2004年全国高中数学联赛试题及答案详解
M 中 存 在 3 个 两 两 互 质 的 元 素 ， 故 f(n) 存 在 且 f(n) ≤
()
A．[－ 26， 26]
B．(－ 26， 26)
C．(－2 3 3，2 3 3]
D．[－2 3 3，
23 3]
3．不等式 log2x－1+12log12 x3+2>0 的解集为
A．[2，3)
B．(2，3]
C．[2，4)
D．(2，4]
4．设点 O 在ABC 的内部，且有→ OA +2→ OB +3→ OC =→0 ，则ABC 的面积与AOC 的面积的比
4．设点 O 在ABC 的内部，且有→ OA +2→ OB +3→ OC =→0 ，则ABC 的面积与AOC 的面积的比
为( )
A．2
B．32
C．3
D．53
【答案】C
【 解 析 】 如 图 ， 设 AOC=S ， 则 OC1D=3S ， OB1D=OB1C1=3S ，
B
AOB=OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3S．选 C．
H
E
B
⑵ 证明有 n0∈N*，使得对∀n>n0，都有bb21+bb23+…+bbn－n 1+bbn+n1<n－2004．
三．(本题满分 50 分)对于整数 n≥4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，
集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素．
1 36 +g(tanu3)< 4 ．
【解析】⑴ +=t，=－14．故<0，>0．当 x1，x2∈[，]时，
∴ f (x)= 2(x2+1)(－x2+21x)(22x－t)=－2((xx22－+1x)t2 )+2．而当 x∈[，]时，x2－xt<0，于是
f (x)>0，即 f(x)在[，]上单调增． ∴ g(t) = 22－+1t－22－+1t=(2－t)((2+21+)1－)((22+1－) t)(2+1)=(－)[2t(2++2+)－2+12+2]
【解析】设 k2－pk=n，则(k－p2)2－n2=p42，(2k－p+2n)(2k －p－2n)=p2，k=14(p+1)2．
11．已知数列 a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则∑i=n0 a1i的
值是
； [来源:]
【答案】13(2n+2－n－3)．
⑵ 证明有 n0∈N*，使得对∀n>n0，都有bb21+bb23+…+bbn－n 1+bbn+n1<n－2004．
【解析】⑴ 点 An(0，1n)，Bn(bn， 2bn)由|OAn|=|OBn|，bn2+2bn=(1n)2，bn= 1+(1n)2
－1(bn>0)． ∴ 0<bn<21n2．且 bn 递减，n2bn=n( n2+1－n)=
【解析】a1n+1=a2n+13，令 bn=a1n+13，得 b0=23，bn=2bn－1，bn=322n．即a1n=2n+13－1，∑i=n0 a1i=13 (2n+2－n－3)．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(－1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x 轴上移动，
当∠MPN 取最大值时，点 P 的横坐标为
一．选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分) 1．设锐角使关于 x 的方程 x2+4xcos+cos=0 有 重根，则的弧度数为
()
A．6
B．12或512
C．6或512
D．12
2．已知 M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的 m∈R，均有 M∩N， 则 b 的取值范围是
∴ 所求 k 值的取值范围为{0，±2 1734，± 22}．
15．已知，是方程 4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数 f(x)=
2x－t x2+1 的定义
域为[，]． ⑴ 求 g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于 ui∈(0，2)(i=1，2，3)，若 sinu1+sinu2+sinu3=1，则g(ta1nu1)+g(ta1nu2)
；
【答案】1
y
【解析】当∠MPN 最大时，⊙MNP 与 x 轴相切于点 P(否则⊙MNP
N
与 x 轴交于 PQ，则线段 PQ 上的点 P使∠MPN 更大)．于是，延长 NM
M
交 x 轴于 K(－3，0)，有 KM·KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)， 但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点 P 的横坐标=1．
又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令 y=1 代入，得 f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即
f(x+1)=f(x)+1．②
比较①、②得，f(x)=x+1．
[来源:学科网 ZXXK]
10．设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k2－pk也是一个正整数，则 k=
；
【答案】14(p+1)2．
二．(本题满分 50 分)在平面直角坐标系 XOY 中，y 轴正半轴上的点列
C D
{An}与曲线 y= 2x(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=1n，直线 AnBn 在 x 轴
上的截距为 an，点 Bn 的横坐标为 bn，n∈N*．
⑴ 证明 an>an+1>4，n∈N*；
A
G K
F
O
K
P
x
三．解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 13．一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，
如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关．问： ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？
14．在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项．
∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选 B．
3．不等式 log2x－1+12log12x3+2>0 的解集为
A．[2，3)
B．(2，3]
C．[2，4)
D．(2，4]
【答案】C
【解析】令 log2x=t≥1 时， t－1>32t－2．t∈[1，2)，x∈[2，4)，选 C．
为( ) A．2
B．32
C．3
D．53
8．设函数 f：R→R，满足 f(0)=1，且对任意 x，y∈R，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，
则 f(x)=
；
9．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，二面角 A－BD1—A1 的度数是
10．设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k2－pk也是一个正整数，则 k=
则 当 三 棱 锥 O － HPC 的 体 积 最 大 时 ， OB 的 长 为
()
A．
5 3
B．2 3 5
C．
6 3
D．2 3 6
二．填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分)
7．在平面直角坐标 系 xOy 中，函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的
区间上的图像与函数 g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是
[来源:学#科#网]
三．(本题满分 50 分)对于整数 n≥4，求出最小的整数 f(n)，使得对于任何正整数 m，
集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个 f(n)元子集中，均至少有 3 个两两互素的元素．
【解析】⑴ 当 n≥4 时，对集合 M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}， 当 m 为奇数时，m，m+1，m+2 互质，当 m 为偶数时，m+1，m+2，m+3 互质．即 M 的子集
2(n 1bn)=tn2+
2tn=(tn+
22)2－
1 2
≥
( 2+ 22)2－12=4．
且由于 tn 单调减，知 an 单调减，即 an>an+1>4 成立．
亦可由n21bn=bn+2．n
1= bn
bn+2，得 an=bn+2+
2
bn+2，．
∴ 由 bn 递减知 an 递减，且 an>0+2+ 2 2=4．
n n2+1+n=
1 单调增．
1+(1n)2+
tn=n
1 >
bn
2且 tn 单调减．
由截距式方程知，bann+ 12bn=1，(1－2n2bn=n2bn2) n
∴
an=
bn 1－n
= 2bn
bn(1+n 2bn) 1－2n2bn
=
1+n 2bn n2bn
=(
n
1 )2+ bn
B1
A
OS C C1
D
5．设三位数 n=a¯b¯c¯，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则
2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛
2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛 一、选择题(每小题6分,共60分)1.已知f ( z -i )= z +2z -2i -1.则f (i 3)=( ).(A )2i -1 (B )-2i -1(C )i -1 (D )-i -12.若a ≠0,b >0,分别在同一坐标系内给出函数y =ax +b 和函数y =b ax 的图像(如图1),不可能的是( ).图1(A )①② (B )③④ (C )①③ (D )②④3.向量集合M ={a |a =(-1,1)+x (1,2),x ∈R },N ={a |a =(1,-2)+x (2,3),x ∈R }.则M ∩N =( ).(A ){(1,-2)} (B ){(-13,-23)}(C ){(-1,1)}(D ){(-23,-13)}4.如果直线l 沿x 轴负方向平移5个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么,直线l 的斜率是( ).(A )-15 (B )-5 (C )15 (D )55.若a 、b 满足0<a <b <1,则下列不等式中,正确的是( ).(A )a a <b b 3”(B )b a <b b (C )a a <b a 3”(D )b b <a a6.设双曲线的右准线与两渐近线交于A 、B 两点,以AB 为直径的圆过右焦点F.则双曲线的离心率为( ).(A )2 (B )22 (C )3 (D )237.已知函数f (x )的定义域为(a ,b ),且b -a >2.则F (x )=f (3x -1)-f (3x +1)的定义域为( ).(A )a -13,b +13 (B )a +13,b -13(C )a -13,b -13(D )a +13,b +138.已知函数f (x )=e x+1e x -1.若g (x )=f -1(-x ),则g (x )在区间( ).(A )(-1,+∞)上是增函数(B )(-1,+∞)上是减函数(C )(-∞,-1)上是增函数(D )(-∞,-1)上是减函数9.已知关于x 的方程sin 2x -(2a +1)cos x -a 2=0有实数解.则实数a 的取值集合是( ).(A )-54,1-2 (B )-54,1+2(C )[1-2,1+2](D )-32,1-2图210.如图2,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠ACB =90°,A E ⊥P B 于E ,A F ⊥PC 于F.若P A =AB =2,∠B PC =θ,则当△A EF 的面积最大时,tan θ的值为( ).(A )2 (B )12 (C )2 (D )22二、填空题(每小题6分,共24分)11.某人有10万元,准备用于投资房地62中等数学产或购买股票.如果根据盈利表(表1)进行决策,那么,合理的投资方案应该是.表 1盈利概率购买股票盈利投资房地产盈利巨大成功01310万元8万元中等成功0153万元4万元失 败012-5万元-4万元 12.已知sinα-cosα=12.则sin3α-cos3α的值是.13.将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球.则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是.14.设A1、A2是椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是.三、解答题(共66分)15.(12分)已知b>a>0,且a+b=1.给出下面的四个式子b,a+b2,2ab,a4-b4a-b由大到小的排列,并给出相应的证明.16.(12分)在平面四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且 a・b=b・c=m,c・d=d・a=n.(1)当m=n时,四边形ABCD是什么四边形?证明你的结论.(2)当m≠n时,四边形ABCD是什么四边形?证明你的结论.17.(12分)在数列{a n}中,a1=1,其前n 项和S n满足关系式3tS n-(2t+3)S n-1=3t(t>0,n=2,3,…).(1)求证:数列{a n}是等比数列;(2)设数列{a n}的公比为f(t),作数列{b n},使b1=1,b n=f1b n-1(n=2,3,…),求b n;(3)求b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+ b2n-1b2n-b2n b2n+1的值.图318.(15分)如图3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M、N、P分别是棱CC1、CB、CD的中点.(1)求证:A1P⊥平面DMN;(2)求四面体A1DMN的体积.19.(15分)如图4,圆盘上有一指针,开始时指向圆盘的正上方.指针每次顺时针方图4向绕圆盘中心转动一角α,且316°<α<180°,经2004次旋转,第一次回到了其初始位置,即又指向了圆盘的正上方.试问:α有多少个可能的不同值?参考答案一、1.B.令 z-i=i3=-i,所以, z=0,z=0.故f(i3)=-2i-1.2.D.观察图像①,可得出a>0,b>1,函数y=ax+ b和y=b ax的图像均满足要求,排除(A)、(C).观察图像②,由y=ax+b得出a>0,0<b<1;由y=b ax得出a>0,b>1或a<0,0<b<1,矛盾,排除(B).3.B.若a=(a1,a2)∈M∩N,则有a1=-1+x1=1+2x2,a2=1+2x1=-2+3x2.整理,得x1-2x2=2,2x1-3x2=-3.解得x1=-12,x2=-7.于是,有M∩N={(-1-12,1-24)}={(-13,-23)}.4.A.722005年第2期依题意,直线l沿向量a=(-5,1)平移后,回到原位.设直线l的方程为y=ax+ b.平移后方程仍有y′=ax′+b的形式,这里y′=y+1, x′=x-5]y=y′-1,x=x′+5.故平移后,直线l的方程为y′-1=a(x′+5)+b,即 y′=ax′+b+5a+1.所以,5a+1=0,a=-15.5.C.根据幂函数及指数函数的单调性,按题意应有b a>a a,b a>b b.而a a、b b大小关系不确定.6.A.设双曲线方程为x 2a2-y2b2=1.则右准线方程为x=a2c,渐近线方程为y=±bax.由此可得,点A、B的坐标分别为a2c,abc、a2c,-abc.从而知|AB|=2abc.设右准线与x轴的交点为K.则有|KF|=c-a2c=b2c.又|KF|=12|AB|,所以,b2c=abc.故a=b,即知e=2.7.B.由题意得a<3x-1<b,a<3x+1<b.a+13<x<b+13,a-13<x<b-13.因为b-a>2,则b-13-a+13=(b-a)-23>0,即 a+13<b-13.所以,不等式组的解为a+13<x<b-13.因此,F(x)的定义域为a+13,b-1 3.8.C.设y=e x+1e x-1.解得x=lny+1y-1.所以,f-1(x)=ln x+1x-1.故g(x)=f-1(-x)=ln-x+1-x-1=ln x-11+x.由x-11+x>0,得x<-1或x>1.所以,g(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).选项(A)、(B)均不正确.由g(x)=ln x-1x+1=ln1-2x+1在(-∞,-1)上,2x+1随x的增大而减小,则1-2x+1随x的增大而增大.因为ln x是增函数,所以,g(x)随x的增大而增大,即g(x)在区间(-∞,-1)上是增函数.9.B.将方程变形为cos2x+(2a+1)cos x+a2-1=0.令t=cos x,则方程变形为t2+(2a+1)t+a2-1=0.设f(t)=t2+(2a+1)t+a2-1,t∈[-1,1].由题意知实数a应满足(2a+1)2-4(a2-1)≥0,f(1)≥0,f(-1)≥0,-1≤-2a+12≤1,或 f(1)f(-1)≤0.解得-54≤a≤1+2.所以,实数a的取值集合是-54,1+2.10.D.因为P A⊥面ABC,则P A⊥BC.又BC⊥AC,故BC⊥面P AC.所以,面P BC⊥面P AC.因为AF⊥PC,则AF⊥面P BC,有AF⊥EF.又P A=AB=2,AE⊥P B,所以,AE=2.在Rt△AEF中,因为AF2+EF2=AE2=(2)2=2,所以,AF・EF≤AF2+EF22=1.因此,S△AEF=12AF・EF≤12×1=12.当且仅当AF=EF时,上式中的等号成立,即S△AEF取得最大值12.82中等数学这时,AE・EF=EF2=1]EF=1.又AF⊥面P BC,AE⊥P B,由三垂线定理的逆定理,得FE⊥P B.在Rt△PEF中,由PE=2,EF=1,知tanθ=12=22.二、11.投资房地产.购买股票盈利的期望值为013×10+015×3+012×(-5)=315(万元).投资房地产盈利的期望值为013×8+015×4+012×(-4)=316(万元).所以,合理的投资方案应该是投资房地产.12.11 16.sin3α-cos3α=(sinα-cosα)(sin2α+sinα・cosα+cos2α)=(sinα-cosα)(1+sinα・cosα).已知sinα-cosα=12,且(sinα-cosα)2=sin2α-2sinα・cosα+cos2α=14,故sinα・cosα=38.从而,有sin3α-cos3α=1116.13.0165.将5个小球分别放入5个盒子内的放法共有N=5!=120(种).红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的放法分为两类:(1)红球在黄盒内,这时有放法n1=4!=24(种);(2)红球不在红盒内也不在黄盒内时,有放法n2=C13C13A33=54(种);红球不在红盒内且黄球不在黄盒内,共有放法n=n1+n2=24+54=78(种).所以,红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为P=nN=78120=0165.14.x 2a2-y2b2=1.设点P1的坐标为(x0,y0),则有P2(x0,-y0)、A1(-a,0)、A2(a,0).A1P1所在直线的方程为y=y0x0+a(x+a).A2P2所在直线的方程为y=-y0x0-a(x-a).两式相乘,并利用x20a2+y20b2=1,消去x0、y0有y2=-y20a2-x20(a2-x2)=-b2a2(a2-x20)a2-x20(a2-x2)=-b2a2(a2-x2).整理得x2a2-y2b2=1.三、15.四个式子由大到小的排序是b>a4-b4a-b>a+b2>2ab.因为b>a>0,且a+b=1,所以,a4-b4a-b=(a+b)(a2+b2)=a2+b2,(a+b)22=12=a+b2.由b-(a2+b2)=b-a2-b2=b(1-b)-a2=a(b-a)>0,有b>a2+b2,即b>a4-b4a-b.由a2+b2>2ab,得2(a2+b2)>(a+b)2,则a2+b2>(a+b)22,即a4-b4a-b>a+b2.由a+b>2ab,12>ab,14>ab,12>2ab,有a+b2>2ab.所以,b>a4-b4a-b>a+b2>2ab.16.(1)当m=n时,即a・b=b・c=c・d=d・a.由a+b+c+d=0,得b+d=-(a+c).因为a・b+d・a=b・c+c・d,所以,a・(b+d)=c・(b+d).则a・(a+c)=c・(a+c),a2+a・c=a・c+c2.因此,a2=c2,即|a|2=|c|2,|a|=|c|.同理可得|b|=|d|.故四边形ABCD是平行四边形.又cos(180°-∠B)=a・b|a|・|b|=b・c|b|・|c|=cos(180°-∠C),所以,∠B=∠C.又由AB∥CD得∠B+∠C=180°,所以,922005年第2期∠B=∠C=90°.因此,四边形ABCD是矩形.(2)当m≠n时,四边形ABCD是等腰梯形.由(1)得|a|=|c|,∠B=∠C.同理可得∠A=∠D.因此,∠A+∠B=∠C+∠D=180°.故AD∥BC.下面用反证法证明AD≠BC.假设AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形.由此得a=-c,b=-d,则a・b=(-c)・(-d)=c・d.因为a・b=m,c・d=n,则m=n,这与m≠n 矛盾.所以,AD≠BC.又|a|=|c|,则AB=CD.所以,四边形ABCD是等腰梯形.17.(1)由已知3tS2-(2t+3)S1=3t,即 3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t.由a1=1,解得a2=2t+33t.所以,a2a1=2t+33t.当n≥2时,有3tS n+1-(2t+3)S n=3t,①3tS n-(2t+3)S n-1=3t.②①-②得3ta n+1-(2t+3)a n=0.则a n+1a n=2t+33t.综上所述,知a n+1a n=2t+33t(n≥1).因此,{a n}是等比数列. (2)由(1)知f(t)=2t+33t,则b1=1,b n=2・1b n-1+33・1b n-1=23+b n-1.所以,b n-b n-1=23(n=2,3,…).因此,{b n}是等差数列,且b1=1,d=b n-b n-1=2 3.故b n=b1+(n-1)d=23n +13.(3)b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2n b2n+1 =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)=-43(b2+b4+…+b2n)=-43・n(b2+b2n)2=-43・n53+4n+132=-89n2-43n.18.(1)如图3,联结AP,则Rt△ADP≌Rt△DCN.有∠DAP=∠CDN,∠DAP+∠ADN=∠CDN+∠ADN=90°.故AP⊥DN.又A1A⊥平面ABCD,AP是A1P在平面ABCD内的射影,所以,A1P⊥DN.同理,A1P⊥DM.因为DM与DN相交于点D,所以,A1P⊥平面DMN.注:也可以建立坐标系利用向量证明.图5(2)如图5,联结A1D、B1C,B1C与MN相交于点E,联结DE交A1P于点H,则AH为四面体A1DMN的面DMN上的高.因正方体的棱长为2,则B1C=22,CE=14B1C=22.在Rt△CDE中,有DE=DC2+CE2=322.因为Rt△DHP∽Rt△DCE,所以,HPCE=DPDE.从而,HP=CE・DPDE=13.又A1P=DA21+DP2=3,所以,A1H=83.在△DMN中,由DM=DN,MN=CM2+CN2=2,且E是MN的中点,有DE⊥MN.则S△DMN=12MN・DE=32.故V四面体A1DMN=13×32×83=43.19.显然有316°<α=n×360°2004<180°.①(下转第42页)故DNTB =CD CB,即DN・CB=CD・TB.因此,DN・CB=CN・AB.(2)因为N为BM的中点,则BN=MN=6.又DM∥AB,所以,∠DMB=90°.如图5,过A作AG⊥MD交MD的延长线于点G,延长DN交AB的延长线于点F,设E为AD的中点,联结EF.因为∠ADN=∠BAD,所以,EF⊥AD.因为∠ABC=∠DMB=∠AG D=90°,AB=BM =12,所以,四边形ABMG为正方形.由于∠G AD=∠AFE,所以,△AG D∽△FE A.故G DAE =ADAF,即AD2=2G D・AF.①设B F=DM=x,则AF=12+x,G D=12-x.由勾股定理,有AD2=122+(12-x)2.代入式①,得122+(12-x)2=2(12+x)(12-x).解得x=8.因此,S△DMN=12・DM・MN=12×6×8=24.三、设这个四位数为abcd.由题意,得1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=2004,即 1001a+101b+11c+2d=2004.①显然a=1或2,否则1001a>3000.(1)当a=1时,式①两边同时减去1001,得101b+11c+2d=1003.因为11c+2d的最大值为99+18=117,故101b ≥886,所以,b=9.从而,有11c+2d=1003-909=94.由于0≤2d≤18,则有94-18≤11c≤94.故c=7或8.当c=7时,11c+2d=77+2d=94,得d=172 (舍去);当c=8时,11c+2d=88+2d=94,得d=3.此时,这个四位数为1983.(2)当a=2时,式①两边同时减去2002,得101b+11c+2d=2.所以,b=0,c=0.故d=1.此时,这个四位数为2001.综上所述,所求的四位数为1983和2001.(杨 晋 安徽省芜湖市第13中学,241002)(上接第30页) 这里n是当指针第一次回到其初始位置时已经转过的圈数.因n是正整数,式①整理后可得21≤n≤1001.同时n必与2004互质,即(n,2004)=1.设d=(n,2004).若有d>1,则令n1=nd,n2=2004d.此时有α=n1×360°n2.这意味着指针转动n2次,每次转动角α,指针则旋转n1圈之后,回到其初始位置,与题设矛盾.由上述讨论可知,对任一满足21≤n≤1001,且(n,2004)=1的n,对应一个可能的α.反之亦然.故问题成为求满足上述两个条件的所有n的个数.因为2004=22×3×167,所以,(n,2004)=1Ζ28n,38n,1678n.在不大于1001的正整数中,不能被2或3整除的正整数共有1001-10012+10013-10012×3=1001-(500+333-166)=334(个).(符号[a]表示不超过a的最大整数.)其中只有1×167及5×167能被167整除,所以,不大于1001且满足条件的n共有334-2=332个.再去掉1,5,7,11,13,17,19这7个不大于20的数,知同时满足两个条件的n共有332-7=325个.因此,α共有325个可能的不同值.(李耀文 提供)。
2004年全国高中数学联合竞赛加试及解答
二○○四年全国高中数学联赛加试试卷
考生注意： 1、 本试卷共三大题，全卷满分150分．
2、 卷面的第1页、第3页、第5页印有试题，第2页、第4页、第6页是空白页，留作答
题用．
3、 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．
4、 解题书写不要超出装订线．
一．（本题满分50分）
在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ．已知25BC =，20BD =，7BE =，求AK 的长．
二．（本题满分50分）
在平面直角坐标系xOy 中，y 轴正半轴上的点列{}n A
与曲线y =0x ≥）上的点列{}n B 满足1n n OA OB n
==，直线n n A B 在x 轴上的截距为n a ，点n B 的横坐标为n b ，*n N ∈．
（I ）证明14n n a a +>>，*n N ∈．
（II ）证明有*0n N ∈，使得对0 n n ∀>，都有3121212004n n n n
b b b b n b b b b +-++++<-L ．
B
三．（本题满分50分）
对于整数4n ≥，求出最小的整数()f n ，使得对于任何正整数m ，集合{},1,,1m m m n ++-L 的任一个()f n 元子集，均有至少3个两两互素的元素．。
4全国高中数学联赛试题及参考答案
2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角q 使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根，则q 的弧度数为A ．6πB 。
12512ππ或C 。
1256ππ或D 。
12π答：[ ]2、已知M={}32|),(22=+y xy x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B 。
（26,26-）C 。
（332,332-） D 。
[332,332-] 答：[ ]3、不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是A ．[2，3]B 。
（2，3）C 。
[2，4]D 。
（2，4） 答：[ ]4、设O 点在△ABC 内部，且有032=++OC OB OA ，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A ．2B 。
23C 。
3D 。
35答：[ ]5、设三位数abc n =，若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有A ．45个B 。
81个C 。
165个D 。
216个 答：[ ]6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 是PA 的中点，则当三棱锥O —HPC 的体积最大时，OB 的长是A ．35B 。
352C 。
36D 。
362 答：[ ]二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数)0(cos sin )(〉+=a ax ax a x f 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2+=a x g 的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。
8、设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
2004年全国高中数学联赛(四川省初赛含答案)
－
……5'
对其余数字有完全相同的结论. n(n＋1) n－1 － 于是 Sn＝(1＋2＋3＋……＋n)(2n 1－1)＝ (2 －1) 2 ∴ lim n(n＋1)(2n 1－1) 1 Sn ＝ lim ＝ Bn n→∞ 2n2· 2n 4 n→∞n ·
(a2－R2)(R2－b2) 2 2 a2b2 ＝ ＝a ＋b －R2－ 2 2 R R ab ＝(a－b)2－(R－ )2≤(a－b)2. R 即|AB|≤a－b，当且仅当 R＝ ab时取等号. 所以，A、B 两点的距离|AB|的最大值为 a－b. ……20' ……15'
第5页
∵AE、AF 分别是△ABC 的∠A 及其外角平分线， ∴AE⊥AF 又∵HE⊥AE，HF⊥AF ∴四边形 AEHF 为矩形. 因此 AH 与 EF 互相平分，设其交点为 G 1 1 于是：AG＝ AH＝ EF＝EG 2 2 而 OA＝OM，且 OD∥AH ∴∠OAM＝∠OMA＝∠MAG＝∠GEA 故 EG∥OA (1) ……10' ……5'
第1页
H、K 三点的平面交侧棱 VC 于 L，则四边形 AHLK 的面积为_______________. 12．已知 a、b、x 是实数，函数 f(x)＝x2－2ax＋1 与函数 g(x)＝2b(a－x)的图象不相交，记参 数 a、 b 所组成的点(a， b)的集合为 A， 则集合 A 所表示的平形图象的面积为___________. 三、解答题(每小题 20 分，4 个小题共计 80 分) 13．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝2an－1＋n－2(n≥2)，求通项 an. 14．如图，O、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心，D 是 BC 边的中点， 由 H 向∠A 及其外角平分线作垂线， 垂 足分别是 E 是 F.证明：D、E、F 三点共线. 15．设 A＝{1，2，……，n}，用 Sn 表示 A 的所有非空真
2004年全国高中数学联赛试题及解答
2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4x cos+cos=0有重根，则的弧度数为( )A．B．或C．或D．2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是( )A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，]3．不等式+log x3+2>0的解集为A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]4．设点O在ABC的内部，且有+2+3=，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A．2 B．C．3 D．5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A．45个B．81个C．165个D．216个6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )A．B．C．D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是；8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；11．已知数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，则的值是；12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P 在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[，]．⑴求g(t)=max f(x)－min f(x)；⑵证明：对于u i∈(0，)(i=1，2，3)，若sin u1+sin u2+sin u3=1，则++ <．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{A n}与曲线y=(x≥0)上的点列{B n}满足|OA n|=|OB n|=，直线A n B n在x轴上的截距为a n，点B n的横坐标为b n，n∈N*．⑴证明a n>a n+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2004．三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4x cos+cot=0有重根，则的弧度数为( )A．B．或C．或D．解：由方程有重根，故=4cos2－cot=0，∵ 0<<，2sin2=1，=或．选B．2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是( )A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，]解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，2b2≤3，b∈[－，]．选A．3．不等式+log x3+2>0的解集为A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]解：令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2)，x∈[2，4)，选C．4．设点O在ABC的内部，且有+2+3=，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A．2 B．C．3 D．解：如图，设AOC=S，则OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3选C．5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A．45个B．81个C．165个D．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C．6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )A．B．C．D．解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．OH⊥PB，OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．而OCH的面积在OH=HC=时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=时，由PO=2，知∠OPB=30，OB=PO tan30=．又解：连线如图，由C为PA中点，故V O－PBC=V B－AOP，而V O－PHC∶V O－PBC==(PO2=PH·PB)．记PO=OA=2=R，∠AOB=，则V P—AOB=R3sincos=R3sin2，V B－PCO=R3sin2．===．V O－PHC=R3．∴令y=，y==0，得cos2=－，cos=，∴OB=，选D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是；解：f(x)=sin(ax+)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填．又解：∫[1－sin(ax+)]dx=∫(1－sin t)dt=．8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2．令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．①又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②比较①、②得，f(x)=x+1．9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，BN=D1M=NM=．A1M=AN=．∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NA cos，12=++－2cos，cos=．=60．10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；解：设=n，则(k－)2－n2=，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k=(p+1)2．11．已知数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，则的值是；解：=+，令b n=+，得b0=，b n=2b n－1，b n=2n．即=，=(2n+2－n－3)．12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使∠MPN更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P的横坐标=1．三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？解：⑴设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，由6n>2n，知，n≤4．即最多能过4关．⑵要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率==；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数，有C个(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－=；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C==56种，不能过关的概率==，能过关的概率=；∴连过三关的概率==．14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．解：⑴设点P的坐标为(x，y)，AB方程：+=1，4x－3y+4=0，①BC方程：y=0，②AC方程：4x+3y－4=0，③∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，25y2+16x2－(3y－4)2=0，16x2+16y2+24y－16=0，2x2+2y2+3y－2=0．或25y2－16x2+(3y－4)2=0，16x2－34y2+24y－16=0，8x2－17y2+12y－8=0．∴所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0，④或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0．⑤但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵ABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+．⑥(a) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b) k=0时，直线y=与圆④切于点(0，)，与双曲线⑤交于(±，)，即k=0满足要求．(c) k=±时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c) k0时，k时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－=0．当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得k=±与k=±．∴所求k值的取值范围为{0，±，±}．15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[，]．⑴求g(t)=max f(x)－min f(x)；⑵证明：对于u i∈(0，)(i=1，2，3)，若sin u1+sin u2+sin u3=1，则++<．解：⑴ +=t，=－．故<0，>0．当x1，x2∈[，]时，∴f (x)==．而当x∈[，]时，x2－xt<0，于是f (x)>0，即f(x)在[，]上单调增．∴g(t)=－====⑵g(tan u)==≥，∴ ++≤[163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥()2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．∴++≤(75－3)=．由于等号不能同时成立，故得证．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．解：∵BC=25，BD=20，BE=7，∴CE=24，CD=15．∵AC·BD=CE·AB，AC=AB，①∵BD⊥AC，CE⊥AB，B、E、D、C共圆，AC(AC－15)=AB(AB－7)，AB(AB－15)=AB(AB－18)，∴AB=25，AC=30．AE=18，AD=15．∴DE=AC=15．延长AH交BC于P，则AP⊥BC．∴AP·BC=AC·BD，AP=24．连DF，则DF⊥AB，∵AE=DE，DF⊥AB．AF=AE=9．∵D、E、F、G共圆，∠AFG=∠ADE=∠ABC，AFG∽ABC，∴=，AK==．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{A n}与曲线y=(x≥0)上的点列{B n}满足|OA n|=|OB n|=，直线A n B n在x轴上的截距为a n，点B n的横坐标为b n，n∈N*．⑴证明a n>a n+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2004．解：⑴点A n(0，)，B n(b n，)由|OA n|=|OB n|，b n2+2b n=()2，b n=－1(b n>0)．∴ 0<b n<．且b n递减，n2b n=n(－n)= =单调增．∴ 0<n<．令t n=>且t n单调减．由截距式方程知，+=1，(1－2n2b n=n2b n2)∴a n====()2+()=t n2+t n=(t n+)2－≥(+)2－=4．且由于t n单调减，知a n单调减，即a n>a n+1>4成立．亦可由=b n+2．=，得 a n=b n+2+，．∴由b n递减知a n递减，且a n>0+2+=4．⑵即证(1－)>2004．1－===k2(()2－()2)≥>>．∴(1－)>>(+)+(+++)+…+>+++…．只要n足够大，就有(1－)>2004成立．三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．解：⑴当n≥4时，对集合M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}，当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)≤n．①取集合T n={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则T为M(2，n)={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．但card(T)=[]+[]－[]．故f(n)≥[]+[]－[]+1．②由①与②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．现计算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4(k0(mod2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f(6)=5．而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故f(n+1)≤f(n)+1．③∴f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8．∴对于4≤n≤9，f(n)= []+[]－[]+1成立．④设对于n≤k，④成立，当n=k+1时，由于M(m，k+1)=M(m，k－5)∪{m+k－5，m+k－4，…，m+k}．在{m+k－5，m+k－4，…，m+k}中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M(m，k－5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是当n≥4时，f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[]+[]－[]+1，比较②，知对于n=k+1，命题成立．∴对于任意n∈N*，n≥4，f(n)= []+[]－[]+1成立．又可分段写出结果：f(n)=。
2004年全国高中数学联赛试题解答
A. 5 / 3 B. 2 5 / 3 C. 6 / 3 D. 2 6 / 3
答(D).∵ AB ⊥ OB , AB ⊥ OP ,
∴ AB ⊥ PB ,面 PAB ⊥ 面 POB .
∵ OH ⊥ PB ,∴ OH ⊥ HC , OH ⊥ PA .
∵ C 是 PA 中点,
∴ OC ⊥ PA .
P
PC 是三棱锥 P −
包括:“得 300 分”与“得 400 分”两种情形.
而学生一旦在(I)问中已求得这名同学得 300
分的概率 P1 = 0.228 ,则这名同学至少得 300 分的概率 P2 = P1 + 0.8 × 0.7 × 0.6 = 0.564 .
然而,(II)问若从反面入手,则相对比较繁
琐.因为“至少得 300 分”的反面包括“得 0
比为
A.2 B.3/2 C.3 D.5/3 则 OuuAuv答+(OuCu)Cuv,设= 2DOuu,DuEv ,分OuuBu别v +是OuuCuAvC= ,2BOuuCEuv边,从的而中有点,
·28·
uuuv 2OD
+
uuuv 4OE
uuuv OE
共线,且
=OuuOuDuvuAuv=+22OOuuuuEBuuvv
{(x, y) y = mx + b} .若对于所有 m ∈ R ,均有
M I N ≠ ∅ ,则 b 的取值范围是
A.[− 6 / 2, 6 / 2] B. (− 6 / 2, 6 / 2)
C. (−2 3 / 3, 2 3 / 3] D. [−2 3 / 3, 2 3 / 3] 答 (A). M I N ≠ ∅ 相当点 (0,b) 在椭圆 x2 + 2 y2 = 3 上或它的内部,
2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案高中一年级
2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案高中一年级（2004年5月23日上午9：00---11：00）考生注意：本试卷共六道大题，满分140分． 说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题、填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的档次给分，不要再增加其它中间档次.2．如果考生的解答与本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的评分档次，给予相应的分数.一、选择题（本题满分30分，每小题5分.本题共有六个小题，每小题后面给出了A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律的零分．1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( )A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>a Ｃ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---=[]xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题要求直接写出结果．1．f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期2，则f(-1)的值为_______________． 解：)()2(x f x f =+ 令1-=x ∴)1()21(-=+-f f . 即0)1()1()1()1(=-∴-=-=f f f f .应填0.2．集,22|{knx x M -== 其中n, k ∈N, 且n ＞k}, 集P={x|1912≤x ≤2004且x ∈N}，则集合M ∩P 中所有元素的和等于________．解：∵1024210=，211=2048，∴集合M ∩P 中所有元素必为211-2k （其中 k ∈N ）的形式，又1912≤211-2k ≤2004，故44≤2k ≤136，符合条件的k 只能等于6和7，所以集合M ∩P 中只有两个元素，即为211-26=1984和211-27=1920，其和为1984+1920=3904．本题应填3904.3．已知f(x)=221+x,则f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________．解：利用f(x)+f(1-x)=22,可得结果为21002.应填21002. 4．已知数列{n a }，其中991199=a ，1)(1a n n a a -= ，则n a 为整数时最小的正整数n 是________．解：显然对任意的正整数n,均有n a ＞0，由1)(1a n n a a -=两边取对数得11lg lg -=n n a a a ，故{n a lg }是以1lg a 为首项，1a 为公比的等比数列，所以111lg lg a a a n n -=，得)1(99111999911)99(--==n n a n a a ，欲使n a 为整数，必有n-1=99k,(k 为正整数)，故所求的最小的正整数n 是100．应填100.5．设函数)(3)(R a ax x x f ∈-+=，若使),1()(+∞在x f 上为增函数，则a 的取值范围为______________.解：设a x t -=，则原函数化为tat t a t t f ++=++=33)(2，因为),1()(+∞在x f 上为增函数，所以)(t f 在),1(+∞-a 上为增函数.当03≤+a 即3-≤a 时显然符合；当03>+a 时，因为)(t f 在),3(+∞+a 上为增函数，所以a a -≤+13，即13-≤<-a ，综上可知所求a 的取值范围为]1,(--∞.应填]1,(--∞.6．函数()sin sin cos cos f x x x x x =+的值域是______________. 解：由函数()sin sin cos cos f x x x x x =+，当x 的终边落在第一象限时，;1cos sin )(22=+=x x x f当x 的终边落在第二象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈-=-=x x x x f 当x 的终边落在第三象限时，;1cos sin )(22-=--=x x x f当x 的终边落在第四象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈=+-=x x x x f 当x 的终边落在两个坐标轴上时，()11f x =-或；综上所述()f x 的值域是 [－1,1] ．应填[－1,1]. 三、（本题满分20分）设,5),(01=∈>*a N n a n 当ｎ≥2时，6711+-=+--n n n n a a a a ，求数列｛n a ｝的通项公式．解：∵条件可化为7661212+-=---n n n n a a a a ，配方，得7)3()3(212=----n n a a ．---------10分∴,37)1(7)3()3(212-=-+-=-n n a a n故337+-=n a n ． --------------20分四、（本题满分20分） 已知函数.2cos )24(sin sin 4)(2x xx x f ++=π（1）设ω>0为常数，若]32,2[)(ππω-=在区间x f y 上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合},2|)(||{},326|{<-=≤≤=m x f x B x x A ππ若A ⊆B ，求实数m 的取值范围.解：（1）.1sin 2sin 21)sin 1(sin 22cos 2)2cos(1sin 4)(2+=-++=++-⋅=x x x x x x x x f π-------------------------5分分是增函数在10]43,0(,232]2,2[]32,2[,]32,2[1sin 2)(-------∈∴≤⇒-⊆-∴-+=ωωππωπωπππππωωx x f分分恒成立不等式时当即由20)4,1(.3)2()(,2)6()(15]2)([]2)([.2)(2)(,326.2)(2)(,2)(22|)(|)2(max min min max -----∈∴====----------+<<-∴+<<-≤≤∴⊆∴+<<-<-<-⇒<-m f x f f x f x f m x f x f m x f x B A x f m x f m x f m x f ππππ五、（本题满分20分）锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ，OMN ABC ∠=∠4，OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．解：设θ=∠OMN ，则θ4=∠ABC ，θ6=∠ACB ，OAB CMNθ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC ---5分又θ1018021-︒=∠=∠=∠BAC BOC NOC θ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MON ----------10分OMN OMN MON ONM ∠==+-︒-︒=∠+∠-︒=∠θθθ)2180(180)(180即OMN ∆为等腰三角形，OC OA OM ON 2121===-------15分 ∵︒=∠90ONC ，∴︒=∠60NOC ，又∵θ10180-︒=∠NOC ，∴︒==∠12θOMN ---------------20分六、（本题满分20分）是否存在定义在实数集R 上的函数f(x)，使得对任意R x ∈，有x x f f =))((且x x f f -=+1)1)((若存在，写出符合条件的一个函数；若不存在，说明理由.解：这样的函数不存在.--------------------------5分 下面用反证法证明：若存在)(x f 使得（1）、（2）均成立.先证)(x f 是一一映射.对于任意的R b a ∈,，若)()(b f a f =，由（1）有b b f f a f f a ===))(())((，即)(x f 是一一映射.-------------------10分将0=x 代入（1），则有0))0((=f f --------------- (3) 将1=x 代入（2），得0)1)1((=+f f ----------------------(4)由（3）、（4）得：)1)1(())0((+=f f f f ----------------------------------15分 因为)(x f 是一一映射，所以1)1()0(+=f f ---------------------(5) 同理，分别将1=x 与0=x 代入（1）、（2），得)1)0(())1((+=f f f f 所以 1)0()1(+=f f ------------------------------------------(6) 将(5)与（6）相加得0=2，矛盾.--------------------------------------20分。
2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案
2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案高中一年级（2004年5月23日上午9：00---11：00）考生注意：本试卷共六道大题，满分140分． 说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题、填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的档次给分，不要再增加其它中间档次.2．如果考生的解答与本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的评分档次，给予相应的分数.一、选择题（本题满分30分，每小题5分.本题共有六个小题，每小题后面给出了A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律的零分．1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( )A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ． 5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---=[]xx y 54153s i n )s i n (c o s )c o s ()(c o s c o s 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是（ ）A. πB. π2C.34π D. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）本题要求直接写出结果．1．f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期2，则f(-1)的值为_______________．解：)()2(x f x f =+ 令1-=x ∴)1()21(-=+-f f . 即0)1()1()1()1(=-∴-=-=f f f f .应填0.2．集,22|{k n x x M -== 其中n, k ∈N, 且n ＞k}, 集P={x|1912≤x ≤2004且x ∈N}，则集合M ∩P 中所有元素的和等于________．解：∵1024210=，211=2048，∴集合M ∩P 中所有元素必为211-2k （其中 k ∈N ）的形式，又1912≤211-2k ≤2004，故44≤2k ≤136，符合条件的k 只能等于6和7，所以集合M ∩P 中只有两个元素，即为211-26=1984和211-27=1920，其和为1984+1920=3904．本题应填3904.3．已知f(x)=221+x,则f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________．解：利用f(x)+f(1-x)=22,可得结果为21002.应填21002. 4．已知数列{n a }，其中991199=a ，1)(1a n n a a -= ，则n a 为整数时最小的正整数n 是________．解：显然对任意的正整数n,均有n a ＞0，由1)(1a n n a a -=两边取对数得11lg lg -=n n a a a ，故{n a lg }是以1lg a 为首项，1a 为公比的等比数列，所以111lg lg a a a n n -=，得)1(99111999911)99(--==n n a n a a ，欲使n a 为整数，必有n-1=99k,(k 为正整数)，故所求的最小的正整数n 是100．应填100.5．设函数)(3)(R a ax x x f ∈-+=，若使),1()(+∞在x f 上为增函数，则a 的取值范围为______________.解：设a x t -=，则原函数化为tat t a t t f ++=++=33)(2，因为),1()(+∞在x f上为增函数，所以)(t f 在),1(+∞-a 上为增函数.当03≤+a 即3-≤a 时显然符合；当03>+a 时，因为)(t f 在),3(+∞+a 上为增函数，所以a a -≤+13，即13-≤<-a ，综上可知所求a 的取值范围为]1,(--∞.应填]1,(--∞.6．函数()sin sin cos cos f x x x x x =+的值域是______________. 解：由函数()sin sin cos cos f x x x x x =+，当x 的终边落在第一象限时，;1cos sin )(22=+=x x x f当x 的终边落在第二象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈-=-=x x x x f 当x 的终边落在第三象限时，;1cos sin )(22-=--=x x x f当x 的终边落在第四象限时，);1,1(2cos cos sin )(22-∈=+-=x x x x f 当x 的终边落在两个坐标轴上时，()11f x =-或； 综上所述()f x 的值域是 [－1,1] ．应填[－1,1]. 三、（本题满分20分）的通项公式．解：∵条件可化为7661212+-=---n n n n a a a a ，配方，得7)3()3(212=----n n a a ．---------10分∴,37)1(7)3()3(212-=-+-=-n n a a n四、（本题满分20分）五、（本题满分20分）锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ，OMN ABC ∠=∠4，OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．解：设θ=∠OMN ，则θ4=∠ABC ，θ6=∠ACB ，θ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC ---5分又θ1018021-︒=∠=∠=∠BAC BOC NOCθ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MON ----------10分OMN OMN MON ONM ∠==+-︒-︒=∠+∠-︒=∠θθθ)2180(180)(180即OMN ∆为等腰三角形，OC OA OM ON 2121===-------15分 ∵︒=∠90ONC ，∴︒=∠60NOC ，又∵θ10180-︒=∠NOC ，∴︒==∠12θOMN ---------------20分六、（本题满分20分）是否存在定义在实数集R 上的函数f(x)，使得对任意R x ∈，有x x f f =))((且x x f f -=+1)1)((若存在，写出符合条件的一个函数；若不存在，说明理由.解：这样的函数不存在.--------------------------5分 下面用反证法证明：若存在)(x f 使得（1）、（2）均成立.先证)(x f 是一一映射.对于任意的R b a ∈,，若)()(b f a f =，由（1）有b b f f a f f a ===))(())((，即)(x f 是一一映射.-------------------10分将0=x 代入（1），则有0))0((=f f --------------- (3) 将1=x 代入（2），得0)1)1((=+f f ----------------------(4)由（3）、（4）得：)1)1(())0((+=f f f f ----------------------------------15分 因为)(x f 是一一映射，所以1)1()0(+=f f ---------------------(5) 同理，分别将1=x 与0=x 代入（1）、（2），得)1)0(())1((+=f f f f 所以 1)0()1(+=f f ------------------------------------------(6) 将(5)与（6）相加得0=2，矛盾.--------------------------------------20分说明：填空题函数偏多，三、四题可对调位置。
历年联赛题-2004年全国高中数学联赛
闭图形的面积是
.
8. 设函数 f : R →R ,满足 f (0) = 1 ,且对任意 x 、y
∈R ,都有 f ( xy + 1) = f ( x) f ( y) - f ( y) - x + 2. 则
f ( x) =
.
9. 如 图 3 , 正 方 体
ABCD - A1 B1 C1 D1 中 ,二
2 004.
三 、(50 分) 对于整数 n ( n ≥4) ,求出最小的整数
f ( n) ,使得对于任何正整数 m ,集合{ m , m + 1 , …,
m + n - 1}的任一个 f ( n) 元子集中 ,均有至少 3 个
两两互质的元素.
参考答案
一 、1. B.
因题设方程有重根 ,故Δ = 16cos2θ- 4cot θ= 0.
bn + 1 +
1 3
= 2 ( bn +
1 3
)
.
故数列
bn +
1 3
是公比为 2 的等比数列.
bn +
1 3
=2n
b0 +
1 3
=2n
1 a0
+
1 3
=
1 3
×2 n + 1 ,
即 bn =
1 3
20
中等数学
竞赛之窗
2004 年全国高中数学联赛
一 、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分)
1. 设锐角θ使关于 x 的方程 x2 + 4 xcosθ+ cot θ
= 0 有重根. 则θ的弧度数为 ( ) .
(A)
π 6
2004年全国高中数学联赛河南省预赛试卷高中一年级
2004年全国高中数学联赛河南省预赛试卷高中一年级（2004年5月23日上午9：00---11：00）考生注意：本试卷共六道大题，满分140分．一、选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有六个小题，每小题后面给出了A 、B 、C 、D 四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律得零分．1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项和，则)(*∈N n S n 中最大的是( )A. 10SB. 11SC. 20SD. 21S 3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．44．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>a Ｃ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ）A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---=D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---=6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π二、填空题：本题满分30分，每小题5分.本题要求直接把结果写在横线上．1．f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为2，则f(-1)的值为_______________．2．集,22|{kn x x M -== 其中n, k ∈N, 且n ＞k}, 集P={x|1912≤x ≤2004且x ∈N}，则集合M ∩P 中所有元素的和等于________．3．已知f(x)=221+x,则f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2002)+f(2003)+f(2004)=________．4．已知数列{n a }，其中991199=a ，1)(1a n n a a -= ，则n a 为整数时最小的正整数n 是________．5．设函数)(3)(R a ax x x f ∈-+=，若使),1()(+∞在x f 上为增函数，则a 的取值范围为______________.6．函数()sin sin cos cos f x x x x x =+的值域是______________. 三、（本题满分20分）项公式．四、（本题满分20分）五、（本题满分20分）锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ，OMN ABC ∠=∠4，OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．六、（本题满分20分）是否存在定义在实数集R 上的函数f(x)，使得对任意R x ∈，有x x f f =))((且x x f f -=+1)1)((.若存在，写出符合条件的一个函数；若不存在，请说明理由.。