二进制与十进制数间的转换二进制数的四则运算
二进制数算术运算
二进制数算术运算二进制数的加、减、乘、除四则运算，在数字系统中是常常遇到的，它们的运算规章与十进制数很相像。
加法运算是最基本的一种运算,利用它的运算规章可以实现其它三种运算。
例如，减法运算可以借助转变减数的符号再与被减数相加,乘法运算可视为被乘数的连加，而除法则可视为被除数重复地减去除数。
1.二进制加法二进制加法运算的规章可简洁描述如下：1被加数00111加数+0+1+0+1+1和01110112.二进制减法这里先介绍无符号数的减法，其规章如下：借入被减数01110减数-0-0-1-1差01013.二进制乘法二进制乘法与十进制乘法相同，下面列出了四条规章：０×０＝００×１＝０１×０＝０１×１＝１4.二进制除法二进制除法与十进制除法相同。
5.用带符号位的二进制数实现减法运算(1)带符号位的二进制数一个二进制数既可表示为正数，也可表示为负数，其方法是在二进制数之前加一符号位。
通常用０表示正数，而用１表示负数，其余数位表示数的大小，例如，+5=0101，-5=1101。
(2)补码的概念补码是负数的一种表示方法。
现以人们熟识的十进制数为例来说明补码的概念。
常规减法运算以10为模的减法运算878787- 24-24=+76 63163可见，将减数24变为以10为模（称为模10）的补码为+76，然后相加并丢弃进位数，其结果相同。
模10的补码是这样求得的，模数10减1作为底数9，然后将减数的每一位数码从底数9中减去得到相应的数码，然后加1便得到补码。
在上例中99-24+1=75+1=76。
(3)二进制的模2补码及减法运算与模10的补码相类似，当二进制形成模2的补码时，模数2减1作为底数1，然后将减数的每一位从底减去，得到相应的位的数码，然后加1，便得到补码。
例如，011的模2补码为101。
实际上，一种简便的方法是将二进制数码中的0变为1、1变为0，再加1即可得到模2的补码。
二进制数和十进制数相互转换的另一种方法
二进制数和十进制数相互转换的另一种方法
二进制与十进制的相互转换是一个广泛流行的计算机科学和数学概念。
它的原理是很简单的，但是掌握了这种技能将变得无所不能，可以保持数学和计算能力的高度。
下面介绍一种二进制和十进制相互转换的方法。
该方法称为“四则运算”，即运用加减乘除四则运算法，使用四则运算将二进制转换为十进制，或者将十进制转化为二进制。
在这种方法中，从最右端开始，为第一个位置，向左依次增加一位，将1或者0代表二进制，此外，十进制值的比较时，也需要从右端开始，依次增加一位，表示十进制。
十进制转换为二进制的实现：首先，将十进制数转换为二进制数字，以45为例，首先将45除以2，得到结果22和余数1，继续将22除以2得到结果11和余数0，同理将11除以2得到结果5和余数1，再将5除以2得到结果2和余数1，最后将2除以2得到结果1和余数0，根据结果从右到左依次读取出结果101101，即为45的二进制表示。
二进制转换成十进制的实现：以11000为例，先与2按位相乘，1乘以2的三次方，再乘以2的二次方，再乘以2的一次方，最后乘以1次等于17，因此，11000的十进制数表示为17。
以上是用四则运算法实现二进制和十进制相互转换的方法，只要掌握了这个方法，就可以很容易的转换数字。
二进制数的运算及与十进制数的互化
二进制数的运算及与十进制数的互化教学目的：让学生掌握二进制数的四则运算及二进制数与十进制数的互化规则教学重点：二进制数的四则运算及二进制数与十进制数的互化规则教学难点：十进制数转化为二进制数的方法教学方法：讲授法教学过程：一、复习提问：二进制数是如何转化为十进制数的？如（10111）2 =（）10二、新授：（一）、二进制的四则运算1、加法运算运算规则：逢二进一例9-1 求（10101）2 +（1101）2 = ？解：10101+ 1101100010 （10101）2 +（1101）2 = （100010）2找学生上台做：求（11101）2 +（1001）2 = ？求（10001）2 +（1011）2 = ？2、减法运算运算规则：借一作二例9-2 求（1101）2 -（110）2 = ？解：1101- 110111 （1101）2 -（110）2 = （111）2找学生上台做：求（11101）2 -（1001）2 = ？求（10001）2 -（1011）2 = ？* 乘法与除法运算和十进制的运算一样求加减乘除四则运算在实际应用中，用得最多的就只有加法，连减法都用得极少，故在教学中只是让学生重点掌握加法运算，对其他的只是了解一下。
（二）、二进制数与十进制数间的转换1、将二进制转化为十进制(N)B→(N)D：将(N)B写成按权展开的多项式，按十进制规则求各乘积项的积并相加。
举例讲解：P172 例9-52、十进制数转二进制数实例:(N)D→ (N)B ：整数除2取余倒记法（注意从下向上取），小数乘2取整顺记法例如：(58)10= ( )2(0.625)10= ( )2(58.625)10= ( )2解法如下：所以(58.625)10=(111010.101)2课堂练习：1、将下列十进制数转换为二进制。
(1) 252 (2) 20 (3) 39 (4) 37(5) 3 7.252、将下列各数转换为十进制数:(1) (110101)B , (2) (1101)B作业：分别求出0～20所对应的二进制数。
二进制运算法则
1.2 微型计算机运算基础1.2.1 二进制数的运算方法电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。
1．二进制数的算术运算二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。
（1）二进制数的加法根据“逢二进一”规则，二进制数加法的法则为：0＋0＝00＋1＝1＋0＝11＋1＝0 （进位为1）1＋1＋1＝1 （进位为1）例如：1110和1011相加过程如下：（2）二进制数的减法根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：0－0＝01－1＝01－0＝10－1＝1 （借位为1）例如：1101减去1011的过程如下：（3）二进制数的乘法二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。
但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。
二进制数乘法的法则为：0×0＝00×1＝1×0＝01×1＝1例如：1001和1010相乘的过程如下：由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。
某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。
（4）二进制数的除法二进制数除法与十进制数除法很类似。
可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。
再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。
例如：100110÷110的过程如下：所以，100110÷110＝110余10。
2．二进制数的逻辑运算二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。
（1）逻辑“或”运算又称为逻辑加，可用符号“＋”或“∨”来表示。
二进制的算术运算规则
二进制的算术运算规则二进制计算是电子计算器采用的计算形式。
电子计算机具有强大的运算能力，它可以进行两种二进制运算：算术运算和逻辑运算。
运算符位运算符:&(按位与)|(按位或)^(按位异或)~(按位取反)<<(按位左移)>>(有符号的按位右移)>>>(无符号的按位右移)算术运算2）二进制数的减法根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：0－0=01－1=01－0=10－1=1 （借位为1）例如：1101减去1011的过程如下 [1] ：（3）二进制数的乘法二进制数乘法过程可仿照十进制数乘法进行。
但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，导致二进制乘法更为简单。
二进制数乘法的法则为：0×0=00×1=1×0=01×1=1例如：1001和1010相乘的过程如下：由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。
某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。
（4）二进制数的除法二进制数除法与十进制数除法很类似。
可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。
再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。
例如：100110÷110的过程如下：所以，100110÷110=110余10。
说明：乘除法分原码乘法和补码乘法。
逻辑运算二进制数的逻辑运算包括逻辑加法（“或”运算）、逻辑乘法（“与”运算）、逻辑否定（“非”运算）和逻辑“异或”运算。
（1）逻辑“或”运算又称为逻辑加，可用符号“+”或“∨”来表示。
逻辑“或”运算的规则如下：0+0=0或0∨0=00+1=1或0∨1=11+0=1或1∨0=11+1=1或1∨1=1可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。
二进制，八进制，十进制，十六进制的相互转换
⼆进制，⼋进制，⼗进制，⼗六进制的相互转换常⽤进制数：⼆进制，⼋进制，⼗进制，⼗六进制进制理解计算机中硬件之间的信息传递是由电流确定，假如⼀个半导体允许通过的电流是5A，如果电流通过的为5A，则通过，计为1，如果通过的电流⼩于5A，则不通过，计为0。
由此，出现两种情况的判断，与或⾮。
电流的传递由0或1来完成，由此引申出⼆进制数的概念，以便底层硬件有共同的“语⾔”，即机器语⾔，相互沟通和交流。
我们⽣活中⼀般数值的运算是⼗进制。
就是满10进1，个⼗百千万，依次递进。
由此，可以类⽐。
⼆进制（Binary）：0，1。
基数为2，逢⼆进⼀。
表⽰：(111)2或者(111)B⼋进制（Octal number system）：0，1，2，3，4，5，6，7。
基数为8，逢⼋进⼀。
表⽰：(111)8或者(111)O⼗进制（Decimal system）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
基数为10，逢⼗进⼀。
表⽰：(111)10或者(111)D⼗六进制（Hexadecimal）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A（10），B（11），C（12），D（13），E（14），F（15）。
基数为16，逢⼗六进⼀。
表⽰：(111)16或者(111)Hn进制:(逢n进1)个位数：n0（ 0个8）⼗位数：n1（ 1个8）百位数：n2（ 8个8）进制转换1.⼗进制转其他进制① 除⼆取余法（整数部分）：把被转换的⼗进制整数反复除以2，直⾄商为0，所得的余数（从末位读起）就是这个数的⼆进制表⽰。
② 乘⼆取整法（⼩数部分）:将⼩数部分乘以2，然后取整数部分，剩下的⼩数部分继续乘以2，然后取整数部分，剩下的⼩数部分⼜乘以2，⼀直取到⼩数部分为零为⽌。
如果永远不能为零，就同⼗进制数的四舍五⼊⼀样，按照要求保留多少位⼩数时，就根据后⾯⼀位是0还是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向⼊⼀位。
换句话说就是0舍1⼊。
读数要从前⾯的整数读到后⾯的整数。
二进制与十进制数间的转换、二进制数的四则运算
一、二进制数与十进制数间的转换方法1、正整数的十进制转换二进制：要点：除二取余，倒序排列解释：将一个十进制数除以二，得到的商再除以二，依此类推直到商等于一或零时为止，倒取将除得的余数，即换算为二进制数的结果例如把52换算成二进制数，计算结果如图：52除以2得到的余数依次为：0、0、1、0、1、1，倒序排列，所以52对应的二进制数就是110100。
由于计算机内部表示数的字节单位都是定长的，以2的幂次展开，或者8位，或者16位，或者32位....。
于是，一个二进制数用计算机表示时，位数不足2的幂次时，高位上要补足若干个0。
本文都以8位为例。
那么：(52)10=(00110100)22、负整数转换为二进制要点：取反加一解释：将该负整数对应的正整数先转换成二进制，然后对其“取补”，再对取补后的结果加1即可例如要把-52换算成二进制：1.先取得52的二进制：001101002.对所得到的二进制数取反：110010113.将取反后的数值加一即可：11001100即：(-52)10=(11001100)23、小数转换为二进制要点：乘二取整，正序排列解释：对被转换的小数乘以2，取其整数部分(0或1)作为二进制小数部分，取其小数部分，再乘以2，又取其整数部分作为二进制小数部分，然后取小数部分，再乘以2，直到小数部分为0或者已经去到了足够位数。
每次取的整数部分，按先后次序排列，就构成了二进制小数的序列例如把0.2转换为二进制，转换过程如图：0.2乘以2，取整后小数部分再乘以2，运算4次后得到的整数部分依次为0、0、1、1，结果又变成了0.2，若果0.2再乘以2后会循环刚开始的4次运算，所以0.2转换二进制后将是0011的循环，即：(0.2)10=(0.0011 0011 0011 .....)2循环的书写方法为在循环序列的第一位和最后一位分别加一个点标注4、二进制转换为十进制：整数二进制用数值乘以2的幂次依次相加，小数二进制用数值乘以2的负幂次然后依次相加！比如将二进制110转换为十进制：首先补齐位数，00000110，首位为0，则为正整数，那么将二进制中的三位数分别于下边对应的值相乘后相加得到的值为换算为十进制的结果如果二进制数补足位数之后首位为1，那么其对应的整数为负，那么需要先取反然后再换算比如11111001，首位为1，那么需要先对其取反，即：-0000011000000110,对应的十进制为6，因此11111001对应的十进制即为-6换算公式可表示为:11111001=-00000110=-6如果将二进制0.110转换为十进制：将二进制中的三位数分别于下边对应的值相乘后相加得到的值为换算为十进制的结果二、二进制的四则运算二进制四则运算和十进制四则运算原理相同，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。
二进制的运算
二进制二进制就是采用“满二进一”的原则，这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同，二进制就是等于2时就要进位。
二进制加法：1+1＝10 有四种情况：0+0=010+1＝11 0+1=111+1＝100 1+0=1100+1＝101 1+1=10101+1＝110 如： 1 1 0 1110+1＝111 + 1 0 1 1111+1＝1000 = 1 1 0 0 0……可见二进制的10表示二，100表示四，1000表示八，10000表示十六，……。
二进制同样是“位值制”。
同一个数码1，在不同数位上表示的数值是不同的。
如11111，从右往左数，第一位的1就是一，第二位的1表示二，第三位的1表示四，第四位的1表示八，第五位的1表示十六。
二进制数据110.11，大小顺序为22、21、20、2-1、2-2 第n位数表示2(n-1)十进制：二进制：0=00001=00012=00103=00114=01005=01016=01107=01118=10009=100110=1010……二进制乘法如： 1 1 1 0有四种情况：0×0=0 × 1 0 11×0=0 1 1 1 00×1=0 + 0 0 0 01×1=1 + 1 1 1 0= 10 0 0 1 1 0二进制减法：0－0=0 1－0=1 1－1=0 10－1=1二进制除法：0÷1=0 1÷1=1计算机中的十进制小数转换二进制，十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。
比如0.65换算成二进制就是：0.65 * 2 = 1.3 取1，留下0.3继续乘二取整0.3 * 2 = 0.6 取0，留下0.6继续乘二取整0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整0.2 * 2 = 0.4 取0，留下0.4继续乘二取整0.4 * 2 = 0.8 取0，留下0.8继续乘二取整0.8 * 2 = 1.6 取1，留下0.6继续乘二取整0.6 * 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整.......一直循环，直到达到精度限制才停止（所以，计算机保存的小数一般会有误差，所以在编程中，要想比较两个小数是否相等，只能比较某个精度范围内是否相等。
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一、二进制数与十进制数间的转换方法
1、正整数的十进制转换二进制：
要点：除二取余，倒序排列
解释：将一个十进制数除以二，得到的商再除以二，依此类推直到商等于一或零时为止，倒
取将除得的余数，即换算为二进制数的结果
例如把52换算成二进制数，计算结果如图：
52除以2得到的余数依次为：0、0、1、0、1、1，倒序排列，所以52对应的二进制数就是
110100。
由于计算机内部表示数的字节单位都是定长的，以2的幂次展开，或者8位，或者16位，
或者32位....。
于是，一个二进制数用计算机表示时，位数不足2的幂次时，高位上要补足若干个0。
本文
都以8位为例。
那么：
(52)10=(00110100)2
2、负整数转换为二进制
要点：取反加一
解释：将该负整数对应的正整数先转换成二进制，然后对其“取补”，再对取补后的结果加1
即可
例如要把-52换算成二进制：
1.先取得52的二进制：00110100
2.对所得到的二进制数取反：11001011
3.将取反后的数值加一即可：11001100
即：(-52)10=(11001100)2
3、小数转换为二进制
要点：乘二取整，正序排列
解释：对被转换的小数乘以2，取其整数部分(0或1)作为二进制小数部分，取其小数部分，再乘以2，又取其整数部分作为二进制小数部分，然后取小数部分，再乘以2，直到小数部分为0或者已经去到了足够位数。
每次取的整数部分，按先后次序排列，就构成了二进制小
数的序列
例如把0.2转换为二进制，转换过程如图：
0.2乘以2，取整后小数部分再乘以2，运算4次后得到的整数部分依次为0、0、1、1，结
果又变成了0.2，
若果0.2再乘以2后会循环刚开始的4次运算，所以0.2转换二进制后将是0011的循环，即：
(0.2)10=(0.0011 0011 0011 .....)2
循环的书写方法为在循环序列的第一位和最后一位分别加一个点标注
4、二进制转换为十进制：
整数二进制用数值乘以2的幂次依次相加，小数二进制用数值乘以2的负幂次然后依次相加！
比如将二进制110转换为十进制：
首先补齐位数，00000110，首位为0，则为正整数，那么将二进制中的三位数分别于下边对应的值相乘后相加得到的值为换算为十进制的结果
如果二进制数补足位数之后首位为1，那么其对应的整数为负，那么需要先取反然后再换算
比如11111001，首位为1，那么需要先对其取反，即：-00000110
00000110,对应的十进制为6，因此11111001对应的十进制即为-6
换算公式可表示为:
11111001=-00000110
=-6
如果将二进制0.110转换为十进制：
将二进制中的三位数分别于下边对应的值相乘后相加得到的值为换算为十进制的结果
二、二进制的四则运算
二进制四则运算和十进制四则运算原理相同，所不同的是十进制有十个数码，“满十进一”，二进制只有两个数码0和1，“满二进一”。
二进制运算口诀则更为简单。
1．加法
二进制加法，在同一数位上只有四种情况：
0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10。
只要按从低位到高位依次运算，“满二进一”，就能很容易地完成加法运算。
例1 二进制加法
（1）10110＋1101；
（2）1110＋101011。
解加法算式和十进制加法一样，把右边第一位对齐，依次相应数位对齐，每个数位满
二向上一位进一。
10110＋1101＝100011 1110＋101011＝111001
通过计算不难验证，二进制加法也满足“交换律”，如101＋1101＝1101＋101＝
10010。
多个数相加，先把前两个数相加，再把所得结果依次与下一个加数相加。
例2 二进制加法
（1）101＋1101＋1110；
（2）101＋（1101＋1110）。
解
（1）101＋1101＋1110 （2）101＋（1101＋1110）
＝10010＋1110 ＝101＋11011
＝100000；＝100000
从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。
巩固练习二进制加法
（1）1001＋11；
（2）1001＋101101；
（3）（1101＋110）＋110；
（4）（10101＋110）＋1101。
2．减法
二进制减法也和十进制减法类似，先把数位对齐，同一数位不够减时，从高一位
借位，“借一当二”。
例3 二进制减法
（1）11010－11110；
（2）10001－1011。
解（1）110101－11110＝10111；
（2）10001－1011＝110。
例4 二进制加减混合运算
（1）110101＋1101－11111；
（2）101101－11011＋11011。
解（1）110101＋1101－11111
＝1000010－11111
＝100011
（2）101101－11011＋11011
＝10011＋11011
＝101101。
巩固练习二进制运算
（1）11010－1101；
（2）11001－111；
（3）110101－1111＋101；
（4）1001＋1110－10011。
3．乘法
二进制只有两个数码0和1，乘法口诀只有以下几条：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1
概括成口诀：零零得零，一零得零，一一得一。
二进制乘法算式和十进制写法也一样。
例5 二进制乘法
（1）1001×101；
（2）11001×1010。
解
（1）1011×101＝110111；（2）11001×1010＝11111010。
例6二进制运算
（1）101×1101；
（2）1101×101；
（3）（101＋11）×1010；
（4）101×1010＋11×1010。
解（1）（2）
101×1101＝1000001； 1101×101＝1000001；
（3）
（101＋11）×1010＝1010000；
（4）
101×1010＋11×1010＝1010000
从例6的计算结果可以看出，二进制乘法满足“交换律”；乘法对加法也满足“分配律”。
对这一结论，大家还可以进行多次验证。
巩固练习二进制运算
（1）1011×1101；
（2）11101×1001；
（3）10101×（111＋101）；
（4）（11001－1111）×101
4．除法
除法是乘法的逆运算，二进制除法和十进制除法也一样，而且更简单，每一位商
数不是0，就是1。
例7二进制除法
（1）10100010÷1001；
（2）10010011÷111。
解（1）（2）
10100010÷1001＝10010； 10010011÷111＝10101。
例8求二进制除法的商数和余数
111010÷101
解
111010÷101 所得商数是1011，余数是11。
巩固练习二进制除法
（1）1101110÷101；
（2）1010110001÷1101；
（3）求商数和余数
1101001÷1001
在二进制除法中，被除数，除数，商数和余数的关系和十进制除法的关系是相同
的。
被除数＝除数×商数＋余数。
如例8，111010＝101×1011＋11。