2021考研数学一真题解析
2021考研数学一真题解析（《新考研数学超级金讲》作者贺惠军撰写）1.选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）.（1）函数()1,01,0x e x f x x x −≠== ，在0x =处（ ）（A ）连续且取极大值. （B ）连续且取极小值. （C ）可导且导数为0. （D ）可导且导数不为0. 【答案】应选D. 【分析】本题是一道常规分段函数临界点可导性的判断问题，分段函数临界点的可导性判断是一元微分学的重点，但并不是难点，其判断只有唯一方法，就是利用临界点的导数定义进行判断。
《新金讲》（《新金讲》一共三个分册，对应于数学的三个科目，以下统一简称《新金讲》，题目对应的页码为对应分册的页码）在第二章中的重难点专题中有重点解析，本题与书中例2.27本质是一致的。
【详解】易知01lim 1(0)x x e f x →−==，函数在0x =处连续，由于函数1()x e f x x−=并非直线，因而没有折点，必然是一条光滑曲线，如果在0x =处取极值，则必有(0)0f ′=，如果这一结果成立，则本题有至少有两个答案，这显然这不合题意，由排除法可迅速得出答案为D （这一分析思路看起来像是所谓的技巧，实质是采用了数学的定性思维法，定性思维是在对考点有本质理解基础上升华的一种判断思维，在很大程度上是比数学学习中常用到的定量计算更重要的一种思维方式，但遗憾的是，在国内版的所有数学教材中，只有《新金讲》在努力尝试对这种思维进行解析和培养。
实际上，最有效的应试技巧其实就是对事物本质的把握），本题也可以通过定量计算来证明D 的结论。
()20000111110lim lim lim lim222x x x x x x x e e x e x x f x x x x →→→→−−−−−′=====， 所以函数()f x 在0x =可导且导数不为0，故选D.（2）设函数(),f x y 可微，且()()21,1xf x e x x +=+，()22,2ln f x xxx =，则d (1,1)f =（ ）（A ）d d x y +. （B ）d d x y −. （C ）d y . （D ）d y −.【答案】应选C.【分析】本题是一道非常有效考查考生对全微分概念理解以及多个中间变量的单一自变量的复合函数求导法则掌握情况的试题，在《新金讲》第七章的“重难点专题金讲”中有明确的总结，其思路本质上等同于《新金讲》中例7.60.【详解】对于函数(,)f x y ，有d (1,1)(1,1)d (1,1)d x y f f x f y ′′=+，本题实质是求函数在点(1,1)处的两个偏导数值.对函数2(1,)(1)xf x e x x +=+两边同时求x 的导数：()()2(1,)(1,)121x x x x y f x e f x e e x x x ′′+++=+++， ①取0x =代入①式，得()()1,11,11x y f f ′′+=. ②对函数()22,2ln f x xxx =两边同时求x 的导数，()()22,,24ln 2x y f x x f x x x x x x ′′+=+， ③取1x =代入③式中得()()1,11,122x y f f ′′+⋅=， ④联立式②④解得()()1,10,1,11x y f f ′′==，故选C. （3）设函数()2sin 1x f x x =+在0x =处的3次泰勒多项式为23ax bx cx ++，则（ ） （A ）71,0,6a b c ===−. （B ）71,0,6a b c ===.（C ）71,1,6a b c =−=−=−. （D ）71,1,6a b c =−=−=.【答案】应选A.【分析】本题考查的是常规函数的泰勒级数展开（由于是在0x =处的展开，因此也等价于函数的麦克劳林级数展开），直接套用《新金讲》总结的公式即可，由于展开式的最高次为3次，为了避免遗漏展开项，所涉及到的函数宜展开到至少3次.【详解】由麦克劳林公式可得331sin ()6x x x o x =−+，244211()1x x o x x =−+++， 故有332sin 7()16x x x o x x =−++，所以71,0,6a b c ===−，因此答案为A. （4）设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则1()d f x x =∫（ ）（A ）1211lim22nn k k f n n →∞=− ∑. （B ）1211lim 2nn k k f n n →∞=− ∑. （C ）2111lim2nn k k f n n →∞=− ∑. （D ）212lim 2n n k k f n n →∞= ∑.【答案】应选B.【分析】本题逆向考查了数列和极限的定积分计算方法，如果对这一重要考点有踏实的理解，无论是从数列和到定积分的正向计算，还是定积分到数列和的逆向变通其实都不难解决，《新金讲》在极限的特殊计算法方法中对此考点有细致的解析，相信如果认真学习过这部分的同学，本题应该可以得以轻松解答.【详解】 由于函数()f x 在区间[]0,1上连续，对于选项（A ），有101112111111lim lim lim ()d 222222nnnn n n k k k k k k f f f f x x n n n n n n n →∞→∞→∞===− =−== ∑∑∑∫， 选项（B ）显然是选项（A ）值的2倍，故答案为B .对于选项（C ），有222210111111111lim lim lim d 2()d 22222nnnn n n k k k k kk f f f f x x f x x n n n n n n n→∞→∞→∞===− =−===∑∑∑∫∫； 对于选项（D ），有22100121lim 2d 4()d 22nn k k f f x x f x x n n →∞=== ∑∫∫. （5）二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =+++−−的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ） （A ）2,0. （B ）1,1. （C ）2,1. （D ）1,2. 【答案】应选B.【分析】本题考查二次型标准型的理解。
虽然给出的二次型是完全平方结构，但显然不能直接得出该二次型已经是标准型的结论，否则这道题命制就毫无意义。
对于这类完全平方结构的二次型，要得到其准确的标准型，必须先将平方展开，然后通过配方法或正交变换法化为标准型，即可直接得到其正负惯性指数值。
本类试题与《新金讲》的例6.18本质是同一试题，《新金讲》还对这类题的易错解法做了详细解析，如果认真学习过，本题必可轻松解答。
由于配方法计算量小很多，所以这里采用配方法化标准型（本题的配方法需要深入理解配方法的本质，否则会配出一个四不像的平方结构，无法得到准确的标准型，也许正因为如此，各机构对本题的解析清一色地采用了最复杂的正交变换法，相信是缺乏对配方法本质的掌握）。
【详解】 222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++−−221223132222x x x x x x x =+++221223132()2x x x x x x x =+++ 222123131313111112222442x x x x x x x x x =++−−−+2221231313111122222x x x x x x x =++−−+22123131112()222x x x x x ++−− ，所以二次型正负惯性指数均为1，答案为B.【注】本题配方法容易犯错的计算：222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++−− 221223132222x x x x x x x =+++ 2222123213()x x x x x x =+++−−，然后无法判断. （6）已知1231130,2,1112∂=∂=∂=，记11221331122,,k l l ββββββ=∂=∂−=∂−−，若123,,βββ两两正交，则12,l l 依次为（ ）（A ）51,22. （B ）51,22−. （C ）51,22−. （D ）51,22−−.【答案】应选A.【分析】本题逆向考查向量组施密特正交变换法的掌握情况。
如果能熟练记住了施密特正交变换法的公式规律，很容易判断出所需要计算的参数12,l l 对应于施密特正交变换中的向量系数，《新金讲》对施密特正交公式的运算规律有独有的总结，直接套其公式即可计算。
【详解】由施密特正交法可知11βα=，()()21221110,2,0αββαβββ=−=，()()()()313233121122,,,,αβαββαββββββ=−−， 所以()()31111,5,2l αβββ=，()()32222,1,2lαβββ==，故选A. （7）设,A B 为n 阶实矩阵，下列结论不成立的是（ ） （A ）()T A O r r A OA A =2. （B ）()T AAB r r A O A=2. （C ）()T ABA r r A OAA =2. （D ）()T A O r r A BA A= 2.【答案】应选C.【分析】本题深度考查了分块矩阵秩的判断，这类题一直是线性代数科目的难点，正鉴如此，《新金讲》给予了极大篇幅讲解了矩阵秩的性质和应用，尤其是满秩矩阵的应用，本题与《新金讲》例2.41的判断思路一致.【详解】易知选项（A ）是成立的；对于选项（B ），由于()()()r A AB r A E B r A == （这一前提条件很重要，否则后面结果不成立），故()()2()TT AAB r r A AB r A r A OA =+=； 对于选项（C ），由于()()r ABA r E B A ≠ ，所以必有()()r A BA r A ≥，当()()r A BA r A >时，必有()T ABA r r A O AA>2，所以（C ）结论不成立，答案为C. 对于选项（D ），由于TTT T T A O A A B BA A O A=，因而有 T T T T T T A O A O A A B r r r BA A BA A O A==， 与选项（B ）本质是一致的，故结论成立.（8）设,A B 为随机事件，且()01P B <<，下列命题中为假命题的是（ ）（A ）若()()P A B P A =，则()()P A B P A =.（B ） 若()()P A B P A >，则()()P A B P A >. （C ） 若()()P A B P A B >，则()()P A B P A >.（D ） 若()()P A A B P A A B > ，则()()P A P B >.【答案】应选D.【分析】本题考查随机事件关系的变换，比传统考查的情况要复杂不少，但只要把握《新金讲》中一再强调的由繁向简、补集化本集的转化思路，本题也仅仅是计算量大一点而已，本题与《新金讲》中例1.12思路大体是一致的.【详解】对于选项（A ），()()()()()()()P AB P A B P A P AB P A P B P B ==⇒=，事件,A B 相互独立，即互不干扰，因此易得()()P A B P A =，故A 正确.对于选项（B ）,知()()()()()()()P AB P A B P A P AB P A P B P B =>⇔>，若()()P A B P A >成立，则()[]1()()()()()()1()1()1()1()1()()P A P B P A P B P AB P A B P A B P A BP A P B P B P B P B −+−+−+====>−−−−()()()P AB P A P B ⇔>，故（B ）的结论成立.同理可推：若()()()()()()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B −>⇔>=⇔>−，则()()()()()()P AB P A P AB P A P B P B >⇒>，故（C ）成立. 若[]()()()()()()P A A B P A A B P A A B P A A B P A B P A B >⇔>()()()()P A P AB P B P AB ⇔>=−，故得不出（D ）的结论，答案选D .（9）设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()221212,;,;Nµµσσρ的简单随机样本.令12θµµ=−，11n i i X X n ==∑，11n i i Y Y n ==∑， X Y θ=−则（）（A ） θ是θ的无偏估计， 2212()D nσσθ+= .（B ） θ不是θ的无偏估计， 2212()D n σσθ+=. （C ） θ是θ的无偏估计， 2212122()D n σσρσσθ+−=. （D ） θ不是θ的无偏估计， 2212122()D n σσρσσθ+−=.【答案】应选C.【分析】本题一改传统命题中总体是一维随机变量的情况，采用二维随机总体命题，考查考生对总体概念的深入理解，无论是一维还是二维总体，理解了《新金讲》中对总体与样本概念的详细解析，本题剩下的就是简单随机变量数字特征换算关系的计算。
2021年考研数学一真题及答案
2005年考研数学一真题欧阳光明(2021.03.07)填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分。
答案写在题中横线上)x2(1)曲线y=莎刁的斜渐近线方程为。
1 1［答案l y = ^-4【解析】_ 1 1所以斜渐近线方程为7 =^-401 1综上所述，本题正确答案是y =^-4o【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性.拐点及渐近线(2)微分方程兀"+ 2y »屁满足以1)=-話勺解为。
［答案】y -押处_ 9%【解析】原方程等价于y+2、lnx所以通解为将y(i)=鳥代入可得c = °综上所述，本题正确答案是y =^/nx"k【考点】高等数学一常微分方程一一阶线性微分方程2 2 2(3)设函数u(x,y,z) = 1 +石+正+码单位向量九=乔｛I」」｝,贝［］du1 1+「希V3综上所述，本题正确答案是三。
【考点】高等数学一多元函数微分学一方向导数和梯度（4）设°是由锥面Z =与半球面z = J" _X 2_『围成的空间区域，，是"的整个边界的外侧，则If xdydz + ydzdx + zdxdy =Zo【答案】2*（1-字）R ： 【解析】综上所述，本题正确答案是W-T ）«3O【考点】高等数学一多元函数积分学一两类曲面积分的概念、 性质及计算（5）设旳，％也均为三维列向量，记矩阵力=（旳，也°） 如果⑷=1,那么⑹=。
【答案】2。
【解析】 【方法一】 【方法二】dn (1,2,3) 一o£【答案】丁。
【解析】du x du y du 因为 Ox— 3f dy ~ 6f dzdu1 1所以乔(1,2,3) =3 •蔚两列取行列式，并用行列式乘法公式，所以 综上所述，本题正确答案是2。
【考点】线性代数一行列式T 亍列式的概念和基本性质，行列 式按行(列)展开定理(6) 从数1234中任取—个数记为X,再从1,2,…,X 中任一个数,记为侦］P{Y = 2} = o13【答案】屁。
21年考研数学1真题难吗
21年考研数学1真题难吗21年考研数学1真题难吗在众多考研科目中，数学一科目一直被认为是考研生最头疼的一门。
每年的考研数学一真题都备受关注，而今年的21年考研数学一真题也不例外。
那么，21年考研数学一真题到底有多难呢？本文将从不同角度进行探讨。
首先，我们可以从整体难度上来分析。
数学一作为考研的重要科目之一，一直以来都以难度大而著称。
这主要体现在题目的难度系数较高，题目的深度和广度也较大。
而今年的21年考研数学一真题，在整体难度上也并没有太大的变化。
依然涵盖了高等数学、线性代数、概率论等多个领域，题目的难度相对较高，需要考生具备扎实的数学基础和解题能力。
其次，我们可以从题型的难度上来进行分析。
21年考研数学一真题中，涉及到了选择题、填空题和计算题等不同的题型。
其中，选择题是考生们普遍认为难度较大的题型之一。
这是因为选择题需要考生在有限的时间内，准确地选择出正确答案，对考生的逻辑思维和分析能力提出了较高的要求。
而填空题和计算题则相对容易一些，考生只需要有一定的计算能力和解题思路，就能够得出正确答案。
此外，我们还可以从考生的反馈和备考情况来观察21年考研数学一真题的难度。
根据考生们的反馈来看，21年考研数学一真题的难度与以往相比并没有明显的变化。
一些考生表示，今年的真题难度与他们的预期相符，题目的难度与平时的模拟题相当。
而一些备考较为充分的考生则认为，21年考研数学一真题的难度适中，没有过于艰深的内容，但也没有太多简单题。
然而，我们也不能忽视个体差异对考试难度的影响。
每个考生的数学基础、学习方法和解题能力都不尽相同，因此对于同一套真题的难度感受也会有所不同。
对于一些数学基础较为薄弱的考生来说，任何一套真题都可能会感到困难；而对于一些数学基础扎实、解题经验丰富的考生来说，即使是较难的真题也能够应对自如。
综上所述，21年考研数学一真题的难度并没有明显的变化，整体上仍然保持着一定的难度。
对于备考的考生来说，要想在数学一科目中取得好成绩，仍然需要充分准备和深入理解各个数学领域的知识。
考研数学一真题(WORD清晰版)
2021 考研数学〔一〕真题完整版一、选择题： 1～8 小题，每题 4 分，共 32 分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .〔1〕假设反常积分1b dx 收敛，那么〔〕0x a 1xA a 1且b 1B a 1且b1 C a 1且a b 1 D a 1且 a b 1〔2〕函数f x 2x 1 , x1，那么f x的一个原函数是〔〕ln x, x1x121x21A F x, xB F x1 , xx ln x 1 , x 1x ln x 1 1, x 1 x1212, x1C F x, xD F xx 1x ln x 1 1, x 1x ln x 1 1, x 1〔3〕假设y1 x2 21x2 , y1x221x2是微分方程y p x y q x 的两个解，那么q x〔〕A 3x 1 x2B 3x 1 x2C1x D1x x2x2x, x0〔4〕函数f x111，那么〔〕,x,n 1,2,n n1n〔A 〕x0 是f x 的第一类间断点〔B〕x0 是f x的第二类间断点〔C〕f x 在x0 处连续但不可导〔D 〕f x 在x0 处可导〔5〕设 A， B 是可逆矩阵，且A 与 B 相似，那么以下结论错误的选项是〔〕〔A 〕A T与B T相似〔 B 〕A1与B1相似〔C〕A A T与B B T相似〔D 〕A A1与B B1相似〔6〕设二次型f x1, x2 , x3x12x22x324x1 x24x1 x34x2 x3，那么 f x1 , x2 , x3 2 在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔〕〔A 〕单叶双曲面〔 B〕双叶双曲面〔 C〕椭球面〔 C〕柱面〔7〕设随机变量X ~ N ,20，记 p P X2，那么〔〕〔A 〕p随着的增加而增加〔 B 〕p随着的增加而增加〔C〕p随着的增加而减少〔D 〕p随着的增加而减少〔 8〕随机试验E有三种两两不相容的结果A1 , A2 , A3，且三种结果发生的概率均为1，将3试验 E 独立重复做 2 次，X表示 2 次试验中结果A1发生的次数，Y表示 2 次试验中结果A2发生的次数，那么X 与 Y 的相关系数为〔〕二、填空题： 914 小题，每题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .．．．xt sin t dtt ln 1〔9〕lim02__________x 01cos x〔10〕向量场A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度rotA_________〔 11〕设函数f u, v可微，z z x, y 由方程 x 1 z y 2x2 f x z, y 确定，那么dz 0,1_________〔12〕设函数f x arctanxx，且 f ' ' 01，那么a________ 12ax100010____________.〔13〕行列式014321〔14〕设x1, x2,..., x n为来自总体N ,2的简单随机样本，样本均值x，参数的置信度为的双侧置信区间的置信上限为，那么的置信度为的双侧置信区间为______.三、解答题： 15—23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸指定位置上 .解容许写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤 .〔15〕〔此题总分值10 分〕平面区域D r ,2r 2 1 cos,22，计算二重积分xdxdy .D〔16〕〔此题总分值10 分〕设函数y(x)满足方程y'' 2 y'ky 0, 其中 0k1.证明：反常积分y( x) dx 收敛；假设 y(0) 1, y ' (0) 1, 求y( x)dx 的值 .〔17〕〔此题总分值10 分〕设函数 f ( x, y) 满足f ( x, y)(2x 1)e 2 x y , 且 f (0, y) y 1, L tx是从点 (0,0) 到点(1,t) 的光滑曲线，计算曲线积分I (t)L t f (x, y) dx f (x, y) dy ，并xy求 I (t) 的最小值〔18〕设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个外表的外侧，计算曲面积分 Ix 2 1 dydz 2ydzdx 3zdxdy〔19〕〔此题总分值10 分〕函数 f ( x) 可导，且 f (0)1 ， 0 f '( x)1，设数列x n2满足 x n 1 f (x n )(n 1,2...) ，证明：〔I 〕级数(x n 1 x n ) 绝对收敛；n 1〔II 〕 lim x n 存在，且 0 lim x n 2 .nn1 1 12 2 〔20〕〔此题总分值11 分〕设矩阵 A2a1 , B1 a1 1aa 12当 a 为何值时，方程AX B 无解、有唯一解、有无穷多解0 1 1 〔21〕〔此题总分值11 分〕矩阵 A2 3 0〔I 〕求 A 99〔II 〕设 3 阶矩阵 B( , 2 , 3 ) 满足 B2BA ，记 B100(1 ,2 ,3 )将 1 , 2 ,3 分别表示为 1, 2 , 3 的线性组合。
考研数学一真题及答案解析(完整版)
2021考研数学〔一〕真题完整版一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 〔1〕假设反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，那么〔 〕()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且〔2〕函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，那么()f x 的一个原函数是〔 〕()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩〔3〕假设()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，那么()q x =〔 〕()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++〔4〕函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，那么〔 〕〔A 〕0x =是()f x 的第一类间断点 〔B 〕0x =是()f x 的第二类间断点 〔C 〕()f x 在0x =处连续但不可导 〔D 〕()f x 在0x =处可导〔5〕设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，那么以下结论错误的选项是〔 〕 〔A 〕TA 与TB 相似 〔B 〕1A -与1B -相似 〔C 〕TA A +与TB B +相似 〔D 〕1A A -+与1B B -+相似〔6〕设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，那么()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为〔 〕〔A 〕单叶双曲面 〔B 〕双叶双曲面 〔C 〕椭球面 〔C 〕柱面〔7〕设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，那么〔 〕〔A 〕p 随着μ的增加而增加 〔B 〕p 随着σ的增加而增加 〔C 〕p 随着μ的增加而减少 〔D 〕p 随着σ的增加而减少 〔8〕随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，那么X 与Y 的相关系数为〔 〕二、填空题：9-14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 〔9〕()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx〔10〕向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA〔11〕设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，那么()_________1,0=dz〔12〕设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，那么________=a 〔13〕行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 〔14〕设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，那么μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〔15〕〔此题总分值10分〕平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.〔16〕〔此题总分值10分〕设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 假设'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.〔17〕〔此题总分值10分〕设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值〔18〕设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个外表的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑〔19〕〔此题总分值10分〕函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： 〔I 〕级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；〔II 〕lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.〔20〕〔此题总分值11分〕设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？〔21〕〔此题总分值11分〕矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭〔I 〕求99A〔II 〕设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2021考研数学一考试大纲原文解析及变化解读
五、大数定律和中心极限定理考试内容
切比雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoui）大数定律 辛钦（Khinchin）大数 定律 棣莫弗-拉普拉斯（DeMoivte-Laplace）定理 列维-林德伯格（LevyLindberg）定理 考试要求 1.了解切比雪夫不等式. 2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）. 3.了解棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机 变量序列的中心极限定理）.
考试要求
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们 的性质.
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴 随矩阵求逆矩阵.
随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密 度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布
考试要求
1.理解随机变量的概念，理解分布函数F（x）=P（X≤x（-x<x<+xz）的概念及性质，会计算与随 机变量相联系的事件的概率.
2理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布B（0p））、几何分布、超 几何分布、泊松（Poisson）分布P（2）及其应用.
2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率 的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式.
2021年考研数学选择题、填空题真题解析
2021年考研数学选择题、填空题真题解析学习刚开始是一种痛苦，继而是一种习惯，最后是一种乐趣。
等看到真题解析文章时，意味着你们2021年全国硕士研究生招生考试已经结束了。
有付出，就会有收获;有努力，就会有报酬。
就算结果不如预期，但努力的过程与学习到的经验，都是金钱买不到的。
自己浇水施肥种的水果吃起来一定比较甜，流汗奋斗的生命特别可贵。
下面咱们分析一下2021考研数学选择题，三个卷种考查的非重复的题目共计13题，其中高数8题，线代2题、概率论3题。
首先看高数的题目，导数的定义、切平面方程、常见的几个幂级数的应用、定积分比较大小、极限中参数的确定、分段函数的连续性问题、单调性凹凸性与定积分几何意义的结合、二重积分等依然是考查的重点。
就出题的形式而言多是逆问题的考查，即给出结论要求其中的参数值，这也是2021年考试改革以来的考查重点，一方面结合计算考查考生的计算能力，另一个方面考查逆向问题，更加注重能力而非死记硬背。
由于数学二的试卷中高数选择题有6道题目，积分学依然是重点，虽然考查的分值很高，但是就题目而言没有难度，只是需要一定量的计算，所以，数学二的考生要重点关注该考点同时加强计算能力的提升。
幂级数求和判断往往是数三的专利，出题概率在90%以上，而在2021年的选择题数一也有考查。
这类题目考生通常认为很难，容易出错，实际并不然，通常利用6个常见函数的泰勒级数的灵活运用，而这恰恰是部分考生所没有掌握的。
其次来看线性代数部分的题目。
今年的考试依然沿用了以往的特点，三个卷种的题目完全一样，当然很贴切考纲要求。
两道题目分别考查了相似的概念和秩的性质，是常规题目，也没有难度。
只要考生能够理解这些基本的概念，结合一定的计算就可以顺利解决问题。
最后看一下概率统计。
数一和数三两个卷种考查了3个题目，其中第7题为两者考查的同一个题目，为利用对称性计算概率的问题，题目并不难。
数三的第8题考查的是t分布，大纲要求统计量有三大抽样，即卡方分布、t分布和F分布，几乎每年必考，只要考生能够掌握这些分布的基本概念和性质即可解决问题。
2021考研数学一试卷线性代数部分难度解析
2021考研数学一试卷线性代数部分难度解析
就总体难度而言，2021年考研数学一试题与2021年相比，难度相差无几。
不过今年的题目又有一些新的特点，第一道选择题考察二次型以及特征值的性质，是一道综合性较强的题目，只需要把特征值的性质及惯性定理理解了就比较容易做出来，这两部分知识点有一个不熟悉就做不出来了。
第二道选择题考察线性方程组解的结构同时与解析几何结合，实际上重点还在线性方程组解的结构上，解析几何只不过是个幌子，要学会看到题目背后本质要考察的点。
填空题考察了方程组解的判定定理，即非齐次线性方程组有无穷多解的条件。
总体来说，这份试题中线代考察的重点与以往类似，没有特别偏特别难。
总结试卷会发现依然是换汤不换药，无论形式怎么变，对线性代数来讲，重点依旧是线性方程组、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型这四部分知识。
只要抓住了考试重点，线代部分拿个比较理想的分数还是不难的。
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2019-2021考研数学一真题(含完整答案)
(I)求a,b,c; (II)证明生立3 '/J为 R3 的一个基并， 求生立3 '/J到叮生立3 的过渡矩阵．
—3—
(21) (本题满分11分）
-2
厂 已知矩阵A=
。�
l J与B =
=�
[�
一�]
�]相似．
(I) 求x,y; (II)求可逆矩阵P使得p-1AP = B.
(22) 设随机变量 X1，X2，X3 相互独立，其中 X1 与 X2 均服从标准正态分布，X3 的概率分布为
P {X3
= 0} = P {X3
= 1} =
1 2
，Y
= X3X1 + (1 − X3)X2.
(I) 求二维随机变量 (X1, Y ) 的分布函数，结果用标准正态分布函数 Φ(x) 表示.
=
z−c3 c2
相 交 于 一 点，记 向 量
αi = abii，i = 1, 2, 3，则 (
)
ci
(A)α1 可由 α2，α3 线性表示.
(B)α2 可由 α1，α3 线性表示.
(C)α3 可由 α1，α2 线性表示.
(D)α1，α2，α3 线性无关.
(7)
设 A，B，C
为三个随机事件，且
P (A)
(A)´0x(et2 − 1)dt.
(B)´0x
ln(1
+
√ t3)dt.
) (C)´0sin x sin t2dt.
(D)´01−cos
x
√ sin3
tdt.
(2) 设函数 f (x) 在区间 (−1, 1) 内有定义，且 lim f (x) = 0，则 ( )
2021考研数一真题解析(1)
⎨⎨ ⎨ ⎨ ⎩ ⎩2016 全国研究生入学考试考研数学一解析本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）若反常积分+∞1 0x a(1+ x )bdx 收敛，则( )( A )a < 1且b > 1 【答案】： (C )(B ) a > 1且b > 1(C )a < 1且a + b > 1 (D )a > 1且a + b > 11【解析】：注意到xa在 x = 0 为瑕积分，在 x =∞ 为无穷限反常积分， 1(1+ x )b仅在 x =∞ 为无穷限反常积分，所以a < 1, a + b > 1（2）已知函数 f (x ) = ⎧2(x -1), x < 1，则 f (x )一个原函数是（ ）⎨ln x , x ≥ 1⎧ 2( A ) F (x ) = ⎧⎪(x -1)2 , x < 1 (B ) F (x )= ⎪ (x -1) , x < 1⎪⎩x (ln x -1), x ≥ 1 ⎪ x (ln x +1)-1, x ≥ 1(C ) F (x ) = ⎧⎪(x -1)2 , x < 1(D )F (x ) = ⎧⎪(x -1)2 , x < 1⎪⎩x (ln x +1)+1, x ≥ 1【答案】： (D )⎪⎩x (ln x -1)+1, x ≥ 1【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数 F (x ) 在 x = 1连续，而( A )、(B )、(C )中的函数在 x = 1处均不连续，故选(D )。
（3）若 y = (1+ x2 )2-则q (x )= （ ） y = (1+ x 2 )2+ y ' + p (x ) y = q (x )两个解，( A )3x (1+ x 2 ) (B )- 3x (1+ x 2 )(C )x1+ x 2(D )-x 1+ x 2⎰1+ x 2 【答案】： ( A ) 【解析】：分别将 y = (1+ x2 )2-，y = (1+ x 2 )2+带入微分方程 y ' + p (x ) y = q (x )，两式做差，可得 p (x ) =- x . 两式做和，并且将 p (x ) =- x 带入，可得 q (x ) = 3x (1+ x2)1+ x 2 ⎧ x , x ≤ 01+ x 2 （4）已知函数 f (x ) = ⎪ 1 1 1 ，n = 1, 2, （ ） ⎨ ,⎩ n n +1 < x ≤ n(A ) x = 0 是 f (x )第一类间断点(B ) x = 0 是 f (x )第二类间断点(C ) f (x ) 在 x = 0 处连续但不可导(D ) f (x )在 x = 0 处可导【答案】： (D ) 【解析】： f '(x ) = limf ( x ) - f (0)= lim x= 1 -x →0-x - 0x →0-xf ' (x ) = limf ( x ) - f (0)= lim f ( x ) 。
2021考研数一真题及解析(1)
1 1+ x⎰⎨ ⎨2(x -1)dx = x 2 - 2x + C ；ln xdx = x ln x - x + C；且 lim F (x ) = lim(x 2- 2x + C ) = -1 + C ， +∞2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.+∞(1) 若反常积分1x a(1 + x )b dx 收敛，则 ( )(A) a < 1且b > 1.(B) a > 1 且 b > 1.(C) a < 1 且 a + b > 1. (D) a > 1 且 a + b > 1.【答案】(C)【解析】排除法.根据被积函数特点，取a = 0 ，+∞dx 0 (1 + x )b = 1 (1+ x )1-b +∞1 - b 0= 1 [ lim 1 -1] 收敛，只需保证b > 1即可.说明， a < 1 可以使原广义积分收敛，排除 B 1 - b x →+∞ (1 + x )b -1和 D.再取a = -1,b = 2 ， xdx = +∞ (1 + x ) -1dx =+∞ dx-+∞1dx⎰(1 + x )2⎰(1 + x )2⎰1 + x⎰(1 + x )2= ln(1+ x ) +∞ + +∞ = +∞ ，发散，说明满足 A 的条件，但是原广义积分发散，排除 A.0 0⎧2(x - 1),x < 1,(2) 已知函数 f (x ) = ⎨ ⎩ ln x ,x ≥ 1,则 f (x )的一个原函数是（ ）⎧ (A) F (x ) = ⎨(x - 1)2 ,x < 1,(B)F (x ) = ⎧ (x - 1)2, x < 1, ⎩x (ln x - 1),x ≥ 1.⎩x (ln x + 1)- 1,x ≥ 1.(C) ⎧ (x - 1)2 , F (x ) = ⎨ x < 1, (D) F (x ) = ⎧ (x - 1)2 , x < 1,【答案】(D)⎩x (ln x + 1) + 1,x⎰ ≥ 1.1 ⎩x (ln x - 1)+ 1,x ≥ 1. ⎰ 2 - - 1 1 x →1x →1lim F (x ) = lim (x ln x - x + C 2 ) = -1 + C 2 .由 lim F (x ) = lim F (x ) = F (1) 可知： C 1 = C 2 .x →1+x →1+x →1-x →1+⎰ 【解析】当 x < 1 时， F (x ) = 当 x ≥ 1 时， F (x ) =122⎧x2 - 2x +C, x < 1取C1=C2=C ，其原函数为 F (x) =⎨⎩x ln x -x +C, x ≥ 1.当C = 1 时，对应的原函数为 D.(3)若y =(1 + x2 )2 - y =(1 + x2 )2 +y'+ p(x)y =q(x) 的两个解，则q(x) =（）(A) 3x(1 +【答案】(A)x2 ). (B) -3x(1 + x2 ).x(C) .1 +x2(D) -x.1 +x2【解析】因为 y (x) = (1 +x2 ) 2 和 y (x) = (1 +x2 ) 2 为y'+p(x) y =q(x) 的两个解，那么，y2(x) -y1(x) =y'+p(x) y = 0 的解.代入该齐次方程可得p(x) ⋅= 0 ，故，p(x) =-x1+x2.再将 y (x) = (1 +x2 ) 24x(1 +x2 )x1 +x2[(1 +x2 )2 =q(x) ，所以，q(x) = 3x(1 +x2 ) ，选择 A.⎧x,⎪ x ≤ 0,(4) 已知函数f(x) =⎨1 1 1则（）, <x ≤⎩n n + 1,n = 1,2, ,n(A) x = 0 是f(x)的第一类间断点. (B) x =0 是f(x)的第二类间断点.(C) f(x)在 x = 0 处连续但不可导. (D) f(x)在 x = 0 处可导.【答案】(D)【解析】因为lim f (x) = lim x = 0 ，lim f (x) = lim1= 0 ，可得，lim f (x) = lim f (x) =f (0) ，x→0- x→0- x→0+ n→∞n x→0- x→0+故 f (x) 在x = 0 点连续.又因为 f '(0) = lim f (x) -f (0) = lim x - 0 = 1，-x→0-1x -0 x→0-x - 0f '(0) = lim f (x) -f (0) = lim n ，而1<x ≤1，有n ≤1<n +1 ，当x → 0+时，n →∞，+x→0+ x - 0 x→0+x - 0n +1n x可得1 ≤1<n +1→ 1(x → 0+) ，那么f '(0) = 1 .所以，f (x) 在x = 0 点可导.选择 D.nx n +⎝ ⎭T-1T TTT TT T -1TT(5) 设 A ，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论错误的是( )(A) A T 与 B T相似. (B) A -1 与 B -1相似..(C) A + A T与 B + B T相似.(D) A + A -1与 B + B -1相似.【答案】（C ）【解析】 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 P ，使 P -1 AP = B ，则B = (P AP)= P A (P) = P A (P )= ((P) ) A (P )，即（A ）是正确说法；B -1 = (P -1 AP )-1= P -1 A -1 (P -1 )-1= P -1 A -1P ，进一步有B + B -1 = P -1 AP + P -1 A -1P = P -1 (A + A -1 )P ，即（B ）（D ）都是正确说法；故选（C ）.(6) 设二次型 f (x , x , x ) = x 2+ x 2+ x 2+ 4x x + 4x x + 4x x ，则 f (x , x , x ) = 2 在空间直1231231 21 32 3123角坐标下表示的二次曲面为()(A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C) 椭球面. (D)柱面.【答案】（B ）⎛ 1 2 2 ⎫ 【解析】二次型 f (x , x , x ) 对应的矩阵 A = 2 1 2 ⎪，由1 2 3-1 ⎪ 2 2 1 ⎪-2 - 2E - A = -2 - 2 -1 -2 - 2 -1= ( - 5)( +1)2= 0得， A 的特征值为= 5, = = -1，所以经过正交变换后， f (x , x , x ) = 5 y 2 - y 2 - y 2 ，1231 2 3 1 2 3于是 f (x , x , x ) = 2 表示曲面5 y 2- y 2- y 2= 2 ，是双叶双曲面.故选（B ）.123123(7) 设随机变量 X ~ N (, 2) ( > 0) ，记 p = P {X ≤ + 2}，则( )(A) p 随着的增加而增加. (B) p 随着 的增加而增加.T-1 -1-1-1(C) p 随着的增加而减少. (D) p 随着的增加而减少. 【答案】B【解析】P{X ≤+ 2 } =Φ( + 2 -) =Φ()由于正态分布的分布函数是单调递增的，所以P{X ≤+ 2 }随着的增加而增加.(8)随机试验E 有三种两两不相容的结果A ,A ,A ,且三种结果发生的概率均为1,将试验E 独1 2 3 3立重复做2 次，X 表示2 次试验中结果A1发生的次数，Y 表示2 次试验中结果A2发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（）(A)-12(B)-13(C)13(D)12【答案】(A)【解析】方法一：( X ,Y ) 的概率分布为XY0 1 20 1929191 29292 190 0E( X ) =E(Y ) =2， E( XY ) =2，所以Cov( X ,Y ) =E( XY ) -E( X )E(Y ) =-2 3E( X 2 ) =E(Y 2 ) =899 9 ，D( X ) =D(Y ) =49所以相关系数XY =Cov( X ,Y ) =-12.D( X ) ⋅D(Y )D ( X ) D (Y )xx x方法二：设 Z 表示 2 次试验中结果 A 3 发生的次数，则 X + Y + Z = 2 。