高中数学《函数的概念和图象》文字素材2 苏教版必修1

函数专题赏析1 已知函数()ln f x a x =（a ∈R ）（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：ln x < 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()a f x x =-=①若0a ≤，则()0f x '>在(0,)+∞上恒成立； ②若0a >，则22220()0222440x f x x x a x a x a >⎧'>⇔>⇔⇔>+⎨-->⎩2222()02022440x f x x x a x a x a >⎧'<⇔<⇔<<+⎨--<⎩ 综上所述，有下面结论：若0a ≤，则()f x 在(0,)+∞内单调递增；若0a >，则()f x 在2(0,22a +内单调递减，而在2(22)a ++∞内单调递增（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：函数()ln g x x =在(0,2+内单调递减，而在(2)++∞内单调递增，故当0x >时，有2min ()()(2ln(2(1ln 10g x g x g e ≥=+=+>+-=>，ln x ，即ln x2 已知f(x)=log 2(x+m),m ∈R（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m 的值；（2）如果a,b,c 是两两不等的正数，且a,b,c 依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论解（1）∵f(1),f(2),f(4)成等差数列，∴f(1)+f(4)=2f(2)即log 2(1+m)+log 2(4+m)=log 2(2+m)2 ∴(m+1)(m+4)=(m+2)2即m 2+5m+4=m 2+4m+4 ∴m=0(2) ∵f(a)+f(c)=log 2(a+m)+log 2(c+m)=log 2[(a+m)(c+m)],2f(b)=2log 2(b+m)=log 2(b+m)2, ∵a,b,c 成等比数列， ∴ac b =2∵(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m 2-b 2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b 2-2bm=m(a+c)-2m ac ∵a>0,c>0 ∴a+c ≥2ac ①m>0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0,∴log 2[(a+m)(c+m)>log 2(b+m)2b ∴f(a)+f(c)>2f(b);②m<0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,∴log 2[(a+m)(c+m)]<log 2(b+m)2∴f(a)+f(c)<2f(b);③m=0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2=0∴log 2[(a+m)(c+m)]=log 2(b+m)2∴f(a)+f(c)=2f(b);3 （本小题满分14分）设函数f (x )是定义R 上的奇函数，当x ∈（－∞，0）时，f (x )=2ax +x1（a ∈R )（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）当1,2a =(0,),x ∈+∞时求证：[()](1)2 2.n n n f x f x -+≥-(*)n N ∈ 解：（Ⅰ）设x ∈(0，+∞)，则－x ∈(－∞，0)，f (－x )=－2ax －1x，∵f (x )是奇函数∴f (x )= － f (－x )=2ax +1x，x ∈(0，+∞) ……………4分 而f (0)= f (－0)= － f (0)∴f (0)=0 ………5分12(0)()0(0)ax x f x xx ⎧+≠⎪∴=⎨⎪=⎩ ………6分（Ⅱ）11221211224121224112122241211();211111[()]()()()C C C 1C C C 8111C C C C C C ,2C (n n n n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n a f x x xf x f x x x x x x x x x x x x x x S x x S xx x x S x ------------------==+-=+-+=+++=+++=+++=+++=⋅⋅⋅当时，分令，又所以241224212121212111)C ()C ()101C C C 22(C C C )2(22)[()](1)2214n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x xx xf x f x ----------++++++≥+=+++=-∴-+≥-⋅分分4（理）已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3) （I ）若方程()60f x a += 有两个相等的实数根，求()f x 的解析式； (II)若函数()()g x xf x =的无极值，求实数a 的取值范围 解：(Ⅰ)设2()f x ax bx c =++ （a≠0），则 (1)2f a b c =++=- …… ① (3)936f a b c =++=- …… ②又∵2()660f x a ax bx c a +=+++=有两等根 ∴24(6)0b a c a ∆=-+=…… ③由①②③得1,a 15a =-或＝ 分5 又∵()213f x x >-的解集为（，） ∴a<0, 故163,,555a b c =-=-=-∴2163()555f x x x =--- 分7(Ⅱ)32()(24)3g x ax a x ax =+--+'2()32(24)3g x ax a x a =+--+ 分9∵g(x)无极值∴方程'()0,g x =无实根或有两个相等实根则 224(24)360a a a ≠⎧⎨∆=---≤⎩得227a -≤≤-5 已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++(1) 若(1)0f '-=，求函数y =()f x 在[－32，1]上的最大值和最小值； (2)若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围解 (1)∵(1)0f '-=，∴3210a -+=，即2a = ∴21()3413()(1)3f x x x x x '=++=++由()0f x '>，得1x <-或13x >-； 由()0f x '<，得113x -<<-因此，函数()f x 的单调增区间为3[1]2--，，1[1]3-，；单调减区间为1[1]3--，()f x 在1x =-取得极大值为(1)2f -=；()f x 在13x =-取得极小值为150()327f -=由∵313()28f -=，(1)6f = 且5027>138∴()f x 在[－32，1]上的的最大值为(1)6f =，最小值为313()28f -=(2) ∵32()f x x ax x a =+++，∴2()321f x x ax '=++∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，∴()0f x '=有实数解 …∴244310a =-⨯⨯≥，∴23a ≥，即 a a ≤≥或因此，所求实数a 的取值范围是([3)-∞+∞，， 6．（本题满分14分）已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切,记()()()F x f x g x =（Ⅰ）求实数b 的值及函数()F x 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围 解：（Ⅰ）依题意，令.1,321),()(-=+='='x x x g x f 故得∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的切点为).0,1(- ……………2分 将切点坐标代入函数()f x x b =+可得 1=b ……………5分 或:依题意得方程)()(x g x f =，即0222=-++b x x 有唯一实数解………2分故0)2(422=--=∆b ，即1=b ……………5分∴254)23)(1()(232+++=+++=x x x x x x x F ,故)35)(1(3583)(22++=++='x x x x x F ,令0)(='x F ,解得1-=x ,或35-=x ………………………8分 列表如下 :从上表可知)(x F 在35-=x 处取得极大值274,在1-=x 处取得极小值 ……10分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数)(x F y =大致图象如下图所示……………………………12分作函数k y =的图象,当)(x F y =的图象与函数k y =的图象有三个交点时, 关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根结合图形可知：)274,0(∈k ………………………14分。