同济版高数课后习题答案

习题1?9

1. 求函数63

3)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2

x f x →. 解 )2)(3()1)(1)(3(6

33)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(??, ??)内除点x ?2和x ??3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(??, ?3)、(?3, 2)、(2, ??).

在函数的连续点x ?0处, 2

1)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x ?2和x ??3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 5

82)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数

?(x )?max{f (x ), g (x )}, ?(x )?min{f (x ), g (x )}

在点x 0也连续.

证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00

x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([2

1)(x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([2

1)(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2

1)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([2

1)(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为

] |)()(|)()([2

1lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000

x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2

10000x g x f x g x f -++=??(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续.

同理可证明?(x )在点x 0也连续.

3. 求下列极限: (1)52lim 20

+-→x x x ;

(2)34

)2(sin lim x x π

→; (3))2cos 2ln(lim 6

x x π

→ (4)x x x 11lim

0-+→; (5)1

45lim 1---→x x x x ; (6)a

x a x a x --→sin sin lim ; (7))(lim 22x x x x x --++∞

→. 解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x ?0有定义, 所以 55020)0(52lim 220

=+⋅-==+-→f x x x . (2)因为函数f (x )?(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x ?4

π有定义, 所以 1)42(sin )4()2(sin lim 334

=⋅==→πππ

f x x . (3)因为函数f (x )?ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x ?6

π有定义, 所以 0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6

=⋅==→πππ

f x x . (4)2

11101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim 0000=++=++=++=++++-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . (5))45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim 111

x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454

lim 1=+-⋅=+-=→x x x . (6)a

x a x a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2lim sin sin lim

a a a a x a x a x a x a x cos 12

cos 2

2sin lim 2cos lim =⋅+=--⋅+=→→. (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→ 1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→x x x x x x x

x x .

4. 求下列极限: (1)x x e 1lim ∞→; (2)x

x x sin ln lim 0→; (3)2)11(lim x x x

+∞→; (4)x x x 2

cot 20)tan 31(lim +→; (5)21)63(lim -∞→++x

x x

x ; (6)x

x x x

x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim . 解 (1) 1lim 01

lim 1

===∞→∞→e e e x x x x . (2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x x

x x x . (3) []e e x x x

x x x ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim .

(4) []33tan 31

20cot 2022)tan 31(lim )tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→. (5)216336

21)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x

x

x x . 因为