2013考研数学二真题及参考答案
2013年考研数学二试题及答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设cos x 1 x sin (x) ，(x) ，当x 0 时，(x)（）2（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小【答案】（C）【考点】同阶无穷小【难易度】★★【详解】cos x 1 x sin ( x) ，12 cos x 1 x212x sin ( x) x ，即21 sin (x) x2当x 0 时，(x) 0 ，sin (x) (x)1(x) x，即(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.22、已知y f (x)由方程cos( xy) ln y x 1确定，则（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）2lim n[ f ( ) 1]nn（）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】★★【详解】当x 0 时，y 1.2f ( n) 1 f x f x f2 (2 ) 1 (2 ) (0)lim n[ f ( ) 1] lim lim 2lim 2f (0)1 2n n n x 0 x x 0 xn方程cos( xy) ln y x 1两边同时对x求导，得1sin( xy)( y xy ) y 1 0y将x 0 ，y 1代入计算，得y (0) f (0) 11所以，2lim n[ f ( ) 1] 2nn，选（A）.3、设sin x [0, )f ( x) ，2 [ ,2 ]xF (x) f (t)dt ，则（）（A）x为F (x)的跳跃间断点（B）x为F (x)的可去间断点（C）F ( x) 在x处连续不可导（D）F ( x) 在x处可导【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】★★【详解】 F ( 0) sin tdt 2 sin tdt sin tdt 2 ，F(0) 2，0 02F ( 0) F ( 0) ，F (x) 在x处连续.Fxf ( t)dt f (t)dt0 0( ) lim 0xx，Fxf (t)dt f (t )dt0 0( ) lim 2xx，F ( ) F ( )，故F ( x)在x 处不可导. 选（C）.4、设函数 f (x)11( x 1)11xln x1 x ex e，若反常积分1f ( x)dx收敛，则（）（A） 2 （B） 2 （C） 2 0 （D）0 2 【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】★★★【详解】ef ( x)dx f ( x)dx f (x)dx1 1 e由1 f ( x)dx收敛可知，e1f ( x)dx与 f (x)dx均收敛.e1e ef ( x)dx dx11 1 ，x 1是瑕点，因为e11(x1) 1收敛，所以 1 1 2dx(x 1)21 1f ( x)dx dx (ln x)1e e x xln e，要使其收敛，则0所以，0 2 ，选 D.y5、设( )z f xyx ，其中函数 f 可微，则x z zy x y（）（A）2yf (xy) （B）2yf (xy ) （C）【答案】（A）2xf (xy) （D）2xf (xy )【考点】多元函数的偏导数【难易度】★★【详解】2z y y2 f ( xy) f ( xy)x x x，z 1y xf (xy ) yf (xy )2x z z x y y 1[ f (xy) f ( xy)] [ f ( xy) yf ( xy)]2y x y y x x x1 1f ( xy) yf ( xy) f ( xy) yf ( xy) 2yf ( xy)x x，故选（A）.6、设D 是圆域k2 2D (x, y) x y 1 位于第k 象限的部分，记I ( y x)dxdy (k 1,2,3, 4) ，则（）kDk（A）I1 0 （B）I2 0 （C）I3 0 （D）I4 0 【答案】（B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】★★【详解】根据对称性可知，I1 I3 0 .I y x dxdy （y x 0），2 ( ) 0 I y x dxdy （y x 0 ）4 ( ) 0D2 D4因此，选 B.7、设A、B、C均为n 阶矩阵，若AB=C，且 B 可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价3（C）矩阵C的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】（B）【考点】等价向量组【难易度】★★【详解】将矩阵 A 、C 按列分块， A ( , , n) ，C ( 1, , n)1b b11 1n由于AB C ，故( , , ) ( , , )1 n 1 nb bn1 nn即1b11 1 b n1 n, , n b1n 1 b nn n即C的列向量组可由 A 的列向量组线性表示.由于 B 可逆，故 1A CB ，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.1 a 12 0 08、矩阵 a b a 0 b 0 相似的充分必要条件是（）与1 a 1 0 0 0（A）a 0,b 2（B）a 0,b 为任意常数（C）a 2,b 0（D）a 2,b 为任意常数【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.2 0 0 1 a 1由0 0A a b a 的特征值也是2，b ，0.b 的特征值为2，b ，0 可知，矩阵0 0 0 1 a 11 a 1 1 a 1因此， 2 22E A a 2 b a 0 2 b a 2a 4a 0 a01 a 1 0 2a 041 0 1将a 0代入可知，矩阵 A b 的特征值为2，b ，0.0 01 0 1此时，两矩阵相似，与 b 的取值无关，故选（B）.二、填空题：9～14小题, 每小题4分, 共24分. 请将答案写在答题．纸．．指定位置上.9、1ln(1 x)lim(2 ) xx 0x. 1【答案】 2e【考点】两个重要极限【难易度】★★【详解】11 ln(1 x ) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x) 1 ln(1 x )ln(1 x) ln(1 x) 1 (1 ) (1 ) lim (1 ) x x x x x x x x lim(2 ) lim[1 (1 ) ] lim e ex 0x 0 x 0 x 0x x其中，111 ln(1 x) x ln(1 x) 1 x x 1 lim (1 ) lim lim lim2x x x 2 x 2 (1 ) 20 0 0 0x x x x x x 1故原式=e210、设函数xtf (x) 1 e dt ，则y f (x) 的反函数1x f y 在y 0处的导数1( )1( )dxdyy 0.1 【答案】11 e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】由题意可知， f ( 1) 05dy dx 1 dx dx 1xf (x) 1 edx dy e x dy dy e1 1y 0 x 1 1 .11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为r cos3 ( ) ，则L 所围平面图形的面积6 6是.【答案】12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】面积1 1 cos6 1 sin 662 26 6 6S r ( )d cos 3 d d ( )2 0 0 2 2 6 126 012、曲线x arctan t,y ln 1 t 2 上对应于t 1点处的法线方程为.【答案】ln 2 0y x4【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★1 12 2 dy dy / dt 1 tdx dx / dt112 2(1 t ) 2t12tt ，故dydx t 1【详解】由题意可知， 1曲线对应于t 1点处的法线斜率为1k 1.1当t 1时，x ，y ln 2 .4法线方程为ln 2 ( )y x ，即y x ln 2 0 .4 413、已知3x 2 xy e xe ，1x 2xy e xe ，22xy xe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 33个解，则该方程满足条件y，0 0x y 0 1的解为y .x【答案】3x x 2 xy e e xe6【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】3x x xy y e e ，y2 y3 e 是对应齐次微分方程的解.1 2由分析知，* 2xy xe 是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为3x x x 2xy C1(e e ) C2e xe ，C1,C2 为任意常数.由y0 0，x y 可得C1 1，C2 0 .0 1x通解为3x x 2xy e e xe .14、设A (a )是3 阶非零矩阵， A 为A的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若ija A 0(i , j 1,2,3) ，则A .ij ij【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】★★★【详解】* T * Ta A 0 A a A A AA AA A Eij ij ij ij等式两边取行列式得2 3A A A 0或A1T当A 0时，0 0AA A （与已知矛盾）所以A 1.三、解答题：15～23 小题, 共94 分. 请将解答写在答题．纸．．指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10 分）当x 0 时，1 cos x cos 2x cos3 x与ax n 为等价无穷小，求n 和a的值.【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】★★★【详解】cos6x cos4 x cos2x 111 cosx cos2x cos3x 4lim limn nax axx 0 x 03 cos 6x cos4 x cos 2x 6sin 6x4sin 4x 2sin 2x lim limn n 1x 0 4ax x 0 4 a nx7lim x 0 36cos6 x 16cos 4x 4cos 2xn4an (n 1)x2故n 2 0，即n 2时，上式极限存在.当n 2时，由题意得1 cos x cos 2x cos3 x 36cos 6x 16cos 4x 4cos 2x 36 16 4lim lim 1nx 0 ax x 0 a a8 8a 7n 2,a 716、（本题满分10 分）1设D是由曲线y x3 ，直线x a (a 0) 及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D绕x 轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若V 10V ，求a的值.y x【考点】旋转体的体积【难易度】★★【详解】根据题意，a1 5 5a 3 323 3 3 V ( x ) dx x a x0 5 5a1 7 76 6 aV 2 x x dx x a .3 3 3y7 7因V 10V ，故y x7 56 33 3a 10 a a 7 7 .7 517、（本题满分10 分）设平面区域D由直线x 3y ，y 3x ，x y 8围成，求 2x dxdyD【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】★★【详解】根据题意y 3x x 2x y 8 y 6，1 6y x x3y 2x y 8故D2 3x 6 8 x2 2 2x dxdy dx x dy dx x dyx x0 23 32 62 8 1 32 4164 3 4x ( x x ) 1283 3 3 3 30 2818、（本题满分10 分）设奇函数 f (x) 在[ 1,1]上具有二阶导数，且 f (1) 1，证明：（Ⅰ）存在(0,1) ，使得 f ( ) 1；（Ⅱ）存在( 1,1)，使得 f ( ) f ( ) 1.【考点】罗尔定理【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由于 f (x) 在[ 1,1]上为奇函数，故 f (0) 0令 F (x) f (x) x ，则F (x) 在[0,1] 上连续，在( 0,1)上可导，且F (1) f (1) 1 ，0 F (0) f (0) 0 0. 由罗尔定理，存在(0,1) ，使得 F ( ) 0 ，即 f ( ) 1.x x x x （Ⅱ）考虑 f (x) f (x) 1 e ( f(x) f (x)) e (e f (x)) ex x[e f (x) e ] 0x x令g( x) e f ( x) e ，由于f ( x) 是奇函数，所以 f ( x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，f ( ) f ( ) 1，g( ) g( ) 0 . 由罗尔定理可知，存在( 1,1)，使得g ( ) 0 ，即 f ( ) f ( ) 1.19、（本题满分10 分）求曲线 3 3 1( 0, 0)x xy y x y 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】★★★【详解】设M ( x, y) 为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为 2 2d x y构造拉格朗日函数 2 2 ( 3 3 1)F x y x xy y由2F 2x (3x y) 0x2F 2y (3y x) 0y3 3F x xy y 1 0得xy119点(1,1)到原点的距离为 2 2d 1 1 2 ，然后考虑边界点，即(1,0) ，(0,1) ，它们到原点的距离都是 1. 因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为 2 ，最短距离为 1.20 、（本题满分11 分）设函数 f (x) ln x 1 x（Ⅰ）求 f (x) 的最小值；（Ⅱ）设数列x 满足n1ln x n 1，证明lim x n 存在，并求此极限.x nn 1【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由题意， f ( x) ln x 1x，x 0 f (x)1 1 x 12 2x x x令 f (x) 0，得唯一驻点x 1当0 x 1时， f (x) 0 ；当x 1时， f (x) 0 .所以x 1是 f (x) 的极小值点，即最小值点，最小值为 f (1) 1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln x n 1xn，又由已知1ln x n 1，可知xn 11 1x xn n1，即x n 1 x n故数列x单调递增.n又由1ln x n 1，故ln x n 1 0 x n e，所以数列x n 有上界.xn 1所以limn x 存在，设为 A. n在1ln x n 1两边取极限得xn 11ln A 1A在1ln x n 1两边取极限得xn1ln A 1A10所以1ln A 1 A 1即lim x n 1 .An21、（本题满分11 分）设曲线L 的方程为 1 2 1 ln (1 )y x x x e 满足4 2（Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D是由曲线L ，直线x 1，x e及x 轴所围平面图形，求D的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式，得1 1 1 1 1 1 e ee e2 2 2 2S 1 ( y ) dx 1 ( x ) dx 1 ( x ) dx ( x ) dx1 1 1 12 2x 2 2x 2 2xe2e 1 1 1 1 1 e2( x )dx ( x ln x)1 2 2x 4 2 41（Ⅱ）由形心的计算公式，得x DD1 1 1 1exdxdy 1dx x ln x xdy x x2 x dx2( ln )4 214 20 01 1 1 12 edxdy 1 dx x ln x dy x2 x dx( ln )4 24 210 01 1 1 1 14 2 2e (e e )16 16 4 2 24 23(e 2e 3)1 1 1 4( 3 7)e.3e12 12 2 22、（本题满分11 分）设1 aA ，1 0B0 11 b，当a,b 为何值时，存在矩阵C使得AC CA B ，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★【详解】由题意可知矩阵C为2 阶矩阵，故可设C x x1 2x x3 4. 由AC CA B 可得11x ax2 31 a x x x x 0 1 0 11 2 1 21 0 x x x x 1 b 1 b3 4 3 4 整理后可得方程组ax a ax1 2 4x x x1 3 411①x ax b2 3由于矩阵C存在，故方程组①有解. 对①的增广矩阵进行初等行变换：0 1 a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1a 1 0 a 1 0 1 a 0 0 0 1 a 0 01 0 1 1 1 0 1 a 0 a 1 0 0 0 0 a 1 0 1 a 0 b 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b 方程组有解，故 a 1 0 ，b 0，即a 1，b 0 .1 0 1 1 1当a 1，b 0时，增广矩阵变为0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x3, x4 为自由变量，令x3 1, x4 0，代入相应齐次方程组，得x2 1, x1 1 令x3 0, x4 1，代入相应齐次方程组，得x2 0, x1 1故 1 (1, 1,1,0) T T， 2 (1,0,0,1)T ，令x3 0, x4 0，得特解(1,0,0,0)T方程组的通解为x k1 1 k2 2 (k1 k2 1, k1,k1 ,k2) （k1,k2 为任意常数）所以C k k 1 k1 2 1k k1 2.23、（本题满分11 分）a 1b 1设二次型 2f (x , x ,x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x ) ，记1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a2，b2 a3b3（Ⅰ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ；（Ⅱ）若, 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 22y y1 2【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩12【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）证明：2f (x ,x , x ) 2(a x a x a x ) (b x b x b x )1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3a xb x1 1 1 1 2( x , x , x ) a (a , a , a ) x (x , x , x ) b (b ,b ,b ) x1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2a xb x3 3 3 3x1T T T (x , x , x )(2 ) x x Ax1 2 3 2 ，其中A 2T Tx3所以二次型 f 对应的矩阵为2 T T .T T （Ⅱ）由于, 正交，故T T T因, 均为单位向量，故 1，即1. 同理 1T T T T T TA 2 A (2 ) 2 2由于0 ，故A有特征值 12 .T TA (2 ) ，由于0 ，故A有特征值 2 1T T T T T T又因为r( A) r (2 ) r(2 ) r( ) r( ) r( ) 1 1 2 3 ，所以A 0，故 30 .三阶矩阵A的特征值为2，1，0. 因此，f 在正交变换下的标准形为 2 22y y .1 213。
2013考研数学二真题及参考答案
2013考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
【考研数学精品推荐】2013年考研数学二真题及答案
2013年考研数学二真题及答案2013 年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．１ ．设 cos x 1 x sin (x ), (x ) ，当 x 0 时， x （） 2（ （ A ）比 x 高阶的无穷小 C ）与 x 同阶但不等价无穷小 （B ）比 x 低阶的无穷小 （D ）与 x 等价无穷小1 1详解】显然当 x 0 时 cos x x x x1 sin ( ) ~2 , s in ( ) ~ x x x ，故应该选（~( ) 【 2 2 22 ．已知 y f x是由方程cos xy ln y x1确定，则lim n f 1 （ ）nn（ A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2【 【 分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义． y '详解】将 x0代入方程得 y f (0) 1，在方程两边求导，得 sin(xy )(y xy ')yx 0, y 1，知 y ' (0) f ' (0)1．2f ( ) f (0) 2 n n lim n f 1 2 lim 2 f '(0) 2 ，故应该选（A ）． 2nn nsin x , x [0, )x ３ ．设 f (x )， F (x )f (t )dt 则（ ） 2, x [,2 ]（ （ Ａ） x为 F (x )的跳跃间断点． （Ｂ） x 为 F (x )的可去间断点． Ｃ） F (x )在 x 连续但不可导． （Ｄ） F (x )在 x可导．x 【 详解】只要注意 x 是函数 f (x ) 的跳跃间断点，则应该是 F (x )f (t )dt 连续点，但不可选（Ｃ）．1(x 1) 11 , 1 x ef x dx 收敛，则（ ４ ．设函数 f (x ) ，且反常积分 ） , x ex ln 1 x （ A ） 2 （B ） a 2（C ） 2 a 0 （D ） 0 21111而第二个反常积分dx ln x |1，当且仅当 a 0 才收敛．x ln 1 x lim ln xexf x dx 才收敛，故应选（Ｄ）．从而仅当 02时，反常积分 y x zzy xy５ ．设函数 zf xy，其中f 可微，则 （ ）x 22（ A ） 2yf '(xy ) （B ） 2yf '(xy ) （C ）f (xy ) （D ）f (xy ) xxxz z y xy x y y y 21【 详解】f (xy ) f '(xy ) f (xy ) yf '(xy ) 2yf '(xy ) ．应该选（A ）．x 2 xx( , ) | D x y xy1的第 k 象限的部分，记 I (y x )dxdy ，则（ ）．设 D 是圆域2 26 k k Dk（ A ） I 0 （B ） I 0 （C ） I 0（D ） I 01234【 详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k1k13I (y x )dxdy d (sincos )r2dr(sinsin)d22 kk 1 (k1)Dk2 2k1sincos |2 k 1322 2 所以 I I0, I, I ，应该选（B ）． 13 24 3 37 ．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（ （ （ （ A ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价．B ）矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． C ）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价．D ）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． 【 详解】把矩阵 A ，C 列分块如下： A , , , , C , , ,，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知1 2 n 1 2 nbbb (i 1,2, ,n ) ，得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示．同i 1 1i 22inni时由于 B 可逆，即 A CB 1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B ）．1 a 12 0 08 ．矩阵 a b a与矩阵0 b 0 相似的充分必要条件是1 a 1 0 0 0（ A ） a0, b 2 （B ） a 0 ，b 为任意常数（ C ） a 2, b 02 0 0（D ） a 2， b 为任意常数1 a 12 0 0【 详解】注意矩阵0 b 0是对角矩阵，所以矩阵 A= a b a 与矩阵0 b相似的充分必要0 0 0 1 a 1 0 0 0条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a E A aba( a 11 2(b 2) 2b2a2 )1 从而可知 2b 2a 2b ，即 a0 ， b 为任意常数，故选择（B ）．2二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）1 ln(1 x)x9． lim 2．xxx(x1 x2 o (x2 ) 11 xln(1x )ln(1 x)x ln(1 x ) 2 1 xxlim lim【 详解】 lim 2lim 1 e xx 2e xx 2e ． 2x 0 x x 0 x dx x te dt，则 yf (x )的反函数 x f1 (y ) 在 y0处的导数10．设函数 f (x )1|．y 01dy【 详解】由反函数的求导法则可知dx dy 11|． ydy 1e 1|x 1dx611．设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r cos3t 为参数，则 L 所围成的平面图形的面积 6为【 ．2 121 21 Ar 2 dcos 3d2 cos 2tdt 详解】 6 63 120 6 6所以．答案为． 1 2x arctan t1 2．曲线上 对应于t 1处的法线方程为 ．y ln 1 t 2t t 1 11 2 2 【 详解】当t 1时， x , y ln 2， y '| |1，所以法线方程为t 1t 1 4 21 t 1 1y ln 2 1(x )，也就是 y x ln 22 4 2 4y e 3xxe 2x , y e xxe 2x , y xe 2x 是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1 3．已知 123y (0) 0, y ' (0)1方程的解为 ．【 详解】显然 y y e 3x 和 yy e x 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由132 3yC e 3x C exe 2x ，其中C , C 为任意常数．把初始条件代入可得 x解的结构定理，该方程的通解为 1 2 1 2C 1,C 1，所以答案为 ye 3xe x xe 2x1 214 ． 设 Aa 是 三 阶 非 零 矩 阵 ，A 为 其 行 列 式 ， A 为 元 素 a 的 代 数 余 子 式 ， 且 满 足 ijijij A a 0(i , j 1,2,3)，则 A = ．ij ij详解】由条件 A a 0(i , j1,2,3)可知* 0 A A T，其中 A *为 A 的伴随矩阵，从而可知 【 ijijA * A *T A A ，所以 A 可能为 1或 0．3 1n ,r (A ) n但由结论 ( ) 1, ( ) 1 r A *r A n 可知，A A * T0可知 r (A ) r (A *) ,伴随矩阵的秩只能为 3，所以0 ,r (A ) n 1 A1.三、解答题1 5．（本题满分 10 分） 当 x0时，1cos x cos 2x cos 3x 与 axn 是等价无穷小，求常数 a ,n ． 【 【 分析】主要是考查 x0时常见函数的马克劳林展开式．1 1 详 解 】 当 x 0 时 ， cos x 1 x2 o (x ) 2 ， cos 2x 1 (2x ) 2 o (x 2 ) 1 2x 2 o (x ) ，222 1 9 cos 3x 1 (3x ) 2 o (x 2 ) 1 x 2 o (x ) ，22 21 9 所以1 cos cos2 cos 3x 1 (1 x x x 2 o (x))(1 2 2 x 2 o (x ))(1 2 x 2 o (x )) 7 2 x o (x 2 ) ， 22 2由于1cos x cos 2x cos 3x 与 ax n 是等价无穷小，所以 a 7,n 2．1 6．（本题满分 10 分） 3x，直线 xa (a 0) 及 x 轴所转成的平面图形，V ,V 分别是 D 绕 x 轴和 y 轴旋转x y设 D 是由曲线 y一周所形成的立体的体积，若10V V ，求 a 的值． x y【 详解】由微元法可知253a aVxy dx x dx a ；233 5 0 04 7 6 V2 axf (x )dx2x dx a；a33y7由条件10V V ，知 a7 7 ．x y 1 7．（本题满分 10 分）设平面区域 D 是由曲线 x 3y , y 3x , x y8 所围成，求 x dxdy ． 2D【 详解】4 1 62dx3x 6dx8xx 2dxdy x 2 dxdy x 2 dxdy x 2 dy x 2 dy ． x x32 DDD331 2 1 8．（本题满分 10 分） 设奇函数 f (x ) 在1,1上具有二阶导数，且 f (1)1，证明：（ 1）存在( 0,1) ，使得 f '1；（ 【 2）存在(1,1) ，使得 f () f ( ) 1．详解】证明：（1）由于 f (x ) 为奇函数，则 f (0) 0，由于 f (x ) 在1,1上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存f (1) f (0)在( 0,1) ，使得 f '()1．1 0（ 2）由于 f (x ) 为奇函数，则 f '(x ) 为偶函数，由（1）可知存在( 0,1) ，使得 f '1，且 f'1，令 (x ) e ( f '(x ) 1)，由条件显然可知(x ) 在1,1上可导，且() ()0 ， x 由罗尔定理可知，存在 (,) (1,1)，使得' 0, 即 f () f() 1．1 9．（本题满分 10 分）x3 xyy 1(x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．3求曲线 【 【 分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法． 详解】构造函数 L (x , y )x 2 y 2 x ( 3xyy 1)3L2x (3x y ) 02x L 2y (3y ) 0 ，得唯一驻点 x1, y 1，即 M (1,1) ．12x 令y x 3 xyy 13考虑边界上的点， M (0,1),M (1,0)；2 3f (x , y ) x y 2 在三点的取值分别为 f (1,1) 2, f ( 0,1) 1, f (1, 0) 1，2 距离函数 所以最长距离为 2 ，最短距离为 1． 0．（本题满分 11） 2 1设函数 f (x )ln xx⑴ ⑵ 求 f (x ) 的最小值；1设数列x 满足ln x 1，证明极限 lim x 存在，并求此极限． n n n x n 1 n 【 （ 详解】1 1x 1 1） f '(x ) ， x x 2x2 令 f '(x ) 0 ，得唯驻点 x1，当 x( 0,1) 时， f '(x ) 0，函数单调递减；当 x(1,) 时， f '(x )0 ，函数单调递增．所以函数在 x 1处取得最小值 f (1)1．1111（ 2）证明：由于 ln x 1，但ln x 1，所以，故数列x 单调递增．nn nx n 1 x nx n 1 x n1又由于 ln x ln x 1，得到 0 xe ，数列x有界．nnnnx n1由单调有界收敛定理可知极限 lim x 存在． n n1 1令 lim x a ，则 lim ln x ln a 1，由（1）的结论可知 lim xa 1．nnnnnx n 1 a n2 1．（本题满分 11） 1 41y x 2ln x (1 x e ． ) 设曲线 L 的方程为 2（ （ 1）求 L 的弧长．2）设 D 是由曲线 L ，直线 x 1, x e 及 x 轴所围成的平面图形，求 D 的形心的横坐标．【 （ 详解】1 1 x1 2 11）曲线的弧微分为 dx1 y ' dx2 1 x dx (x x )dx ，4 1 1 e 2 1e 所以弧长为 sds (x )dx ． 2 x 41（ 则 2）设形心坐标为x , y，1 4 x2 1ln x e 42e 32 xdxdy dxdye1xdx 0 2 dy3(e 4 2e 23)16 xD． 1 x 2 1e 3 7 4(e 7) 31dxln x4 2 dy12D2 2．本题满分 11 分） 1 a0 1 ，问当 a , b 为何值时，存在矩阵 C ，使得 AC CA B ，并求出所有矩阵 C ．A, B 设 1 01 b【 详解】 x1 x显然由 ACCAB 可知，如果C 存在，则必须是 2 阶的方阵．设C 2 4 ， x x3x ax ax x ax1 12 4则 ACCA B 变形为2 3， x x x x ax 1 b1 3 4 23 x ax0 2 3ax x ax 11 2 4 即得到线性方程组 ，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩 x x x 1 1 3 4xax b 2 3 阵进行初等行变换如下0 1 1 a 0 01 0 111a 0 a 1 0 1 a 0 0A | b，1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a1 a 0 b 0 b 所以，当 a 1, b 0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C ，使得 AC CA B ．1 0 1 1 1 0 11 0 0 0 0 0 0 此时，A | b，0 00 0 0x 1 1 11 2 3 x x 0 1 0 所以方程组的通解为 x C 1 C ，也就是满足 AC CA B 的矩阵 C 为2 1x40 0 1 1 C C C C 1 2 1 ，其中C ,C为任意常数． 12C 1 C 22 3（本题满分 11 分）a b 11f (x ,x ,x ) 2(a x a xa x ) 2 (b x b x b x )2 ．记 a ,b ． 设二次型 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2332 32a b31）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T ；T（ 2）若,正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 详解】证明：（1）2 y 21 y 2．（ 【 2 f (x , x , x ) 2(a x a xa x ) 2 (b x b xb x )21 2 3 1 12 23 31 12 23 3a xb x11 11232x , x , x a a , a ,a x x , x , x b b , b ,b x 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 21 2 3a xb 3xx x 1 1 23 x , x , x2x x , x , x x TTT 1 2 3 2 3 1 2 3 x xx 123x , x , x2x T1 2 3 x所以二次型 f 对应的矩阵为 2 TT．证明（2）设 A2 TT，由于1,T0 A 则 2 22，所以 为矩阵对应特征值 2的特征向量；2 T T T 1 A 22 ，所以 为矩阵对应特征值 1的特征向量； 2 T T T2 而矩阵 A 的秩 r (A ) r (2 T T ) r (2 T ) r ( T ) 2，所以 0也是矩阵的一个特征值．32 2yy 22 ．1故 f 在正交变换下的标准形为。
2013考研数二真题及解析
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
2013考研数学二真题ঞㄨḜ解析ZZZ ZHQGXHGX FRP一、选择题1.设cos x -1=x sin ()x α，其中｜()x α｜<2π，则当x →0时，()x α是（）而()0lim 0x F x πππ−−→′==−∫∫，()()()0lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→−′==−∫∫，()()(),F F F x ππ−+′′≠∴∵在x π=处不可导。
故()F x 在x π=处连续但不可导。
4.设函数f (x )=1,1,(1)11,.ln(1)x e x x e x xαα⎧<<⎪−−⎪⎨⎪≥⎪+⎩若反常积分∫∞+1f (x )d x 收敛，则（）解：[]21320,0,()0,(()0),D I I I y x d y x σ===+−>+−>∫∫∵[]44()0,(()0),D I y x d y x σ=+−<+−<∫∫∵所以选（B ）。
7.设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则(A)矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价(B)矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价(C)矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价(D)矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价答案：（B ）解：1212(,,,)(,,,),(1)n n i i A A i n βββγγγβγ==≤≤⋯⋯，即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示。
⎪⎪⎩⎭10.设函数(),xf x −=∫则y =f (x )的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数______|0==y dydx解：=0y 即=-1x，=0y dy dx dx dy。
故32xxx y e exe =−+−。
14.设A=()ij a 是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，Aij 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==,则｜A ｜=______________答案：-1解：2*3*=-,=(-1)=-=0=-1T ij ij A a A A A A A A A =−⇒⇒或。
2013年考研数学真题及参考答案(数学二)
T T
（Ⅱ）若 , 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 y2 .
2 2
3
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题详解与评注
一、选择题:1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． ⑴ 应选（C）. 【分析】本题考查无穷小比较的定义．利用已知条件求出 lim
dx dy
y 0
.
⑾ 设封闭曲线 L 的极坐标方程方程为 r cos 3 ( 是 .
6
6
) ，则 L 所围平面图形的面积
⑿ 曲线
x arctan t ,
2 y ln 1 t 3x
上对应于 t 1 点处的法线方程为
.
⒀ 已知 y1 e
xe 2 x ， y2 e x xe 2 x ， y3 xe 2 x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程
二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． ⑼ lim(2
x 0
ln(1 x) 1 )x x
.
⑽ 设函数 f ( x)
x
1
1 et dt ，则 y f ( x) 的反函数 x f 1 ( y ) 在 y 0 处的导数
1
e
e
f ( x)dx
又
e
1
1 1 dx dx , 1 e ( x 1) x ln 1 x
2013年考研数学二试题及详解
2013年研究生入学考试数学二试题及详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设)(sin 1cos x x x α=−，其中2π)(<x α，则当0→x 时，)(x α( ). (A) 比x 高阶的无穷小 (B) 比x 低阶的无穷小 (C) 与x 同阶但不等价的无穷小 (D) 与x 等价的无穷小解: =→x x x )(sin lim 0α=−→201cos lim x x x 212lim 220−=−→x x x ，则)(sin x α是与x 同阶但不等价的 无穷小.又2π)(<x α，则)(~)(sin x x αα，)(x α是与x 同阶但不等价的无穷小. 选(C). (2) 设函数)(x f y =由方程1ln )cos(=+−x y xy 确定，则=−∞→]1)2([lim nf n n ( ).(A) 2 (B) 1 (C) -1 (D) -2 解: 1ln )cos(=+−x y xy ，当0=x 时，0ln =y ，则1)0()0(==f y .方程两边对x 求导，得 01)sin()(=+′−′+−y y xy y x y ，)sin(1)sin(2xy xy xy y y y +−=′，1)0()0(=′=′f y . 则=−∞→]12([lim nf n n 2)0(22)0()2(lim 2=′=−∞→f nf n f n . 选(A).讨论：若题目中的方程为1ln )cos(=−+x y xy ，仍得1)0()0(==f y .方程两边对x 求导，可得)sin(1)sin(2xy xy xy y y y −+=′，仍得1)0()0(=′=′f y . 则2]1)2([lim =−∞→nf n n . 仍选(A).(3) 设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=π2π,2π0,sin )(x x x x f ，∫=x t t f x F 0 )d ()(，则( ). (A) π=x 是函数)(x F 的跳跃间断点 (B) π=x 是函数)(x F 的可去间断点 (C) )(x F 在π=x 处连续但不可导 (D) )(x F 在π=x 处可导解: ∫=x t t f x F 0)d ()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+−=+<≤−=−==∫∫∫π2π,2π22d 2d sin π0,cos 1]cos [d sin ππ000x x x t t x x t t t x x x ，2πcos 1)π(=−=−F ，2)π(=+F ，2)π(=F ，则)(x F 在π=x 处连续；π2cos 1lim)π(π−−−=′−→−x x F x 01sin lim π==−→x x ，2π22π22lim )π(π=−−+−=′+→+x x F x ，则)(x F 在π=x 处连续但不可导. 选(C).(4) 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<−=+−e ,ln 1e 1,)1(1)(11x xx x x x f αα，若反常积分∫∞+ 1 )d (x x f 收敛，则( ). (A) 2−<α (B) 2>α (C) 02<<−α (D) 20<<α解:∫∞+ 1)d (x x f ∫−−=e11d 1)(1x x α∫∞+++ e 1d ln 1x x x α e12])1(21[αα−−−=x ∞+−eln 11xαα. e12])1(21[αα−−−x 收敛，则2<α； ∞+eln 11xαα收敛，则0>α，得20<<α. 选(D).(5) 设)(xy f x y z =，其中函数f 可微， 则=∂∂+∂∂yz x z y x ( ). (A) )(2xy f y ′ (B) )(2xy f y ′− (C) )(2xy f x (D) )(2xy f x− 解: 由)(xy f xyz =，得=∂∂+∂∂y z x z y x )()(1)]()([22xy f y xy f xxy f x y xy f x y y x ′++′+−)(2xy f y ′=. 选(A). (6) 设k D 是圆域}1),{(22≤+=y x y x D 在第k 象限的部分，记y x x y I kD k d )d (∫∫−=)4,3,2,1(=k ，则( ).(A) 01>I (B) 02>I (C) 03>I (D) 04>I 解: 在区域2D 内，恒有x y >，则02>I . 选(B). 事实上，y x x y I D d )d (11∫∫−=∫∫−=2π0 10 d )cos (sin d r r r θθθ0]sin cos [312π=−−=θθ，类似可求出 32]sin cos [31π2π2=−−=θθI ，0]sin cos [31π23π3=−−=θθI ，32]sin cos 312ππ234−=−−=θθI . (7) 设C B A ,,均为n 阶矩阵，若C AB =，且B 可逆，则( ). (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B) 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D) 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 解：将C A ,按列分块，记为[]n αααA L 21=，[]n γγγC L 21=.则[]n αααL 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b L M O M M L L 212222111211[]nγγγL 21=，所以n n b b b αααγ12211111+++=L ，……，n nn n n n b b b αααγ+++=L 2211， 即矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示.因B 可逆，可得A CB =−1，同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性 表示. 即矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. 选(B).(8) 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1111a a b a a 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000002b 相似的充分必要条件为( ). (A) 2,0==b a (B) b a ,0=为任意实数 (C) 0,2==b a (D) b a ,2=为任意实数解：记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111a a b a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000002b B ，则对角阵B 的特征值为b ,2,0=λ. 因B A ~，则矩阵A 的特征值为b ,2,0=λ.1111−−−−−−−−−=−λλλλa a baa A E 101−−−−−−−=λλλλa ab a 220011−−−−−−=λλλa a b a ]2))(2[(2a b −−−=λλλ，由A 的特征值为b ,2,0=λ，得b a ,0=为任意实数.当b a ,0=为任意实数时，实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10100101b A ，存在满秩矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=101010101P ，使得AP P 1−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=10102010121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10100101b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−101010101B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000002b ，则B A ~. 故B A ~相似的充分必要条件为b a ,0=为任意实数. 选(B).二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(9) =+−→xx xx 10)1ln(2(lim ______.解法1：属于∞1型极限，由=)()(lim x g x f ]1)()[(lim −x f x g ，得=+−→xx x x 1))1ln(2(lim =+−→)1ln(1(1lim 0xx x x =+−→20)1ln(lim x x x x xx x 2111lim0+−→21)1(21lim 0=+=→x x ，则e ))1ln(2(lim 10=+−→x x xx . 解法2：=+−→xx x x 10))1ln(2(lim 2)1ln()1ln(0}])1ln(1{[lim xx x x x x x xx x +−+−→+−+2)1ln(limex x x x +−→=20)1ln(lime xx x x +−→=xx x 2111lime +−→=e e)1(21lim0==+→x x .(10) 设函数∫−−=xt t x f 1d e 1)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数==0d d y yx ______.解：∫−−=xt t x f 1d e 1)(，则0)1(=−f ，x x f e 1)(−=′，1e 1)1(−−=−′f .)(x f y =的反函数)(1y f x −=在0=y 处的导数1e ee11)1(1d d 10−=−=−′=−=f yx y .(11) 设封闭曲线L 的极坐标方程为θ3cos =r )6π6π(≤≤−θ， 则L 所围平面图形的面积是______.解：θ3cos =r ，则∫−=6π6π 2d )(cos321θθS ∫+=6π)d cos6(121θθ 12π)6sin 61(216π0=+=θθ.(12) 曲线⎩⎨⎧+==21ln arctan t y tx 上对应于1=t 的点处的法线方程为______. 解：⎩⎨⎧+==21ln arctan t y t x ，21t t y t +=′，211t x t +=′，t t x y x y ′′=d d t =，1d d 1==t x y，法线斜率1−=k .对应于1=t 的点为22ln ,4π(，法线方程为4π(22ln −−=−x y ，即22ln 4π+=+y x .(13) 已知x xx y 231e e−=，x x x y 22e e −=，x x y 23e −=是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00==x y，10=′=x y 的解为=y ______.解：xy y 331e =−，xy y e 32=−都是对应的齐次线性微分方程的解，且线性无关， 则该非齐次线性微分方程的通解为+=xA y 3ex x x B 2e e −，从而得+=′x A y 3e 3x x x x B 22e e 2e −−，将00==x y ，10=′=x y 代入，得1=A ，1−=B ，则x x xx y 23e e e−−=.(14) 设)(ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式. 若0=+ij ij A a )3,2,1,(=j i ，则=A ______.解：由0=+ij ij A a ，得ij ij a A −=)3,2,1,(=j i ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111*A A A A A A A A A A T332313322212312111A −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=a a a a a a a a a ，则A A −=*. 由E A AA =*，得3*A A A =，2*A A =，于是2A A =−，得0=A 或1−=A .又)(232221332211i i i i i i i i i a a a A a A a A a ++−=++=A )3,2,1(=i ，因A 是非零矩阵，则0≠A . 故只有1−=A 符合题目要求.三、解答题：15～23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分) 当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1⋅⋅−与nax 为等价的无穷小，求n 与a 的值.解法1：=⋅⋅x x x 3cos 2cos cos =+x x x 3cos )cos 3(cos 21)3cos cos 3(cos 212x x x ⋅+ )2cos 4cos 6cos 1(41x x x +++=，则 n x ax x x x 3cos 2cos cos 1lim0−→nx ax xx x 42cos 4cos 6cos 3lim0−−−=→ 1042sin 24sin 46sin 6lim−→++=n x anx x x x 1)1(2cos 4cos 46cos 9lim 20=−++=−→n x x n an xx x ， 则02=−n ，14)1(=−n an ，得2=n ，7=a .解法2：nx ax x x x 3cos 2cos cos 1lim0−→102cos cos 3sin 33cos cos 2sin 23cos 2cos sin lim−→++=n x anxxx x x x x x x x 13202cos cos )sin 4sin 3(33cos cos sin 43cos 2cos sin lim −→−++=n x anx x x x x x x x x x x 12cos cos )sin 43(33cos cos 43cos 2cos lim 2220=−++=−→n x anx x x x x x x x ， 则02=−n ，14=an ，得2=n ，7=a .(16) (本题满分10分) 设D 是由曲线31x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所围成的平面 图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 若x y V V 10=，求a 的值.解：曲线31x y =，即3y x =过原点，交直线a x =于点),(31a a . 则∫=ax x x V 032d πa x355π3=355π3a =； ∫−⋅=31 06312d ππa y y y a a V 37377ππa a −=3776πa =，或∫⋅=a y x x x V 0 31d π23776πa =.由x y V V 10=，得3537π676πa a =，则732=a ，又0>a ，得77=a . (17) (本题满分10分) 设平面区域D 由直线y x 3=，x y 3=及8=+y x 围成， 计算y x x Dd d 2∫∫.解：联立解x y 3=及8=+y x ，得交点)6,2(；联立解y x 3=及8=+y x ，得交点)2,6(. 区域D 是由顶点为)0,0(，)6,2(，)2,6(的三角形，画出积分域图. 于是y x x I Dd d 2∫∫=∫∫=23 32d d x x y x x ∫∫−+628 32d d x xy x x ∫=2 0 3d 38x x ∫−+6 2 234(8x xx6243204]3138[32x x x −+=316364432576332+−−+=32138316144=−=. (18) (本题满分10分) 设奇函数)(x f 在]1,1[−上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： (I) 存在)1,0(∈ξ，使得1)(=′ξf ； (II) 存在)1,1(−∈η，使得1)()(=′+′′ηηf f .证：(I))(x f 为奇函数，在]1,1[−二阶可导，则)(x f 在]1,1[−上连续可导，且0)0(=f .又1)1(=f ，根据拉格朗日中值定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()(=−−=′f f f ξ.或令x x f x F −=)()(，则)(x F 在]1,1[−上连续可导，1)()(−′=′x f x F .0)0(=F ，0)1(=F ，根据罗尔定理，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=′ξF ，即1)(=′ξf .(II))(x f 为奇函数，在]1,1[−上二阶可导，则)(x f ′为偶函数，在]1,1[−上连续可导.令]1)([e )(−′=x f x G x，则)(x G 在]1,1[−上连续可导，]1)()([e )(−′+′′=′x f x f x G x.0)(=ξG ，]1)([e )(−−′=−−ξξξf G 0]1)([e =−′=−ξξf ，根据罗尔定理，存在)1,1(),(−⊂−∈ξξη，使得0)(=′ηG ，即1)()(=′+′′ηηf f .(19) (本题满分10分) 求曲线133=+−y xy x )0,0(≥≥y x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.解：构造拉格朗日函数)1(3322−+−++=y xy x y x L λ，由0=′x L ，0=′y L ，0=′λL ，得⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=−+=−+010*********y xy x x y y y x x λλλλ，前两式相减，得0)332)((=+++−y x y x λλλ， 当x y =时，代入0133=−+−y xy x ，得01223=−−x x ，解得1=x ，则1=y . 当0332=+++y x λλλ时，因0,0≥≥y x ，则0331>++y x ，故yx 3312++−=λ，代入前两式均得03=++y xy x ，因0,0≥≥y x ，曲线上点的坐标y x ,又不能同时为零， 则03=++y xy x 无解.于是，曲线上的点)1,1(，到坐标原点的距离最长，2max =d ，曲线的端点)1,0(或)0,1(，到坐标原点的距离最短，1min =d . (20) (本题满分11分) 设函数xx x f 1ln )(+= (I) 求)(x f 的最小值； (II) 设数列}{n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明n n x lim ∞→存在，并求此极限.解：(I) xx x f 1ln )(+=，定义域0>x ，211)(x x x f −=′21x x −=，有惟一驻点1=x .当10<<x 时，0)(<′x f ，函数单调减少；当1>x 时，0)(>′x f ，函数单调增加. 则函数的极小值即最小值为1)1(=f . (II) 由(I)得11ln ≥+n n x x ，又已知11ln 1<++n n x x ，则111+>n n x x ，定义域0>n x ，得1+<n n x x ，即数列}{n x 单调增加. 又11ln 1<++n n x x ，则1ln <n x ，e 0<<n x ，即数列}{n x 有上界，则}{n x 极限存在. 设A x n n =∞→lim ，对11ln 1<++n n x x 两边取极限，得11ln ≤+A A ，又11ln ≥+A A ，则11ln =+AA ，得1lim ==∞→A x n n .(21) (本题满分11分) 设曲线L 的方程为x x y ln 21412−=e)1(≤≤x (I) 求L 的弧长；(II) 设D 是由曲线L ，直线1=x ，e =x 及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 解：(I) x x y ln 21412−=，)1(21xx y −=′，则曲线的弧长为 x y L d 1e12∫′+=x xx d )1(411e 12∫−+=x x x d 1(21e 1 ∫+=41e ]ln 21[212e12+=+=x x . (II) 平面图形D 的形心的横坐标为∫∫∫∫=DDyx yx x x d d d d ∫∫∫∫−−=e 1ln 21410e 1ln 2141022d d d d x x x x yx y x x ∫∫−−=e 12e13)d ln 2()d ln 2(x x x x x x x e 13e 1224]2ln 23[]2ln 4[x x x x x x x x +−+−= 373e 432e 4e 324−−−=)7e (4)3e 2e (3324−−−=. (22) (本题满分11分) 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b 110B . 当b a ,为何值时，存在矩阵C使得B CA AC =−，并求出所有矩阵C . 解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x C ，B CA AC =−即⎥⎦⎤⎢⎣⎡011a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4321x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡011a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b 110， 得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−−=−+=−b ax x x x x ax ax x x ax 3243114223110，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−b x x x x a a a a 1100101101010104321. 其增广矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=b a a a a010*******10010D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−→b a a a a 010101001011101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−→b a a a 00001010001011101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−→b a a 000010000001011101， 方程组有解的条件是)(r )(r D D =，则1−=a ，0=b .此时方程组化为⎩⎨⎧−=++=324311x x x x x ，记2413,c x c x ==，则12211,1c x c c x −=++=，即矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=211211c c c c c C ，其中21,c c 为任意常数.(23) (本题满分11分) 设二次型=), ,(321x x x f 23322112332211)()(2x b x b x b x a x a x a +++++，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321b b b β.(I) 证明二次型f 对应的矩阵为TT2ββαα+；(II) 若βα,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22212y y +. 解：(I) =), ,(321x x x f 23322112332211)()(2x b x b x b x a x a x a +++++++++++=232323222222212121)2()2()2(x b a x b a x b a323232313131212121)2(2)2(2)2(2x x b b a a x x b b a a x x b b a a ++++++，二次型f 对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=232332323131323222222121313121212121222222222b a b b a a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b a A .由于TT 2ββαα+[]3213212a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=[]321321b b b b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=232332323131323222222121313121212121222222222b a b b a a b b a a b b a a b a b b a a b b a a b b a a b a ，则二次型f 对应的矩阵为TT2ββαα+.(II) 因βα,正交且为单位向量，则1,1TT==ββαα，0,0TT==αββα.由TT2ββααA +=，得ααββαααA α22TT=+=，βββββααA β=+=TT2， 则21=λ，12=λ是矩阵A 的特征值.又)2(r )(r TTββααA +=2)(r )(r TT=+≤ββαα，则A 的非零特征值只有2个，即A 的特征值分别为21=λ，12=λ，03=λ， 则f 在正交变换下的标准形为22212y y +.。
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版附答案分析及详解
附答案分析及详解
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．设 cos x 1 xsin (x), (x) ，当 x 0 时， x （ ）
2
（A）比 x 高阶的无穷小
（B）比 x 低阶的无穷小
（C）与 x 同阶但不等价无穷小
时由于 B 可逆，即 A CB1 ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C
的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B）．
1 a 1
2 0 0
8．矩阵 a b a 与矩阵 0 b 0 相似的充分必要条件是
1 a 1
0 0 0
（A） a 0,b 2
x
f (t)dt
连续点，但不可导．应
0
选（Ｃ）．
４．设函数
f
(x)
( x
1 1) 1
,1
x
e
，且反常积分
x
1 ln 1
x
,
x
e
f xdx 收敛，则（
）
（A） 2
（B） a 2
（C） 2 a 0
（D） 0 2
【详解】
f (x)dx
1
e dx 1 (x 1) 1
e
．
x0
x
1
【详解】 lim 2 ln(1 x) x
lim1
1
x ln(1 x) x
xln(1 x)
lim
e x0
x2
x(x1 x2 o(x2 )
lim
2
e x0
x2
1
e2 ．
x0
x x0
2013年考研数学二真题及答案解析
方法二：
Q 第二象限中 y > 0 ， x < 0 ，始终 y > x
即 y−x>0
∴ I 2 >0 ∴ 选（B）.
（ ）
(7) 设 A， B， C 均为 n 阶矩阵， 若 AB = C ， 且 B 可逆， 则 (A) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量等价 (B) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量等价 (C) 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量等价 (D) 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量等价 【答案】(B) 【解析】将 A, C 按列分块， A = (α1 ,..., α n ), C = (γ 1 ,..., γ n ) 由于 AB = C ，故
2 n
) （A）
（D）-2
【解析】因为 x = 0时，y = 1 即 f (0) = 1 .
2 Q lim n f ( ) − 1 = lim 2⋅ n →∞ n n →∞
又Q cos( xy ) + ln y − x = 1
2 f ( ) − f (0) n = 2 f '(0) = 2 y ' x = 0 2 −0 n
（6）设 Dk 是圆域 D = ( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1 在第 k 象限的部分，记 I k =
{
}
∫∫ ( y − x)dxdy ,
Dk
(k = 1, 2,3, 4) 则
(A)
（ (B) I 2 > 0 (C) I 3 > 0 (D) I 4 > 0
）
I1 > 0
【答案】 （B） 【解析】方法一：
∫
e
1
（5）设 z =
2013考研数学二真题答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 【答案】（C ）【解析】因为200sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→-==-，所以0limsin ()0x x α→=， 因此当0x →时，()0x α→，所以sin ()()x x αα，所以00sin ()()1lim lim 2x x x x x x αα→→==-，所以()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。
（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 【答案】（A ）【解析】由于(0)1f =，所以2()(0)2lim ()1lim 22(0)2n n f f n n f f n n →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎡⎤'-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 对此隐函数两边求导得()sin()10y y xy xy y ''-++-=，所以(0)1f '=，故2lim ()12n n f n →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导 【答案】（C ） 【解析】0sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x xxtdt x x F x f t dt tdt dt x x ππππππ⎧=-≤<⎪==⎨⎪+=-+≤≤⎩⎰⎰⎰⎰，由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-→+==，所以()F x 在x π=处连续；()()1cos limlim 0x x F x F x x x πππππ→-→+---==--，()()2()lim lim 2x x F x F x x x ππππππ→+→+--==--，所以()F x 在x π=处不可导。
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2013考研数学二真题及参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10)设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线arctan ln x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
（16）（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。
（17）（本题满分10分）设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2Dx dxdy ⎰⎰。
（18）（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =.证明：（I ）存在0,1ξ∈（），使得()1f ξ'=；（II ）存在0,1η∈（），使得()()1f f ηη'''+=。
（19）（本题满分11分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
（20）（本题满分11分） 设函数1()ln f x x x=+， （I ）求()f x 的最小值 （II ）设数列{}n x 满足1ln 1n nx x +<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.（21）（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤，（1）求L 的弧长；（2）设D 是由曲线L ，直线1,x x e ==及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。
（22）（本题满分11分） 设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。
（23）（本题满分11分） 设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2TTααββ+；（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22122y y +。
参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 【答案】（C ）【解析】因为200sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→-==-，所以0limsin ()0x x α→=， 因此当0x →时，()0x α→，所以sin ()()x x αα:，所以00sin ()()1lim lim 2x x x x x x αα→→==-，所以()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。
（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 【答案】（A ）【解析】由于(0)1f =，所以2()(0)2lim ()1lim 22(0)2n n f f n n f f n n →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎡⎤'-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 对此隐函数两边求导得()sin()10y y xy xy y''-++-=，所以(0)1f '=，故2lim ()12n n f n →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导 【答案】（C ）【解析】0sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x xxtdt x x F x f t dt tdt dt x x ππππππ⎧=-≤<⎪==⎨⎪+=-+≤≤⎩⎰⎰⎰⎰， 由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-→+==，所以()F x 在x π=处连续；()()1cos limlim 0x x F x F x x x πππππ→-→+---==--，()()2()lim lim 2x x F x F x x x ππππππ→+→+--==--，所以()F x 在x π=处不可导。
（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<【答案】（D ）【解析】111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩因为11()()()e ef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰，当1x e<<时，11221111111111()lim lim[](1)(1)2(1)2(1)eee f x dx dx dx x x e ααααεεεαεα----→+→+===-------⎰⎰⎰， 要使2111lim[]2(1)αεαε-→+--存在，需满足2α-<0；当x e ≥时，111ln 111lim()ln ln ln ee d x dx x xx αααλαλα+∞+∞++→∞==-+⎰⎰， 要使11lim()ln αλαλ→∞-存在，需满足α>0；所以02α<<。
（5）设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- 【答案】（A ）【解析】已知()yz f xy x=，所以22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，所以11[()()](()())2()x z z f xy yf xy f xy yf xy yf xy y x y x x∂∂'''+=-+++=∂∂。
（6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】（B ）【解析】令cos ,sin x r y r θθ==，则有101()(sin cos )(cos sin )3kk D I y x dxdy rdr r r d ββααθθθθθ=-=-=-+⎰⎰⎰⎰故当2k =时，,2παβπ==，此时有220.3I =>故正确答案选B 。