初三数学九上二次函数所有知识点总结和常考题型练习题
(完整版)二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
初三数学《二次函数》知识点总结和经典习题(附答案)
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
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升高度 s(m)与抛出时间 t(s)满足： 运动过程中最高点距地面_________m.
(其中 g 是常数，通常取 10m/s2).若 v0=10m/s，则该物体在
17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 x=2，且与 y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为
______________.
6. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
在第___象限( )
7. 如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 P 的横坐标是 4，图象交 x 轴 于点 A(m，0)和点 B，且 m>4，那么 AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx 的图象只可能 是( )
x 轴的上方，则 a 的值为（ ）
A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
12. 已知二次函数
的图象如图所示，记
，
．则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．m、n 的大小关系不能确定
二、填空题
13. 二次函数 y=x2-2x+1 的对称轴方程是______________.
14.
如果将抛物线 y＝x2＋2x－1 向上平移，使它经过点 A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是
2a 时，y 随
(3)当 x h 时，
(3)当 x＜h 时，
x 的增大而减小；当
x 的增大而增大；当
y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 减小；当 x＞h 增大；当 x＞h
九年级数学上册二次函数知识点总结及练习
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc （a b c ，，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2yaxbx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式2ya xhk 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2y a x h k ，确定其顶点坐标h k ，；⑵保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到h k ，处，具体平移方法如下：向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k |个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a (x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 向上h k ，X=hxh 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 有最小值k ．a 向下h k，X=hxh 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 有最大值k ．方法二：⑴c bx ax y2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y 2变成m cbx axy2（或m c bx axy2）⑵c bx ax y 2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx axy 2变成cm x b m xa y )()(2（或c m x b m xa y )()(2）四、二次函数2y a x hk 与2y axbx c 的比较从解析式上看，2y a x hk 与2yaxbxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac bya xaa ，其中2424b ac bhk a a，．五、二次函数2y axbxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbx c 化为顶点式2()y a x h k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0c ，、以及0c ，关于对称轴对称的点2h c ，、与x 轴的交点10x ，，20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2b xa，顶点坐标为2424b ac ba a ，．当2b xa时，y 随x 的增大而减小；当2b xa时，y 随x 的增大而增大；当2bxa 时，y 有最小值244ac b a．2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2b xa，顶点坐标为2424b ac ba a ，．当2b xa时，y 随x 的增大而增大；当2b xa时，y 随x 的增大而减小；当2bxa 时，y 有最大值244ac b a．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y axbx c （a ，b ，c 为常数，0a ）；2. 顶点式：2()y a x h k （a ，h ，k 为常数，0a ）；3. 交点式：12()()ya xx x x （0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2yaxbx c 中，a 作为二次项系数，显然0a．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴ab x2在y轴左边则0ab ，在y 轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”3.常数项cc 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20axbx c是二次函数2y axbxc 当函数值0y 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：①当240bac时，图象与x 轴交于两点1200A x B x ，，，12()x x ，其中的12x x ，是一元二次方程200axbx c a 的两根．这两点间的距离2214bac AB x x a. ②当0时，图象与x 轴只有一个交点；③当0时，图象与x 轴没有交点.1'当0a 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y ；2'当0a 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y ．2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22m mxm y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y的图像在第一、二、三象限内，那么函数12bx kxy 的图像大致是（）y y y y 1 10 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。
人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题包括答案
二次函数一、二次函数看法：1．二次函数的看法：一般地，形如y ax2bx c （ a ，b ，c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数 a 0 ，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c的结构特色：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的张口越小。
a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质x0 时， y 随x的增大而增大；x0 时， y 随a0向上0 ，0y 轴x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 ．0 ，0x0 时， y 随x的增大而减小；x0 时， y 随a0向下y 轴x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 ．2.y ax2c 的性质：上加下减。
a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质x0 时， y 随x的增大而增大；x0 时， y 随a0向上0 ，c y 轴x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值c．x0 时， y 随x的增大而减小；x0 时， y 随a0向下0 ，c y 轴x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值c．3.y a x2 h的性质：左加右减。
a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质h ，0x h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a向上X=hx 的增大而减小； xh 时， y 有最小值 0 ．h ，0x h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随a向下X=hx 的增大而增大； xh 时， y 有最大值 0 ．4. y a 2k 的性质： x ha 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质h ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时， y 随a向上X=hx 的增大而减小； xh 时， y 有最小值 k ．ah ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； xh 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线剖析式转变为极点式 2h ，k ；y a x hk ，确定其极点坐标 ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详尽平移方法以下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 (h>0)【或左 ( h<0)】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h)22向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a (x-h) +k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y a x h 2 k 与 y ax 2 bx c 的比较从剖析式上看，y a x2k 与 y ax2bx c 是两种不同样的表达形式，后者经过配方可以得hb 24ac b 2b，k4ac b2到前者，即 y a x，其中h．2a4a2a4a六、二次函数 y ax2bx c的性质1.当 a0 时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为 b ，4ac b2．2a2a4a 当 x b时， y 随x的增大而减小；2a当 x b时， y 随x的增大而增大；2a时， y 有最小值4ac2当x b b ．2a4a2.当 a0 时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为 b ，4ac b 2．当x b 时，2a2a4a2ab b时， y 有最大值4ac b2y 随x的增大而增大；当x时， y 随x的增大而减小；当x．2a 2 a4a七、二次函数剖析式的表示方法1.一般式： y ax2bx c （ a ，b， c 为常数，a0 ）；2.极点式： y a (x h) 2k （ a ，h，k为常数，a0 ）；3.两根式（交点式）： y a (x x1 )( x x2 ) （a 0，x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的剖析式都可以化成一般式或极点式，但其实不是所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即 b 24ac0 时，抛物线的剖析式才可以用交点式表示．二次函数剖析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a⑴当 a 0 时，抛物线张口向上， a 的值越大，张口越小，反之 a 的值越小，张口越大；⑵当 a 0 时，抛物线张口向下， a 的值越小，张口越小，反之 a 的值越大，张口越大．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为 0 对称轴为y 轴）3.常数项 c⑴当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的地址．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0时的特别情况 .图象与 x 轴的交点个数：①当24ac0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0，B x2，0(x1x2 ) ，其中的 x1，x2是一元b二次方程 ax2bx c 0 a0 的两根． .②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0 时，图象与x轴没有交点.1'当 a0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 ．2. 抛物线 y ax2bx c 的图象与y 轴必然订交，交点坐标为(0 ， c) ；二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y x24x7 的极点坐标是()A.(2,－ 11)B.（－ 2， 7）C.（ 2， 11）D. （ 2，－ 3）2.把抛物线 y2x2向上平移1个单位，获得的抛物线是（）A. y2( x1)2B. y2( x 1)2C. y2x2 1D. y2x213.函数y kx2k 和y k(k0) 在x同素来角坐标系中图象可能是图中的 ()4.已知二次函数y ax2bx c(a 0) 的图象以下列图,则以下结论 : ① a,b 同号 ;②当x 1 和 x 3 时,函数值相等;③ 4a b 0 ④当y 2 时,x 的值只能取0.其中正确的个数是 ()个个 C. 3 个 D. 4 个5.已知二次函数y ax2bx c(a0) 的极点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax2bx c 0 的两个根分别是x1和 x2（）Ａ．－１ .３6. 已知二次函数y ax2bx c 的图象以下列图，则点( ac,bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2x x22的正根的个数为（）x个个个 .3个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点C,且 OC=2.则这条抛物线的剖析式为A. y x2x 2B. y x2x 2C. y x2x 2 或 yx2x 2D. y x2x 2 或 y x2x 2二、填空题9．二次函数y x2bx 3 的对称轴是x 2 ，则 b_______。
九年级数学上册二次函数知识点总结及典型例题解析与习题训练
二次函数一、知识点梳理1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， a>0a<0y0 xy0 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）； （3）在对称轴的左侧，即当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>a b 2-时，y 随x 的增大而增大 （4）抛物线有最低点，当x=a b 2-时，y 有最小值，ab ac y 442-=最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（ab 2-，ab ac 442-）； （3）在对称轴的左侧，即当x<ab 2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而减小 （4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，ab ac y 442-=最大值3.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式.求抛物线的顶点、对称轴的方法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --= 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221214.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小：a >0，开口向上；a <0，开口向下；α越大，开口越小 （2）b 和a 决定抛物线对称轴（左同右异）①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置.①0=c ，抛物线经过原点； ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.（4）ac b 42-=∆决定抛物线与x 轴的交点个数 ①0 ∆，有2个交点 ②,0=∆ 有1个交点；③0 ∆，无交点二、例题解析例1 已知：二次函数为y=x 2－x+m（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标； （2）m 为何值时，顶点在x 轴上方（3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式．【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x 轴的上方，即顶点的纵坐标为正； （3）AB ∥x 轴，A ，B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出m 的值． 【解答】（1）∵由已知y=x 2－x+m 中，二次项系数a=1>0，∴开口向上，又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414m -∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，414m -）．（2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即414m ->0 ∴m>14 ∴m>14时，顶点在x 轴上方．（3）令x=0，则y=m ．即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴∴B 点的纵坐标为m ．当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ）在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =12OA ·AB=4． ∴12│m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8．【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图像经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．【分析】（1）解方程求出m ，n 的值．用待定系数法求出b ，c 的值．（2）过D 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，可求出△DMC ，梯形BDBO ，△BOC 的面积，用割补法可求出△BCD 的面积．（3）PH 与BC 的交点设为E 点，则点E 有两种可能：①EH=32EP ， ②EH=23EP ． 【解答】（1）解方程x 2－6x+5=0， 得x 1=5，x 2=1． 由m<n ，有m=1，n=5．所以点A ，B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）．将A （1，0），B （0，5）的坐标分别代入y=－x 2+bx+c ， 得10,5b c c -++=⎧⎨=⎩ 解这个方程组，得4,5b c =-⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y=－x 2－4x+5．（2）由y=－x 2－4x+5，令y=0，得－x 2－4x+5=0． 解这个方程，得x 1=－5，x 2=1．所以点C 的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D （－2，9）．过D 作x 轴的垂线交x 轴于M ，如图所示．则S △DMC =12×9×（5－2）=272．S 梯形MDBO =12×2×（9+5）=14，S △BDC =12×5×5=252．所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC－S△BOC =14+272－252=15．（3）设P点的坐标为（a，0）因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5•的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．由题意，得①EH=32EP，即（－a2－4a+5）－（a+5）=32（a+5）．解这个方程，得a=－32或a=－5（舍去）．②EH=23EP，得（－a2－4a+5）－（a+5）=32（a+5）．解这个方程，得a=－23或a=－5（舍去）．P点的坐标为（－32，0）或（－23，0）．例3 已知关于x的二次函数y=x2－mx+212m+与y=x2－mx－222m+，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2－mx+21 2m+．由于b2－4ac=（－m）－4×1×212m+=－m2－2<0，所以此函数的图像与x轴没有交点．对于关于x的二次函数y=x2－mx－222m+．由于b2－4ac=（－m）2－4×1×222m+=3m2+4>0，所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点．故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－222m+．（2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－222m+．得1+m－222m+=0．整理，得m2－2m=0．解得m=0或m=2．当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0．解这个方程，得x1=－1，x2=1．此时，点B的坐标是B（1，0）．当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0．解这个方程，得x1=1，x2=3．此时，点B的坐标是B（3，0）．（3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小．当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小．【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决．课堂习题一、填空题1．右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．2．已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=_______5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－112s2+23s+32．如下左图所示，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为94m，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______．7．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．8．杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x （楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．二、选择题9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0(第9题) (第12题) (第15题)10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（）A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y3<y1<y2D．y1<y3<y211．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．212．如图所示，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+213．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位14．已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）A．（12，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）16．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（）三、解答题17．如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；18．如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，•抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点A（m，0），B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．19．某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，•其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点．（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=254，抛物线与（3）x轴交于A，B两点．在抛物线的对称轴上找点P，（4）使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．21．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x•轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
第 1 页 共 13 页初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．第 2 页 共 13 页3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a < 向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．第 3 页 共 13 页四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c第 4 页 共 13 页⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个第 5 页 共 13 页5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；九矿新概念辅导班 二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )个 个 C. 3个 D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x xx-=的正根的个数为（ ） 个 个 个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
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二次函数知识点
12. 二次函数的性质 函数 二次函数y ax bx c =++2
a 、
b 、
c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常
数，a ≠0）
a ＞0
a ＜0
a ＞0
a ＜0
图象
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向
下无限延伸
(1)抛物线开口向
上，并向上无限
延伸
(1)抛物线开口向
下，并向下无限
延伸
性
(2)对称轴是x＝-
b
a2，
顶点是
（-
-
b
a
ac b
a
2
4
4
2
，
）
(2)对称轴是x＝
-
b
a2，
顶点是
（
-
-
b
a
ac b
a
2
4
4
2
，
）
(2)对称轴是x＝
h，顶点是（h，k）
(2)对称轴是x＝
h，顶点是（h，k）
质
(3)当x
b
a
<-
2时，y随x
的增大而减小；当
x
b
a
>-
2时，y随x的增
大而增大(3)当
x
b
a
<-
2时，y随x
的增大而增大；当
x
b
a
>-
2时，y随x的增
大而减小
(3)当x h
<时，y
随x的增大而减
小；当x＞h时，
y随x的增大而增
大。
(3)当x＜h时，y
随x的增大而增
大；当x＞h时，
y随x的增大而
减小
(4)抛物线有最低点，当
x
b
a
=-
2时，y有最小
值，y
ac b
a
最小值
=
-
4
4
2
(4)抛物线有最高点，当
x
b
a
=-
2时，y有最大
值，
y
ac b
a
最大值
=
-
4
4
2
(4)抛物线有最低
点，当x＝h时，
y有最小值
y k
最小值
=
(4)抛物线有最高
点，当x＝h时，
y有最大值
y k
最大值
=
二次函数练习
一、选择题
1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()
A. B. C. D.
2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()
A. (1，-4)
B.(-1，2)
C. (1，2)
D.(0，3)
3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
4. 抛物线的对称轴是()
A. x=-2
B.x=2
C. x=-4
D. x=4
5. 已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0
6. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___象限( )
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
7. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m
8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关
系式是( ) A. B. C.
D.
11. 二次函数)0(4)4(2≠--=a x a y 的图象在2<x <3这一段位于x 轴的下方，在6<x <7这一段位于x 轴的上方，则a 的值为（ ）
A . 1
B . －1
C . 2
D . －2 12. 已知二次函数
的图象如图所示，记
，．则下列选项正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．m 、n 的大小关系不能确定
二、填空题
13. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.
14. 如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________.
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.
16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上
升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.
17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.
18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.
19. 如图，已知直线分别交
轴、轴于点
、，
是抛物线
上的一个动点，其横坐标为，过点
且平行于
轴的直线交直线于点
，则当时，
的值是.
三、解答下列各题
20. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)
(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；
(2)求此二次函数的解析式；
21. 在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，
0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.
(1)求二次函数解析式；
(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.
22. 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MCB的面积S△MCB.
23. 某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.。