最新北师大版八年级数学下册-专题课堂(三) 旋转与三角形的综合应用
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2025年北师大版八年级下册数学期末复习专题8 旋转的性质在几何中的应用
= 2( + 2)．
在Rt△中，由勾股定理得
2 + (6 − )2 = [ 2( + 2)]2 ，解得
=
7
．
5
∴ =
23
,
5
1
2
=
∴ △ = ×
7
.
5
23
5
7
5
× =
161
．
50
返回
应用4 运用旋转的性质进行推理
5.母题教材P89复习题T11 如图,在
△中,∠ = 90∘ , = ,
由旋转可知∠ = ∠, = = 3,
= ,∠ = 90∘ .
∴ ∠ = 90∘ − ∠ = 45∘ = ∠.
又∵ = , ∴ △≌△(SAS). ∴ = .
∵ = ,∠ = 90∘ , ∴ ∠ = ∠ = 45∘ .
返回
6.如图①,等腰直角三角形的直角顶点为正方形的
中心,点,分别在和上.现将△绕点逆时针旋转
(0∘ < < 90∘ ),连接,（如图②）.
∘−
90
（1）图②中,∠ =_______
（用含 的式子表示）;
（2）在图②中猜想与的数量关系,并证明你的结论.
∴ ∠ = 135∘ .
返回
3.
如图,在△中, = ,
∠ = 90∘ ,点,在上,且∠ = 45∘ .
（1）画出将△绕点逆时针旋转90∘ 后的三角形；
【解】如图,△即为所求.
（2）若 = 3, = 4,求的长.
连接,如图所示.
是边上一点（点不与点,重
合）,连接,将线段绕点逆时
针旋转90∘ 得到线段,连接交于点,连接.
北师大版数学八年级下册3.旋转及其性质课件
当堂小练
2.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上 点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC的延长线上， 下列结论错误的是( C ) A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
拓展与延伸
如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝ 3, AB＝1.将△ABO绕O点旋
点C和点E是对应点 D．点D是旋转中心，
点A和点D是对应点
新课讲授
知识点2 旋转的性质
旋转的基本性质: (1)旋转不改变图形的大小和形状． (2)图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动
了相同的角度. (3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度
都是旋转角． (4)对应点到旋转中心的距离相等．
新课讲授
新课讲授
练一练
如图，四边形ABCD经过旋转后与四边形ADEF重合. (1)指出这一旋转的旋转中心和旋转角； (2)写出图中相等的线段和相等的角.
解：(1)旋转中心为A； 旋转角有∠BAD， ∠CAE，∠DAF.
C E
新课讲授
(2)相等的线段：AB＝AD，AC＝AE，AD＝AF， BC＝DE，CD＝EF，AB＝AF； 相等的角：∠BAC＝∠DAE， ∠BAD＝∠CAE＝∠DAF，∠CAD＝∠EAF， ∠ABC＝∠ADE，∠ADC＝∠AFE， ∠BCD＝∠DEF，∠BCA＝∠DEA， ∠ACD＝∠AEF.
A
B
旋转角
o
新课讲授
典例分析
例
下列运动属于旋转的是( B )
A．篮球的滚动
B．钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某条直线对折的过程
分析：按旋转的定义判断．
【最新】北师大版数学八年级下册第三章《图形的旋转 2》公开课课件.ppt
大小关系是（ ∠AOD=∠BOE)
如图,如果旋转中心在△ABC
的外面点O处，逆时针转动 90°，将整个△ABC旋转到
C′
B′
△ A′ B′C′ 的位置，那么这两
个三角形的顶点、边与角是
如何对应的呢？
0 · 90°
A′ C
A B
例1、如图，△ABC是等边
A
三角形，D是BCห้องสมุดไป่ตู้一点，
△ABD经过旋转后到达
解: 方案一: 把正方形ABCD绕点D
顺时针旋转90°.
B
方案二: 把正方形ABCD绕点C
逆时针旋转90°.
A
方案三: 把正方形ABCD绕CD的 中点O旋转180°.
C F
·O
D
E
例3、如图11.2.7（1）点M是线段AB上一点， 将线段AB绕着点M顺时针方向旋转90，旋转后 的线段与原线段的位置有何关系？，如果逆时 针方向旋转90呢？
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
图形的旋转
旋转木马
旋转飞机
动动脑筋：以上这些转运动有什么共同的特征？
荡秋千也是我们日常生活中 常见的旋转运动，我们一起来 仔细观察一下．
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿 某个方向转动一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
这个定点O 称为旋转中心
o 旋转中心
如图,如果旋转中心在△ABC
的外面点O处，逆时针转动 90°，将整个△ABC旋转到
C′
B′
△ A′ B′C′ 的位置，那么这两
个三角形的顶点、边与角是
如何对应的呢？
0 · 90°
A′ C
A B
例1、如图，△ABC是等边
A
三角形，D是BCห้องสมุดไป่ตู้一点，
△ABD经过旋转后到达
解: 方案一: 把正方形ABCD绕点D
顺时针旋转90°.
B
方案二: 把正方形ABCD绕点C
逆时针旋转90°.
A
方案三: 把正方形ABCD绕CD的 中点O旋转180°.
C F
·O
D
E
例3、如图11.2.7（1）点M是线段AB上一点， 将线段AB绕着点M顺时针方向旋转90，旋转后 的线段与原线段的位置有何关系？，如果逆时 针方向旋转90呢？
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
图形的旋转
旋转木马
旋转飞机
动动脑筋：以上这些转运动有什么共同的特征？
荡秋千也是我们日常生活中 常见的旋转运动，我们一起来 仔细观察一下．
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿 某个方向转动一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
这个定点O 称为旋转中心
o 旋转中心
北师大版数学八年级下册第三章《 3.2.图形的旋转》公开课课件
A′
系，你能说明理由吗？
B
C
拓展提升训练：
※巧用变换思想，灵活求解面积
m
1.如图所示的图案是一 个轴对称图形(不考虑颜 色)，直线m是它的一条 对称轴.已知图中圆的半 径为r,求你能借助轴对 称的方法求出图中阴影 部分的面积吗？说说你 的做法。
m
解：以直线m为对称轴，把m左边绿色部 分反射到m的右边，那么它们的像恰好填 补了右边的白色部分，所以图中的绿色部 分面积等于半个圆的面积，也就是 1 r 2
1、如下图，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，
在这个旋转过程中，旋转中心是__点__O___，旋转角是∠_M__O__N__，它是_9_0____°.
2、如图，在下列四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是（B ）
3。 如图5，△ACE、△ABF都是等腰三角形， ∠BAF=∠CAE=90°，
∠APB=135 °，求PC的长。
P
（4）若PA2+PC2=2PB2，
请说明点P必在对角线AC上。 B
C
P'
（3）∠BDC的度数是 15
度．
课堂小结：
谈谈这节课你有哪些收获。
布置作业：
任画一个三角形，做平面内任选一点O， 画出三角形绕点O旋转60°后的图形。
课后反思，总结经验。
， 。
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!
例2. P是正方形内一点，将△ ABP绕点B顺时针方向旋转
2.图形的
独具慧眼
返回
在平面内，将一个图形绕一个定 点按某个方向转动一个角度，这 样的图形运动称为旋转，这个定 点称为旋转中心，转动的角称为 旋转角。旋转的特点：旋转不改 变图形的形状和大小。旋转前后 两图形全等。
2022年北师大版八年级数学下学期第三章《3.2.1图形的旋转以及旋转的性质》教案(4)
五、教学反思
在今天的教学中，我引导学生们进入了图形旋转的世界。整个教学过程下来，我发现了一些值得注意的地方。
在导入新课环节，通过日常生活中的旋转现象引入课题，学生们表现得相当感兴趣，互动也很积极。这说明从生活情境出发，能够有效地激发学生的学习兴趣，使他们更愿意投入到新的知识点学习中。
在新课讲授环节，我发现大部分学生能够跟上课程的节奏，理解图形旋转的基本概念和性质。但在讲解旋转作图时，部分学生出现了作图不准确的问题。这说明旋转作图这一技能还需要在后续的教学中加强练习和指导。
3.了解旋转的性质，如旋转前后图形全等、对应点与旋转中心所连线段相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角等。
4.应用旋转性质解决实际问题，如设计图案、计算旋转角度等。
教学内容主要包括：
（1）旋转的定义与基本要素；
（2）旋转的作图方法；
（3）旋转的性质；
（4）旋转在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念，通过旋转图形的观察和操作，提高学生对二维和三维图形变换的理解能力。
2.强化学生逻辑推理和数学思维能力，使其能够运用旋转性质进行问题的分析和解决。
3.培养学生的几何作图技能，提高实践操作和创新能力，能够准确地完成图形的旋转作图。
4.激发学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，增强数学应用意识，培养解决生活中旋转问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调旋转中心、旋转方向和旋转角度这三个重点。对于难点部分，如旋转作图的准确性，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与图形旋转相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示图形旋转的基本原理。
在今天的教学中，我引导学生们进入了图形旋转的世界。整个教学过程下来，我发现了一些值得注意的地方。
在导入新课环节，通过日常生活中的旋转现象引入课题，学生们表现得相当感兴趣，互动也很积极。这说明从生活情境出发，能够有效地激发学生的学习兴趣，使他们更愿意投入到新的知识点学习中。
在新课讲授环节，我发现大部分学生能够跟上课程的节奏，理解图形旋转的基本概念和性质。但在讲解旋转作图时，部分学生出现了作图不准确的问题。这说明旋转作图这一技能还需要在后续的教学中加强练习和指导。
3.了解旋转的性质，如旋转前后图形全等、对应点与旋转中心所连线段相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角等。
4.应用旋转性质解决实际问题，如设计图案、计算旋转角度等。
教学内容主要包括：
（1）旋转的定义与基本要素；
（2）旋转的作图方法；
（3）旋转的性质；
（4）旋转在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念，通过旋转图形的观察和操作，提高学生对二维和三维图形变换的理解能力。
2.强化学生逻辑推理和数学思维能力，使其能够运用旋转性质进行问题的分析和解决。
3.培养学生的几何作图技能，提高实践操作和创新能力，能够准确地完成图形的旋转作图。
4.激发学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，增强数学应用意识，培养解决生活中旋转问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调旋转中心、旋转方向和旋转角度这三个重点。对于难点部分，如旋转作图的准确性，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与图形旋转相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示图形旋转的基本原理。
北师大版八年级下册3.2图形的旋转
3.2 图形的旋转类型教具课件教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课1、【课堂引入】这是我们祖先在公元前400年的奇特发明，被公认为直升机发展史的起点。
从而引出我国国产直升机，今年又是我国建国70周年，我国军事实力位居世界第二，航天技术位居世界第三，我们为我们的祖国而骄傲。
希望同学们学好知识，为中国的科技创新事业贡献自己的一份力量，将来祖国因你而豪。
2、【新授课】【探究1】旋转的定义向学生展示有关的图片，引导学生列举出一些具有旋转现象的生活实例：举例中国古代发明“竹蜻蜓”，它为直升机的发明创造了启示，让学生为我国古代祖先点赞。
紧接着介绍我国国产直升机以及中国的军事实力和航天科技，增强学生的爱国热情，学好知识为祖国的科技创新事业贡献自己的力量，进行德育渗透。
举一些生活练习2:四边形O A′B′C′是由四边形O ABC按逆时针方向旋转一定的角度而成的. 图中的旋转中心是，点A的对应点是，BC的对应线段是，∠C的对应角是旋转角是【探究2】旋转的性质1、活动步骤：请大家拿出课前准备好的学具：（1）在彩色卡纸下面放一张白纸；（2）在（被挖掉的）三角形外找一点用图钉固定，这个点标记为点O；（3）在卡纸上描出这个三角形（△ABC )；（4）围绕图钉顺时针转动卡纸任意一个角度，再从卡纸上描出这个三角形(△A′B′C′），移开卡纸．2、探究的问题：及时巩固旋转的定义以及三要素，练习1，利用物理中的杠杆撬重物，动画演示旋转过程，贴近生活，让学生感受到数学来源于数学应用于数学；练习2，巩固旋转的三要素，尤其是旋转角，找旋转角是本节课的难点。
小组合作探究，让学生亲身经历数学知识发生、发展、形成的过程或让学生参与探索数学问题解决的全过程，给出相对充何画板验证旋转的性质。
活动三：开放训练体现应用欣赏美丽图案【应用举例】勇攀高峰如图3：△ABC是等边三角形，D是BC边上的一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
最新数学北师大版八年级下册图形的旋转与旋转的性质ppt课件
对应角相等任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角旋转后的图形与原图形全等
数学北师大版八年级下册图形的 旋转与旋转的性质
观察思考
以上情景中的转动现象，有什么共同特 征？
你还能举一些类似的例子吗？ 转动过程中，其形状、大小、位置是 否发生改变？
图形的旋转
• 你能否观察发现旋转的性质？
一个图形与它经过旋转所得的图形中 1. 对应线段相等 2.对应角相等 3. 对应点到旋转中心的距离相等 4. 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋
转角 5. 旋转后的图形与原图Hale Waihona Puke 全等。 （旋转不改变图形的形状和大小）
知识点归纳
1. 旋转的定义：
一个图形、一个定点、一个方向、一个角度. 2. 旋转的性质： 对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角； 对应点到旋转中心的距离相等； 对应线段相等； 对应角相等； 旋转不改变图形的形状和大小。 3. 旋转图形的形成： 基本图形、旋转中心、方向、旋转角.
• 如果当事人发出的意思表示，是希望他
人向自己发出要约的意思表示，则该意思表 示为要约邀请。要约邀请有两个特点：
(1)要约邀请是一种意思表示； (2)要约邀请是希望他人向自己发出要约 的意思表示，这是与要约的本质区别。例如， 旅行社在其宣传资料写明：“云南丽江、香 格里拉双飞六日游，超值低价”。这个意思 表示对不特定人发出，且不包含订立合同的 主要条款，该意思表示构成要约邀请。 • 我国《合同法》明确规定，寄送的价目 表、拍卖广告、招标广告、招股说明书、商 业广告为要约邀请。但商业广告的内容符合 要约规定的，例如在商业广告上注明了是要 约的，且内容具体明确并注明只要受要约人 承诺，广告者即受该承诺约束的，应视为要 约。
数学北师大版八年级下册图形的 旋转与旋转的性质
观察思考
以上情景中的转动现象，有什么共同特 征？
你还能举一些类似的例子吗？ 转动过程中，其形状、大小、位置是 否发生改变？
图形的旋转
• 你能否观察发现旋转的性质？
一个图形与它经过旋转所得的图形中 1. 对应线段相等 2.对应角相等 3. 对应点到旋转中心的距离相等 4. 任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋
转角 5. 旋转后的图形与原图Hale Waihona Puke 全等。 （旋转不改变图形的形状和大小）
知识点归纳
1. 旋转的定义：
一个图形、一个定点、一个方向、一个角度. 2. 旋转的性质： 对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角； 对应点到旋转中心的距离相等； 对应线段相等； 对应角相等； 旋转不改变图形的形状和大小。 3. 旋转图形的形成： 基本图形、旋转中心、方向、旋转角.
• 如果当事人发出的意思表示，是希望他
人向自己发出要约的意思表示，则该意思表 示为要约邀请。要约邀请有两个特点：
(1)要约邀请是一种意思表示； (2)要约邀请是希望他人向自己发出要约 的意思表示，这是与要约的本质区别。例如， 旅行社在其宣传资料写明：“云南丽江、香 格里拉双飞六日游，超值低价”。这个意思 表示对不特定人发出，且不包含订立合同的 主要条款，该意思表示构成要约邀请。 • 我国《合同法》明确规定，寄送的价目 表、拍卖广告、招标广告、招股说明书、商 业广告为要约邀请。但商业广告的内容符合 要约规定的，例如在商业广告上注明了是要 约的，且内容具体明确并注明只要受要约人 承诺，广告者即受该承诺约束的，应视为要 约。
2017年春北师大版八年级数学下册3.6《专题课堂(三)：旋转与三角形的综合应用》ppt课件
∠FCE，在△BCD和△FCE中，BC＝FC，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，
∴△BCD≌△FCE(SAS) (2)∵△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E，又
∵EF∥CD，∴∠DCE＋∠E＝180°，又∵∠DCE＝90°，∴∠BDC
＝∠E＝90°
等腰(边)三角形与旋转 例2 由正多边形的定义可知等边三角形的三平移与旋转
专题课堂(三) 旋转与三角形的综合应用
共顶点的图形旋转与全等
例1
如图，把一个直角三角形ABC(∠ACB＝90°)绕着顶点B顺时针旋
转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置，F， G分别是BD，BE上的一点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H.
(1)求证：CF＝DG；
等于60°.如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形． (1)试确定AE，BD之间的大小关系； (2)若把△CDE绕C点按逆时针旋转到图②的位置时，上述结论仍成立吗？ 请说明理由．
解：(1)AE＝BD.理由：在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝
∠BCD，EC＝DC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD
解： ∵∠ BAP ＝ ∠ BAE ＋ ∠ EAP ＝ 60°＋ ∠ EAP ， ∠ EAQ ＝ ∠ QAP ＋
∠ EAP ＝ 60°＋ ∠ EAP ， ∴∠ BAP ＝ ∠ EAQ ， 在 △ ABP 和 △ AEQ 中 ，
AB ＝ AE ， ∠ BAP ＝ ∠ EAQ ， AP ＝ AQ ， ∴ △ ABP≌△AEQ(SAS) ，
(2)成立．∵∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，EC＝DC， ∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD
2024北师大版数学八年级下册3.2《图形的旋转》教案
2024北师大版数学八年级下册3.2《图形的旋转》教案一. 教材分析《图形的旋转》是北师大版数学八年级下册3.2的内容。
本节课主要让学生理解旋转的性质，学会用旋转的观点来分析和解决问题。
通过本节课的学习，学生能够掌握图形旋转的定义，理解旋转中心、旋转角、旋转前后的对应点等概念，并能够运用这些概念解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了图形的平移、翻转等变换，对图形的变换有一定的了解。
但学生对旋转的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和操作来加深理解。
此外，学生可能对坐标系中的旋转问题感到困惑，需要教师进行有针对性的讲解和辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解旋转的性质，掌握图形旋转的定义，学会用旋转的观点来分析和解决问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，自主学习，体验成功解决问题的乐趣，增强对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解旋转的性质，掌握图形旋转的定义。
2.难点：学生能够理解旋转中心、旋转角、旋转前后的对应点等概念，并能够运用这些概念解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和实际问题，引发学生的兴趣和思考，引导学生主动探索和解决问题。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考和讨论，激发学生的学习积极性和创造力。
3.合作学习法：学生分组讨论和操作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.归纳总结法：教师引导学生总结旋转的性质和应用，帮助学生形成知识体系。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括图片、动画、实例等，帮助学生直观地理解旋转的概念和性质。
2.教学素材：准备一些实际的图形和问题，用于引导学生操作和思考。
3.坐标系图：准备一些坐标系图，方便学生理解和解决坐标系中的旋转问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的旋转现象，如旋转门、旋转木马等，引导学生关注旋转现象，并提出问题：“什么是旋转？旋转有哪些特点？”2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现旋转的定义和性质，如旋转中心、旋转角、旋转前后的对应点等，并用实例进行解释和演示。
【最新】北师大版数学八年级下册第三章《 3.2.图形的旋转》公开课课件.ppt
E
C A
B
D
5.如图3，两个相同的正方形纸片ABCD和EFGH， 将纸片EFGH的一个顶点E，放在纸片ABCD对 角线的交点O处，那么正方形纸片EFGH绕点O 无论怎样旋转，两个正方形纸片重叠部分的面
积总等于一个正方形面积的 1 ，你能说明为什么吗？
4
A O
E
D H
B
C
F
G
图1
A O
E BБайду номын сангаасF
G
图2
（2）连接CD，可判断△CDB的形状是 等腰
三角形；
（3）∠BDC的度数是 15
度．
课堂小结：
谈谈这节课你有哪些收获。
布置作业：
任画一个三角形，做平面内任选一点O， 画出三角形绕点O旋转60°后的图形。
课后反思，总结经验。
， 。
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!
例2. P是正方形内一点，将△ ABP绕点B顺时针方向旋转
； ；
∠AOB的对应角是 ∠COD
；
∠B的对应角是
∠D
；
旋转中心是
点O
；
旋转角是 ∠AOC, ∠BOD
。
A
B C
D
1、如下图，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，
在这个旋转过程中，旋转中心是__点__O___，旋转角是∠_M__O__N__，它是_9_0____°.
2、如图，在下列四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是（B ）
至与△CBP′重合，若PB=3，求PP′的长。
解：由旋转的性质可知 BP=BP′， ∠ PBP=∠ABC=90°
A
D
P
∴ △ PBP ′是等腰直角三 角形。
C A
B
D
5.如图3，两个相同的正方形纸片ABCD和EFGH， 将纸片EFGH的一个顶点E，放在纸片ABCD对 角线的交点O处，那么正方形纸片EFGH绕点O 无论怎样旋转，两个正方形纸片重叠部分的面
积总等于一个正方形面积的 1 ，你能说明为什么吗？
4
A O
E
D H
B
C
F
G
图1
A O
E BБайду номын сангаасF
G
图2
（2）连接CD，可判断△CDB的形状是 等腰
三角形；
（3）∠BDC的度数是 15
度．
课堂小结：
谈谈这节课你有哪些收获。
布置作业：
任画一个三角形，做平面内任选一点O， 画出三角形绕点O旋转60°后的图形。
课后反思，总结经验。
， 。
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!
例2. P是正方形内一点，将△ ABP绕点B顺时针方向旋转
； ；
∠AOB的对应角是 ∠COD
；
∠B的对应角是
∠D
；
旋转中心是
点O
；
旋转角是 ∠AOC, ∠BOD
。
A
B C
D
1、如下图，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，
在这个旋转过程中，旋转中心是__点__O___，旋转角是∠_M__O__N__，它是_9_0____°.
2、如图，在下列四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是（B ）
至与△CBP′重合，若PB=3，求PP′的长。
解：由旋转的性质可知 BP=BP′， ∠ PBP=∠ABC=90°
A
D
P
∴ △ PBP ′是等腰直角三 角形。
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∠FCE，在△BCD和△FCE中，BC＝FC，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE，
∴△BCD≌△FCE(SAS) (2)∵△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E，又
∵EF∥CD，∴∠DCE＋∠E＝180°，又∵∠DCE＝90°，∴∠BDC3＝
∠E＝90°
2019/11/12
等腰(边)三角形与旋转 例2 由正多边形的定义可知等边三角形的三条边都相等，每个内角都 等于60°.如图①，△ABC，△CDE都是等边三角形． (1)试确定AE，BD之间的大小关系； (2)若把△CDE绕C点按逆时针旋转到图②的位置时，上述结论仍成立吗？ 请说明理由．
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2019/11/12
解：(1)AE＝BD.理由：在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝ ∠BCD，EC＝DC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD (2)成立．∵∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，在 △ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，EC＝DC， ∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD
第３章 图形的平移与旋转
专题课堂(三) 旋转与三角形的综合应用
共顶点的图形旋转与全等 例1 如图，把一个直角三角形ABC(∠ACB＝90°)绕着顶点B顺时针旋转 60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置，F，G分别 是BD，BE上的一点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H. (1)求证：CF＝DG； (2)求∠FHG的度数．C中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上， CF＝CB，连接CD，将线CD绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CE， 连接EF. (1)求证：△BCD≌△FCE； (2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
解：(1)∵∠BCD＋∠DCF＝∠FCE＋∠DCF＝90°，∴∠BCD＝
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2019/11/12
变式练习 2．如图，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上 任意一点(点P与点B不重合)，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转 60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F.求∠QFC的度数．
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2019/11/12
解：∵∠BAP＝∠BAE＋∠EAP＝60°＋∠EAP，∠EAQ＝∠QAP＋ ∠EAP＝60°＋∠EAP，∴∠BAP＝∠EAQ，在△ABP和△AEQ中， AB ＝ AE ， ∠ BAP ＝ ∠ EAQ ， AP ＝ AQ ， ∴ △ ABP≌△AEQ(SAS) ， ∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，∴∠BEF＝180°－∠AEQ－∠AEB＝180° －90°－60°＝30°，∠EBF＝∠ABP－∠ABE＝90°－60°＝30°， ∴∠QFC＝∠EBF＋∠BEF＝30°＋30°＝60°
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2019/11/12
解：证明：(1)由旋转的性质可知BC＝BD，∠ABC＝∠EBD，在
△CBF和△DBG中，BC＝BD，∠CBF＝∠DBG，BF＝BG，
∴△CBF≌△DBG(SAS)，∴CF＝DG (2)∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF＝∠BDG，又∵∠CFB＝∠DFH，∴∠DHF＝∠CBF＝60°2，
∴∠FHG＝180°－∠DHF＝180°－60°＝120°