立体几何存在性问题

立体几何中的存在性问题
1、如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=o ，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点 ，2==BC AC ，41=AA .
（Ⅰ）求证：CF ⊥平面1ABB ；
（Ⅱ）当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；
（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --
的大小是45o ，若存在，求CE 的长，若不存在，请 说明理由.
2、如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F
是PC 中点，G 为AC 上一点。

（Ⅰ）求证：BD ⊥FG ；
（Ⅱ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由；
(Ⅲ)当二面角B-PC-D 的大小为
23
π
时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值。

G
F
E A
P
3、在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=o ，1AB AD PD ===，2CD =.
（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；
（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r
，试确定λ的值，使得二面角
Q BD P --为45o
4、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，11
2,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若
存在，确定点E 的位置.
A
B
C
D E
P
1
A B
C
O
A
1
B 1
5、如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =
2
2.
（Ⅰ）求证：
BD PAC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；
（III ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为9
6
2，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由.
6、如图，四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面，
22PA AD CD AB ====，M PC 为的中点.
（1）求证：BM PAD 平面P ;
（2）在侧面PAD 内找一点N
，使MN PBD ⊥平面
D
P
A
B
C
7、如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；
（Ⅱ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得
CP⊥面BDC1？并证明你的结论.
8、如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点.
（1）求证：BM∥平面PAD；
（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？
若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由；
9、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示，D 、E 分别为棱CC 1和B 1C 1的中点。

（1）求点B 到平面A 1C 1CA 的距离；
（2）在AC 上是否存在一点F ，使EF ⊥平面A 1BD ，若存在确定其位置，若不存在，说明
理由
.
10、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，
90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若1
2
PA AB BC AD ===
. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面证明，若不存在，请说明理由；
A B
P
C
D
A
B
C A 1
B 1
C 1
11、如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,4,5,4,31====AA AB BC AC .
(Ⅰ)求证:1BC AC ⊥;(Ⅱ)在AB 上是否存在点D ,使得1AC ∥平面1CDB ,若存在,试给出证明;若不存在,请说明理由.
12、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，
11
2,AA AC AC AB BC ====,且AB BC ⊥,O 为AC 中点. ①
证明：1A O ⊥平面ABC ；
（2）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置.
1
A B
C
O
A
1
B 1
C
C1
B1
A
13、已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(I)证明：BN⊥平面C1B1N；
(II)M为AB中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由.
14、如图：在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是菱形，
60,
ABC PA
∠=︒⊥平面ABCD，点,
M N分别为,
BC PA的中点，且2
=
=AB
PA. （1）证明：BC⊥平面AMN；（2）求三棱锥AMC
N-的体积；
（3）在线段PD上是否存在一点E，使得//
NM平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由.
左视图
D
15、已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=o （如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，
BC 1的中点．
（Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；
（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．
16、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，
EB ⊥平面
ABCD ，EF//AB ，2AB=，=1EF
，=BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；
（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由.
A
B
C
D
图1
M F
E
A
B
C 1
D 图2
C
A
F E
B
M
D
17、如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA =PD ，∠BAD =60º，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．
（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；
（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA // 平面BDQ ；
（Ⅲ）若V P-BCDE =2V Q - ABCD ，试求CP
CQ
的值．
18、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点． （Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ；
（Ⅱ）在棱11D C 上是否存在一点F ， 使F B 1//平面BE A 1？证明你的结论．
D C
B
Q
P
E A
E A
B C
D
B 1
A 1
D 1 C 1
19、在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ，
C B 1的中点，G 是棱AB 上的动点.
（Ⅰ）求证：⊥C B 1平面BNG ； （Ⅱ）若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明.
20、如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，
4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点．
（Ⅰ）求证：AD PC ⊥； （Ⅱ）求三棱锥A PDE -的体积；
（Ⅲ）AC 边上是否存在一点M ，使得//PA 平面EDM ， 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
D
E
P
21、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥。

（1）求证：11D C AC ⊥；
（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面
1A BD ，并说明理由。

22、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12
AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；
（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．
P ABCD -ABCD P A B
C D Q
M。