弧长和扇形面积(2)
人教版九年级数学上册课件：弧长和扇形面积 (2)
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料 ，试计算图所示管道的展直长度L(结果取整数) .
解：由弧长公式，可得弧AB 的长 因此所要求的展直长度
1．弧长相等的两段弧是等弧吗？
2．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆 心角是81°．这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小 数点后以为）？
圆锥中的最短路径问题
如图，已知点 P 是圆锥母线 OM 上一点，OM =6，OP =4, 圆锥的侧面积为12π，一只蜗牛从 P 点出发，绕圆锥侧面爬行 一周回到点P，则爬过的最短路线长为______.
圆锥中的最短路径问题
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面 圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一 母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
答案：2π．
扇形面积计算综合
如图，直径 AB 为 8 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B '，则图中阴影部分的面积是___________.
圆锥中的最短路径问题
圆锥的底面半径是 1，母线长是 4，一只蜘蛛从底面圆周上的 一点 A 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到 A 点，则蜘蛛爬行的 最短路径的长是________．
如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积． 提示：可以先算非阴影部分的扇 形面积之和．
答案：12π．
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其 中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积（结果保留小数 点后两位）．
如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的 扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边 形中，所有扇形面积之和是___________( 结果保留π，用含 n 式子表示 ).
24.4弧长和扇形面积(2)
教学难点
圆锥侧面积计算公式的推导过程．
教学准备
多媒体
第二课时
教学过程
师：大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？
生：见过，如漏斗、蒙古包．
师：你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流．
生：圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的．
师：圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题．
教学内容
24．4弧长和扇形面积（2）
教学目标
知识与技能：
1．了解母线的概念．
2．掌握圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
过程与方法：
经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．
情感、态度与价值观：
通过解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．
教学重点
1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．
解：右图是一个蒙古包的示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2．高h2＝1.8 m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4(m)．
圆柱的底面圆的半径r＝ ≈1.945(m)，侧面积为2π×1.945×1.8≈22.10(m2)．
圆锥的母线长l＝ ≈2.404(m)，侧面展开扇形的弧长为2π×1.945≈12.28(m)，圆锥的侧面积为 ×2.404×12.28≈14.76(m2)．
因此，搭建20个这样的的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738(m2)．
教材第114页练习．
本Hale Waihona Puke 课应该掌握：探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算．
作业设计
Ï°Ìâ24.4第4、5、7题．
3.8弧长和扇形的面积(2)
长
l
，那么扇形面积S的计算公式为
nR S扇形 360
2
A
R O
n0 ⌒
B
问题：比较扇形的面积公式与弧长公式， 能用弧长 l 和半径R表示扇形的面积S吗？
S扇形
nR 1 lR 360 2
2
做一做1： 已知圆的半径为6cm,求下列各扇形的面积:
(1)圆心角为60度的扇形; (2)圆心角为240度的扇形; (3)弧长为7.2cm的扇形;
S弓形= S扇形OAB- S△0AB
A
0
D
B
C
如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是10 2 cm，∠AOB=45度，求截面上有水 部分的面积。
S弓形=S扇形+S三角形
A C
Bห้องสมุดไป่ตู้
0
①当弓形所对的是劣弧时 S弓形=S扇形-S三角形
C
O A B
②当弓形所对的是优弧时
S弓形=S扇形+S三角形
③当一个图形的面积计算无直接公式可用时
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长 的计算公式为
nR l 180
计算半径和圆心角的公式为：
180l R n
180l n R
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对
的弧围成的图形是扇形。
B 弧 圆心角 B
C
OO
扇形
O A
A
记做:“扇形OACB”
记做 “扇形OAB”
如图,已知⊙O半径为R，如何求圆心角n°的扇形的面积 ? 研究问题的步骤: A n0 B
2
4 ，则这个 2、已知半径为 2 的扇形，面积为 4 3
扇形的弧长___ ．
3
弧长和扇形面积(练习2)
弧长和扇形面积（练习2）第1题. 如图10，扇形O D E 的圆心角为120 ，正三角形ABC 的中心恰好为扇形O D E 的圆心，且点B 在扇形O D E 内（１） 请连接O A O B 、，并证明A O F B O G △≌△； （２） 求证：A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13．答案：（1）连结O A O B 、（如图） O 是正三角形ABC 的中心． O A O B ∴=．O A F O B ∠=∠．3601203AO B ∠==又120DOE ∠=A OB D O ∴∠=∠ A O B B O D D O E ∴∠-∠=∠-∠ 即A O F B O G ∠=∠故AO F BO G △≌△ （2）BO G BO F BG O F S S S =+ △△四边形而AO F BO G △≌△． 有BOG AOF S S =△△ AO FB O FBGOF S S SS ∴=+=△△△四边形又O 是正三角形ABC 的中心． 13AOBAB CS S ∴=△△BG OFS ∴四边形13A B C S =△即A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13．DAE第2题. 如图，两个半径为1，圆心角是90的扇形O A B 和扇 形O A B '''叠放在一起，点O '在 AB 上，四边形OPO Q '是正方 形，则阴影部分的面积等于 ． 答案：12-π第3题. 下图是一纸杯，它的母线A C 和E F 延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形O A B ．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm ，下底面直径为4cm ，母线长8E F =cm ．求扇形O A B 的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）．答案：解：由题意可知：6AB =π， 4C D =π 设AOB n ∠=，A O R =，则8C O R =-由弧长公式得：6180n R =ππ，(8)4180n R -=ππ解方程组618041808nR nR n⨯=⎧⎨⨯=-⎩得4524n R =⎧⎨=⎩答：扇形O A B 的圆心角是45∵24R = 816R -= 1AA BB '(第2题图)Ｏ1624722OABS =⨯⨯=扇形ππ 7232O A B O CD S S S =-=-纸杯侧面积扇形扇形ππ 40=π224S =⋅=纸杯底面积ππ．40444S =+=纸杯表面积πππ．第4题. 半径为R 的圆弧 AB 的长为12R π，则AB 所对的圆心角为 ，弦A B 的长为 ．答案：90第5题. 半径为5的圆的弧长等于半径为2的圆的周长，则在半径为5的圆中，这条弧所对的圆心角的度数为 ．答案：144第6题. 在半径为4cm 的圆中，弧长为2cm 3π的弧所对的圆周角的度数为 ．答案：15第7题. 一个扇形的圆心角为30，半径为12cm ，则这个扇形的面积为 ．答案：212cm π第8题. 如图，1O 和2O 是半径为6的两个等圆，且互过圆心，则图中阴影部分的面积为．答案：24π-第9题. 如图，△ABC 内接于O ，4cm AB BC C A ===，则图中阴影部分的面积为 ．答案：216)93π-第10题. 如图，O A 是O 的半径，A B 是以O A 为直径的O ' 的弦，O B '的延长线交O 于C 点，且4O A =，45OAB ∠= ，则由 AB ，A C 和线段BC 所围成的图形（影阴部分）的面积是 ．答案：53π-第11题. 已知扇形的圆心角为60，半径为5，则扇形周长为（ ）Ａ．53πＢ．53π+10 Ｃ．56π Ｄ．5106π+答案：Ｂ第12题. 如果扇形的圆心角为150 ，半径是6，那么扇形的面积为（ ）Ａ．5π Ｂ．10π Ｃ．15π Ｄ．30π答案：Ｃ第13题. 如图，1O ，与2O 外切于点C ，M 与1O ，2O 都相内切，切点分别为A ，B ，1O 与2O 的半径均为2，M 的半径为6，求图中阴影部分的面积．答案：连结12O O ，1M O ，2M O 并延长，则1M O ，2M O 分别过点A ，B ．124O O = ，124O M O M ==，1212O O O M O M ∴==，122160M M O O M O O ∴∠=∠=∠=，12120AO C BO C ∴∠=∠=．12160112024423602236081063M O O M AB O AC S S S S 22⎛π⨯6π⨯2=--=-⨯⨯⨯-⨯ ⎝⎭π=π-=π-3 阴影扇形扇形第14题. 如图，正方形A B C D 的边长为2，分别以B ，D 为圆心，2为半径画弧，求图中阴影部分的面积．答案：2909022360360ABCD BAC DAC S S S S 22π⨯2π⨯2=+-=+-=π-4阴影正方形扇形扇形．Ｄ第15题. 如图，阴影部分是某一个广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm ，10cm ，120AOB ∠=，求这个广告标志的周长（精确到0.1cm ）．答案：设半径为20cm ，10cm 的圆弧长分别为1l 和2l ．124080(cm )180l π20π==3，224040(cm )180l π10π==3．广告标志的周长为128040(2010)240cm l l A C B D ππ+++=++-⨯=π+20≈145.6()33．第16题. 如图，1O 与2O 相外切于C 点，A B 切1O 于A 点，切2O 于B 点，21O O 的延长线交1O 于点D ，与B A 的延长线交于点P ． （1）求证：2221P O P C P AP O =；（2）若AB =，6cm P C =，求图中阴影部分的面积．答案：（1）连结1O A ，2O B ，B C ，A C ，则12O A O B ∥，12180AO C BO C ∴∠+∠=．11O A O C = ，11O AC O C A ∴∠=∠，同理22O CB O BC∠=．112212360()180O AC O C A O C B O BC AO C BO C ∠+∠+∠+∠=-∠+∠=，1290AC O BC O ∴∠+∠= ，90ACB ∴∠= ，90CAB CBA ∴∠+∠=，11C BA O AC O C A ∠=∠=∠．Ｐ又C PA BPC ∠=∠ ，∴△PAC ∽△P C B ，P C P B P AP C∴=，2PC PA PB = ．222PC PA PB PB PAPAPA∴==．12O A O B ∥，21PO PB PAPO ∴=，2221P O P C P AP O ∴=．（2）设P A x =，由2PC PA PB =，得(36x x +=，解得x =2PA PD PC =，226PAPD PC∴===，4C D ∴=，14PO =，11sin 2PA PO A PO ∠==160PO A ∴∠= ，1120AO C ∴∠= ，260B O C ∠=．1213AO PA BO PB==，26O B =，121221422(26)cm 233OA B O OA COB CS S S S =--=+⨯π-6π=π()阴影梯形扇形扇形第17题. 如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫以相同速度，同时从A 点到B 点，甲虫沿 1ADA ， 12A EA ， 23A FA ， 3A GB 路线爬行；乙虫沿A CB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）Ａ．甲先到达B 点 Ｂ．乙先到达B 点 Ｃ．甲、乙同时到达B 点 Ｄ．无法确定答案：Ｃ第18题. 如图，正方形A B C D 的边长为2，以C D 为直径在正方形内画半圆，再以D 为圆心，2为半径画弧A C ，则图中阴影部分的面积为（） Ａ．π Ｂ．23π Ｃ．32π Ｄ．2πＤ ＥＦＧＣ1A2A3A答案：Ｄ第19题. 如图，半圆O 的弦A B 平行直径C D ，已知24AB =，半圆E F 与A B 相切，求圆中阴影部分的面积．答案：如图所示，将小半圆沿C D 平行移动，使其圆心与点O 重合，这样所求阴影部分的面积不变．设平移后，小圆与线段A B 相切于G 点，连O G ，O B ，O G A B ∴⊥，且11241222B G A B ==⨯=．在Rt △O BG 中，222212144OB OG GB -===．2222211112222S S S O B O G O B O G G B 1=-=π-π=π(-)=π=π⨯144=72π2阴影大半圆小半圆．第20题. 已知一圆的周长为8cm π，其圆周上一段弧长为3cm π，则该弧所对的圆周角为 ．答案：67.5第21题. 如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为 ．答案：180n r l π=第22题. 如果设圆心角是n 的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为 ．答案：2360n rS π=或12S lr =第23题. 圆心角为30 ，半径为R 的弧长为 ． 答案：6R π第24题. 圆周长为6π，则60 圆心角所对应的弧长为 ．答案：π第25题. 在半径为1cm 的圆中，弧长为23π的弧所对应的圆周角为 ．答案：60第26题. 在O 中，如果120的圆心角所对应的弧长为43π，则O 的半径为 ．答案：2第27题. 如果O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为 ．答案：第28题. 圆心角是180 ，占整个周角的180360，因此它所对的弧长是圆周长的 ．答案：12第29题. 圆心角是n ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：360n ，360n第30题. 扇形的面积为34cm 2，扇形所在圆的半径32cm ，求扇形的圆心角．答案：120。
弧长和扇形面积2教案
课题24.4 弧长和扇形面积(第2课时)【教学目标】(一)教学知识点1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．(二)能力训练要求1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力．2．了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力．(三)情感与价值观要求1．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．2．通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际．【重点难点】重点：1．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程．2．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．难点：经历探索圆锥侧面积计算公式．【教学方法】观察猜想、合作交流、讲练结合【自主复习、预习】【教学过程】一、检查自主复习、预习1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，•太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．老师点评：（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，•圆柱的侧面积和底圆的面积．这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，•但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．二、新课导学我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．（学生分组讨论，提问二三位同学）问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为L，•底面圆的半径为r，•如图24-115所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，•因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S=2360n lπ，其中n可由2πr=2180n lπ求得：n=360rl，•∴扇形面积S=2360360rllπ=πrL；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=πrL+r2．例1．圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为Lcm，则r=582π2258()202π+≈22.03S纸帽侧=πrL≈12×58×22.03=638.87（cm）638.87×20=12777.4（cm2）所以，至少需要12777.4cm2的纸．例2．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？分析：（1）由S扇形=2360n Rπ求出R，再代入L=180n Rπ求得．（2）若将此扇形卷成一个圆锥，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，•圆锥母线为腰的等腰三角形．解：（1）如图所示：∵300π=2 120 360Rπ∴R=30∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π（cm）（2）如图所示：∵20π=20πr∴r=10，R=30900100-2∴S轴截面=12×BC×AD=12×2×10×22（cm2）三、巩固练习（一）基础训练——夯实基础一、课本课本P114 练习1、2、二、选择题．1．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm2．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，•用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（）A．228° B．144° C．72° D．36°3．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，•从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（）A．3．332C．3 D．3（二）提升训练——能力培养1．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______．2．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，•所得圆柱体的表面积是________（用含 的代数式表示）3．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡．4．一个圆锥形和烟囱帽的底面直径是40cm，母线长是120cm，•需要加工这样的一个烟囱帽，请你画一画：（1）至少需要多少厘米铁皮（不计接头）（2）如果用一张圆形铁皮作为材料来制作这个烟囱帽，那么这个圆形铁皮的半径至少应是多少？5．如图所示，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，•求圆锥全面积．（三）综合运用——拓展思维如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm•的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，•求这个几何体的表面积．四、归纳小结本节课应掌握：1．什么叫圆锥的母线．2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．五、布置作业P108 8、9【课后反思】。
24.4 弧长和扇形面积 (第2课时)九年级上册数学人教版
圆锥的侧面积计算公式的推导
1
（l为弧长，R
lR 为扇形的半径）
∵ S侧
2
又∵
1
S侧 2r l.
2
∴
l
侧
展开图
l
o
r
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
圆锥的全面积计算公式
面
素养考点 1
圆锥有关概念的计算
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为
20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
2
2
是 15πcm ，全面积是 24πcm ．
能力提升题
如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求
圆锥全面积.
解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC=8cm.
∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2),
S底=πr2=π×4×4=16π(cm2),
∴=360°×
l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB=AC= 10
∴S扇形=
①
②
B
O
2.
90 10 2
360
24.4弧长及扇形面积(第2课时)课件
S
h=20
解:设纸帽的底面半径为rcm,母线长为lcm,所以
由2πr=58得
58 29 r . 2
2
l
O┓ r
1 S圆锥侧 2r l 29 22.03 638 87(cm2 ). . 2
2πr=58 29 2 根据勾股定理 ,圆锥母线 l 20 22.03.
24.4弧长和扇形面积
Байду номын сангаас
圆锥的侧面积和全面积
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 2 s r 或s 1 lr 360 2
圆锥
我们把连接圆锥的顶点S和底 面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线
圆锥的高 S
连接顶点S与底面圆的圆心O 的线段叫做圆锥的高
思考：圆锥的母线和圆 锥的高有那些性质？
母线 A O
r
B
如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高 线长, l 表示圆锥的母线长,那么r,h, l 之间有 怎样的数量关系呢？
由勾股定理得：
h r ll
r2+h2=l 2
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1）
例1：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144° 用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1)
A
C
B
O
解：（1）因为此扇形的弧长=它所 围成圆锥的底面圆周长 R 所以有 2 r 180 所以： r
R
360
（2）因为圆锥的母线长=扇形的半径
弧长和扇形面积2
迅速、 正确的运用 所学公式解题，培养 学生良好的学习习 惯，训练学生的解题 速度．
培养学生综合运 用知识解题的能力． 教师出示例题后， 引导学生分析已 知条件，教师要关注学生对题目中的 有关概念是否清楚，如水面高指的是 什么？
教学过程设计 问题与情境 师生行为 经过分析，学生知道了水面高即 设计意图
24.4.1
弧长和扇形面积
教学任务分析 知识技能 数学思考 解决问题 情感态度 掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式 进行一些有关计算. 通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生分析问题、解 决问题的能力. 通过扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归 纳能力和迁移能力． 在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到 一般，再由一般到特殊”的辩证思想．
O A D C B
学生在学习新知 弧 AB 的中点到弦 AB 的距离． 识的同时要想到学过 因此想到做辅助线的方法： 连接 OA、AB，过 O 作 OC⊥AB 于 的知识，在这里就运 用了垂径定理． 点 D，交 AB 于点 C． 教师关注学生对题目的理解， 师 生共同分析题目条件后，由学生独 立写出解题过程，用实物投影展示 学生的解题过程，再由学生对解题 过程给予评价． 由学生谈谈本节课学习的体会 和收获，各抒己见．教师对学生的 回答给予帮助， 让语言表达更准确． nπ R 知识：弧长公式 l = ； 180 扇形面积公式： nπ R 2 1 S扇形 = = lR ． 360 2 能力： 灵活运用公式解决实际问 题． 数学思想：数形结合思想． 学生课下独立完成． 教师对学生的作业在批改后及 时反馈． 巩固所学知识， 达到复习的目的，教 师及时了解学生对本 节知识的掌握情况， 对教学进度和方法进 行适当调整，并对有 困难的学生给予指 导。 发展学生的解决 实际问题的能力和应 用意识.初步探索建 立数学模型.让学生 畅所欲言，教师了解 学生的学习情况，并 让学生逐渐的学会总 结。 检查知识的落实 性，以便发现问题和 及时解决问题。 继续培养学生的 探究意识和学习上持 之以恒的精神.
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教学内容2 .扇形的概念;4 .应用以上内容解决一些具体题目.教学目标了解扇形的概念，理解n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.n R2的计算公式,360重难点、关键1 .重点：n R n R2n °的圆心角所对的弧长L= ，扇形面积S扇= 及其它们的应用.2 .难点：两个公式的应用. 弧长和扇形面积的圆心角所对的弧长L=n R 1803.圆心角为n的扇形面积是S扇形=360通过复习圆的周长、圆的面积公式, 探索n的圆心角所对的弧长L=n R2 3180和扇形面积并应用这些公式解决一些题目.（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题. 1 •圆的周长公式是什么？ 2 •圆的面积公式是什么？ 3 •什么叫弧长？老师点评：（1 ）圆的周长C=2 R（2 ）圆的面积S 图=R 2 （3 ）弧长就是圆的一部分.二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ,则:1. ______________________ 圆的周长可以看作 的圆心角所对的弧.2. 1°的圆心角所对的弧长是 _________ _3. 2。
的圆心角所对的弧长是 ________ _ 4 . 4。
的圆心角所对的弧长是 _______ _5 . n °的圆心角所对的弧长是 _______ .（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到:.c的圆心角所对的弧长为n R360例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料, ?试计算如图所示的管道的展直长度，即 A B 的长（结果精确到 0.1mm ）分析：要求A B的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可.解：R=40mm ，n=110石―n R 110 40 /• AB 的长= = ~76.8 (mm )180 180因此，管道的展直长度约为76.8mm .问题：(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m?的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:(1 )这头牛吃草的最大活动区域有多大？(2)如果这头牛只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？学生提问后，老师点评：(1 )这头牛吃草的最大活动区域是一个以 A (柱子)为圆心，5m为半径的圆的面积.(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n °圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图：.c像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. (小黑板)，请同学们结合圆心面积S= R2的公式，独立完成下题：1.该图的面积可以看作是 _________ 的圆心角所对的扇形的面积.2 .设圆的半径为R, 1。
的圆心角所对的扇形面积S扇形= __________ .径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方3 •设圆的半径为 R , 2。
的圆心角所对的扇形面积S 扇形= ________ .4 .设圆的半径为 R ,5 °的圆心角所对的扇形面积 S 扇形= _________ .5 •设圆半径为 R , n °的圆心角所对的扇形面积 S 扇形= _________ 老师检察学生练习情况并点评因此：在半径为 R 的圆中，圆心角n °的扇形例2 .如图，已知扇形AOB 的半径为10 , /AOB=60 °求A B 的长(鱼吉果精确到0 . 1) 和扇形AOB 的面积结果精确到 0 . 1)分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足.h 2—/60 10 解：A B 的长=x 10=~10.51803° 60 2 100S 扇形=X 10 2=~52.33606因此，A B 的长为25.1cm ，扇形AOB 的面积为150.7cm 2. 三、 巩固练习 课本P122练习. 四、 应用拓展例3 . (1)操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半1.3602 . S 扇形=1 360R2 3 . S 扇形=2 360R 2 4 . S 扇形=5 R 2 3605. S 扇形=360S 扇形=n R 2 360形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a .(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正n边形的中心0点处，若将纸板绕 0点旋转，当扇形纸板的圆心角为 _____________ 寸正n 边形的 边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ，这时正n?边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正 n 边形面积S 之间的关系(不需证明)；若不是定值，请说明理 由.解：(1 )如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 连结0A 、0D . •••四边形ABCD 是正方形••QA=OD ，/AOD=90 ° ,JMA0= ZND0 , 又/MON=90 ° ,JA 0M= /DON z.^AMO ^/DNO(2)尝试与思考：如图a 、b 所示，？将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为 a 的正五边形的中心点处， 并将纸板绕0旋转，，当扇形纸板的圆 心角为 ________ ■寸，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值______ 寸正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ;当扇形纸板的圆心角为 a.(b)AB 、AD?分别交于点M 、N ,D••AM=DN••AM+AN=DN+AN=AD=a特别地，当点M与点A （点B）重合时，点N必与点D （点A）重合，此时故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值(2) 120 °;70（3）360;正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是n五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握:n Rn °的圆心角所对的弧长L=180扇形的概念.运用以上内容，解决具体问题.六、布置作业2.选用课时作业设计.第一课时作业设计、选择题C. 52 .如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕AM+AN圆心角为n °的扇形面积是S扇形=n R2 3601. 教材P124 复习巩固P125 综合运用5、6、7 .1 .已知扇形的圆心角为120。
，半径为6，则扇形的弧长是（）.点D 旋转到如图的位置，则点 B 运动到点B '所经过的路线长度为（）都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）A . 12 mB . 18 mC . 20 mD . 24 m 二、 填空题1•如果一条弧长等于 一R ，它的半径是 R ,那么这条弧所对的圆心角度数为 _____________4当圆心角增加30。
时，这条弧长增加 ___________2. _________________________________________________ 如图3所示，OA=30B ，则A D 的长是 ?C 的长的 _________________________________________ 倍.三、 综合提高题1 .已知如图所示，AB 所在圆的半径为R,A B的长为加0 0飞A 、OB分别相切于点C 、E ,且与O O 内切于点D ，求O O '的周长.O O 滚动，O B 在O O 外沿O O 滚动，O B 转动6周回到原来的位置， 而O A 只需转 动4周即可，你能说出其中的道理吗?A . 1B .C . . 2BD(A)B'A7 C h “3•如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆2.如图，若O O 的周长为20 cm , O A 、O B 的周长都是4 cm , O A 在O O?内沿3 •如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷 将画刷以B 为中心，按顺时针转动 A 'B'C'D '位置A '点转在对角线BD 上），求屏幕 被着色的面积.答案:由Rt △OO 'C?解得O O '的半径「= 1 R ,所以O O '的周长为232 . O O 、O A 、O B 的周长分别为 20 cm , 4 cm , 4 cm ,可求出它的半径分别为 10cm 、?2cm 、2cm , 所以 OA=8cm , OB=12cm ,因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离, 所以O A 滚动回原位置经过距离为 2 X 8=16 =4 X 4 ,而O B 滚动回原位置经过距离为 202=24=4X6 .因此，与原题意相符.3 •设屏幕被着色面积为 S ,.cABCD ，AB=1 ，AD= . 3，一、1. B2 . D3 . D1二、1. 45 ° — R 2. 36三、1. 连结 OD 、 O 'C ,贝U O '在OD 上由l?=R , 解得：/ AOB=60 ° ,AB32r= R .3rBO贝S=S △ABD+S 扇形BDD' +S ZBC'D'=S 矩形ABCD+S 扇形BDD' ,连结BD在Rt MBD '中,A'B=1 , A'D=AD= .3 ,••BD =BD=2，/DBD =60 ° ,•'S= 1 22+1 • 3 = x 3 + 2 •6 33 .关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程. 教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板.教学过程、复习引入。