、22na π D 、21221n a n π++三、计算题：（共6小题，每小题4分，共24分）16. 求曲面222426x y z -+=在点（2，2，3）处的切平面及法线方程。
18. 计算,)(22⎰⎰+-Dy xd e σ其中D 是由圆229x y +=所围成的区域.20.求zx yz xy z y x f ++=),,(在点)2,1,1(沿方向l 的方向导数, 其中l的方向角分别为00060,45,60.四、计算题：（共3小题，每小题6分，共18分）21. 利用三重积分计算由曲面226z x y =--及z =所围成的立体的体积.22 计算曲线积分(sin )(cos 1)LI y y dx x y dy =-+-⎰，其中L 为圆周222x y x +=上从点(0,0)O 沿圆周顺时针方向到点(1,1)A 的一段弧。
11-12-2高等数学下(通信、电子本科)A卷及标准答案
2011 - 2012学年第二学期期末考试《高等数学(下)》试卷(A)答卷说明：1、本试卷共6页，四个大题，满分 100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
3、适用班级：11级通信系、电子系本科各班题号-一--二二三四总分分数评阅人： ____________ 总分人： __________________________、单项选择题(共 10小题，每小题3分，共30分)。
【A 】设有直线L ： 口 =丄二二2及平面二:2x y =1,则直线L1 -2 1(A)平行于二 (B) 在二内 (C)垂直于二 (D) 与二斜交【D 】2.锥面z立体在xoy 面的投影为[A l 4.函数z = f (x, y)在点(x 0, y 0)处可微分，则函数在该点1 1【C 】5.将二次积分pdx. f(x,y)dy 转化成先对x ,后对y 的二次积分为(A)必连续 (C)必有极值(D)(B)偏导数必存在且连续偏导数不一定存在(A) (x -1)2 y 2=1 (B) (x-1)2 y 2 乞 1(C)z= 0,(x -1)2y 2 -1(D)z =0,(x_1)2y 2 _1【C 3.设函数z 二z(x, y)由方程e z = e + xyz 确定，则一z的值为(1,0,1)(A) d(B)e (C)(D)11 1 x( A )°dy y f(x, y)dx(B)°dy 0f(x,y)dx( C )1 y0dy 0f(x,y)dx(D) 1 10dy 0f(x,y)dx【D] 6.设L为圆周x22y =1(逆时针方向),则口L(x y)dx (3y -2x)dy( A 3 二(B) 2 二(C) 4 二(D) -3'：【D】7.下列级数中，收敛的级数是001(A) ----------- (B)n4 . 2n 1f (3n4 2n(C)1 nn4 1 * n2(D)nm n ■ 1°°(x _1)n 【B] 8.幕级数a(x n丿■的收敛域为心n3n(A) ( -2, 4) (B)[-2,4)(C)[-2,4](D)(-2, 4]【C】9.微分方程y - y = 0满足初始条件y l x出=2的特解为(A) y =e x1( B)xy = e 2x x(C) y = 2e (D) y = e【B] 10.具有特解y1.x .x二e , y2 二xe的二阶常系数齐次线性微分方程是(A) y -2y y = 0(B)y 2y y = 0(C) y y - 2y = 0(D)y - y 2y = 0得分|二、填空题(共5小题，每小题3分,共15分)1. 设两点A(1,2,1)及B (2,1,3),则| AB | = | AB | = •、6 _；向量AB与z轴的夹角为，r则方向余弦COS ；* = ____ . COS f = ----32. 设z = y x,则dz=_dz = y x In yd^xy x^dy.3. 函数f(x, y) =x2y — y2在点P(1,1)处方向导数的最大值为_T5 _____________ .4. 设L是连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则[(x + y)ds=_J2 _______________ .15.函数 展开成X 的幕级数为3 x1.已知曲面Z =x 2 ・y 2-2上一点M (2,1,3)，⑴ 求曲面在M 点处的一个法向量；(2) 求曲面在M 点处的切平面及法线方程•2.求函数 f (x, y) = 2(x 「y)「x 2「y 2 的极值.2 2 2 23.平面薄片的面密度为」(x,y)=x y 1,所占的闭区域 D 为圆周x y =1及坐标轴所围成的第一象限部分，求该平面薄片的质量.4.利用高斯公式计算曲面积分(3z 2x)dydz - (y 3 -2xz)dxdz - (3x 2z)dxdy ,其中Z为上半球面z = a 2 -x 2 - y 2及平面z = 0所围立体的整个边界曲面的外侧5.设曲线通过原点，且曲线上任一点 M (x, y)处的切线斜率等于 x - y ,求该曲线的方程.6. 求微分方程y -3y ，2y =e x 的通解.3n7. 判断级数v (-1)n °半是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?心 4四、综合应用题(共2小题，共13分，其中第1题6分，第2题7分).1. (6分)要用钢板造一个体积为4( m 3)长方体无盖容器，应如何选择容器的尺寸，使n 1n z03nx , -3 ：：三、计算题(共7小题，每小题6分,共42分)得用料最省？》 2 * 》2. (7分)设在xoy平面有一变力F(x, y) =(x • y2) i (2x^8) j构成力场,(1)证明质点在此力场中移动时,场力所作的功与路径无关 ；(2)计算质点从点 A(1,0)移动到点《高等数学(下)》试卷(A) 第5页 共6页B(2,1)时场力所作的功(1)|ABH<6; COS 63x(2) dz = y Inydx xy x_l dy、2「¥x n ,—3»3n £3三.计算题(每小题6分,共42分).1.(6 分)(1)由 z = x 2y 2 -2 得，Z x =2x,Z y =2y ,曲面在点M (2,1,3)处的一个法n=(-4, -2,1))2分)⑵ 在点M (2,1,3)的切平面方程为4(x-2)，2(y-1)-(z-3) =04x 2y-z -7 -0选择题每小题3分共30分)..填空题(每小题3分,共15分).... (2 分) 法x y 42分)线z -3 -1A 二 f xx （1,—1） = —2,B 二 f xy （1,—1） = °,C 二 f yy （1, — 1） = -2,则2AC - B=4 ° , A ：： ° , .................................................................................. （2 分）所 以 （-1 为 极 大 值 点 ， 极 大 值f （1,—1） =2 ............................................................. （2 分） 3.（6分）平 面 薄 片的 质M 二 J（x, y ）dxdy 二（x 2 y 2 1）dxdy .......................... （ 2 分）DD1 o2dr C 1）Z ° - °v/【丄加丄詩彳二3二 ................................ （2分）2 4 2 84.（6 分）所围空间区域 门={（ x, y, z ） |0 _ z _ a 2-X 2 - y 2} 由高斯公式，有原式r "耳◎迅）dv0 ex oy cz!!! （3z 2 3y 2 3x 2）dv ............................. （ 2 分）Q2 a=3茁 2sin 「d 「r 2 r 2dr ................................. （ 2 分）0 - 0 02.（6 分）f x =2_2x, f y =-2—2yf x 二 0,占八（2 分）y=°,（2 分）（-1 xy丑1 6=3 2二[-cos J： [ r5]0 a5......................... ( 2 分)5 55.(6分)设所求曲线为y = y(x),由题意得，y = x- y , y(0) = 0,该方程为一阶线性微分方程y・y=x, 其中P( x) 1 Q, x ........................... x .......................... ( 2 分)_p(x)dx |P(x)dx _|dx f dx故通解为y = e [ e Q(x)dx C] =e [ xe dx C] [xe x dx C]二e ▲ (xe x _ e x C)二Ce」x -1(2 分)2分)从而Q(x)二-x,特解y - -xe x, (2 分)y(0)=0 从而所求曲线为6.(6 分)对应的齐次方程y”-3y、2y=0的特征方程为r2-3r•2=0，得特征根则对应的齐次方程的y =C1e x C2e2x2分)对于非齐次方程y ” -3y： 2y二e x, ' =1为r2-3r *2=0的单根，P(x) =1,设其* y特解为y -Q(x)e x,其中Q(x)=ax, a为待定系数，Q(x)满足Q (x) (2' p)Q(x)二P(x)0 (2 1 _3)(a) =17.(6分)由于》(一1)n 4 3n4ny 二C^x C2e2x_xe x.而|im 加=lim匸匕=丄 , 贝U (—2卑1 )收y u n F 4n 4 心4n 敛，................................... （ 3 分）3n从而'•（_ ni i3n ）也收敛，且为绝对收心4n敛. ....................................... （3分）四、综合应用题（共2小题,共13分,其中第1题6分,第2题7分）.41.（6分）设该容器的长，宽，高为x, y,z,由题意知xyz=4,则z ,容器的表面积xy4 8 8A = xy 2yz 2xz = xy 2(x y) xy , x 0, y 0xy x y分）( 2 分)因实际问题存在最小值，且驻点唯一，所以当x二y = 2（ m）, z = 1（ m）时，容器的表面积最小，从而用料最省. .....................................................................（1分）2.（7 分）证明：（1）P（x, y）=x y2, Q（x, y） = 2xy-8,由于在xoy面内，—=2y Q恒成立，且P连续，® ex cy ex2分)故质点在该力场中移动时场力所作的功与路径无关. ................................... （4分）⑵质点从点A（1,0）移动到点B（2,1）时场力所作的功（与路径无关），路径L可取折线段A > C,C > B,其中点C(2,0),从而(2,1) * (2,1)W F dr Pdx Qdy%,。
复旦大学2013～2014学年《高等数学B下》第二学期期末考试试卷及答案
复旦大学数学科学学院2013～2014学年第二学期期末考试试卷A 卷课程名称： 高等数学B （下） _ 课程代码：_ MATH120004 开课院系：____数学科学学院__________ 考试形式： 闭卷 姓 名： 学 号： 专 业：一、计算题。
（每题6分，共48分） 1、求二元函数sin()u x x y =+的一阶及二阶偏导数2,u u x x y ∂∂∂∂∂。
（装订线内不要答题）2、求椭球面22241x y z++=在点,,处的切平面。
3、计算二重积分2sinDy dxdy⎰⎰，其中D是由1x y+=，1x=及1y=所围成的区域。
4、求函数2y zxe =在点P(1,0)处沿从点P 到点Q(3,-2)的方向的方向导数。
5. 求解微分方程3x y y x =-'.6. 求幂级数1ln (1)2n n n n n x ∞=-∑的收敛半径及收敛域。
7. 将函数()1([0,])f x x π=∈展开成正弦级数。
8. 计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由2222x y z z ++≤所定义的球体。
二、（10分）求函数22(,)x y 2f x y =-+在椭圆域221D {(x,y)|x y 1}4=+≤上的最大值和最小值。
三、（10分）（1）求幂级数11n n n x n ∞=+∑的和函数； （2）计算11(1)2n n n n ∞+=+∑的值。
2013高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012~2013学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业（估计不考或考的可能性比较小的题目已删除）一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2'x y y e -=的通解是 。
2. 设有向量(1,2,2)a =-r ，(2,1,2)b =-r ，则数量积a b ⋅=r r。
3．过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=垂直的直线方程是 。
4．设cos()x z e x y =+，则zy∂=∂ 。
5．设L 为0,0,2x y x ===及4y =所围成的矩形边界，取正向，则Lydx =⎰Ñ 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'220y xy x ---=是 （ ）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶线性方程2．已知||2,||a b ==r r 2a b ⋅=r r ，则||a b ⨯=r r（ ）A ．1B ．2C D4．级数21(1)np n n∞=-∑ （ ）A ．当12p >时绝对收敛 B ．当12p >时条件收敛 C ．当102p <≤时绝对收敛 D ．当102p <≤时发散三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程dyx x y dx=-满足初始条件|0x y 的特解。
3．设由方程ln x zz y=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
4.求幂级数221212n n n n x∞-=-∑的收敛域及和函数。
5.使用间接法将函数ln()(,0)a bx a b +>展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
6．计算曲线积分222(2)()Lx xy dx y x dy -+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧。
2011-2012学年第二学期高等数学IB期末考试 试卷A
2011-2012学年第二学期高等数学IB 期末考试 试卷A参考答案 试卷号：A20120625一、单项选择题（每题3分，共15分）1、微分方程20=-'+''y y y 的通解是（ ） （A ）212+xxy C e C e -=； （B ）212+x xy C e C e -=；（C ）212+x x y C e C e -=； (D) x xe C eC y 221+=-．2、改变10(,)dy f x y dx ⎰⎰的积分次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）110(,)dx f x y dy -⎰⎰ ； （B ）10(,)dx f x y dy ⎰⎰；（C ）11(,)dx f x y dy -⎰⎰； （D ）10(,)dx f x y dy ⎰⎰．3、函数),(y x f 在点),(y x P 处可微的充分条件是（ ）（A ）),(y x f 的全部一阶偏导数存在； （B ）),(y x f 连续； （C ）),(y x f 的全部一阶偏导数连续； （D ）),(y x f 连续且yf x f ∂∂∂∂,均存在． 4、设L 是从(1,2)A -到(1,0)B 的直线段，则曲线积分()Lx y ds +=⎰（ ）(A)； (B) (C) 2； (D) 0．5、若级数∑∞=1n na收敛，∑∞=1n nb发散，则级数（ ）(A)∑∞=1)(n nn ba 收敛； (B)∑∞=1)(n nn b a 发散 ；(C)∑∞=+1)(n n nb a收敛； (D)∑∞=+1)(n n nb a发散．二、填空题（每题3分，共15分）１、设∑是球面2222a z y x =++的外侧，则曲面积分⎰⎰∑zdxdy =_______．2、已知级数∑∞=1n nu的前n 项和1+=n ns n ，则该级数的通项n u =__________.3、比较积分的大小：⎰⎰+Dd y x σ)ln(_____⎰⎰+Dd y x σ2)][ln((填>、=或<)，其中区域D 是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1,),(2,0).4、定积分2()f x dx =⎰_________, 其中,01()2,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩．5、 函数(,,)zf x y z xy y=+的全微分(,,)df x y z = ________________，梯度 (2,1,1)(,,)|grad f x y z =u u u u u v___________． 三、解答题（每题6分，共30分）1、计算定积分1cos x xdx ⋅⎰．2、求微分方程'''0xy y +=的通解．3、计算二重积分3()Dx y yd σ+⎰⎰，其中{(,)|11,01}D x y x y =-≤≤≤≤. 4、求幂级数231(1)23n n x x x x n--+++-+L L 的收敛半径及收敛域． 5、计算曲面积分2y dS ∑⎰⎰，其中{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥． 四、（本题满分8分） 计算三重积分22()I x y dv Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω由抛物面22z x y =+与平面1z =围成闭区域． 五、（本题满分10分）已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周222x y x +=到点(2,0)，再沿圆周224x y +=到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233(2)LI x ydx x x y dy =++-⎰．（利用格林公式计算） 六、（本题满分8分）设(,)f u v 具有连续的偏导数, (,)w f xy yz =，证明： w w wxz y x z y∂∂∂+=∂∂∂．七、（本题满分14分）（1）已知三个正数之和为a，试问这三个正数分别为何值时，它们的倒数之积最小．（2）判断级数13nn n∞=∑的敛散性，若收敛，求级数的和．。
微积分2012-2013第二学期期末试题a
首 都 经 济 贸 易 大 学 2012－2013学年第二学期期末考试试题 A 卷 考试科目： 微积分II 考试时间：120分钟 试卷总分: 100分 考试方式： 闭卷一、填空题（共5小题，每题2分，总计10分） 1．⎰-+1121dx x x = . 2. ⎰∞+-0dx xe x = . 3. 函数333),(y xy x y x f +-=的极值点为____________________． 4. 若∑∞=1n n a 收敛，则n a n n cos lim ∞→= ．5. 微分方程0ln =-'y y y x 的通解为 ． 二、计算题（一）（共6小题，每题6分，总计36分） 1．计算极限 4002)1ln(lim x dt t x x ⎰+→．2．计算定积分 ⎰π0cos dx x e x ．3．求三元函数z y x e xyz u+++=的全微分du ．4．计算二重积分dxdy xx D ⎰⎰sin ，其中D 为由x y =，x y 2= 和 1=x 所围成的平面区域．5．判断级数∑∞=+-1)1(n nn n 是绝对收敛、条件收敛还是发散．6．将函数xy +=41展成x 的幂级数．三、计算题（二）（共4小题，每题7分，总计28分）1．计算二重积分⎰⎰+D y x d e σ22，其中D 为圆域}1|),{(22≤+y x y x 在第一象限的部分。
2. 试求级数nx n n n ∑∞=--11)1(的收敛区间、和函数．3.已知 ()22,ln y x f z z+=，其中f 具有二阶连续偏导数，试求yx z ∂∂∂2.4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠+++=000sin ),(2222223y x y x y x y y x y x f ，， ，判断)0,0(xf '和)0,0(y f '是否存在，若存在，求其值．四、应用题（共两题，每题7分，总计14分）1．某工厂计划投资144万元用于购进A 、B 两种型号的生产线，A 型生产线每条售价4万元，B 型生产线每条售价3万元，如果购进x 条A 型生产线和y 条B 型生产线可使该厂新增产值4143362),(y x y x f （万元）， 问该厂分别购买两种型号的生产线各多少条时，该厂新增产值最大．2．设D 是由曲线2,x y x y ==所围成的平面区域．(1) 求D 的面积；(2) 求D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．五、概念辨析题（总计6分）给出二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处连续的定义，并判断函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠++=,0)0(),(1,0)0(),(1c o s )(),(2222y x y x y x y x y x f ，， 在点)0,0(处的连续性．六、综合题（总计6分）设函数)(x f 在]1,0[上可导，并有⎰+=10)()(bx x f a dt x t f ，其中a 和b 为实数，且10≤≤a ，试求)(x f 在)1,0(内的表达式．。