人教版数学九年级上册 课程讲义第二十一章：21.2 解一元二次方程-解析版
人教版数学九年级上册第二十一章《21.2-解一元二次方程》课件
这时
＞0，由①得
±
则方程有两个不相等的实数根
（2）b2 - 4ac = 0，
这时
= 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2
=- .
（3）b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知
＜0，而 x 取任何实数都不能使
＜0，因此方程无实数根.
二 一元二次方程根的判别式 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的
课堂小结
公式法
求根 公式
步骤
务必将方程 化为一般形式
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算）
判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法：
Δ=b2 − 4ac > 0
有两个不等的实数根
典例精析
例4 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0；
解：a = 1，b = −4，c = −7.
±-
Δ= b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0.
方程有两个不等的实数根
即
(2) 2x2 − x + 1 = 0；
±-
解：a = 2，b = − ，c = 1.
判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ= b2 − 4ac. 判别式的情况 Δ> 0
Δ=0
Δ< 0 Δ≥0
练一练 按要求完成下列表格：
Δ
0
4
有两个相等的 实数根
没有实数根
有两个不相等 的实数根
典例精析
新部编人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程【全套】》精品PPT优质课件
x1 7 x2 1
课堂小结
概 念 利用平方根的定义求方程的根的方法
直
接
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或
开 步 骤 (x+n)2=p (p ≥0).
平
方 法
基本思路
一 元 降次 二次
两个一 元一次
方 程 直接开平方法 方程
课后作业
1.从教材课后习题中选取； 2.从练习册中选取。
课堂感想 1、这节课你有什么收获？ 2、这节课还有什么疑惑？ 说出来和大家一起交流吧！
∴x1=30, x2=－30.
探究交流
对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得 x 3 5,
x 3 5 ，或 x 3 5 . ③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
x1 3 5 ，或 x2 3 5
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点）
导入新课
复习引入
1.如果 x2=a,则x叫做a的 平方根 . 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= a . 3.如果 x2=64 ,则x= ±8 . 4.任何数都可以作为被开方数吗？
解题归纳
上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元 一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方 程了.
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法课时精讲(新版)新人教版
21．2.3 因式分解法1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．知识点1：用因式分解法解一元二次方程1．方程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．x 1＝－2，x 2＝3D ．x 1＝2，x 2＝－32．一元二次方程x(x －5)＝5－x 的根是( D ) A ．－1 B ．5C ．1和5D ．－1和53．(2014·永州)方程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___．4．方程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___．5．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0；解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：用适当的方法解一元二次方程6．解方程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成一个整体，设x ＋1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝2.利用这种方法求方程(2x－1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－17．用适当的方法解方程：(1)2(x －1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：用配方法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：用因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：用公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．方程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－412．已知x ＝1是关于x 的方程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___．13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___．14．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－3x ＝x －4；解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)．解：x 1＝3，x 2＝615．用适当的方法解下列方程：(1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6；解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25.解：x 1＝－5，x 2＝016．一跳水运动员从10 m高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m)与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab ＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法解一元二次方程课件新人教版
1、把方程化成一般形式。
③
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 : (注意：a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解：
④
x1=?, x2=?
（2）方程两边同乘以3得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2. ∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
下面怎么做呢？ 开平方试一试……
不妨开平方 试一试……
b b a (1) 2 4ac 0,这时
2 4ac
42
0
即 x b b2 4ac
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
b
x1
b2 4ac
2a
b
x2
b2 4ac
2a
(2) b2
4ac
0,
这时
b2 4ac 4 a2
0
x b 2a
即x b 0 2a
b2 4ac 2a
此时，方程有两个相等的实数根 b
x1 x2 2a
(3) b2
4ac
0,
这时
b2 4ac 4 a2
0
而x取任何实数都不可能使 ( x
b
2
) 0，
2a
因此方程无实数根
归纳总结
b2 4ac
b2 4ac
一元二次方程的判别式与根的情况有何关系?
（4）去括号，化简为一般式： 3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8
Q b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
归纳总结
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
人教版九年级上册 21.2 十字相乘法解一元二次方程 讲义
十字相乘法 一、回顾①(x+2)(x+1)=.②(x+2)(x-1)=.@(x-2)(x+1)=@(x-2)(x-1)=⑤(x+α)(x+")=二、新知形成(一)二次项次数为1的二次三项式的因式分解一般地，由多项式乘法，(x+Q)(x+b)=x 2+(α+b)x+αb ,反过来，就得到也就是说，对于二次三项式f +pχ+q f 如果能够把箪等项q 分解成两个因数么b 的 积，并且。
+匕等于一次项的系数p,那么它就可以分解因式，即X 2+px+q=x 2+(α+力)x+"=(x+.)(x+b),运用这个公式，可以把某些二次项系数 为1的二次三项式分解因式。
二、典例分析例1、分解因式(1)f+4x÷3 (2) —3x +2 (3) +6x -7 (4) —2x —3(5)X 2-5X +6=0; (6)x 2+10x-11=0.(7)x 2+4x+3=0;(8)x 2-2x-3=0(9)χ2-6x+5=0 (10)X 2-X -12=O (11)X 2-7X ÷10=0(13)X 2-5x-6=O(14)(x+1)(x+3)=15+3x+2= ________ X 2+x-2= —X-2= ________ -3x+2= ________ X 2+(a+b)x+ab= (12)X 2+2X -99=0例2若一元二次方程。
〃一1)/+37/%+(m2+36-4)=0有一个根是0,则〃2的值是？(二)二次项次数不为1的二次三项式的因式分解例2、解方程(2)6X 2-7X -5=0(3)2X 2-5X -3=O(5)3a 2-8^+4=0 (6)5x 2+7x-6=0 例3已知3/一7盯一2θV=o,求证：χ=4y^c3x=-5y.(1)2X 2-7X +3=0 (4)2X 2+15X ÷7=O (7) 6∕-11y-10=0 (8) 2X 2-3√5X +5=O (9) 2X 2-5X =-2。
人教版初中数学九年级上册教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 教学课件 公式法
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9 .
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
∴m=
9 8
.
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ 9 .
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： x1
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
x 6 60 . 23
x1
3 3
15
,
x2
3-
15 3
.
探究新知
知识点 2 一元二次方程的根的情况
用公式法解下列方程： （1） x2＋x－1 = 0
（2）x2－2 3 x＋3 = 0
（3） 2x2－2x＋1 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根 的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数 项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情 况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
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解一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
知识梳理讲解用时：30分钟A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【答案】D【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程，由原方程得到：（x﹣2019）2=﹣2019，①（x﹣2019）2≥0，﹣2019＜0，①该方程无解，故选：D.讲解用时：2分钟解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。
教学建议：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：余干县校级期末年份：2019秋【练习1】已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）。
A．n=0 B．mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号【答案】D【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，n，mx2+n=0，则mx2=﹣n，即x2=﹣m①x2≥0，m≠0，①mn异号，故选：D.讲解用时：2分钟n，再解题思路：由mx2+n=0移项得mx2=﹣n，再两边同时除以m，可得x2=﹣m根据偶次幂的非负性可得mn异号。
教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海原县校级期中年份：2019秋【例题2】在实数范围内定义运算“①”，其规则为a①b=a2﹣b2，则方程（4①3）①x=13的根为。
【答案】x1=6，x2=﹣6【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义可以列方程：（42﹣32）①x=13，则72﹣x2=13，∴49﹣x2=13，则x2=36，①x1=6，x2=﹣6，故答案为：x1=6，x2=﹣6.讲解用时：3分钟解题思路：根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根。
教学建议：根据定义转化为一元二次方程。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：甘州区校级期中年份：2019【练习2】定义新运算“①”，对于非零的实数a，b，规定a①b=b2，若2①（x﹣1）=3，则x=。
【答案】1+3或1﹣3【解析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，①a①b=b2，且2①（x﹣1）=3，①（x﹣1）2=3，①x﹣1=±3，①x1=1+3，x2=1﹣3，故答案为1+3或1﹣3。
讲解用时：2分钟解题思路：根据定义a①b=b2把2①（x﹣1）=3转化为一元二次方程，利用直接开平方法求出方程的解即可。
教学建议：根据定义转化为一元二次方程。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无棣县模拟年份：2019【例题3】三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是。
【答案】12或6或15【解析】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，方程x2﹣7x+10=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x=2或x=5，三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，则周长为12或6或15．讲解用时：5分钟解题思路：方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可。
教学建议：先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：和平区一模年份：2019【练习3】已知a，3是直角三角形的两条直角边，第三边的长满足方程x2﹣9x+20=0，则a 的值为。
【答案】4或7【解析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法以及勾股定理，①x2﹣9x+20=0，即（x﹣4）（x﹣5）=0，①x﹣4=0，x﹣5=0，解得x1=5，x2=4，①a和3是两直角边时，第三边是5或4，①a=4或7．故答案是：4或7。
讲解用时：5分钟解题思路：因式分解法解一元二次方程求出方程的解，得出直角三角形的斜边长，再根据勾股定理求出第三边即可教学建议：当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：西城区校级期末年份：2019春【例题4】将一元二次方程﹣x2+6x﹣5=0化成（x﹣m）2=n的形式，则﹣（m﹣n）2019=。
【答案】1【解析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，由已知方程得x2﹣6x=﹣5，∴x2﹣6x+9=﹣5+9，则（x﹣3）2=4，∴m=3，n=4，∴-（m-n）2019=﹣（3﹣4）2019=1．讲解用时：5分钟解题思路：先利用配方法得到（x﹣3）2=4，则m=3，n=4，然后利用乘方的意义计算-（m-n）2019的值。
教学建议：熟练掌握配方法的过程。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：中山市月考年份：2019春【练习4】若方程2x2+8x﹣32=0能配方成（x+p）2+q=0的形式，则直线y=px+q不经过的象限是。
【答案】第二象限【解析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法以及一次函数图像的相关知识点，由已知方程得x2+4x=16，则x2+4x+4=20，∴（x+2）2=20，则p=2，q=﹣20，直线解析式为y=2x﹣20，此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．讲解用时：5分钟解题思路：利用配方法得到（x+2）2=20，所以p=2，q=﹣20，则直线解析式为y=2x﹣20，然后根据一次函数的性质解决问题。
教学建议：通过配方法确定p和q的值，再根据一次函数的图像性质解题。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：和平区校级月考年份：2019秋【例题5】小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是。
【答案】四、平方根的定义【解析】本题考查了利用配方法推导一元二次方程求根公式，小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义讲解用时：8分钟解题思路：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可；（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方。
教学建议：可先带领学生一起推导。
难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：丰台区一模年份：2019【练习5】2+1=0的两根，则它的周长为。
等腰三角形的边长是方程x2﹣x2【答案】32+1【解析】本题考查了一元一次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形的三边关系，由一元二次方程求根公式解方程x2﹣22x+1=0的两根，得x1=2+1，x2=2﹣1，①等腰三角形的边长是方程x2﹣22x+1=0的两根，①等腰三角形的三边为①2+1，2+1，2﹣1，①2+1，2﹣1，2﹣1，①2+1＞2﹣1+2﹣1，①①不能构成三角形，①等腰三角形的三边为2+1，2+1，2﹣1，①它的周长为32+1.讲解用时：8分钟解题思路：先解方程，求得两根为x1=2+1，x2=2﹣1，再根据三角形的三边关系，得等腰三角形的腰为2+1，从而求出周长。
教学建议：能够根据三角形三边关系进行取舍。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：涪陵区校级月考 年份：2019【例题6】解方程：（1）（2x ﹣1）2=9（2）x 2+3x ﹣4=0（用配方法）（3）3x 2+5（2x+1）=0（用公式法）（4）7x （5x+2）=6（5x+2）【答案】（1）x 1=2，x 2=﹣1 ；（2）x 1=1，x 2=﹣4；（3）x 1=3105+-，x 2=3105--；（4）x 1=52-，x 2=76 【解析】本题考查一元二次方程的解法，（1）（2x ﹣1）=±3，①x 1=2，x 2=﹣1（2）x 2﹣3x=4，①x 2﹣3x+（23）2=4+（23）2，①（x ﹣23）2=425， ①x ﹣23=25± ，①x 1=1，x 2=﹣4 （3）3x 2+10x+5=0，①a=3，b=10，c=5，①①=100﹣60=40＞0， ①x=610210±-，①x 1=3105+-，x 2=3105--． （4）（5x+2）（7x ﹣6）=0，①5x+2=0或7x ﹣6=0，x 1=52-，x 2=76． 讲解用时：10分钟解题思路：（1）利用直接开方法解方程即可；（2）根据配方法的步骤解方程即可；（3）根据公式法的步骤解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可； 教学建议：根据方程的特点，选择合适的方法解方程。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：蓬溪县期末 年份：2019秋【练习6】（1）用配方法解方程：3x 2﹣12x+9=0；（2）用公式法解方程：3x 2﹣9x+4=0．【答案】（1）x 1=3，x 2=1；（2）x 1=6339+，x 2=6339- 【解析】本题考查了解一元二次方程，（1）两边同除以3，得x 2﹣4x+3=0，移项，得x 2﹣4x=﹣3，配方，得x 2﹣4x+4=﹣3+4，（x ﹣2）2=1，则x ﹣2=±1，∴x 1=3，x 2=1；（2）①a=3，b=﹣9，c=4，①①=b 2﹣4a c=（﹣9）2﹣4×3×4=33＞0，①方程有两个不相等的实数根为x=32339⨯±， x 1=6339+，x 2=6339- 讲解用时：8分钟解题思路：（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；（2）先求出b 2﹣4ac 的值，再代入公式求出即可。
教学建议：熟记解一元二次方程的各个方法。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：惠民县期末 年份：2019秋【例题7】关于x 的一元二次方程mx 2+nx=0的一根为x=3，则关于x 的方程m(x+2)2+nx+2n=0的根为 。
【答案】1或﹣2【解析】本题主要考查一元二次方程的解，由方程根的定义求得m 和n 的关系是解题的关键。