二次函数经典题型含答案.doc

二次函数经典题型（启东教育）

1.看图，解答下列问题．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解

析式；

（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和

对称轴；

（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图

象．

2.已知函数y=x2+bx-1 的图象经过点（3， 2）

（1）求这个函数的解析式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当 x>0 时，求使 y≥2的 x 的取值范围．

3.已知抛物线y＝－ x2＋ mx－ m＋ 2．

（1）若抛物线与x 轴的两个交点A、 B 分别在原点的两侧，并且AB＝ 5 ，试求m

的值；

（2）设 C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、 N，并且△MNC的面积等于27，试求 m 的值．

4.如图，已知点 A（ tan α， 0）， B（ tan β， 0）在 x 轴正半轴上，点 A 在点 B 的左边，α、β是以线段AB 为斜边、顶点 C 在 x 轴上方的Rt△ ABC的两个锐角．

5

kx＋（ 2＋ 2k－k2）的图象经过A、 B 两点，求它的解析式；

（1）若二次函数y＝－ x2－

2

（2）点 C 在（ 1）中求出的二次函数的图象上吗请说明理由．

5.已知抛物线y x2 kx b 经过点 P(2， 3)， Q ( 1，0) ．y （1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线顶点为

Q O

N ，与y轴交点为A．求 sin∠ AON 的值．x

M

A

（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M，求四边形OANM的面积．N

6.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A， B， C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

(2)画出抛物线y=ax2+bx+c 当 x<0 时的图象；

(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出 x 为何值时， y>0．

(第 6 题)

7.已知抛物线y ax2 bx c 与y

轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM 的解析式 y=-x+2

y

并且线段 CM 的长为2 2

（1）求抛物线的解析式。

O x （2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（ X1， 0）、 B（ X2， 0），且

点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长。

（3）若以 AB 为直径作⊙ N，请你判断直线CM 与⊙ N 的位置关系，并说明理由。

二次函数经典题型答案

（启东教育）

1．解：（ 1）由图可知 A （－ 1，－ 1）， B （ 0，－ 2）， C （1，1）

设所求抛物线的解析式为 y ＝ ax 2＋ bx ＋c

a b c ，

a ，

1

2 ∴ y ＝2x 2＋x －2．

依题意，得 c

， 解得 b ， 2 1

a b c 1 c 2

（2）y ＝2x 2

＋x －2＝2（x ＋ 1

） 2

－ 17

4

8

∴ 顶点坐标为（－ 1 ，

17

），对称轴为 x ＝－ 1

4

8

4

（3）图象略，画出正确图象

2．解：（ 1）函数 y=x 2+bx-1 的图象经过点（ 3，2）

∴9+3b-1=2，解得 b=-2 ． ∴函数解析式为 y=x 2-2x-1

（ 2） y=x 2-2x-1=(x-1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（ 1，-2） （ 3）当 x=3 时， y=2，根据图象知，当 x ≥3时， y ≥2 ∴当 x>0 时，使 y ≥2的 x 的取值范围是 x ≥3．

3．解：

(I)设点Ａ（x 1，0）， B(x 2 ，0) ， 则 x 1 ，x 2 是方程 ∵ x 1 ＋ x 2 ＝ m ， x 1·x 2 =m － 2 ＜0 即 m ＜ 2；

又 AB ＝∣ x ∣＝ （ 1 2 1 2

，∴ m 2

－4m ＋3=0 5

x x 4x x

x 2－ mx ＋ m －2＝0 的两根．

． 解得： m=1 或 m=3(舍去 ) ，∴ m 的值为 1 ．

（ II ）设 M(a ， b)，则 N(－a ，－ b) ．

∵M 、N 是抛物线上的两点，

a 2 ma m 2 b,L ① ∴

a 2

ma m

2

b.L ②

①＋②得：－ 2a 2－ 2m ＋ 4＝ 0 ．

y

C

∴a 2＝－ m ＋2．

∴当 m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、 N ． N

x

∴ a2 m ．

O

M

这时 M 、N 到 y 轴的距离均为 2 m ，

又点 C 坐标为（ 0，2－m ），而 S △M N C = 27 ，

∴2×1

×（ － ）× 2 m =27 ． ∴解得 － 7 ．

2 m m=

2

4.解：（ 1）∵ α，β是 Rt △ABC 的两个锐角，

∴ tan α· tan β＝ 1．tan α＞ 0， tan β＞ 0．

由题知 tan α， tan β是方程

x 2

＋ 5

kx －（ 2＋2k －k 2）＝ 0 的两个根，

2

2

2

2

∴ tanx ·tan β＝（ 2＝2k －k ）＝ k －2k －2，∴

k －2k － 2＝ 1．

而 tan α＋ tan β＝－ 5

k ＞0，

2

∴ k ＜ 0．∴ k ＝3 应舍去， k ＝－ 1．

故所求二次函数的解析式为 y ＝－ x 2

＋ 5

x － 1．

2

（2）不在．

过 C 作 CD ⊥AB 于 D ．

令 y ＝ 0，得－ x 2

＋ 5

x － 1＝ 0，

2

1

解得 x 1＝ ，x 2＝2．

2

∴ A （ 1

，0）， B （ 2， 0）， AB ＝ 3

．

2

2

∴ tan α＝ 1

， tan β＝ 2．设 CD ＝m ．则有 CD ＝ AD ·tan α＝ 1

AD ．

2 2

∴ AD ＝2CD ．

又 CD ＝BD ·tan β＝ 2BD ，

∴ BD ＝ 1 CD ．

2

∴ 2m ＋ 1

m ＝ 3

．

22

∴ m ＝ 3 ．∴

5

AD ＝ 6 5

． ∴ C （

17

， 3

）．

10 5 当 x ＝ 17 时， y ＝ 9 ≠

3 10 25 5

∴ 点 C 不在（ 1）中求出的二次函数的图象上．