人教版数学九年级上册 课程讲义第二十一章：21.2 解一元二次方程-解析版

解一元二次方程

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础一般

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。

知识梳理

讲解用时：30分钟

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根D．无实数根

【答案】D

【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程，

由原方程得到：（x﹣2019）2=﹣2019，

①（x﹣2019）2≥0，

﹣2019＜0，①该方程无解，故选：D.

讲解用时：2分钟

解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。

教学建议：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：余干县校级期末年份：2019秋【练习1】

已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）。

A．n=0 B．mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号【答案】D

【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，

n，

mx2+n=0，则mx2=﹣n，即x2=﹣

m

①x2≥0，m≠0，①mn异号，故选：D.

讲解用时：2分钟

n，再解题思路：由mx2+n=0移项得mx2=﹣n，再两边同时除以m，可得x2=﹣

m

根据偶次幂的非负性可得mn异号。

教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海原县校级期中年份：2019秋【例题2】

在实数范围内定义运算“①”，其规则为a①b=a2﹣b2，则方程（4①3）①x=13的根为。

【答案】x1=6，x2=﹣6

【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，

根据新定义可以列方程：

（42﹣32）①x=13，则72﹣x2=13，

∴49﹣x2=13，则x2=36，

①x1=6，x2=﹣6，故答案为：x1=6，x2=﹣6.

讲解用时：3分钟

解题思路：根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根。

教学建议：根据定义转化为一元二次方程。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：甘州区校级期中年份：2019【练习2】

定义新运算“①”，对于非零的实数a，b，规定a①b=b2，若2①（x﹣1）=3，则x=。

【答案】1+3或1﹣3

【解析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，

①a①b=b2，且2①（x﹣1）=3，①（x﹣1）2=3，

①x﹣1=±3，①x1=1+3，x2=1﹣3，

故答案为1+3或1﹣3。

讲解用时：2分钟

解题思路：根据定义a①b=b2把2①（x﹣1）=3转化为一元二次方程，利用直接开平方法求出方程的解即可。

教学建议：根据定义转化为一元二次方程。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无棣县模拟年份：2019【例题3】

三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是。【答案】12或6或15

【解析】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，

方程x2﹣7x+10=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）=0，解得：x=2或x=5，

三角形三边长为2，2，5（舍去）；2，5，5；2，2，2；5，5，5，

则周长为12或6或15．

讲解用时：5分钟

解题思路：方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求出解，利用三角形的三边关系判断，求出三角形周长即可。

教学建议：先将方程整理为一般形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：和平区一模年份：2019【练习3】

已知a，3是直角三角形的两条直角边，第三边的长满足方程x2﹣9x+20=0，则a 的值为。

【答案】4或7

【解析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法以及勾股定理，

①x2﹣9x+20=0，即（x﹣4）（x﹣5）=0，①x﹣4=0，x﹣5=0，

解得x1=5，x2=4，

①a和3是两直角边时，第三边是5或4，①a=4或7．

故答案是：4或7。

讲解用时：5分钟

解题思路：因式分解法解一元二次方程求出方程的解，得出直角三角形的斜边长，再根据勾股定理求出第三边即可

教学建议：当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：西城区校级期末年份：2019春【例题4】

将一元二次方程﹣x2+6x﹣5=0化成（x﹣m）2=n的形式，则﹣（m﹣n）2019=。【答案】1

【解析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，

由已知方程得x2﹣6x=﹣5，

∴x2﹣6x+9=﹣5+9，则（x﹣3）2=4，

∴m=3，n=4，∴-（m-n）2019=﹣（3﹣4）2019=1．

讲解用时：5分钟

解题思路：先利用配方法得到（x﹣3）2=4，则m=3，n=4，然后利用乘方的意义计算-（m-n）2019的值。

教学建议：熟练掌握配方法的过程。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：中山市月考年份：2019春【练习4】

若方程2x2+8x﹣32=0能配方成（x+p）2+q=0的形式，则直线y=px+q不经过的象限是。

【答案】第二象限

【解析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法以及一次函数图像的相关知识点，由已知方程得x2+4x=16，则x2+4x+4=20，

∴（x+2）2=20，则p=2，q=﹣20，

直线解析式为y=2x﹣20，此直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．

讲解用时：5分钟

解题思路：利用配方法得到（x+2）2=20，所以p=2，q=﹣20，则直线解析式为