第二章习题答案.doc

随机信号分析第二章答案 2.12.2 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos ()2tX t tπ⎧=⎨⎩出现正面出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。

试求： （1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ；（2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ； （3）画出上述分布函数的图形。

2.3 解： （1）一维分布为:()()(;0.5)0.50.51X F x u x u x =+- ()()(;1)0.510.52X F x u x u x =++-(2) cos ()2t X t tπ⎧=⎨⎩出现正面出现反面{}{}(0.5)0,(1)1,0.5(0.5)1,(1)2,0.5X X X X ==-==依概率发生依概率发生二维分布函数为()()121212(,;0.5,1)0.5,10.51,2F x x u x x u x x =++--2.3 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

试问， （1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？ （2）连续4位构成的串的平均串是什么？ （3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？ 2.4解： 解：（1）{}()()()()101111021310.80.20.80.80.1024P P B n P B n P B n P B n ⎡⎤⎣⎦==⋅+=⋅+=⋅+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⨯⨯⨯=（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。

所以有：串（4bit数据）为：∑=+=30)(2)(k kk n B n X ，其矩特性为：因为随机变量)(n B 的矩为：均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E方差：[]()(){}222222()00.210.80.80.80.80.16Var B n B n B n ⎡⎤=E -E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⨯+⨯-=-=所以随机变量)(n X 的矩为： 均值：[]3033[()]2()2()20.812k k kkk k E X n E B n k E B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑方差：()[]3033200[()]2()2()40.1613.6k k kkk k D X n D B n k D B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为： 串平均：()()()(){}{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦串方差：()()()(){}{},1,2,30.16,0.16,0.16,0.16Var B n B n B n B n ⎡⎤+++⎣⎦=（3）概率达到最大的串为{}1,1,1,1 （4）该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。

所以如果见到10111后，下一位仍为0或 1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

2.4 正弦随机信号{X (t,s )=A cos(200πt ), t >0}, 其中振幅随机变量A 取值为1和0，概率分别为0.1和0.9，试问， （1）一维概率分布F (x ,5)；（2）二维概率分布F (x , y , 0, 0.0025)； （3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？ （4）如果开启后t=1时刻测得输出电压为1伏特，问t=2时刻可能的输出电压是什么？概率多少？它是可预测的随机信号吗？解：（1）()()cos 2005X t A π=⨯(5)X A =()()();50.110.9F x u x u x =-+（2）{}{}(0)1,(0.0025)0,0.1(0)0,(0.0025)0,0.9X X X X ====依概率发生依概率发生()()(),;0,0.00250.110.9,F x y u x y u x y =-+，（3）因为[]00.9P A ==，所以开启该设备后90%的情况会见到无电压(A = 0) 。

（4）t = 1时刻 ，有()(),cos 20011X t s A A π=⨯==，可得A=1； t = 2时刻 ，有()(),cos 20021X t s A A π=⨯==；因为在A=1的前提下，t=2时刻输出电压为确定值 1 ，所以()()()21111P X X ⎡⎤===⎣⎦。

它是可预测的随机信号。

解题关键：理解本随机信号中只有一个随机变量A ，而它的值只在初始时是不确定的，一旦A 的值确定了，信号变成了确定信号。

2.5 若正弦信号()cos()X t A t ω=+Θ，其中振幅A 与频率ω取常数，相位Θ是一个随机变量，它均匀分布于[],ππ-间，即1,()20f πθπθπ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他求在t 时刻信号()X t 的概率密度()()X tf x 。

解：注意到()X t 是Θ的函数，并且，arccos x t A θω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦。

对于任意给定的t ω，()cos()X t A t ω=+Θ随Θ可能有多个单调段。

但在每个单调段上都有，()1()[()]()2X t f x f x x θθπΘ'==⨯因此，()()0X t x Af x <=⎩其他2.6 设质点运动的位置如直线过程 0()X t Vt X =+，其中(1,1)V N 与0(0,2)X N ，并彼此独立。

试问：（1） t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？（2） 它是可预测的随机信号吗？2.7 解：（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布00[()][][][]E X t E Vt X tE V E X t =+=+= 2200[()][][][]2D X t D Vt X t D V D X t =+=+=+所以它的一维概率密度函数为:221()()exp{}2(2)X x t f x t -=-+(2) 此信号是可预测随机信号2.7 假定（-1,+1）的伯努利序列 {},1,2,...n I n = 的取值具有等概特性。

试问： （1） 它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？（2） 它是可预测的随机信号吗？ 2.8 解：(1) ()0.5(1)0.5(1)I f i i i δδ=++-[]0.5(11)0n E I =-=12121121212212(,)(,)[][]0,[]1n n n n n C n n R n n E I I E I E I n n n n E I ⎡⎤==⎣⎦=⎧≠⎪=⎨==⎪⎩(2) 该随机信号不可预测2.82.9 给定随机过程()X t 和常数a ，试以()X t 的自相关函数来表示差信号()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

2.10 解： 由题意可得：[][]{}[][][][]121211221212121212121212(,)[()()]()()()()()()()()()()()()(,)(,)(,)(,)Y X X X X R t t E Y t Y t E X t a X t X t a X t E X t a X t a E X t a X t E X t X t a E X t X t R t a t a R t a t R t t a R t t ==+-+-=++-+-++=++-+-++2.10 两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A 与B 为未知分布随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A 、B 与Θ两两统计独立，ω为常数，试问， （1）两个随机信号的互相关函数),(21t t R XY ； （2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）性与统计独立性； 解：（1）()()[]()sin sin 0X t A t E A t ωωE =E +Θ=⋅E +Θ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()cos 0Y t B t ωE =E +Θ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()()()[][]()()()()[][]()()()(){}[][]()()121212121121212122,,sin cos 1sin sin 1sin sin 221sin 222XY XY R t t C t t X t Y t A t B t A B A B t t t t A B t t t t t t ωωωωωωω==E ⎡⎤⎣⎦=E +Θ⋅+Θ⎡⎤⎣⎦⎡⎤=E ⋅E ⋅E -+++Θ⎣⎦⎡⎤⎡⎤=E E --E ++Θ⎣⎦⎣⎦⎡⎤=E E -⎣⎦（2）①如果E[A]或E[B]为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t ==，随机信号X(t)与Y(t)正交 且互不相关；②如果E[A]与E[B]均不为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t =≠，X(t)与Y(t)不正交，相关；③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。

且()()221X t Y t A B ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2.112.12 假定正弦电压信号()()cos X t A t ω=+Θ，其中，A 服从均匀分布(1,1)U -+，Θ服从均匀分布(,)U ππ-+，它们彼此独立。

如果信号施加到RC 并联电路上，求总的电流信号及其均方值。

题2.13解：由电路原理的相关知识可知：()()c o s X t A t ω=+Θ()cos()sin()A i t t AC t Rωωω=+Θ-+Θ，则()22222222222122221[]cos()sin()[cos ()sin(22)sin ()]1661123E i t A E t AC t R A A C E t t R RA C t E A a da C Rωωωωωωωωω-⎡⎤⎛⎫=+Θ-+Θ⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+Θ-+Θ++Θ==⎦+⎡⎤=⎣⎰2.132.14 零均值高斯信号()X t 的自相关函数为1212(,)0.5e t tX R t t --=，求()X t 的一维和二维概率密度。