数学3多元线性回归模型
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
多元线性回归模型的估计与解释
多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。
一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。
其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。
它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。
残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。
2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。
将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。
三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。
系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。
此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。
假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。
对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。
F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。
对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。
通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
03多元线性回归模型
03多元线性回归模型多元线性回归模型是一种经济学和统计学中广泛使用的模型，用于描述多个自变量与因变量之间的关系。
它是在线性回归模型的基础上发展而来的。
在多元线性回归模型中，因变量是由多个自变量共同决定的。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + β3X3 + … + βkXk + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、X3等表示自变量，β0、β1、β2、β3等表示回归系数，ε表示误差项。
回归系数β0、β1、β2、β3等表示自变量对因变量的影响程度。
回归系数的符号和大小反映着自变量与因变量的正相关或负相关程度以及影响的大小。
误差项ε是对影响因变量的所有其他变量的影响程度的度量，它是按照正态分布随机生成的。
在多元线性回归模型中，回归系数和误差项都是未知的，需要根据样本数据进行估计。
通常采用最小二乘法来估计回归系数和误差项。
最小二乘法是一种常用的方法，它通过最小化误差平方和来估计回归系数与误差项。
最小二乘法假设误差为正态分布，且各自变量与误差无关。
因此，通过最小二乘法求解出的回归系数可以用于预测新数据。
多元线性回归模型还需要检验回归系数的显著性。
通常采用F检验和t检验来进行检验。
F检验是用于检验整个多元线性回归模型的显著性，即检验模型中所有自变量是否与因变量有关系。
F检验的原假设是回归方程中所有回归系数都为0，备择假设是至少有一个回归系数不为0。
如果p-value小于显著性水平，就可以拒绝原假设，认为多元线性回归模型显著。
总之，多元线性回归模型利用多个自变量来解释因变量的变化，是一种实用性强的模型。
它的参数估计和显著性检验方法也相对比较成熟，可以用于多个领域的实际问题分析。
第三章(1) 多元线性回归模型课件
分离差的大小
解释的那部分离差的大小。也
称剩余平方和。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-3 多元线性回归模型的统计检验 一、 拟合优度检验 检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解 基础上确定的可决系数R2 (调整的可决系数 ) 度量。 1、总离差平方和的分解
总离差平方和TSS 回归平方和ESS
3、随机误差项在不同 样本点之间是独立的，
Cov( i,
不存在序列相关
因为 i与 j相互独立，有：
j)=0 i≠j
无自相关假定表明：产生 误差(干扰)的因素是完 全随机的，此次干扰与彼 次干扰互不相关，互相独 立。由此应变量Yi的序列 值之间也互不相关。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-1 多元线性回归模型及其基本假定
3、有效性(最小方差性)：
指在所有线性、无偏估计量中， OLS参数估计量的 方差最小。
4、 服从正态分布，即：
其中，
， G2是随机误差项的方差，
Cjj是矩阵(X’X)-1 中第j行第j列位置上的元素。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-2 多元线性回归模型的参数估计
一、 参数的最小二乘估计
二、 OLS估计量的统计性质及其分布
三、随机误差项方差Q2的估 计
参数估计的另一项任务是： 求随机误差项 i 的分布参数
称作回归标准差 (standard error of regression)， 常作为对所估计回归线的拟
合优度的简单度量。
i~N(0, Q2)
随机误差项 i 的 方差的估计量为：
可以
证明：
说明 是QS 的无偏估计量。
t-Statistic 6.411848 22.00035 4.187969
多元线性回归模型多元线性回归模型
2
i E(i )
假设3，E(X’)=0，即
E
X 1i i
X 1i E(i )
0
X Ki i X Ki E(i )
假设4，向量 有一多维正态分布，即
μ~ N(0, 2I)
XY XXβˆ 0
得到： 于是：
XY XXβˆ
βˆ (XX)1 XY
例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，
1 X 1
(
X
'
X
)
1 X1
1 X2
1 Xn
1 1
X 2
Xn
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。
一般表现形式：
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki i i=1,2…,n
其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数
（regression coefficient）。
习惯上：把常数项看成为一虚变量的系 数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是： 模型中解释变量的数目为（k+1）
ˆk
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X1 ˆk X k
⃟随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估
计量为：
ˆ 2
ei2 ee
n k 1 n k 1
*二、最大或然估计
由此得到正规方程组
3多元线性回归模型参数估计
3多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种回归分析方法，用于建立多个自变量和一个因变量之间的关系模型。
多元线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+…+βnXn+ε其中，Y表示因变量，X1,X2,…,Xn表示自变量，β0,β1,β2,…,βn表示模型参数，ε表示误差项。
多元线性回归模型的目标是估计出模型参数β0,β1,β2,…,βn，使得实际观测值与模型预测值之间的误差最小化。
参数估计的方法有很多，下面介绍两种常用的方法：最小二乘法和梯度下降法。
1. 最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）：最小二乘法是最常用的多元线性回归参数估计方法。
它的基本思想是找到一组参数估计值，使得模型预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
首先，我们定义残差为每个观测值的实际值与模型预测值之间的差异：εi = Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni)其中，εi表示第i个观测值的残差，Yi表示第i个观测值的实际值，X1i, X2i, …, Xni表示第i个观测值的自变量，β0, β1, β2, …,βn表示参数估计值。
然后，我们定义残差平方和为所有观测值的残差平方的总和：RSS = ∑(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni))^2我们的目标是找到一组参数估计值β0,β1,β2,…,βn，使得残差平方和最小化。
最小二乘法通过数学推导和求导等方法，可以得到参数估计值的解析解。
2. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一种迭代优化算法，可以用于估计多元线性回归模型的参数。
它的基本思想是通过迭代调整参数的值，使得目标函数逐渐收敛到最小值。
首先，我们定义目标函数为残差平方和：J(β) = 1/2m∑(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + … + βnXni))^2其中，m表示样本数量。
多元线性回归模型分析
ˆ 样本矩（用样本矩估计总体矩）： 满足相应的矩条
件：
1
T
T
(Yt ˆ ) 0
t 1
▪ 同理，方差的估计量是样本的二阶中心矩。
▪ 现在，考虑一元线性回归模型中的假设条件：
E(t ) 0 E(xtt ) 0
▪ 其所对应的样本矩条件分别为：
1
T
T
ˆ t
1 T
T
(yt - b0 - b1xt ) 0
常数项的作用在于中心化误差。
§3.2 参数的OLS估计
•参数的OLS估计
附录：极大似然估计和矩估计
投影和投影矩阵 分块回归和偏回归 偏相关系数
一、参数的OLS估计
▪ 普通最小二乘估计原理：使样本残差平方和最小
我们的模型是：
Y= x11 + x22 +…+ xk k +
关键问题是选择的估计量b，使得残差平方和最小。
过度识别
▪ 则必须想办法调和出现在过度识别系统中相互冲突 的估计。那如何解决呢？
广义矩估计的思想是使得样本矩与总体矩的加权距 离（即马氏距离）最小。主要是考虑到不同的矩所 起的作用可能不同。
设样本矩 X (X(1),...,X(R))/ ，总体矩 M (M(1),...,M(R))/ ，其中 R k 则马氏距离为：
t 1
t 1
1
T
T
x t ˆ t
1 T
T
xt (yt b0 b1xt ) 0
t 1
t 1
▪ 可见，与OLS估计量的正规方程组是相同的。 ▪ 多元线性回归模型矩估计的矩条件通常是这样构造的：
对于多元线性回归模型 Y=Xβ+ε
第三章多元线性回归模型
第三章 多元线性回归模型一、名词解释1、多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数2R ：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了2R 随解释变量的增加而增大的缺陷，与2R 的关系为2211(1)1n R R n k -=----。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组：采用OLS 方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导，并令偏导数为0后得到的方程组，其矩阵形式为ˆX X X Y β''=。
5、方程显著性检验：是针对所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著所作的检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出判断。
二、单项选择题1、C ：F 统计量的意义2、A ：F 统计量的定义3、B ：随机误差项方差的估计值1ˆ22--=∑k n e iσ4、A ：书上P92和P93公式5、C ：A 参看导论部分内容；B 在判断多重共线等问题的时候，很有必要；D 在相同解释变量情况下可以衡量6、C ：书上P99，比较F 统计量和可决系数的公式即可7、A ：书P818、D ：A 截距项可以不管它；B 不考虑beta0；C 相关关系与因果关系的辨析 9、B ：注意！只是在服从基本假设的前提下，统计量才服从相应的分布10、D ：AB 不能简单通过可决系数判断模型好坏，还要考虑样本量、异方差等问题；三、多项选择题1、ACDE ：概念性2、BD ：概念性3、BCD ：总体显著，则至少一个参数不为04、BC ：参考可决系数和F 统计量的公式5、AD ：考虑极端情况，ESS=0，可发现CE 错四、判断题、 1、√2、√3、×4、×：调整的可决系数5、√五、简答题 1、 答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。
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3大类方法：OLS、ML或者MM
– 在经典模型中多应用OLS
– 在非经典模型中多应用ML或者MM
18
一、普通最小二乘估计
• 对于随机抽取的n组观测值 (Yi , X ji ),i 1,2, ,n, j 0,1,2, k 如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki i=1,2…n
1 X 12 Xk2
1 Y1
X 1n Y2
X kn
Yn
即
(XX)βˆ XY
由于X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
21
用含两个解释变量的矩阵形式来表示X’X：
Y n n1
1 X 11 X 1 X 12
1 X 1n
X 21 X 22
X 2n
X k1
X
k
2
X
kn
n(k 1)
0
1
β
2
k ( k 1)1
1
μ
2
n
n1
10
用来估计总体回归函数的样本回归函数为：
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki
假设4，向量 有一多维正态分布，即
μ~ N(0, 2I)
同一元回归一样，多元回归还具有如下两个重 要假设：
假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的 方差趋于有界常数，即n∞时，
15
1
n
x
2 ji
1 n
(X ji X j )2 Q j
或
1 xx Q n
其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是
由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵
2
关于人均消费和人均GDP的例子（时间序列)（50页）
3
4
5
6
一、多元线性回归模型
多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的 解释变量有多个。
一般表现形式：
Yi 0 1X1i 2 X 2i k X ki i i=1,2…,n
其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数
（regression coefficient）。
11
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各 X之间互不相关（无多重共线性）。
假设2，随机误差项具有零均值、0
i j i, j 1,2, , n
Var(i
)
E
(
2 i
)
2
Cov(i , j ) E(i j ) 0
12
假设3，解释变量与随机项不相关
x11 x
x1n
xk1 xkn
该假设同样是为了避免伪回归问题。
假设6，回归模型的设定是正确的。
16
§3.2 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质 三、样本容量问题 四、估计实例
17
说明
估计目标：结构参数 ˆ 及随机误差项的方差 j
ˆ 2 。
估计方法：
1
n
n
12
E
n
1
1 n
2 n
var(1 )
cov(
n
,
1
)
cov(1, n ) 2
var(n )
0
0 2I
2
14
i E(i )
假设3，E(X’)=0，即
E
X 1i i
X 1i E(i
)
0
X Ki i X Ki E(i )
第三章 经典单方程计量经济学模型： 多元线性回归模型
1. 多元线性回归模型 2. 多元线性回归模型的参数估计 3. 多元线性回归模型的统计检验 4. 多元线性回归模型的预测 5. 回归模型的其他形式 6. 回归模型的参数约束
1
§3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
7
习惯上：把常数项看成为一虚变量的系 数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是： 模型中解释变量的数目为（k+1）
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki i
也被称为总体回归函数的随机表达形式。它的 非随机表达式为: E(Yi | X1i , X 2i , X ki ) 0 1 X1i 2 X 2i k X ki 表示：各变量X值固定时Y的平均响应。
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
X 2i ˆk ˆk X ki ˆk X ki
X ki) ) X 1i )X 2i
Yi Yi Yi
X 1i X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
8
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变
量保持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化;
或者说j给出了X j的单位变化对Y均值的
“直接”或“净”（不含其他变量）影响。 总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为:
Y Xβ μ
其中矩阵Y、X、 和µ的含义如下:
9
Y
Y Y
1 2
• 根据最 小二乘原 理，参数 估计值应
该是右列
方程组的 解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其 Q ei2 (Yi Yˆi )2
中
i 1
n
i 1
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i1
19
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
Cov( X ji , i ) 0
j 1,2 , k
假设4，随机项满足正态分布
i ~ N (0, 2 )
13
上述假设的矩阵符号表示 式：
假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的
秩=k+1，即X满秩。
假设2，
E (μ)
E
1
E (1 )
0
n E( n )
E (μμ )
E
1
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即
可得到(k+1) 个待估参数的估计值
$ j
,
j
0,1,2,L
,k
。
20
□正规方程组的矩阵形式
n
X1i
X1i
X
2 1i
X ki
X ki X 1i
X X 1i
X
ki
X
2 ki
ki
ˆ0 ˆ1
ˆ k
1 X 11 X k1
其随机表示式: Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是
总体回归函数中随机扰动项i的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ Xβˆ 或 Y Xβˆ e
其中：
ˆ0
βˆ
ˆ1
ˆ k
e1
e
e2 en