2018年中考数学(浙江)总复习练习：考点跟踪突破23圆的基本性质

考点跟踪突破23 圆的基本性质
A 组 基础闯关
一、选择题 1．(2017·乐山)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB ＝CD ＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的，根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( B )
A ．2米
B ．2.5米
C ．2.4米
D ．2.1米
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧AMB 上一点，则∠APB 的度数为( D )
A ．45°
B ．30°
C ．75°
D ．60° 3．(2016·杭州)如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与点A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连结BD 交⊙O 于点E.若∠AOB ＝3∠ADB ，则( D )
A ．DE ＝E
B B .2DE ＝EB
C .3DE ＝DO
D ．D
E ＝OB 4．(2017·广州)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连结CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( D )
A ．AD ＝2O
B B ．CE ＝EO
C ．∠OCE ＝40°
D ．∠BOC ＝2∠BAD
,第3题图) ,第4题图) ,第5题图)
5．如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在MN ︵
上，且不与点M ，N 重合，当点P 在MN ︵
上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度( A )
A ．不变
B ．变小
C ．变大
D ．不能确定
二、填空题 6．(2017·包头)如图，点A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，∠BOC ＝2∠AOB ，∠BAC ＝40°，则∠ACB ＝__20__度．
,第6题图) ,第7题图)
7．(2017·株洲)如图，已知AM 为⊙O 的直径，直线BC 经过点M ，且AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D ，E ，∠BMD ＝40°，则∠EOM ＝__80°__．
8．(2017·十堰)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D.若AC ＝6，BD ＝52，则BC 的长为__8__．
9．(2017·襄阳)在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为1和2，则∠BAC 的度数为__15°或105°__．
三、解答题
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵
)．
(1)用直尺和圆规作出AB ︵
所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法) (2)若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求AB ︵
所在圆的半径．
解：(1)作图如图所示：
(2)连结AB ，OB ，OC.设OC 交AB 于点D ，∵AB ＝80 m ，C 为AB ︵
的中点，∴OC ⊥AB.∴AD ＝BD ＝40 m ，CD ＝20 m ．设OB ＝r m ，则OD ＝(r －20)m.在Rt △OBD 中，OB 2＝OD 2＋BD 2，∴r 2＝(r －20)2＋402，解得r ＝50，∴AB ︵
所在圆的半径是50 m.
11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连结BD.
(1)求证：点E 是BD ︵
的中点；
(2)当BC ＝12，且AD ∶CD ＝1∶2时，求⊙O 的半径．
解：(1)证明：连结AE ，DE ，∵AB 是直径，∴AE ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC.∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线，∴DE ＝EB.∴ED ︵＝EB ︵，即点E 是BD ︵
的中点．
(2)设AD ＝x ，则CD ＝2x ，∴AB ＝AC ＝3x ，∴BD 2＝(3x )2－x 2＝8x 2.在Rt △CDB 中，(2x )2＋8x 2＝122，∴x ＝23，∴OA ＝3
2
x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.
B 组 能力提升
12．(2017·潍坊)如图，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连结BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为( C )
A ．50°
B ．60°
C ．80°
D ．90°
,第12题图) ,第13题图)
13．(2017·凉山州)如图，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝__43__．
14．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.
(1)求证：AO 平分∠BAC ；
证明：连结OB.
在△AOB 与△AOC 中，⎩⎨⎧
AB ＝AC ，
OB ＝OC ，AO ＝AO ，
∴△AOB ≌△AOC (SSS )，
∴∠BAO ＝∠CAO ，∴AO 平分∠BAC.
(2)若BC ＝6，sin ∠BAC ＝3
5，求AC 和CD 的长．
解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ， ∴sin ∠BAC ＝CE AC ＝3
5
.
设AC ＝5m (m ＞0)，则CE ＝3m ，
∴AE ＝AC 2－CE 2＝（5m ）2－（3m ）2＝4m ，
BE ＝AB －AE ＝AC －AE ＝5m －4m ＝m.
在Rt △CBE 中，∠BEC ＝90°，BC ＝6，BE ＝m ，CE ＝3m ，∴m 2＋(3m )2＝62. 解得m ＝3105，m ＝－310
5(舍去)．
∴AC ＝5m ＝5×310
5
＝310.
C 组 拓展培优
15．在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ.
(1)如图①，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；
(2)如图②，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．
解：(1)连结OQ ，如图①，∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ，∴OP ⊥AB.在Rt △OBP 中，∵tan ∠B ＝OP OB ，∴OP ＝3tan30°＝3，在Rt △OPQ 中，∵OP ＝3，OQ ＝3，∴PQ ＝OQ 2－OP 2
＝ 6.
(2)连结OQ ，如图②，在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2，当OP 的长最小时，PQ 的长最大，此时OP ⊥BC ，则OP ＝12OB ＝3
2，∴PQ 长的最大值为
9－（3
2
）2＝
33
2
.。