2019-2020学年上学期天津市部分区高三数学期中考试卷附答案详析
D
A
C
B
B
D
D
C
A
二．填空题：
10． f (x) ax ln a
11． 3 10 10
12．30 13．30
三．解答题：
16．解：（Ⅰ） f ( x) 定义域为（0,)
.1 分
f
( x )
1 x2
1 x
(
1 x2
1) x
4分
且x 0 f (x) 0在(0,)上恒成立
即 f ( x) 单调递减区间为（0,) 7 分
则 A∪( ðU B)＝
A.{2，5}
B.{3，6} C.{2.5，6} D.{2，3，5，6，8}
2.i 是虚数单位，复数 7 i 3 4i
A.1－i
B.－1＋i
C. 17 31 i 25 25
D. 17 25 i 77
3.(x2－ 2 )，展开式中的常数项是 x3
A.80 B.－80 C.40 D.－40 4.设 x∈R，则“|x－1|<1”是“x2－x－2<0”的
Tn
1
1 2n 1
2n 2 2n 1
..14 分
Tn
2n , n为偶数 2n 1 2n 2 , n为奇数 2n 1
．
16 分
6
2
A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(3，＋∞)
D.(－∞，－3)
7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线 x＝ 2 对称的是 3
A.y＝sin(2x＋ ) 6
B.y＝sin(2x＋ ) 3
C.y＝sin(2x－ ) 3
D.y＝sin(2x－ ) 6
8.已知数列{an}满足 an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，且 a1＝2，则 a10＝
体积为 16，则这个球的表面积是
。(参考公式：球的表面积 S＝4πR2)
15.己知 x>0，y>0，且 2 1 1，若 x＋2y≥m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范围
。
xy
三、解答题：本大题共 5 道小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) 1 ln x 。 x
(I)求 f(x)的单调区间；
(II)若 f(a＋2)<f(a2)(a∈R)，求 a 的取值范围。
17.(本小题满分 14 分)
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c。8csinA＝atanC。
(I)求 cosC；
(II)若 CA CB
5
，且
a＋b＝9，求
c。
2
18.(本小题满分 15 分)
己知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 2 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球。 现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球。
(I)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；
(II)设ξ为取出的 4 个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。
22
二、① BP ( 3,1,2), AD (0,2,0) ,.
6分
∴ cos BP, AD BP AD | BP | | AD |
3 0 1 2 2 0 2 22
2 4
,9
分
设异面直线 PB 与 AD 所成角为 ，∴ sin 14 4
② AE (
3, 0, 0), AF (
天津市部分区 2019-2020 学年上学期期中考
高三数学试卷
第 I 卷(共 45 分)
一、选择题：本大题共 9 道小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合 A＝{2，3，5.6}，B＝{1，3，4，6，7}，
因为 E 为 BC 的中点，所以 AE BC .
又 BC // AD ，因此 AE AD .
因为 PA 平面ABCD ， AE 平面ABCD ，
所以 PA AE .
..2 分
而 PA 平面PAD ， AD 平面PAD 且 PA AD A ，
所以 AE 平面PAD ，又 PD 平面PAD .
3 , 1 ,1).
22
10 分
设平面 AEF 的一法向量为 m (x1, y1, z1),
则
m
AE
0
m AF 0
因此
3x1 0,
3 2
x1
1 2
y1 z1
0.
取 z1 1,则m (0, 2, 1), 因为 BD AC ， BD PA ， PA AC A ，
.12 分
5
三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则从四年级本科生中抽取的人数比一年级
本科生中抽取的人数多
名学生。
13.某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门。若要求两类课程中
各至少选一门，则不同的选法共有
种(用数字作答)。
14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱)高为 4，
20.(本小题满分 16 分)
已知等差数列{an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列。 (I)求{an}的通项公式；
(II)令 bn
(1)n1
4n an an 1
(n N *)
，求数列{bn}的前
n
项和
Tn。
高三数学参考答案 一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
15 5
.
.16 分
20．解：（Ⅰ） d 2, S1 a1, S2 2a1 d, S4 4a1 6d,
S1, S2 , S4成等比 S22 S1S4
4分
解得 a1 1,an 2n 1 .
..6 分
（Ⅱ） bn
(1)n1
4n an an 1
(1)n1( 1 2n 1
1 2n
) 1
所以 AE PD .
..5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 AE, AD, AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系，又 E, F 分别为 BC, PC 的中点，所以 A(0,0,0) ，B( 3,1,0) ，C( 3,1,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,2) ， E( 3,0,0) ， F ( 3 , 1 ,1) ，
P( A)
C11C21C32 C22C21C31 C32C52
2 5
..5 分
（Ⅱ）解： 可能的取值为 0，1，2，3 ． 6 分
P(
0)
C22C32 C32C52
1 10
，
由（Ⅰ） P( 1) 2 ， 5
.8 分
P(
2)
C11C21C21C31 C22C22 C32C52
13 30
a 2 0 （Ⅱ） f (a 2) f (a2 ) 等价于 a2 0 ，
a 2 a2
14． 24 15． [4, 2] ..11 分
3
解不等式组得 1 a 0,或0 a 2 .
..14 分
17．解：（Ⅰ）由正弦定理得 8sin C sin A sin A sin C ， cos C
10.函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的导函数为
。
11.在△ABC 中，∠ABC＝45°，AC＝ 5 ，BC＝3，则 sin∠BAC＝
。
12.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从
该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查。已知该校一年级、二年级、
，10
分
当n
为偶数时 Tn
(1
1) 3
(1 3
1) 5
(1 5
1) 7
( 1 1 ) ( 1 1 ) 2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
Tn
1
1 2n 1
2n 2n 1
..12 分
当n为奇数时，Tn
(1
1) 3
(1 3
1) 5
(1 5
1) 7
( 1 1 )( 1 1 ) 2n 3 2n 1 2n 1 2n 1
所以 BD 平面AFC ， 故 BD 为平面 AFC 的一法向量.
又
BD =（- 3, 3, 0 ），
所以 cos m, BD = | m|mm|m |B|BBDBDDD| |
.13 分
23 5 12
15 . 5
..15 分
因为二面角 E AF C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为
3分
化简得 cosC 1 8
..5 分
（Ⅱ）CBCA 5 ， 2
ab cos C 5 ， 2
ab 20 ． 又 a b 9
..7 分
a2 2ab b2 81．
a2 b2 41．
10 分
c2 a2 b2 2ab cos C 36 ．
c 6 ．
.14 分
18．解：（Ⅰ）设“取出的 4 个球中恰有 1 个红球”为事件 A ，
A.54 B.55 C.56 D.57
9.已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，
BE
1
BC
，
DF
1
DC
。则
BF
DE
＝
Hale Waihona Puke 23A. 22 B. 2 C. 5 D. 22
3
3
6
3
1
第 II 卷(共 105 分)
二、填空题：本大题共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分。
天津市七校2019届高三上学期期中联考数学(文)试卷 含答案解析
天津市七校2019届高三上学期期中考试数学（文科）温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点与直线平行的直线方程是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为,代点（0,1）到直线方程得-1+a=0即得a的值，即得直线的方程.【详解】设直线的方程为,代点（0,1）到直线方程得-1+a=0,所以a=1.故直线方程为2x-y+1=0.故答案为：B【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查平行直线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（）A. －7B. －4C. 1D. 2【答案】A【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.3.若，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】因为＜＜0，所以b<a<0,对于选项A,.所以选项A错误.对于选项B,所以选项B错误.对于选项C,∵＜＜0，∴1＞＞0，∴＞2，所以选项C正确.对于选项D,=-a-b+a+b=0,所以，所以选项D错误.故答案为：C【点睛】本题考查了基本不等式,考查比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，则∥B. 若∥,，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α；若n⊥α，n⊥β，则由平面平行的判定定理知α∥β．【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交，故A不正确；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故C不正确；若n⊥α，n⊥β，则由平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故答案为：D【点睛】本题考查平面与平面、直线与平面的位置关系的判断，是基础题．解题时要注意空间思维能力的培养．5.已知数列是等比数列，，则当时，A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据已知求出首项和公比，再利用等比数列的求和公式求解.【详解】由题得所以数列是一个以4为首项，以4为公比的等比数列，所以.故答案为：D【点睛】本题主要考查等比数列的通项，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.6.两圆和相交于两点，则线段的长为A. 4B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y=0①，x2+y2+2x﹣8=0，②①﹣②可得：x﹣2y+4=0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0，∵x2+y2+4x﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2，∴圆心到公共弦的距离为d=，∴公共弦长=.故答案为：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.7.已知数列的各项均为正数，则数列的前15项和为A. 3B. 4C. 127D. 128【答案】A【解析】【分析】由题得是一个等差数列，求出，再求出，再利用裂项相消法求和.【详解】由题得是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，所以，所以，所以数列的前15项和为.故答案为：A【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的通项和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的有①三棱锥的体积为定值；②；③的最大值为；④的最小值为2A. ①②B. ①②③C. ③④D. ①②④【答案】A【解析】【分析】①由A1B∥平面DCC1D1，可得线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，即可得出三棱锥M﹣DCC1的体积为定值．②由A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，可得DC1⊥面A1BCD1，即可判断出正误．③当0＜A1P＜时，利用余弦定理即可判断出∠APD1为钝角.④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，再利用余弦定理即可判断出正误．【详解】①A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值，故①正确．②A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．因此只有①②正确．故答案为：A．【点睛】本题考查了空间位置关系、线面平行于垂直的判断与性质定理、空间角与空间距离，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________.【答案】【解析】【分析】先求出圆心的坐标和半径,即得圆的方程.【详解】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.在等差数列中，，则____________.【答案】9【解析】【分析】先由求出，再求出公差d,最后求.【详解】因为，因为，所以d=2.所以.故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.11.一个几何体的正视图由2个全等的矩形组成，侧视图也是矩形，俯视图由两个全等的直角三角形组成，数据如图所示，则该几何体的体积为____________.【答案】12【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体如图所示（两个全等的三棱柱），所以几何体的体积为.故答案为：12【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12.已知数列的前项和为，且，则____________.【答案】99【解析】【分析】先利用项和公式求出的通项，再代入化简求解.【详解】令n=1,所以由题得，，（n≥2）两式相减得所以数列是一个以1为首项，以3为公比的等比数列，所以故答案为：99【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.13.已知，的最小值为_______________.【答案】【解析】【分析】先化简，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得.当且仅当时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.14.过点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】先画出方程对应的曲线，作出圆的切线AB,求出AB的斜率，求出AC的斜率，数形结合得到直线l的斜率的范围.【详解】由题得，它表示单位圆的上半部分（包含两个端点），曲线如图所示，由题得设直线AB的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,因为直线AB和圆相切，所以，所以直线l的斜率范围为故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是求出AC和AB的斜率.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.（Ⅰ）若，求的通项公式；（Ⅱ）若，求.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）26【解析】【分析】（Ⅰ）先求得，再求的通项公式.（Ⅱ）由解得，再求.【详解】（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则解得（舍），∴的通项公式为 .（Ⅱ）解得∴.【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法，考查等差数列等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当点在的什么位置时，使得∥平面，并加以证明.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先证明平面，再证明. （Ⅱ）当点是的中点时，有∥平面先证明再证明平面.【详解】（Ⅰ）证明：连结，∵为菱形∴由已知，∴∵，∴平面.又∵平面,∴（Ⅱ）当点是的中点时，有∥平面证明：设，连结由已知可得四边形是平行四边形，∴是的中点，∵是的中点∴又平面，平面∴平面【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化能力.17.已知函数（为常数）.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得，再对b分类讨论得解. （Ⅱ）由题意不等式当时恒成立。
天津市部分区2020届高三上学期期中练习 数学 Word版含答案
- 1 - 天津市部分区2019～2020学年度第一学期期中练习高三数学第I 卷(共45分)一、选择题：本大题共9道小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5.6}，B ＝{1，3，4，6，7}，则A ∪(U ðB)＝A.{2，5}B.{3，6}C.{2.5，6}D.{2，3，5，6，8}2.i 是虚数单位，复数734i i++ A.1－i B.－1＋i C.17312525i + D.172577i -+ 3.(x 2－32x )，展开式中的常数项是 A.80 B.－80 C.40 D.－404.设x ∈R ，则“|x －1|<1”是“x 2－x －2<0”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.两个实习生每人加工一个零件。
加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A.12 B.13 C.512 D.166.函数212()log (9)f x x =-的单调递增区间是 A.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(3，＋∞) D.(－∞，－3)7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝23π-对称的是 A.y ＝sin(2x ＋6π) B.y ＝sin(2x ＋3π) C.y ＝sin(2x －3π) D.y ＝sin(2x －6π) 8.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 10＝A.54B.55C.56D.579.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，12BE BC =，13DF DC =。
则BF DE ⋅＝ A.223- B.23 C.56 D.223。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期中考试数学试卷带解析
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期中考试数学试卷带解析创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校一、填空题1．若集合2{|lg(2)}A x y x x ==-，|2,0x B y y x ，则集合A B =．【答案】(1,2) 【解析】试题分析：22{|lg(2)}{|20}(0,2)A x y x x x x x ==-=->=，|2,0(1,)x B y y x ，则A B =(1,2)考点：集合运算2．cos 2cos 0,sin 2sin ________.θθθθ+=+若则的值等于 【答案】【解析】略3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1.a ≤ 【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤考点：命题真假4．直线kx -y +1-3k =0,当k 变化时,所有直线恒过定点_____________. 【答案】 (3,1)【解析】直线可以为y -1=k (x -3),∴过定点(3,1).5．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+,当直线被椭圆截得的弦最长时的直线方程为____________.【答案】y x = 【解析】略6．函数()sin 3(0)f x x x x π=--≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()sin 2sin()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0x π-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．考点：三角函数单调区间 7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 【答案】0.a = 【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==考点：导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________． 【答案】10001x x ><<或 【解析】 试题分析：由题意得：1(|lg|)1|lg |lg 1lg 11000110101010x x x xf f x x <⇒<⇒><-⇒><<（））或或考点：函数奇偶性及单调性9．在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅=，则tan tan AB= . 【答案】73【解析】试题分析：22()||5CA CB AB AB +⋅=⇒22||5CA AB CB AB AB ⋅+⋅=⇒22cos cos 5bc A ac B c -+=5cos 5cos 2a B b A c⇒-=5sin cos 5sin cos 2sin A B B A C⇒-=5sin cos 5sin cos 2sin()A B B A A B ⇒-=+5sin cos 5sin cos 2sin cos 2cos sin A B B A A B A B ⇒-=+⇒3sin cos 7sin cos A B B A =sin cos 7sin cos 3A B B A ⇒=tan 7tan 3A B ⇒=.考点：平面向量的数量积、正弦定理.10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+=，则||BA BCBC ⋅的值为________．【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅== 考点：向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a =-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________． 【答案】0 2.a <≤ 【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1),()f a f a f a a ≤≥-≤，即212,2,a a a a a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 考点：二次函数最值 12．椭圆M ：的左，右焦点分别为，P 为椭圆M 上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________． 【答案】【解析】∵的最大值为，∴由题意知，∴，∴，∴椭圆离心率e 的取值范围是．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.x x x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e'≤∈；当10x -<≤时，()[1,)f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 考点：函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB 中点，若直线:5l y kx k =-上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________． 【答案】22k -≤≤ 【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =-距离不大于2，即222k ≤⇒-≤≤考点：直线与圆位置关系 【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系． 3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题． 二、推断题 三、解答题15．（本小题满分为14分）已知函数()2cos()(05)63f x x x ππ=+≤≤，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求)22sin(βα-的值．【答案】（1）)2,4(),1,0(-B A ，2-=⋅→→OB OA ；（2）1027. 【解析】试题分析：（1）首先由50≤≤x 可知21)36cos(1≤+≤-ππx ，即函数)(x f y =的最高点和最低点的纵坐标分别为1,21-，于是可分别求出其对应的自变量x 的取值范围，进而求出点B A ,的坐标，最后运用向量数量积的坐标运算即可求出⋅的值；（2）直接根据三角函数的定义可得55sin ,2-==βπα，然后运用倍角公式分别求出β2sin 和β2cos ，最后由两角和差的正弦公式即可求出所求的结果. 试题解析：（1）因为50≤≤x ，所以67363ππππ≤+≤x ，所以21)36cos(1≤+≤-ππx ，当336πππ=+x ，即0=x 时，)(x f 取得最大值1；当πππ=+36x ，即4=x 时，)(x f 取得最大值-2，因此，所求的坐标为)2,4(),1,0(-B A ，则)2,4(),1,0(-==→→OB OA ，所以2-=⋅→→OB OA ;因为点)2,4(),1,0(-B A 分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，则55sin ,2-==βπα， 552cos =β，则54552)552(2cos sin 22sin -=⨯-⨯==βββ，531)552(21cos 22cos 22=--⨯=-=ββ，所以)22sin(βα-1027)5453(22)24sin(=+⨯=-=βπ. 考点：1.余弦函数的图像及其性质；2.向量数量积的坐标运算；3.倍角公式；4.两角和差的正弦公式；16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值； （2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）【解析】试题分析：（1）在ADC △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而 7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：ADBABABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠ 试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ． 故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以5625(35cos7524BA DA ⋅=⨯=． 考点：正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ． （2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+= 试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ． 因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥．因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=． 不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-=，故2=a ． 故圆0242:22=+-++y x y x C ． 考点：直线与圆位置关系，圆方程 【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式． （2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b )0,2(-F ． （Ⅰ）求出椭圆C 的方程； （Ⅱ） 若直线y x m 与曲线C 交于不同的A 、B 两点，且线段AB 的中点M 在圆221x y 上，求m 的值．【答案】（1）14822=+y x（2）222()()133m m m ∴-+==，即【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，c a =，2c = , 解得：⎩⎨⎧==222b a 所以椭圆C 的方程为：14822=+y x （Ⅱ）设点A,B 的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，线段AB 的中点为M ),(00y x ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 14822，消去y 得0824322=-++m mx x 点 M ),(00y x 在圆122=+y x 上，考点：直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，以及椭圆性质的综合运用，属于中档题。
天津市七校2019届高三上学期期中联考数学试卷(答案+解析)
天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）2019届高三上学期期中联考数学试卷（文）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设直线的方程为,代点（0,1）到直线方程得-1+a=0即得a的值，即得直线的方程.设直线的方程为,代点（0,1）到直线方程得-1+a=0,所以a=1.故直线方程为2x-y+1=0.故答案为：B2.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A. －7B. －4C. 1D. 2【答案】A【解析】设变量满足约束条件在坐标系中画出可行域，如图所示，平移直线经过点时，最小，最小值为，则目标函数的最小值为，故选A．3.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对每一个选项逐一判断得解.因为＜＜0，所以b<a<0,对于选项A,.所以选项A错误.对于选项B,所以选项B错误.对于选项C,∵＜＜0，∴1＞＞0，∴＞2，所以选项C错误.对于选项D,=-a-b+a+b=0,所以，所以选项D错误.故答案为：C4.已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，则∥B. 若∥,，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α；若n⊥α，n⊥β，则由平面平行的判定定理知α∥β．由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交，故A不正确；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故C不正确；若n⊥α，n⊥β，则由平面平行的判定定理知α∥β，故D正确．故答案为：D5.已知数列是等比数列，，则当时，A. B. C. D.【答案】D【解析】先根据已知求出首项和公比，再利用等比数列的求和公式求解.由题得所以数列是一个以4为首项，以4为公比的等比数列，所以.故答案为：D【点睛】本题主要考查等比数列的通项，考查等比数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.6.两圆和相交于两点，则线段的长为A. 4B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．【详解】∵两圆为x2+y2+4x﹣4y=0①，x2+y2+2x﹣8=0，②﹣②可得：x﹣2y+4=0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x﹣2y+4=0，∵x2+y2+4x﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2，∴圆心到公共弦的距离为d=，∴公共弦长=.故答案为：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.7.已知数列的各项均为正数，则数列的前15项和为A. 3B. 4C. 127D. 128【答案】A【解析】【分析】由题得是一个等差数列，求出，再求出，再利用裂项相消法求和.【详解】由题得是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，所以，所以，所以数列的前15项和为.故答案为：A【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的通项和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的有①三棱锥的体积为定值；②；③的最大值为；④的最小值为2A. ①②B. ①②③C. ③④D. ①②④【答案】A【解析】由A1B∥平面DCC1D1，可得线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，即可得出三棱锥M﹣DCC1的体积为定值．由A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，可得DC1⊥面A1BCD1，即可判断出正误．③当0＜A1P＜时，利用余弦定理即可判断出∠APD1为钝角；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，再利用余弦定理即可判断出正误．A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值，故①正确．A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．因此只有①②正确．故答案为：A．第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________.【答案】【解析】先求出圆心的坐标和半径,即得圆的方程.由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10.在等差数列中，，则____________.【答案】9【解析】先由求出，再求出公差d,最后求.因为，因为，所以d=2.所以.故答案为：911.一个几何体的正视图由2个全等的矩形组成，侧视图也是矩形，俯视图由两个全等的直角三角形组成，数据如图所示，则该几何体的体积为____________.【答案】12【解析】先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.由三视图可知原几何体如图所示（两个全等的三棱柱），所以几何体的体积为.故答案为：1212.已知数列的前项和为，且，则____________.【答案】99【解析】先利用项和公式求出的通项，再代入化简求解.令n=1,所以由题得，，（n≥2）两式相减得所以数列是一个以1为首项，以3为公比的等比数列，所以故答案为：9913.已知，的最小值为_______________.【答案】【解析】先化简，再利用基本不等式求最小值. 由题得.当且仅当时取等.故答案为：14.过点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率的取值范围是_____________. 【答案】【解析】先画出方程对应的曲线，作出圆的切线AB,求出AB的斜率，求出AC的斜率，数形结合得到直线l的斜率的范围.由题得，它表示单位圆的上半部分（包含两个端点），曲线如图所示，由题得设直线AB的斜率为k,则直线的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,因为直线AB和圆相切，所以，所以直线l的斜率范围为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. （Ⅰ）若，求的通项公式；（Ⅱ）若，求.解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则解得（舍），∴的通项公式为.（Ⅱ）解得∴.16.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当点在的什么位置时，使得∥平面，并加以证明.证明：（Ⅰ）连结，∵为菱形∴由已知，∴∵，∴平面.又∵平面,∴（Ⅱ）当点是的中点时，有∥平面证明：设，连结由已知可得四边形是平行四边形，∴是的中点，∵是的中点∴又平面，平面∴平面17.已知函数（为常数）.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若，当时，恒成立，求的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得当时，即时，不等式解集为当时，即时，不等式解集为当时，.（Ⅱ）由题意不等式当时恒成立。
天津市部分区2020届高三数学上学期期中练习试题201912160268
天津市部分区2020届高三数学上学期期中练习试题第I 卷(共45分)一、选择题：本大题共9道小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5.6}，B ＝{1，3，4，6，7}，则A ∪(U ðB)＝A.{2，5}B.{3，6}C.{2.5，6}D.{2，3，5，6，8}2.i 是虚数单位，复数734ii++ A.1－i B.－1＋i C.17312525i + D.172577i -+3.(x 2－32x)，展开式中的常数项是A.80B.－80C.40D.－40 4.设x ∈R ，则“|x －1|<1”是“x 2－x －2<0”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.两个实习生每人加工一个零件。
加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A.12 B.13 C.512 D.166.函数212()log (9)f x x =-的单调递增区间是A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(3，＋∞)D.(－∞，－3)7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝23π-对称的是 A.y ＝sin(2x ＋6π) B.y ＝sin(2x ＋3π) C.y ＝sin(2x －3π) D.y ＝sin(2x －6π)8.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 10＝ A.54 B.55 C.56 D.579.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，12BE BC =，13DF DC =。
则BF DE ⋅＝A.223- B.23C.56D.223第II卷(共105分)二、填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分。
天津市第一百中学2019-2020学年度第一学期学期期中考试试卷高三数学
A. a b c
B. c b a
C. c a b
D. b c a
3.若函数 f x m2 6m 9 xm2 3m1 是幂函数且为奇函数，则 m 的值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 或 4
4.设 x R ，则“ x 2 ”是“ x2 x 2 0 ”的
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.等比数列
an
中， an1
an
， a2
a8
6 ， a4
a6
5 ，则
a5 a7
等于
A. 5
B. 3
C. 6
D. 2
6
2
5
3
6.若直线 ax by 1 0 平分圆 C ： x2 y2 2x 4 y 1 0 的周长，则 ab 的取值范围是
18.（本题 13 分）
如图所示的几何体中， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ADC BAD ， F 为 2
PA 的中点， PD 2 ， AB AD 1 CD 1 .四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于 2
点N . （Ⅰ）求证： AC // 平面 DEF ； （Ⅱ）求二面角 A PB C 的正弦值.
为倒数，求证： e 1 a e2 1 .
nN
.
21.（本题 14 分）
已知函数 f x ln x ax 1， gx ex ，其中 e 为自然对数的底数.
（1）当 a 1时，求函数 y f x 的单调区间；
（2）求函数 y f x 在区间 1, e上的值域；
天津市七校2019届高三上学期期中联考数学(理)试卷 Word版含解析
【点睛】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题．
2.已知命题 ：“
”，则命题 的否定为
，故选 D.
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【详解】由全称命题的否定为特称命题可得
命题 ：“
”的否定为
，故选 C．
【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化， 考查转化思想，属于基础题．
【详解】将函数
的图象向右平移 个单位长度，
得到函数
的图象，
令
，解得
，
故 的图象的对称轴方程是
，结合所给的选项，故选 B．
【点睛】本题主要考查函数
的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，在
平移过程中（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移
前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得 为偶函数且在
D. 上为增函数，由对数函数及指数函数的性质比
较可得
，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】函数 当 时， ∵
，其定义域为 ，且
，则函数 在
上单调递增，
，
，
，则 为偶函数，
∴
，则
即
，则
，故选 B.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，指数、对数幂的大小比较，关键 是分析函数的奇偶性与单调性，属于中档题.
小，属于基础题．
11.在
中， 为边 延长线上一点且不与 重合，若
天津市部分区2019-2020学年度第一学期期中练习高三数学答案
天津市部分区2019～2020学年度第一学期期中练习高三数学参考答案一．选择题：10．()ln x f x a a '= 11 12．30 13．30 14．24π 15．[4,2]- 三．解答题：16．解：（Ⅰ）)(x f 定义域为),0+∞（ .......................................................1分)11(11)(22x x x x x f +-=--=' ................................................4分0>x 且 上恒成立在),0(0)(+∞<'∴x f即)(x f 单调递减区间为),0+∞（ ...............................................................7分（Ⅱ） )()2(2a f a f <+等价于⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+222002a a a a ， .......................11分解不等式组得20,01<<<<-a a 或. ............................................14分17．解：（Ⅰ）由正弦定理得CCAA C cos sin sin sin sin 8=， ...........................3分化简得81cos =C ...................................................................................5分（Ⅱ）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=． ......................................................................................7分又9a b +=22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=． ...........................................................................10分2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=． ......................................................................14分18．解：（Ⅰ）设“取出的4个球中恰有1个红球”为事件A ，52)(2523131222231211=+=C C C C C C C C A P ..............................................................5分（Ⅱ）解：ξ可能的取值为0123，，，． .........................................................6分 101)0(25232322===C C C C P ξ， ......................................................................8分 由（Ⅰ）52)1(==ξP ，3013)2(2523222213121211=+==C C C C C C C C P ξ， ..................................................10分 151)3(2523221211===C C C C C P ξ. ..............................................................12分ξ的分布列为分ξ的数学期望．15221513301325211010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . ....................15分 19．解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，︒=∠60ABC ，可得ABC ∆为正三角形.因为E 为BC 的中点，所以BC AE ⊥. 又 AD BC //，因此AD AE ⊥. 因为ABCD PA 平面⊥，ABCD AE 平面⊂，所以AE PA ⊥. ...............................................2分 而PAD PA 平面⊂，PAD AD 平面⊂且A AD PA = ， 所以PAD AE 平面⊥，又PAD PD 平面⊂.所以PD AE ⊥ . ......................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知AP AD AE ,,两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又F E ,分别为PC BC ,的中点，所以)0,0,0(A ，)0,1,3(-B ，)0,1,3(C ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P ，)0,0,3(E ，)1,21,23(F ，① )0,2,0(),2,1,3(=-=,. ..........................................6分∴42222022103||||,cos =⨯⨯+⨯+⨯-=⋅>=<AD BP ,............9分 设异面直线PB 与AD 所成角为α，∴414sin =α ...........................10分 ②31(3,0,0),(,,1).22AE AF == 设平面AEF 的一法向量为111(,,),m x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m m因此11110,10.2x y z =++= 取11,(0,2,1),z m =-=-则 .....................................12分因为AC BD ⊥，PA BD ⊥，A AC PA = ， 所以 AFC BD 平面⊥，故 BD 为平面AFC 的一法向量. ..............................................13分又 BD =（），所以 ><m ,cos |BD||||5m BD == .............................15分因为二面角C AF E --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5.......16分 20．解：（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比..........................................4分解得12,11-=∴=n a a n . .........................................6分 （Ⅱ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ，...........................10分当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-1111()()23212121n n n n ++-+---+1221211+=+-=∴n nn T n .........................................12分11111(1)()()33557n n T =+-+++--当为奇数时，1111()()23212121n n n n +++---+12221211++=++=∴n n n T n .........................................14分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122． ..........................................16分。
2019届天津市蓟州区高三上学期期中考试数学(文)试题(图片版)
高三文参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1）C （2）C （3）B （4）B（5）B（6）B（7）D（8）B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． （9）1（10）6（11）22(2)10x y -+=（12）(-∞,1)∪（2，+∞）（13）54（14） ]21,0(]1,2( --三、解答题（15）解： (Ⅰ)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：12{,}A A ，13{,}A A ，23{,}A A ，11{,}A B ，12{,}A B 13{,}A B ，21{,}A B ，22{,}A B ，23{,}A B ，31{,}A B ，32{,}A B ，33{,}A B ，12{,}B B ，13{,}B B ，23{,}B B ，共15个．.............................4分所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：12{,}A A ，13{,}A A ，23{,}A A ，共3个．则所求事件的概率为：31155P ==． ......................................................................6分 (Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，...10分包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个，所以所求事件的概率为29P =． .............................................13分（16）解：（Ⅰ）122cos 152sin 3251cos 5cos sin 35)(2++⨯+=++=xx x x x x f 27)62sin(5++=πx …………………………5分ππ==∴22T ………………………………6分 （Ⅱ）函数27)62sin(5)(++=πx x f 在区间]6,12[ππ为增函数，在区间]2,6[ππ为减函数，又27235273sin 527)6122sin(5)12(+=+=++⨯=ππππf ，27127)662sin(5)6(=++⨯=πππf ，127)622sin(5)2(=++⨯=πππf ].217,1[)(,212的值域为函数时x f x ππ≤≤∴……………………13分（17）解：（Ⅰ）因为1==b a ，所以13231)(23+-+-=x x x x f ， 13231)1(+-+-=f 31-=，34)(2-+-='x x x f ，........................4分所以在点)31,1(-处切线的斜率为：0)1(='=f k ，所以切线方程为0)31(=--y ，即031=+y ………………………6分（Ⅱ）∵)3)((34)(22a x a x a ax x x f ---=-+-=',由0)(>'x f 得a x a 3<<，由0)(<'x f 得,a x <或a x 3>，则函数)(x f 的单调递增区间为)3,(a a ，...........................................10分 单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a 列表如下：∴函数)(x f 的极大值为b ，极小值为－3a 3+b …………………………（13分） （18）解：（Ⅰ）由已知BC A B C sin sin sin 2cos cos -=，整理得，,cos sin 2sin cos cos sin B A C B C B =+即B A C B cos sin 2)sin(=+∵A+B+C=180°，∴A C B sin )sin(=+，∴sinA=2sinAcosB ，又∵︒=∴=∴≠60,21cos ,0sin B B A ， ……4分 ∵,660sin 22sin 2,2=︒==∴=B R b R ∴B=60°， b=6 ……………6分 （Ⅱ）由余弦定理，得 …︒⨯-+=-+=60cos 2226,cos 222222a a B ac c a b 即 解得31+=a ，3-1=a （舍）.................................................10分 ∴23360sin 23121sin 21+=⨯⨯+⨯==∆ ）（B ac S ABC ，…………13分（19）（Ⅰ）由题意有，1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩ ，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩． 解得112a d =⎧⎨=⎩ 或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，..............................................4分 故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或．11(279)929()9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩...............................6分 （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，.........................8分 于是2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ................10分 ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-． ...........14分（20）解：（Ⅰ）由()2f e =得2b =，...........................................2分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()2ln .f x ax ax x =-++从而'()ln .f x a x =0a ≠因为，..........4.分（1）当0a >时，由()>0f x '得>1x ，由()<0f x '得<<x 01；（2）当0a <时，由()>0f x '得01x <<，由()<0f x '得>1x ；....................6分综上，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．..........8分（Ⅲ）当1a =时，()2ln f x x x x =-++，'()ln f x x =．由（Ⅱ）可得，当x 在区间1(,)e e内变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：又22e -<，所以函数()f x ([,])x e e∈的值域为[1，2]．.................................12分 据此可得，若1,2m M =⎧⎨=⎩，则对每一个[,]t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x =1([,])x e e∈都有公共点．并且对每一个(,)(,)t m M ∈-∞+∞，直线y t =与 曲线()y f x =1([,])x e e∈都没有公共点． 综上，当1a =时，存在最小的实数m =1，最大的实数M =2，使得对每一个[,]t m M ∈，直线y t =与曲线1()([,])y f x x e e =∈都有公共点．...................................................14分。
天津市武清区2019届高三上学期期中考试文科数学试卷Word版含解析
天津市武清区2019届高三上学期期中考试文科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，集合B={x|1＜2x+1＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，0）C．（0，1）D．（1，）2．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C D．3．已知函数f（x）=（2+x）2﹣3x，则f′（1）为（）A．6 B．0 C．3 D．74．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．5．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3）C．（1，4）D．（﹣∞，2）6．已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）a）7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log2+f（log a）＞2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（，+∞）8．函数f（x）=e x|lnx|﹣1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．若f（a）是函数f（x）=x+（x＞0）的最小值，则a= ．10．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．11．在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．12．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．13．在三角形ABC中，∠B=，AB=1，BC=2，点D在边AC上，且=λ，λ∈R．若•=2，则λ= ．14．函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（﹣π，）上单调递增，则ω的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，b=2，△ABC的面积为．（1）求a和c的值；（2）求sin（2B﹣）的值．16．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．17．已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R．（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．18．已知函数f（x）=x3+mx2+nx﹣2的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为9x﹣y+3=0．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调区间；（2）若函数f（x）（x∈[0，3]）的值域为A，函数f（x）（x∈[a，a+]）的值域为B，当B ⊆A时，求实数a的取值范围．19．设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（Ⅲ）证明：f（x）≤2x﹣2．20．已知函数f（x）=ln（e x+a）+x（a为常数）是实数集R上的奇函数．（1）求a的值；（2）若m∈R，讨论关于x的方程=x2﹣2ex+m根的个数；（3）若方程=x2﹣2ex+m有两个根x1，x2（x1≠x2），证明：当m＜2e﹣1时，x1+x2＞2e．天津市武清区2019届高三上学期期中考试文科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，集合B={x|1＜2x+1＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，0）C．（0，1）D．（1，）【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解不等式（x﹣1）（x+2）＞0可得集合A，解1＜2x+1＜4可得集合B，进而由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣1）（x+2）＞0⇒x＜﹣2或x＞1，则A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）；1＜2x+1＜4⇒0＜x＜，则B={x|1＜2x+1＜4}=（0，），则A∩B=（1，）；故选：D．2．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A3．已知函数f（x）=（2+x）2﹣3x，则f′（1）为（）A．6 B．0 C．3 D．7【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f′（x）=2x+1，将x=1代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=（2+x）2﹣3x=x2+x+4，其导数f′（x）=2x+1，则f′（1）=3；故选：C．4．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GT：二倍角的余弦；GO：运用诱导公式化简求值．【分析】先根据诱导公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选B．5．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3）C．（1，4）D．（﹣∞，2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，令导函数f′（x）＞0，从而求出其递增区间．【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）e x的，∴f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴函数f（x）的递增区间是（2，+∞），故选：A．6．已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】2a＜2b＜2c＜1，可得a＜b＜c＜0．ab＞ac＞bc＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵2a＜2b＜2c＜1，∴a＜b＜c＜0．∴ab＞ac＞bc＞0，∴log（ab）＜log（ac）＜log（bc），故选：B．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若f（log2a）+f（log a）＞2f（1），则实数a的取值范围是（）A．（，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（，+∞）【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据偶函数的定义将所给不等式转化为不等式f（log2a））＞f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（log2a）+f（log a）＞2f（1）⇔2f（log2a）＞2f（1）⇔f（|log2a|）＞f（1），又由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（|log2a|）＞f（1）⇒|log2a|＜1，解可得＜a＜2；即实数a的取值范围是（，2）；故选：A．8．函数f（x）=e x|lnx|﹣1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由题意，可将函数f（x）=e x|lnx|﹣1的零点个数问题转化为两个函数y=e﹣x与y=|lnx|的交点问题，作出两个函数的图象，由图象选出正确选项【解答】解：由题意，函数f（x）=e x|lnx|﹣1的零点个数⇔两个函数y=e﹣x与y=|lnx|的交点个数，两个函数的图象如图．由图知，两个函数有2个交点，故函数f（x）=e x|lnx|﹣1的零点个数是2，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．若f（a）是函数f（x）=x+（x＞0）的最小值，则a= ．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=1，当且仅当x=时取等号，∴a=．故答案为：．10．已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件可得求得=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围求出θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴ =1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．11．在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．【考点】HP：正弦定理；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】由tanA的值及A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由sinC 及BC的值，利用正弦定理即可求出AB的值．【解答】解：∵tanA=，∴cos2A==，又A∈（0，30°），∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，根据正弦定理得： =，则AB===．故答案为：12．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：13．在三角形ABC中，∠B=，AB=1，BC=2，点D在边AC上，且=λ，λ∈R．若•=2，则λ= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把用和表示，然后结合•=2列式求得λ值．【解答】解：如图，∵=，且∠B=，AB=1，BC=2，∴•=[（1﹣λ）+λ]•=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+=1×（1﹣λ）+4λ=2，解得λ=．故答案为：．14．函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（﹣π，）上单调递增，则ω的取值范围是（0，] ．【考点】H2：正弦函数的图象；GI：三角函数的化简求值．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间求得ω的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）（ω＞0）在区间（﹣π，）上单调递增，∴，求得0＜ω≤，故答案为：（0，]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=，b=2，△ABC的面积为．（1）求a和c的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，（2）根据正弦定理和二倍角公式和同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为，∴，∴c=3由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA∴（2）由正弦定理∴∵a＞b，∴，∴，∴，，∴==．16．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系和二倍角根据，求出tanα和tan2α的值；（Ⅱ）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）由cosα=，0＜α＜，得sinα===；…∴tanα==×=4，于是tan2α===﹣；…（Ⅱ）由0＜α＜β＜，得0＜α﹣β＜，…又∵cos （α﹣β）=，∴sin （α﹣β）===；…由β=α﹣（α﹣β）得： cos β=cos[α﹣（α﹣β）]=cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β） =×+×=． …17．已知函数f （x ）=e x ﹣kx ，x ∈R ．（Ⅰ）若k=e ，试确定函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f （x ）在区间[0，2]上单调递增，求实数k 的取值范围．【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由k=e 得f （x ）=e x ﹣ex ，所以f ′（x ）=e x ﹣e ，讨论导数的正负，即可求出单调区间．（Ⅱ）可得f'（x ）=e x ﹣k ≥0在[0，2]上恒成立，即k ≤e x ，求出e x 在[0，2]上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由k=e 得f （x ）=e x ﹣ex ，所以f ′（x ）=e x ﹣e ．… 令 f ′（x ）=0，解得x=1故单调区间为在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增….. 当x=1时f （x ）取得极小值为f （1）=0….. （Ⅱ）若f （x ）在区间[0，2]上单调递增，则有f'（x ）=e x ﹣k ≥0在[0，2]上恒成立，即k ≤e x ，….. 而e x 在[0，2]上的最小值为1，故k≤1…..18．已知函数f（x）=x3+mx2+nx﹣2的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为9x﹣y+3=0．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调区间；（2）若函数f（x）（x∈[0，3]）的值域为A，函数f（x）（x∈[a，a+]）的值域为B，当B ⊆A时，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，由f′（﹣1）=9及点（﹣1，f（﹣1））在切线9x﹣y+3=0上列关于m，n的方程组求得m，n的值，则函数解析式可求，进一步利用导数求得函数的单调区间；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，3）内单调递增，求出集合A，再由x∈[a，a+]的值域为B，且B⊆A得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2mx+n，∴f′（﹣1）=﹣2m+n+3，①由题意可知f′（﹣1）=9，即2m﹣n+6=0，∵点（﹣1，f（﹣1））在切线9x﹣y+3=0上，∴f（﹣1）=﹣6，即（﹣1）3+m（﹣1）2+n（﹣1）﹣2=﹣6，即m﹣n+3=0，②联立①②解得m=﹣3，n=0，∴f（x）=x3﹣3x2﹣2．∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）．令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）．令f′（x）＜0，得0＜x＜2，函数f（x）的单调递减区间为（0，2）；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，3）内单调递增，且f（0）=f（3）=﹣2，f（2）=﹣6，∴A=[﹣6，﹣2]．由（1）知f（﹣1）=f（2）=﹣6，∵B⊆A，∴，∴，解得，∴实数a 的取值范围是[﹣1，]．19．设函数f （x ）=x+ax 2+blnx ，曲线y=f （x ）过P （1，0），且在P 点处的切线斜率为2． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）当x ∈[1，e]时，求f （x ）的最值； （Ⅲ）证明：f （x ）≤2x ﹣2．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得函数的导数，由题意可得f （1）=0，f ′（1）=2，解方程可得a ，b 的值；（Ⅱ）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；（Ⅲ）构造函数g （x ）=f （x ）﹣（2x ﹣2）=2﹣x ﹣x 2+3lnx ，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=x+ax 2+blnx 的导数为f ′（x ）=1+2ax+， 由已知条件得，即，解得a=﹣1，b=3；（Ⅱ）f （x ）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f （x ）=x ﹣x 2+3lnx ． 令f ′（x ）=1﹣2x+=0解得x=或x=1． ）当x=时，取得最大值f（）=3ln﹣； 当x=e 时，取得最小值 f （e ）=e ﹣e 2+3．（Ⅲ）证明：设g （x ）=f （x ）﹣（2x ﹣2）=2﹣x ﹣x 2+3lnx ， g ′（x ）=﹣1﹣2x+，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，当x ＞1时，g ′（x ）＜0，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．即有x=1处取得极大值，且为最大值0，故当x＞0时，g（x）≤0，即f（x）≤2x﹣2．20．已知函数f（x）=ln（e x+a）+x（a为常数）是实数集R上的奇函数．（1）求a的值；（2）若m∈R，讨论关于x的方程=x2﹣2ex+m根的个数；（3）若方程=x2﹣2ex+m有两个根x1，x2（x1≠x2），证明：当m＜2e﹣1时，x1+x2＞2e．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）利用奇函数的定义得到关于实数a的方程，解方程即可求得实数a的值；（2）求导后分类讨论即可确定方程的根的个数，（3）结合第二问的结论和方程的特点即可证得题中的不等式．【解答】（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴=恒成立∴ln（e﹣x+a）（e x+a）=0，即（e﹣x+a）（e x+a）=1．∴a（e x+e﹣x+a）=0，∴a=0．（2）方程，即，令，r（x）=x2﹣2ex+m∴，当g'（x）=0时，x=e当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，e）上单调递增，且﹣∞＜g（x）＜g（e）；当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（e，+∞）上单调递减，且0＜g（x）＜g（e）；∴当x=e时，g（x）的最大值为∵r（x）=x2﹣2ex+m的图象为开口向上的抛物线，且当x=e时，最小值为m﹣e2．∴当，即时，方程无解；当，即时，方程只有一个根；当，即时，方程有两个根．（3）不妨设x 1＜x 2，依题意，0＜x 1＜e ，x 2＞e ∵x=1是方程的一个根，又，当m ＜2e ﹣1时，x 2﹣2ex+m ＜x 2﹣2ex+2e ﹣1∴方程较小的根x 1＜1．∴即（x 1﹣x 2）（x 1+x 2﹣2e ）＞0，∵x 1﹣x 2＜0，∴x 1+x 2﹣2e ＞0，即x 1+x 2＞2e ．。