苏州大学602高等数学(F)10-15年真题
2015年江苏高考数学答案详细解析版
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】 试题分析：{123}{245}{12345}5AB ==，，，，，，，，，个元素考点：集合运算2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6考点：平均数3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 5 【解析】试题分析：22|||34|5||5||5z i z z =+=⇒=⇒=考点：复数的模4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.【答案】7 【解析】试题分析：第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S =S ←1 I ←1While I <10 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S（第4题图）考点：循环结构流程图5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6考点：古典概型概率6.已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 考点：向量相等7.不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
2015江苏高考数学试题详细解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I 解析一．填空题：（70分）1. 已知集合{}1,2,3A =，{}2,4,5B =，则集合A B U 中元素个数为_____5______。
因为{}12345A B =U ，，，，，所以A B U 中元素个数为5个。
2. 已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数是__6________。
因为1(4+6+5+8+7+6=66x =），所以平均数为6. 3. 设复数z 满足234z i =+，（i 是虚数单位），则z 的模是。
设z a bi =+，则22()234a b abi i -+=+，由22324a b ab ⎧-=⎨=⎩解得21a b =±⎧⎨=±⎩，故z ==4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为______7__________。
112233441,1,3,45,77,97S I S I S I S I S ==→==→==→==→=输出5. 袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，这2只球颜色不同的概率为_______56_________。
任取2只球颜色相同的概率为22241=6C P C =同，则5=6P 异。
6. 已知向量(2,1)a =r ，(1,2)b =-r ，若(9,8),(,)ma nb m n R +=-∈r r ，则m n -的值为_____3-_____。
因为2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，所以25m n =⎧⎨=⎩3m n ⇒-=- 7. 不等式224x x -<的解集为__(1,2)x ∈-_____________。
由于 ()2x f x =单调递增，所以原不等式等价于2212x x x -<⇒-<<8. 已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为_________3_________。
苏州大学2015届高考考前指导卷1吴(第8稿)
苏州大学2015届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，则AB = ▲ ．2．实数,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋2i 与2－b i 互为共轭复数，则a b += ▲ ． 3．双曲线222x y -=的右准线方程为 ▲ ．4．一组数据：9.8，10.1，10，10.2，9.9，则该组数据的方差为 ▲ ．5．如右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．6．设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0，0)成中心对称，且x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝ ▲ ． 7．已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，则m n += ▲ ．8．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6．则数列{a n }的通项公式为 ▲ ．9．已知点(),P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤那么点P 到直线34130x y --=的距离的最小值为 ▲ ．10．如图，沿格子型路线从点A 到点C ，如果只能向右、向上走，则经过点B 的概率是 ▲ ．11．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11r h+= ▲ ． 12．在△ABC 中，已知M 为BC 的中点，若3AN NB =，MN AM AC λμ=+（,λμ∈R ），则λμ+的值为 ▲ ． 13．已知函数24,22|2|, 0()3, 46,x x x x f x ---<=⎨⎩-⎧≤≤≤若存在12, x x ，当12406x x <≤≤≤时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，若存在非零实数t ，使得()12f t f t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则224a b +的最小值为 ▲ ．（第10题图）图C BA（第12题图）（第5题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足Bb Aacos 3sin =．（1）求B ∠；（2）若点M 为BC 中点， 且AM AC =，求sin BAC ∠的值． 16．（本小题满分14分）如图所示，已知在五棱锥–P ABCDE 中，底面ABCDE 为凸五边形，2AE DC ==，3AB BC ==，1DE =，120EAB BCD CDE DEA ∠=∠=∠=∠=︒，F 为AE 上的点，且32AF =，平面PAE 与底面ABCDE 垂直．求证：（1）//BC 平面PAE ；（2）PA FC ⊥．MCBA（第15题图）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别是椭圆G :2214x y +=的左、右顶点，()()2,,0P t t t ∈≠R 且为直线2x =上的一个动点，过点P 任意作一条直线l 与椭圆G 交于C ，D ，直线PO 分别与直线AC ，AD 交于E ，F .（1）当直线l 恰好经过椭圆G 的右焦点和上顶点时，求t 的值； （2）记直线AC ，AD 的斜率分别为12,k k .①若1t =-，求证：1211k k +为定值；②求证：四边形AFBE 为平行四边形.（第18题图）已知数列{}n a 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且2415a a a a +=+，798a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++ 成立的所有正整数m 的值；（3）在数列{}n a 的奇数项中任取s 项，偶数项中任取k 项（s ，k ∈N *，s ＞1，k ＞1），按照某一顺序排列后成等差数列，当s ＋k 取最大值时，求所有满足条件的数列． 20．（本小题满分16分）已知函数2()2ln ()2x f x ax x a =++∈R 有一个极值点为1x =． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）设函数F (x )＝()(2)f x f x +，当3[, 1)4t ∈时，比较()F t 与(1)F 的大小． （3）若方程() ()f x m m =∈R 有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<, 证明：12(2,3)x x +∈．(参考数据ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，ln 5 1.6094≈)苏州大学2015届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．(1, 2) 2．4 3．x = 1 4．0.02 5．25 6．－π6 7．128．a n ＝－5n ＋40 9．2 10．47 11．3 12．14- 13．[1, 4] 14．165二、解答题15. 解（1）由正弦定理得B bA a sin sin =，又有Bb A a cos 3sin =， 所以B B cos 3sin =，即2cos()06B π+=，所以,62B k k ππ+=π+∈Z ，又0B <<π，所以3B π=．(2)由（1）知3B π=，又M 为BC 中点，所以BM =MC =2a ，在ABM △与ABC △中，由余弦定理分别得 ,24cos 22)2(22222ac c a B c a c a AM -+=-+= ,cos 222222ac c a B ac c a AC -+=-+= 又AM AC =，所以2422acc a -+ac c a -+=22， 因为0a ≠，所以23ac =，故,b =由2πsin sin 3a BAC =∠，得721sin =∠BAC ． 16．证明 （1）如图凸五边形ABCDE ，延长,AE CD 交于点H ． ∵ 120AED EDC ∠=∠=︒，∴ 60HED HDE ∠=∠=︒． ∴ HED ∆为等边三角形，60H ∠=︒．∴ 60120180H BCD ∠+∠=︒+︒=︒，即有//BC AE ．又∵ AE ⊂平面PAE ，BC /⊂平面PAE ， ∴ //BC 平面PAE ．（2）连结AC ，∵ HED ∆为等边三角形 ∴ 1H E H D ED ===，∴ 3HA HC ==．又 ∵ 60H ∠=︒，∴ HAC ∆为正三角形．又∵ 12AF AH =，∴ CF AE ⊥．∵ 平面PAE ⊥平面ABCDE ， 平面PAE 平面ABCDE AE =，CF ⊂平面ABCDE ，∴ CF ⊥平面PAE ． 又∵ PA ⊂平面PAE ，∴ CF PA ⊥．17．解 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =>，由已知点()22P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x =.CA B（1）为了使填入的土最少，如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB ()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭， ∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+23t =， 当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当23t ⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t <，()S t 单调递减， 所以当23t =时，()S t 有最大值12827为43m 时，可使填土的土方量最少. （2相切，如图2，设切点()21, 02M t t t ⎫⎛> ⎪⎝⎭，则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-，分别令0,2y y ==得2, 0,, 222t t A B t ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭， 所以此时梯形OABC 的面积()1222S t t t t ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭此时OA =m 时，可使挖土的土方量最少.18．解（1）由题意：上顶点()0,1C ，右焦点()E ，所以:1l y =+，令2x =，得1t =（2）直线()1:2AC y k x =+与2214x y +=联立，得 2112211284,1414k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理得2222222284,1414k k D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由,,C D P 三点共线得CP DP k k =, 即122212221222124414142828221414k k t t k k k k k k --++=----++，化简得 ()12124k k t k k =+， ①1t =-时，12114k k +=-（定值） ②要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E ，F 的中点即点O ，由()1,22t y x y k x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得1142E k x t k =-，同理2242F k x t k =-， 将12124k k t k k =+分别代入得()121121242E k k k x t k k k +==--，()122212242F k k k x t k k k +==--， 所以0E F x x +=,()02E F E F ty y x x +=+=. 即四边形AFBE 为平行四边形.19．解（1）由题意，解得2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数.（2）当m 为奇数时，由题意得1122(2)222m m m m m m +++⋅=+++，即122(21)22(1)m m m m ++-⋅=+．当m =1时，上式成立；当3m ≥时，1222(21)22121m m m m m m ++-⋅>+->+．所以，m =1． 当m 为偶数时，12m m m a a a ++⋅⋅为偶数，12m m m a a a ++++为奇数，所以满足条件的偶数m 不存在． 综上所述，满足1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++的正整数m 的值为1．（3）由（1）知，数列{}n a 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，抽出的项按某种顺序排成等差数列，则该等差数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，2p （1≤i < j < p ）， 则1122222i ji j --+=+为奇数，而i ≥1，j ≥2，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以i = 1． 又1122222j pj p --+=+为奇数，而j ≥2，p ≥3，则12j -，12p -均为偶数，矛盾． 因为k > 1，所以偶数有2项，则奇数最多有3项，s + k 的最大值为5，设此等差数列为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，则b 1，b 3，b 5为奇数，b 2，b 4为偶数，且b 2 = 2． 所以b 1 + b 3 = 2b 2 = 4，则b 1 = 1．此数列为1，2，3，4，5． 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．20．解 (1) 2'()f x x a x=++，则'(1)30f a =+=，3a =-，且2232'()x x f x x a x x -+=++=．当01x <<时，'()0f x >，()f x 在区间(0,1)上为增函数； 当12x <<时，'()0f x <，()f x 在区间(1,2)上为减函数； 当2x >时，'()0f x >，()f x 在区间(2,)+∞上为增函数；因此，函数()f x 的单调增区间为(0, 1)，(2, )+∞；减区间为(1, 2)．当2x =时，极小值为(2)2ln 24f =-；当1x =时，极大值为5(1)2f =-． (2) 因为3[, 1)4t ∈，32[, 2)2t ∈，由(1)可知 ()(1)f t f <，(2)(2)f t f >．设函数()()(1)()(2)(1)(2)g t F t F f t f t f f =-=+--，其中314t <≤．则(1)(54)'()t t g t t --=，当3445t <≤时，'()0g t >；当415t <<时，'()0g t <；那么，当3445t <≤时，34()()()45g g t g <≤；当415t <<时，4(1)()()5g g t g <<；经计算(1)0g =，333()()(2)()(1)424g f f f f =-+-4527913(2ln )(2ln2)032482=-+-->，因此，当3[, 1)4t ∈时，()0g t >恒成立，即 ()F t >(1)F ．(3) 由(1)可知 1(0, 1)x ∈，2(1, 2)x ∈，3(2, )x ∈+∞，首先有123x x +<．且211132ln 2x m x x =-+222232ln 2x x x =-+， 整理得()221212121()2ln ln 3()02x x x x x x -+---=，即1212124(ln ln )6()x x x x x x --+=-， 问题等价于[]12121212124(ln ln )()()6()x x x x x x x x x x -++-+=-， 令[]1212()6()w x x x x =+-+，12(01)x u u x =<<，则4(1)ln 1u w u u +=⋅-． 下要证明122x x +>，即证明8w >，只要证明2(1)ln 1u u u -<+(01)u <<．设函数2(1)()ln 1u h u u u-=-+(01u <<)，则22(1)'()(1)u h u u u -=+>0， 即'()0h u >恒成立，有()(1)0h u h <=，因此2(1)ln 1u u u -<+．综上可知，1223x x <+<，即()122, 3x x +∈．。
苏州大学2015届高考考前指导卷2吴(第8稿)
苏州大学2015届高考考前指导卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{|23}A x x =-<<，{2,0,2}B =-，则AB = ▲ ．2．设复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 是虚数单位），若z i ＝1－2i ，则a ＋b ＝ ▲ ． 3．函数()f x =的定义域为 ▲ ．4．某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 ▲ 万元．5．已知双曲线221(0)4x y b b-=>b ＝ ▲ ． 6．右面的伪代码结果是 ▲ ．7．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项的和为S n ，则2S 4a 1+a 3的值 为 ▲ ．8．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有 ▲ 人．9．函数()|sin |cos 1f x x x =-的最小正周期与最大值之积为 ▲ ．10．若函数()0,2,0ln ,x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩≤在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 ▲ ．11．如图， 箭头形图标上半部分ABC 是等腰直角三角形，下半部分DEFG 是正方形，已知90BAC ∠=︒，DE =2BD =2EC =2，GE 的连线交AC 于点H ，则AF GH ⋅= ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0 2A ，，()0 1B ，，()(), 00D t t >，M 为线段AD 上的动点． 若2AM BM ≤恒成立，则正实数t 的最小值为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，tan B tan C ＝32， c ＝1，则△ABC 的面积最大值为 ▲ ．14．若函数||ln y x a x =-在 [2，3] 上是减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第4题图）（第6题图）(第11题图)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()2sin sin cos f x x b x x =+，满足()26f π=．（1）求实数b 的值以及函数()f x 的最小正周期；（2）记()()g x f x t =+（实数t 为常数），若函数()g x 是偶函数，求t 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，∠ABC =90︒，AB =BC =BB 1，点D ,E 分别为BC ,CC 1的中（第16题图）在平面直角坐标系xOy 中，已知以点C 2(,)t t(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与y 轴交于点O ，B ，若直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，且OM ＝ON ．（1）求圆C 的方程；（2）设P 和Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0 < t < 8）． （1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）； （2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．l河Q P NM（第18题图）已知函数()y f x =的定义域为I ，如果存在,k m ∈R ，对任意x I ∈都有()()f x kx m xf x +≤≤成立且等号都能取到（可不同时取到），那么称直线l ：y kx m =+为函数()y f x =的经典分界线．若2()=ln (,,)f x ax b x c a c b ++∈∈R Z ．（1）当2,1a b ==-时，求函数()y f x =的单调增区间；（2）当函数()y f x =在(e,1)A 处的切线过原点时，求函数()y f x =的经典分界线． （注：e 为自然对数的底，e 2.718289045≈）20．（本小题满分16分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n a n +1＝2(S n ＋1) (*n ∈N )． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝1，n b =(2n ≥，*n ∈N )，求{b n }的前n 项和T n ；（3）若数列{c n }满足11lg 3c =，1lg 3n n n a c -=(2n ≥，*n ∈N )，试问是否存在正整数p ，q （其中1 < p < q ），使c 1，c p ，c q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．苏州大学2015届高考考前指导卷（2）参考答案一、填空题 1．｛0，2｝ 2．－3 3．(0,2) 4．12 5．8 6．15 7．6 8．120 9．-π 10．1e11．152- 1213．58 14．[3, 22ln2+]二、解答题15． 解（1）由()26f π=，得112242b ⨯+⨯⨯=，解得b =将b =2()2sin cos f x x x x =+，所以()1cos 2212sin(2)6f x x x x π=-+=+-．所以函数()f x 的最小正周期22T π==π． （2）由（1）得，()2sin(2())16f x t x t π+=+-+，所以()2sin(22)16g x x t π=+-+，因为函数()g x 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有()()g x g x -=成立，所以sin((2)2)sin((2)2)66t x t x ππ-+=--．整理得，cos(2)sin 06t x π-=， （*）（*）式对于任意的实数x 均成立，只有cos(2)06t π-=，解得2 ()62t k k ππ-=π+∈Z ，所以 ()23k t k ππ=+∈Z ． 16．证明（1）∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1⊥底面ABC ,AB ⊂底面ABC ,∴AB ⊥BB 1，∵∠ABC =90︒，∴AB ⊥BC , BC BB 1=B ,∴AB ⊥平面BCC 1B 1，∵DB 1⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥DB 1， ∵在平面BCC 1B 1中，BC =BB 1， 所以四边形BCC 1B 1为正方形， ∵D ,E 分别为BC ,CC 1的中点，∴BCE △∽1B BD ∆,∴∠CBE =∠BB 1D , ∴∠CBE +∠B 1DB =90°，即B 1D ⊥BE , ∵BA BE =B ,∴B 1D ⊥平面ABE ,又DB 1⊂平面AB 1D ,∴平面ABE ⊥平面AB 1D ．（2）连接PC 交DE 于点F ，连接A 1C 交AE 于点G ，连接FG ， ∵A 1P ∥平面ADE ，平面A 1PC 平面ADE=FG , ∴A 1P ∥FG , ∴1112CF CG CE FP GA AA ===, FPEC 1B 1GFP ED C1B 1A 1C BA∴在正方形BCC 1B 1中利用平几知识可得11=2B P PD ． 17．解 （1）由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， ∵OM ＝ON ，∴原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，∴直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2．∴圆心为C (2，1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．（2）点B (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则PB ＋PQ ＝PB ′＋PQ ≥B ′Q ，又B ′到圆上点Q 的最短距离为B ′C －r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝25．∴PB ＋PQ 的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，∴直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－43，－23． 18．解（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点(0, 10)M，点N ．设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N '，则8)N t '-． 所以PM PN PM PNMN ''+=+≥=8)t =<<即为所求．（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知L P M P N P Q M N'=+++≥29 (08)t t =+<<，所以22()4(18129)L t t t -=-+，即方程223(272)(516)0t L t L +-+-=在(0, 8)t ∈上有解． 故22(272)12(516)0L L ∆=---≥，即218630L L --≥，解得21L ≥或3L -≤，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0, 8)t =∈．故N '，MN '方程为10y x =-，令5y =得x =，即P ． N 'my xOl河QP NM从而10PM =，6PN =．答：满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M到河岸的垂线，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．19．解（1）∵2()=2ln f x x x c -+，定义域为()0, +∞∴由'1()=40f x x x -≥得12x ≥， ∴单调增区间为1+2⎫⎡∞⎪⎢⎣⎭，（2）∵'()=2b f x ax x +，∴由题意得212e ,e e 1e ,b a a b c ⎧=+⎪⎨⎪=++⎩解得21,2e 1.2b a bc -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ∴2211()=+ln 2e 2b bf x x b x --+，定义域为()0, +∞． 由经典分界线定义可得()()f x xf x ≤，即(1)()0x f x -≤*（）在()0, +∞上恒成立．①当1x =时，显然成立，b ∈R ． ②当1x >时，()0f x ≥恒成立，故)2112022e 4b b b f b ---==+≥，∴222b <=．③当01x <<时，()0f x ≤恒成立，444411111e (3e 1)()+ln 0e 2e e 22e b b bf b --+-+=+=≥ ∴441e 03e 1b +>+≥，由①，②，③可得02b <<，又∵b ∈Z ，∴1b =． ∴()=ln f x x ，故ln ln x kx m x x +≤≤恒成立， 取1x =代入得00k m +≤≤，即 0k m +=，∴ln ln x kx k x x -≤≤恒成立．令()ln g x x kx k =-+，且注意到(1)0g =，故()(1)g x g ≤在()0, +∞上恒成立．由于'11()=xk g x k x x --=, 若0k ≤,则'()>0g x ,()g x 在()0, +∞上单调增，这与()(1)g x g ≤矛盾，故0k >∴在10, k ⎫⎛ ⎪⎝⎭上()g x 单调增，在1, k ⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭上()g x 单调增减，∴()g x 的最大值为1()g k ， ∴只能1=1k，即1k =． 经检验当1k =时，1ln x x x -≤在()0, +∞上恒成立，且在1x =处取等号．综上所述函数()y f x =的经典分界线为1y x =-． 20．解（1）由题意a n a n +1＝2(S n ＋1)， ①a n+1a n +2＝2(S n+1＋1)， ② 由①-②得到：a n+1(a n +2-a n )＝2a n+1， ③ 因为a n+1>0，则a n +2-a n ＝2， ④又a 1＝2，由④可知212k a k -=；a 2＝3，由④可知221k a k =+；因此，1n a n =+． （2）当2n ≥时，n b11n n a a --；则1(n T n =++-++-＝1+． （3）假设存在正整数数对(p ，q )，使c 1，c p ，c q 成等比数列，即c 1c q ＝c p ，则lg c 1＋lg c q ＝2 lg c p 成等差数列，于是，21333p q p q=+(＊)．当2p =时，21333q p q p=-19=，此时，3q =；可知(p ，q )=(2，3) 恰为方程(＊)的一组解．又当p ≥3时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23p p}(p ≥3)为递减数列． 于是3q q =2133p p -≤323133⨯-<0，所以此时方程(＊)无正整数解．综上，存在惟一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使c 1，c p ，c q 成等比数列．。
2015年江苏高考数学真题精校版
2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为 ▲ ． 2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．3. 设复数z 满足i z 432+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为 ▲ ． 7. 不等式422<-xx 的解集为 ▲ ．8. 已知2tan -=α，71)tan(=+βα，则βtan 的值为 ▲ ． 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ． 11. 设数列{}n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项的和为 ▲ ．12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ．13. 已知函数x x f ln )(=，⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ ．14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos πππk k k +)，(12,,2,1,0 =k )，则∑=+⋅111)(k k k a a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥.17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2ay x b=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.18．（本小题满分16分）AB CD E A 1B 1C 1 P如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.19.（本小题满分16分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说 明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学II．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，在A B C ∆中，AC AB =，A B C ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.D.（选修4—5：不等式选讲）解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====A（第21——A 题）（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长23．（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得231234,,,n n k n k n k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。
苏州大学历年高等代数真题
2000年真题1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1）4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x +++++= （2） 证明：41x+能整除()g x 。
2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。
3（15分）求矩阵321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。
４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n A A E -+3．５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B λλ-=-６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：257n A A E -+是一个正定矩阵．证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1,n V A α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3） 将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2x f x xg x +=- 441()x x x g x ∴++1与互素，．注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2、证明：,()0.AB AC A B C =∴-=(),A n r R A r A ⨯=∴是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解．0,B C B C∴-==即3、解：()()224E A λλλ-=-+，02λ∴= 当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()12101012ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．4、解：⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==- 则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ=== 故6111520164800n A A E -+=⨯⨯=35、利用构造法，设0λ≠，令1E B H A E λ=， 11010E BE E B A E A E E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得 11()n H E AB E AB λλλ=-=-．（１） 11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得11()n H E BA E BA λλλ=-=-．（２）由（１），（２）两式得1()n E AB λλ-＝1()n E BA λλ-E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n m m n E AB E BA λλλλ-=-，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为225357()024ξλλλ=-+=-+>．故257n A A E -+是一个正定矩阵．7、证明：1n n A A α-≠0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=．（１） 用1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=．由于1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=．（２） 再用2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．这样继续下去，可得到0110n l l l -====． 21,,,,n A A A αααα-∴线性无关．21,,,,)n A A A A αααα-(＝21,,,,)n A A A αααα-(0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． ∴Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 可见,()1R A n =-,dimker(1)1A n n ∴=--=即A 的核的维数为1．2001年真题2002年真题1．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123101221001320001200001n n n n n n B -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭都是n n ⨯矩阵。
2015年高考江苏省理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考江苏省理科数学真题一、填空题(每题5分，共14题，共70分)1．已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合AB 中元素的个数为_______.2．已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________. 3．设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6．已知向量=(2,1)a ，(1,2)b =-，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，则m n -的值为______. 7．不等式224x x-<的解集为________.8．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______.9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。
10．在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。
11．数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。
13．已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。
历年苏州大学考研真题试卷与答案汇总-苏州大学考研真题试卷-苏大考研真题答案-苏大考研真题哪里找？
历年苏州大学考研真题试卷与答案汇总-苏大考研真题哪里找？东吴苏大考研网（苏州大学考研在线咨询入口）汇集了苏州大学各专业历年考研真题试卷（原版），同时与苏州大学专业课成绩前三名的各专业硕士研究生合作编写了配套的真题答案解析，答案部分包括了（解题思路、答案详解）两方面内容。
首先对每一道真题的解答思路进行引导，分析真题的结构、考察方向、考察目的，向考生传授解答过程中宏观的思维方式；其次对真题的答案进行详细解答，方便考生检查自身的掌握情况及不足之处，并借此巩固记忆加深理解，培养应试技巧与解题能力。
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