中位线定理证明

三角形中位线与梯形中位线

一、知识点梳理

1、三角形中位线定义;每个三角形有3条中位线

2、梯形中位线定义;每个梯形有且只有1条中位线

二、定理证明

知识点1：三角形中位线定理

（1）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（数量关系与位置关系

（2）定理的证明

如图，已知点D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC,且DE=1／2BC.

知识点2：梯形中位线定理

（1）定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。

（2）定理的证明

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AE=EB,DF=FC,求证：EF∥BC,EF=1／2(BC+AD)

三、典型例题分析

题型1 三角形的中位线

例1如图在四边形ABCD中，AC=BD,且M、N分别为AD、CB的中点，AC、BD交于点O，MN交BD于点E,交AC于F。求证：OE=OF

例2如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，G、H分别是对角线AC、BD的中点，求证：EF与GH互相平分。

题型2 梯形的中位线

例 3 如图，已知MN是梯形ABCD的中位线，AC、BD与MN交于点F、E，AD=30cm,BC=40cm.求EF的长。

例4填空：

（1）顺次连接四边形各边中点所得图形是。

（2）顺次连接平行四边形四边形各边中点所得图形是。

（3）顺次连接矩形各边中点所得图形是。

（4）顺次连接菱形各边中点所得图形是。

（5）顺次连接正方形形各边中点所得图形是。

（6）顺次连接梯形各边中点所得图形是。

（7）顺次连接直角梯形各边中点所得图形是。

（8）顺次连接四边形各边中点所得图形是。

四、综合创新探究

例5如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于点D，M为BC中点。求证：DM=1／2AB

例6如图，AF为∠BAC的平分线，D为BC的中点，CE⊥AF,BF⊥AF,点E、F为垂足。

求证：△DEF为等腰三角形

例7 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是AD的中点，连接BE,CF交于点P。求证：AP=AB

例8已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d，交l与点A1B1C1D1.

(1)观察图形，猜想出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论；

(2)现将直线l向上平移，你得到的结论还成立吗？结合情况写出你的结论。

五、相关中考信息

例9如图，在△ABC中，BC>AC,点D在BC上，且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF。

（1）求证：EF∥BC;

（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABC的面积。

例10小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD,那么EF⊥AE”.他又

将“正方形”改为“矩形”“菱形”和“任意平行四边形”（如图1、2、3、所示），其他条件不变，发现任然有“EF⊥AE”的结论。

你同意小明的观点吗？若同意，请结合图4加以证明；若不同意，请说明理由。