最新可降阶的二阶微分方程

可降阶的二阶微分方程第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。

因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解的类型，读者应注意学习解微分方程的各种技巧。

对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的解。

§5.1 «Skip Record If...»＝f(x)型的微分方程这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，就能得它的解积分一次得«Skip Record If...»＝∫f(x)dx＋C1再积分一次得 y＝∫［∫f(x)dx＋C1］dx ＋C２上式含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以这就是方程的通解。

例1. 求方程«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»满足y｜x＝«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝1的特解。

解积分一次得«Skip Record If...»＝ctanx＋C1以条件«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝1代入得C1＝0，即有«Skip Record If...»＝ctanx再积分一次得y＝ln｜sinx｜＋C2以条件y｜x＝«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»代入，得－«Skip Record If...»＝ln«Skip Record If...»＋C2即C2＝0于是所求特解是 y＝ln｜sinx｜。

这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程«Skip Record If...»＝f(x)，只要积分n次，就能求得它的通解。

例2. 解微分方程«Skip Record If...»＝lnx＋x解积分一次得«Skip Record If...»＝xlnx ＋x＋C1积分二次得«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»x2lnx－«Skip Record If...»＋C1x＋C2积分三次得 y＝«Skip Record If...»lnx＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If (x2)C2x＋C3§5.2 «Skip Record If...»＝f(x,«Skip Record If...»)型的微分方程这种方程的特点是不明显含有未知函数y，解决的方法是：我们把«Skip Record If...»作为未知函数，而使变换，令«Skip Record If...»＝p于是有«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，这样可将原方程降为如下形式的一阶方程«Skip Record If...»=f(x,p)这里p作为未知函数，如能求出其通解p＝φ(x,C１)然后根据关系式«Skip Record If...»＝p即可求得原方程的通解y＝∫φ(x,C1)dx＋C2例3. 求微分方程(1＋x2) «Skip Record If...»－2x«Skip Record If...»＝0的通解解这是一个不明显含有未知函数y的方程作变换令«Skip Record If...»＝p，则«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，于是原方程降阶为(1＋x2) «Skip Record If...»－2px＝0«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»dx积分得ln｜p｜＝ln(1＋x2)＋ln｜C1｜即 p＝C1(1＋x2)从而«Skip Record If...»＝C1(1＋x2)再积分一次得原方程的通解y＝C1(x＋«Skip Record If...»)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)。

解取曲线上最低点N的铅直线作Oy轴，取水平方向的直线为Ox轴，ON的长暂时不定。

取曲线上任一点M，由于这时绳索处在平衡状态，故可将«SkipRecord If...»这段绳索看作刚体，这段绳索上受到三个力的作用，在N点处切线方向的张力H，在M点处切线方向的张力T，以及本身重量p＝Sμ，其中S是«Skip Record If...»的长度，μ是绳索单位长度的重量。

将力T分解为水平分力及铅直分力，并应用力的平图6-2 衡条件，可得知如下两个等式Tsinα＝SμTcosα＝H两式相除得tanα＝«Skip Record If...»S若y＝y(x)是所求曲线的方程，则«Skip Record If...»＝kS 其中k=«Skip Record If...»为消去变量S，将上式两边对x求导，得得«Skip Record If...»＝k«Skip Record If...»＝k«Skip Record If...»这就是绳索曲线所满足的微分方程，也即绳索曲线的数学模型，此方程不明显含未知函数y，设«Skip Record If...»＝p，则«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，代入方程中得«Skip Record If...»＝k«Skip Record If...»即«Skip Record If...»＝kdx两边积分得ln(p＋«Skip Record If...»)＝kx＋C1由于在点N处x＝0，且有«Skip Record If...»＝p＝0，(因N是曲线最低点)代入上式得C1＝0，于是有p＋«Skip Record If...»＝e kx为求p，用p－«Skip Record If...»乘上式两边，整理得p－«Skip Record If...»＝－e－kx 上述两式相加，得p＝«Skip Record If...» (e kx－e－k)即«Skip Record If...»＝«Skip RecordIf...» (e kx－e－kx)积分得 y＝«Skip Record If...» (e kx＋e－kx)＋C2现在取｜ON｜＝«Skip Record If...»＝a 即得y｜x＝0＝a，得C2＝0，则所求曲线方程为y＝«Skip Record If...» (e«Skip Record If...»＋e«Skip Record If...»)此曲线为悬链线。

§5.3 «Skip Record If...»＝f(y，«Skip Record If...»)型的微分方程这种方程的特点是，不明显含自变量x，解决的方法是，可把y暂时作为这种类型方程的自变量，作变换，令«Skip Record If...»＝p于是«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝p«Skip Record If...»这样可将原方程降一阶而成为关于p与y的一阶微分方程，将«Skip Record If...»，«Skip Record If...»代入原方程得p«Skip Record If...»＝f(y，p)若其通解为 p＝φ(y,C1)换回原来的变量，便有«Skip Record If...»＝φ(y,C1)这是可分离变量的一阶微分方程，对其积分得通解∫«Skip Record If...»dy＝x＋C２例5. 解方程(«Skip Record If...»）2－y«Skip Record If...»＝0解这方程不明显含有x，令«Skip Record If...»＝p，于是«Skip Record If...»＝p«Skip Record If...»，代入方程得p2－yp«Skip Record If...»＝0即 p(p－y«Skip Record If...»)＝0由此有 p＝0，或p－y«Skip Record If...»＝0其中由 p＝0，即«Skip Record If...»＝0，得y＝常数而 p－y«Skip Record If...»＝0，可化为«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»积分得ln｜p｜＝ln｜y｜＋ln｜C1｜即 p＝C1y即有«Skip Record If...»＝C1y即«Skip Record If...»dy＝C1dx两边积分得ln｜y｜＝C1x＋ln｜C２｜故 y＝C2e«Skip Record If...»在上式中令C1＝0得y＝常数，因此当p＝0时的解y＝常数已包含在y＝C2e«Skip Record If...»所以，y＝C2e«Skip Record If...»即为所求方程的通解。