专题19 立体几何中体积与表面积—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
好教育云平台 1.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，11,2AC AB ==，所以32r BC ==，那么圆柱的体积是2233124V r h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【考点】圆柱体积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.2.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.3.【2016高考新课标1文数】平面过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,,,则m,n所成角的正弦值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.4.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】92π 【解析】试题分析：设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 【考点】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单. 5.【2015新课标2文10】已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 【名师点睛】由于三棱锥底面AOB 面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练. 6. [2016高考新课标Ⅲ文数]在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）（A ）4π （B ）（C ）6π （D ）【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．7.【2014全国2，文7】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为( )（A）（B）（C）（D）【答案】C【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，属于中档题，求解几何体的底面面积与高是解题的关键，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行处理．8.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是圆锥，底面周长是两个底面半径与圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.9.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=【考点】三棱锥外接球【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．10.【2017课标II ，文15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 【答案】14π.【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以224π14π.R S R ==== 【考点】球的表面积【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.【2017江苏，6】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．12【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______. 【答案】【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的 等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为如图，因为AA 1∥PN ，故AA 1∥面PMN ， 故三棱锥P －A 1MN 与三棱锥P －AMN 体积相等， 三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积的，高为1故三棱锥P －A 1MN 的体积为【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力. 【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.13.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.【答案】80；40．PC 1B 1A 1NCMBA考点：三视图.【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积． 14.【2017课标II ，文18】如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PAD 面积为P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ）4√3 【解析】试题解析：（1）在平面ABCD 内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC ∥AD.又BC PAD ⊄平面，AD PAD ⊂平面，故BC ∥平面PAD.（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由12AB BC AD ==及BC ∥AD ，∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM ⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为CM ABCD底面，所以PM⊥CM.设BC=x，则CM=x，CD=√2x，PM=√3x，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以PN=√142x因为△PCD的面积为2√7，所以1 2×√2x×√142x=2√7，解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=2√3，所以四棱锥P-ABCD的体积V=13×2(2+4)2×2√3=4√3.【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.15.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【答案】（1）详见解析；（2）1试题解析：（1）证明：取AC 中点O ，连OB OD , ∵CD AD =，O 为AC 中点， ∴OD AC ⊥，又∵ABC ∆是等边三角形， ∴OB AC ⊥，又∵O OD OB = ，∴⊥AC 平面OBD ，⊂BD 平面OBD ， ∴BD AC ⊥.（2）设2==CD AD ，∴22=AC ，22==CD AB ， 又∵BD AB =，∴22=BD ， ∴≅∆ABD CBD ∆，∴EC AE =， 又∵EC AE ⊥，22=AC ， ∴2==EC AE ， 在ABD ∆中，设xDE =，根据余弦定理DEAD AE DE AD BD AD AB BD AD ADB ⋅-+=⋅-+=∠22cos 222222 x x ⨯⨯-+=⨯⨯-+=22222222)22()22(2222222解得2=x ，∴点E 是BD 的中点，则ACE B ACE D V V --=，∴1=--ACEB ACED VV . 【考点】线面垂直判定及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 【答案】详见解析 【解析】试题解析：证明：（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥.（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ， 所以平面BDE ⊥平面PAC .（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==. 由（I ）知，PA ⊥平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC .所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,。
高考数学第2部分专题4立体几何第6讲空间几何体的三视图、表面积和体积学案文
第6讲空间几何体的三视图、表面积和体积高考统计·定方向题型1 空间几何体的三视图与表面积或体积■核心知识储备·1．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)．3．球的表面积和体积公式(1)S 球表＝4πR 2(其中R 为球的半径)； (2)V 球＝43πR 3(其中R 为球的半径)．■高考考法示例·►角度一 空间几何体的三视图【例1－1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图241摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )图241A [由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A 中的图形．]►角度二 根据三视图计算空间几何体的表面积或体积【例1－2】 (1)(2018·黄山模拟)一个几何体的三视图如图242所示，则该几何体的体积为( )图242A ．4 3B ．4 2C ．4 D.433(2)(2018·广州模拟)如图243，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图243A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81(1)C (2)B [(1)由三视图可知该几何体为四棱锥P ABCD ， 其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝4，AD ⊥AB ，AP ＝2，AB ＝2，∴该几何体的体积V ＝13×2＋42×2×2＝4.故选C.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.][方法归纳] 根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图． (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解． ■对点即时训练·1．(2018·烟台模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图244所示，则该几何体的侧视图为 ( )图244B[先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图①所示，故其侧视图如图②所示．故选B.]2．(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图245所示，则该几何体的表面积是( )图245A．48＋πB．48－πC．48＋2πD．48－2πA[该几何体是正四棱柱中挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.]题型2 根据空间几何体的结构特征计算表面积或体积全国卷考查解答题多设两问，第(1)问考查位置关系的证明，第(2)问考查空间几何体体积的求法或点到平面距离的求法．■高考考法示例·【例2】(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．122πB．12πC．82πD．10πB[因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.](2)(2016·全国卷Ⅲ)如图246，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图246①证明MN∥平面PAB；②求四面体NBCM的体积．取BP的中点[思路点拨]①证明TN AM――――――→连AT，TNAMNT是平行四边形→MN∥AT→MN∥平面PAB②点N到平面ABCD的距离→点M到BC的距离→四面体NBCM的体积[解]①证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TNAM ，所以四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB .②因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.[方法归纳] 求解几何体的表面积及体积的技巧1．求几何体的表面积及体积问题， 可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．(教师备选)(2017·全国卷Ⅰ)如图247，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．图247[解] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. ■对点即时训练·1．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3C[如图，连接BC1，因为AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1为直角三角形．又AB＝2，所以BC1＝2 3.又B1C1＝2，所以BB1＝32－22＝22，故该长方体的体积V＝2×2×22＝8 2.]2．(2018·沈阳模拟)在如图248所示的几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，且边长为2，Q是AD的中点．图248(1)求证：直线AE∥平面FQC；(2)求点E到平面FQC的距离．[解](1)∵四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，∴EF∥AB∥DC且EF＝AB＝DC，∴四边形DCEF是平行四边形．连接DE交FC于P，连接PQ，则P是DE中点．∵Q是AD的中点，∴PQ是△AED的中位线，PQ∥AE，又AE在平面FQC外，PQ在平面FQC内，∴直线AE∥平面FQC，(2)由(1)知直线AE∥平面FQC，故E，A到平面FQC等距离，下面求A到平面FQC的距离，设这个距离是x.由平面ABCD⊥平面ABEF，FA⊥AB，知FA⊥平面ABCD，考虑三棱锥FAQC的体积：V FAQC＝V A FQC .因正方形边长为2，所以V F AQC ＝13·FA ·S △AQC ＝13×2×1＝23.在Rt△DQC 中求得QC ＝5；在Rt△AQF 中求得FQ ＝5，在Rt△FAC 中求得FC ＝2 3. 于是可得△FQC 的面积为6，∴由V F AQC ＝V A FQC 得，23＝13×6x ，解得x ＝63.故点E 到平面FQC 的距离为63. 题型3 球与几何体的切接问题■核心知识储备·1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h ，底面外接圆半径为x ，则该几何体外接球半径R 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋x 2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R )与正方体(棱长为a )有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R ＝a ；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R ＝2a ；三是球外接于正方体，此时2R ＝3a .■高考考法示例·【例3】 (1)(2018·南昌模拟)一个几何体的三视图如图249所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )图249A.8π3B.16π3C.48π3D.64π3(2)已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3B.4030π27C.32030π27D ．20π(3)(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(1)D (2)B (3)B [(1)由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC ，其中HS 是三棱锥的高，由三视图可知HS ＝23，HA ＝HB ＝HC ＝2，故H 为△ABC 外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥S ABC 外接球的球心O 在直线HS 上，连接OB .设球的半径为R ，则球心O 到△ABC 外接圆的距离为OH ＝|SH －OS |＝|23－R |，由球的截面性质可得R ＝OB ＝OH 2＋HB 2＝|23－R |2＋22，解得R ＝433，所以所求外接球的表面积为4πR 2＝4π×163＝64π3.故选D. (2)设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中， 由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213. 而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1， 设直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2132＝103，故R ＝303， 所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.故选B. (3)如图，E 是AC 中点，M 是△ABC 的重心，O 为球心，连接BE ，OM ，OD ，BO .因为S △ABC ＝34AB 2＝93，所以AB ＝6，BM ＝23BE ＝23AB 2－AE 2＝2 3.易知OM ⊥平面ABC ，所以在Rt△OBM 中，OM ＝OB 2－BM 2＝2，所以当D ，O ，M 三点共线且DM ＝OD ＋OM 时，三棱锥D ABC 的体积取得最大值，且最大值V max ＝13S △ABC ×(4＋OM )＝13×93×6＝18 3.故选B.][方法归纳]1．求解与几何体外接球球心有关问题的常用方法—构造法(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．2．空间问题转化为平面问题的常用方法—截面法立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，如利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．■对点即时训练·1．(2018·张家口模拟)体积为8的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为( )A ．8πB ．4π C.82π3 D.4π3D [要使球的体积V 最大，则球为正方体的内切球，∵正方体的体积为8，∴正方体的棱长为2，∴内切球的半径为1，体积为43π×13＝43π，故选D.] 2．(2018·江西七校联考)如图2410，ABCD 是边长为23的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，若四面体PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是( )图2410A ．6πB ．12πC ．18πD ．92πC [因为∠APE ＝∠EPF ＝∠APF ＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA ，PE ，PF 是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R ，由题意知2R ＝32＋32＋32＝32，故该球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝18π，故选C.] 3．(2018·湖北七市联考)一个几何体的三视图如图2411所示，则该几何体外接球的表面积为( )图2411A ．36π B.112π3C ．32πD ．28π B [根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2 3.将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示，该三棱柱的底面是边长为4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为23×23＝433，∴其外接球的半径R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＋22＝283，则外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×283＝112π3，故选B.]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．8π [由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l ＝4.在Rt△ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.]2．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图2412.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )图2412A ．217B ．2 5C ．3D ．2B [设过点M 的高与圆柱的下底面交于点O ，将圆柱沿MO 剪开，则M ，N 的位置如图所示，连接MN ，易知OM ＝2，ON ＝4，则从M 到N 的最短路径为OM 2＋ON 2＝22＋42＝2 5.]3．(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB.9π2 C ．6π D.32π3B [设球的半径为R ，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有12(6＋8＋10)×R ＝12×6×8，此时R ＝2； 当球与直三棱柱两底面相切时，有2R ＝3，此时R ＝32. 所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为32，故最大体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.] 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2. ∵V O ABC ＝V C AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ABC 最大值为13×12R 2×R ＝36， ∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C.]。
高考数学(命题热点提分)专题12 空间几何体的三视图﹑表面积及体积 理(2021年最新整理)
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专题12 空间几何体的三视图﹑表面积及体积1．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形,则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为( ）解析:三棱柱一定有两个侧面垂直，故只能是选项C中的图形．答案：C2．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（)解析由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求,故选C.答案C3。
一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧（左）视图如图所示，则其俯视图为（）解析由题意得正方体截去的两个角如图所示,故其俯视图应选C。
答案C4．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )解析左视图是从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.答案C5．如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为错误!，则原四边形的面积是________．答案8错误!6.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是（）A．24 B．12C．8 D．47．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是( )A.错误!B.错误!C．1 D.错误!解析有三视图可以得到原几何体是以1为半径，母线长为2的半个圆锥，故侧视图的面积是错误!，故选B.答案B8．已知某几何体的三视图如图所示，其中,正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( ）A.错误!＋错误!B.错误!＋错误!C。
2017高考数学二轮浙江专用课件：5-1空间几何体的三视图、表面积与体积 精品
1
2
B. +
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6
,下面是底面积为 1,高为 1 的四棱锥,体积
1 4 2 V1= × π × 2 3 2 1 1 V2=3 × 1×1=3,故选
3
=
C.
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C
解析 答案
-4热点考题诠释 能力目标解读
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2.(2016全国乙,理6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及 每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 28π ,则它的 3 表面积是 ( )
3.(2016全国丙,理9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出 的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
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由三视图知该几何体是平行六面体,且底面是边长为 3 的正方形, 侧棱长为 3 5,所以该几何体的表面积为 S=2×3×6+2×3×3+2×3×3 5=54+18 5,故选 B. A.18+36 5 B.54+18 5 C.90 D.81
专题五 立体几何与空间向量
第1讲 空间几何体的三视图、 表面积与体积
-3热点考题诠释 能力目标解读
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1.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下 图所示.则该几何体的体积为( )
A.3 + 3π
2 π 3 2 π 6 2 由三视图可知 , 上面是半径为 的半球,体积为 2 2 D.1+ 6 π 2π 1 3 1 C.3 +
由三视图,可知该几何体为两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的
长、宽、高分别为4 cm,2 cm,2 cm,所以其体积为2×(2×2×4)=32(cm3). 由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以其表面积为
专题19立体几何中体积与表面积—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(解析版)
1.【 2017 课标 3，文 9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．π3πππB．C．D．4 2 4【答案】 B【分析】假如，画出圆柱的轴截面，1 3，那么圆柱的体积是 Vr 2h 3 23AC 1, AB 1，所以 r BC ，2 2 2 4 应选 B.【考点】圆柱体积【名师点睛】波及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点(一般为接、切点 )或线作截面，把空间问题转变为平面问题，再利用平面几何知识找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确立球心的地点，弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系，列方程(组 )求解 .2.【 2015 高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()（A）（B）（）（）【答案】【考点定位】 1.旋转体的几何特点； 2.几何体的体积 .【名师点睛】此题考察了旋转体的几何特点及几何体的体积计算，解答此题的要点，是理解所得旋转体的几何特点，确立获得计算体积所需要的几何量.此题属于基础题，在考察旋转体的几何特点及几何体的体积计算方法的同时，考察了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题 .3.【 2016 高考新课标 1 文数】平面过正文体ABCD — A1B1C1D1的极点A,,,则 m,n 所成角的正弦值为（）（A ）（B）（C）（D）【答案】 A【分析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解此题的要点是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形 ,解形求角、得钝求补.4.【 2017 天津，文11】已知一个正方形的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为.9【答案】2【分析】试题剖析：设正方体边长为 a ，则6a2 18 a2 3 ，外接球直径为4 3 4 27 9 2R 3a 3,V πR ππ3 3 8 2【考点】球与几何体的组合体【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其余几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个极点的距离相等， 1.假如柱体，球心必定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.假如锥体，能够先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，结构平面几何关系求半径， 3.假如三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.5.【 2015 新课标 2 文10】已知是球的球面上两点, , 为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】【分析】C【考点定位】此题主要考察球与几何体的切接问题及空间想象能力.【名师点睛】因为三棱锥底面AOB面积为定值,故高最大时体积最大,此题就是利用此结论求球的半径,而后再求出球的表面积,因为球与几何体的切接问题能很好的考察空间想象能力 ,使得这种问题向来是高考取的热门及难点,提示考生要增强此方面的训练. 6. [2016 高考新课标Ⅲ文数]在关闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）（ A ） 4π（B ）（C） 6π（ D）【答案】 B【分析】试题剖析：要使球的体积最大，一定球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下B．底面都相切时，球的半径获得最大值，此时球的体积为，应选考点： 1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思想拓展】立体几何是的最值问题往常有三种思虑方向：（ 1）依据几何体的结构特点，变动向为静态，直观判断在什么状况下获得最值；（ 2）将几何体平面化，如利用睁开图，在平面几何图中直观求解；（ 3）成立函数，经过求函数的最值来求解．7.【 2014 全国2，文7】正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为( )（A）（B）（C）（D）【答案】 C【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积【名师点睛】此题考察几何体的体积的求法，属于中档题，求解几何体的底面面积与高是解题的要点，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行办理．8.【 2015 高考新课标1，文 6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中犹如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为3，估量出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛【答案】 B【分析】设圆锥底面半径为r ，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷ ≈，22应选B.【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】此题以《九章算术》中的问题为资料，试题背景新奇，解答此题的要点应想到米堆是圆锥，底面周长是两个底面半径与圆的和，依据题中的条件列出对于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.9.【 2017 课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的全部极点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA⊥平面 SCB， SA=AC， SB=BC，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球 O 的表面积为 ________．【答案】 36因为平面 SAC平面SBC所以 OA平面SBC设 OA rV A SBC 1 S SBC OA 1 1 2r r r 1 r3所以1 r33 3 2 39 r 3 ，所以球的表面积为 4 r 236 3【考点】三棱锥外接球【名师点睛】此题考察了球与几何体的问题，是高考取的要点问题，要有必定的空间想象能力，这样才能找准关系，获得结果，一般外接球需要求球心和半径，第一应确立球心的地点，借助于外接球的性质，球心到各极点距离相等，这样可先确立几何体中部分点构成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的极点的距离相等，而后相同的方法找到另一个多边形的各极点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再依据半径，极点究竟面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法获得半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，能够补成长方体，它们是同一个外接球．10.【 2017 课标 II ，文 15】长方体的长、宽、高分别为3,2,1 ，其极点都在球O 的球面上，则球 O 的表面积为【答案】 14π.【分析】球的直径是长方体的体对角线，所以2R3222114, S4πR2 14π.【考点】球的表面积【名师点睛】波及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点(一般为接、切点 )或线作截面，把空间问题转变为平面问题，再利用平面几何知识找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确立球心的地点，弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系，列方程(组 )求解 .11.【2017 江苏， 6】如图 ,在圆柱 O1, O2内有一个球O ,该球与圆柱的上、下边及母线均相切.记圆柱 O1 , O2的体积为 V1 ,球 O 的体积为 V2 ,则V1的值是▲.V2【答案】3 2【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常有种类及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不可以直接利用公式得出，则常用变换法、切割法、补形法等方法进行求解．12【 2015 高考四川，文14】在三棱住ABC－ A1B1C1中，∠ BAC ＝ 90°，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，设点 M，N，P 分别是 AB，BC， B1C1的中点，则三棱锥 P－ A1MN 的体积是 ______.【答案】C1P【分析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为 1 的B1A1等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱，底面积为 CN如图，因为 AA 1∥PN ，故 AA 1∥面 PMN ，A MB 故三棱锥 P－ A1MN 与三棱锥 P－ AMN 体积相等，三棱锥 P－ AMN 的底面积是三棱锥底面积的，高为 1故三棱锥 P－ A1MN 的体积为【考点定位】此题主要考察空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考察空间想象能力、图形切割与变换的能力，考察基本运算能力.【名师点睛】解决此题，第一要正确画出三棱柱的直观图，包含各个点的对应字母所在地点，联合条件，三棱锥 P－ A1MN 的体积能够直接计算，但变换为三棱锥P－ AMN 的体积，使得计算更加简易，基本上能够依据条件直接得出结论.属于中档偏难题 .13.【 2016 高考浙江文数】某几何体的三视图以下图（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm 2 ,体积是 ______cm 3 .【答案】 80； 40．考点：三视图 .【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先依据三视图确立该几何体的结构特点，再正确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．14.【 2017 课标 II ，文 18】如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD , AB BC1 AD, BAD ABC900.2（1）证明：直线BC / / 平面PAD;（2）若△PAD面积为27 ，求四棱锥 P ABCD 的体积.【答案】（Ⅰ ）看法析（Ⅱ ）【分析】试题分析：（ 1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90° ，所以BC∥AD. 又BC 平面 PAD ， AD平面PAD，故BC∥平面PAD.（2）取 AD 的中点 M ，连结 PM， CM ，由AB BC 1AD 及BC∥AD，∠ABC=90°得2四边形 ABCM 为正方形，则CM ⊥ AD.因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD=AD ，所以 PM ⊥AD ， PM ⊥底面 ABCD ，因为CM 底面 ABCD ，所以PM⊥CM.设 BC=x ，则 CM=x ，CD= ，PM= ，PC=PD=2x. 取 CD 的中点 N，连结 PN，则 PN⊥CD，所以因为△PCD 的面积为，所以，解得 x=-2 （舍去）， x=2，于是 AB=BC=2 ， AD=4 ， PM= ，所以四棱锥 P-ABCD 的体积.【考点】线面平行判判定理，面面垂直性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转变与化归思想的常有种类.(1) 证明线面、面面平行，需转变为证明线线平行.(2) 证明线面垂直，需转变为证明线线垂直.(3) 证明线线垂直，需转变为证明线面垂直.15.【 2017 课标 3，文 19】如图，四周体ABCD 中，△ABC 是正三角形， AD =CD．（1）证明： AC⊥ BD ；BD 上与D 不重合的点，且AE⊥ EC，（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD．若 E 为棱求四周体ABCE 与四周体ACDE 的体积比．【答案】（1）详看法析；（2） 1试题分析：（ 1）证明：取 AC 中点 O ，连 OD ,OB∵ ADCD ，O 为 AC 中点，∴ AC OD ，又∵ABC 是等边三角形，∴ AC OB ，又∵ OBOD O ，∴ AC 平面 OBD ， BD 平面 OBD ，∴ AC BD .（2）设 AD CD 2 ，∴ AC 2 2，AB CD2 2，又∵ ABBD ，∴BD 2 2，∴ ABD CBD ，∴AEEC ，又∵ AEEC ， AC 2 2，∴ AE EC 2，在ABD中 ， 设DE x ， 根据余弦定理cos ADBAD 2 BD 2 AB 2AD 2 DE 2AE 22AD BD2AD DE22 ( 2 2 )2(2 2)222 x 2 222 2 2 22 2 x解得 x2 ，∴点 E 是 BD 的中点，则 V D ACEV B ACE ，∴ V D ACE1 .VB ACE【考点】线面垂直判断及性质定理，锥体体积【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转变与化归思想的常有种类.(1) 证明线面、面面平行，需转变为证明线线平行.(2) 证明线面垂直，需转变为证明线线垂直 . (3) 证明线线垂直，需转变为证明线面垂直.16【. 2017 北京，文 18】如图，在三棱锥 P –ABC 中，PA ⊥ AB ，PA ⊥ BC ，AB ⊥ BC ，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点．（Ⅰ ）求证： PA⊥ BD；（Ⅱ ）求证：平面BDE ⊥平面 PAC；（Ⅲ ）当 PA ∥平面 BD E 时，求三棱锥E–BCD 的体积．【答案】详看法析【分析】试题分析：证明：（I）因为PA AB ， PA BC ，所以PA 平面ABC ，又因为BD 平面ABC ，所以PA BD .（II ）因为AB BC，D为AC 中点，所以BD AC ，由（ I）知，PA BD ，所以BD 平面PAC ，所以平面BDE 平面PAC .（III ）因为PA∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE ，所以PA∥DE.因为D 为AC 的中点，所以DE 1 PA1，BD DC 2 . 2由（ I）知，PA 平面PAC ，所以DE 平面PAC .所以三棱锥 E1 1 BCD 的体积 V BDDCDE.6 3【考点】 1.线面垂直的判断和性质；2,。
高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积讲义理含解析
第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2．柱、锥、台和球的表面积和体积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )(3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.( )(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20πB．24πC．28πD．32π答案 C解析由三视图可得圆锥的母线长为22＋32＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.(2)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________ cm3.答案72 32解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32 cm3，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 cm2.(3)(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是 .答案 32解析 设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32. (4)已知某棱台的上、下底面面积分别为63和243，高为2，则其体积为________． 答案 28 3解析 由已知得此棱台的体积 V ＝13(63＋243＋ 63×24 3 )×2＝13×423×2＝28 3.题型 一 空间几何体的表面积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π答案 B解析 根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S ＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.2．(2018·四川南充诊断)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是( )A ．20＋8 2B ．24＋8 2C ．8D ．16答案 A解析 此几何体是一个三棱柱，且其高为8222＝4，由于其底面是等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为12×2×2＝2.又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(2＋2＋22)×4＝16＋82，表面积为2×2＋16＋82＝20＋8 2.3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5答案 C解析 根据三视图画出该空间几何体的立体图：S △ABC ＝12×2×2＝2； S △ABD ＝12×5×1＝52； S △CBD ＝12×5×1＝52； S △ACD ＝12×2×5＝5，所以 S 表＝S △ABC ＋S △ABD ＋S △CBD ＋S △ACD＝2＋52＋52＋5＝25＋2.故选C.三类几何体表面积的求法已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172C ．13 D.17＋3102答案 C解析 由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC ′⊥平面ABC ，上下底均为等腰直角三角形，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，A ′C ′＝B ′C ′＝C ′C ＝2，∴AB ＝2，A ′B ′＝2 2.∴棱台的上底面积为12×1×1＝12，下底面积为12×2×2＝2，梯形ACC ′A ′的面积为12×(1＋2)×2＝3，梯形BCC ′B ′的面积为12×(1＋2)×2＝3，过A作AD ⊥A ′C ′于D ，过D 作DE ⊥A ′B ′，则AD ＝CC ′＝2，DE 为△A ′B ′C ′斜边高的12，∴DE ＝22，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝32，∴梯形ABB ′A ′的面积为12×(2＋22)×32＝92，∴几何体的表面积S ＝12＋2＋3＋3＋92＝13.题型 二 空间几何体的体积角度1 根据几何体的三视图计算体积1．(2018·汕头一模)如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503D.533答案 C解析 由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高为5的四棱锥P －A 1D 1FE ，其体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＋12×2×2×5＝503.角度2 根据几何体的直观图计算体积2. (2018·天津高考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案112解析 依题意得：该四棱锥M －EFGH 为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为12，正方体EFGH 的边长为22，其面积为12，所以四棱锥M －EFGH 的体积V M －EFGH ＝13Sh ＝13×12×12＝112.求体积的常用方法1．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S ＝＋2＝3，高h ＝2，所以V ＝Sh ＝6.2．祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等．则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图所示，将底面直径皆为2b ，高皆为a 的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面在距平面β任意高度d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S 圆＝S 环总成立，据此，短轴长为4 cm ，长轴长为6 cm 的椭球体的体积是________cm 3.答案 16π解析 因为总有S 圆＝S 环，所以半椭球体的体积为V 圆柱－V 圆锥＝πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a .又2a ＝6,2b ＝4，即a ＝3，b ＝2，所以椭球体的体积V ＝43πb 2a ＝4π3×22×3＝16π.题型 三 几何体与球的切、接问题1．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310答案 C解析 解法一：如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝1232＋42＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.解法二：将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1，则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球．所以体对角线BC 1的长为球O 的直径．因此2R ＝32＋42＋122＝13.故R ＝132.2．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3答案 B解析 如图所示，点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 的中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 体积最大，此时，OD ＝OB ＝R ＝4.∵S △ABC ＝34AB 2＝93， ∴AB ＝6，∵点M 为三角形ABC 的重心， ∴BM ＝23BE ＝2 3，∴在Rt △OMB 中，有OM ＝OB 2－BM 2＝2. ∴DM ＝OD ＋OM ＝4＋2＝6，∴(V 三棱锥D －ABC )max ＝13×93×6＝18 3.故选B.条件探究1 若将举例说明2中的三棱锥D －ABC 满足的条件改为“AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°”，计算球O 的体积．解 设A 到平面BCD 的距离为h ，∵三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°， ∴13×12×3×3×h ＝3， ∴h ＝2，∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ，连接OE ，则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ，∵△BCD 外接圆的直径CD ＝23，∴球O 的半径OD ＝2，∴球O 的体积为32π3.条件探究2 若将举例说明1的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2”，求该球的体积．解 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.1．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)依据：长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．如举例说明1解法二．1．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．答案9π2解析 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.2．某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是________．答案13π3解析 如图，易知等腰梯形的外心为下底的中点M ，设该几何体的外接球的球心为O ，半径为R ，OM ＝h ，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝h 2＋1，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－h 2，整理得R 2＝1312，所以S 球表＝13π3.高频考点 三视图与空间几何体表面积、体积的综合问题考点分析 三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体．[典例1] (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π答案 B解析 (割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.[典例2] 某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是( )A ．22＋23＋2B ．32＋23＋3C ．22＋3＋2D ．32＋3＋3答案 D解析 由已知的四棱锥三视图，可得该四棱锥的直观图如图所示：其底面面积为S 矩形ABCD ＝2×2＝22，侧面S △PBC ＝12×2×1＝1，S △PCD ＝12×2×2＝2，S △PAB ＝12×2×2＝2，S △PAD ＝12×2×22＋22＝3，所以四棱锥的表面积为S ＝22＋1＋2＋2＋3＝3＋32＋ 3.所以D 正确．。
2017版高考数学课件：7.2 空间几何体的表面积与体积
分成的上下两部分的体积的比为
.
第十八页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
答案
(1)C
3
(2) 5
解析 (1)如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径
为1,高为1的圆锥,故所求体积V=2π-
=
5 .
33
(2)设四棱锥P-ABCD的体积为V,连结FA,FB,则下面部分几何体的体积为
1-1 (2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径 为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若 该几何体的表面积为16+20π,则r= ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
第十五页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
答案 B
解析 由已知可知,该几何体的直观图如图所示,其表面积为2πr2+πr2+4r2 +2πr2=5πr2+4r2.由5πr2+4r2=16+20π,得r=2.故选B.
=
5a3. 6
第十一页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
几何体的表面积 典例1 (2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几 何体的表面积是 ( )
A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm2
第十二页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
答案 D 解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成 (如图),其表面积为S=3×5+2× 1×4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138
3
第七页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
立体几何体积与表面积
立体几何体积与表面积立体几何体是我们日常生活中随处可见的物体，包括立方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
在数学中，我们常常研究这些几何体的体积与表面积，以便更好地理解它们的性质和应用。
本文将以几何体的种类为线索，分别讨论各种几何体的体积和表面积的计算方法。
一、立方体立方体是最简单的一种几何体，它具有六个相等的正方形面。
我们可以通过边长l来计算立方体的体积和表面积。
1. 体积立方体的体积公式为V = l³，即体积等于边长的立方。
例如，如果一个立方体的边长是3cm，则其体积为V = 3³ = 27cm³。
2. 表面积立方体的表面积公式为A = 6l²，即表面积等于边长的平方乘以6。
以前述立方体为例，它的表面积为A = 6×3² = 54cm²。
二、圆柱体圆柱体由一个底面为圆形的圆盘和一个与底面平行的侧面组成。
我们可以通过底面半径r和高度h来计算圆柱体的体积和表面积。
1. 体积圆柱体的体积公式为V = πr²h，即体积等于底面半径的平方乘以高度再乘以π。
假设圆柱体的底面半径为2cm，高度为5cm，则其体积为V = π×(2²)×5 ≈ 62.83cm³。
2. 表面积圆柱体的表面积由底面的圆周和侧面的矩形面积之和构成。
表面积公式为A = 2πrh + 2πr²，即表面积等于侧面矩形的面积加上两个底面圆周的面积。
以前述圆柱体为例，它的表面积为A = 2π×2×5 + 2π×(2²) ≈75.4cm²。
三、圆锥体圆锥体由一个底面为圆形的圆盘和一个以圆盘边缘为边界的侧面锥形部分组成。
我们可以通过底面半径r、锥体高度h和斜高l来计算圆锥体的体积和表面积。
1. 体积圆锥体的体积公式为V = (1/3)πr²h，即体积等于底面半径的平方乘以高度再乘以1/3乘以π。
三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：空间几何体的三视图、表面积和体积
空间几何体的三视图、表面积和体积2019年1.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，14cm AA =， 所以该模型体积为：1111311664(46432)314412132(cm )32ABCD A B C D O EFGH V V ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=．2.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 .解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，所以三棱锥E BCD -的体积：111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V 111012AB BC DD ⨯⨯⨯=.3.（2019天津理11）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形所以该圆柱的体积为2112V Sh ⎛⎫==π⨯= ⎪⎝⎭4.（2019全国Ⅰ理12）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D解析：由PA PB PC ==及ABC △是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ABC -为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心.连接BO 并延长，交AC 于G ，则AC BG ⊥，又,PO AC PO BG O ⊥=I ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC. 因为E ，F 分别是P A ，AB 的中点，所以EF PB P .又90CEF ∠=︒，即EF ⊥CE ，所以PB ⊥CE ，得PB ⊥平面P AC .所以PB ⊥P A ，PB ⊥PC.又因为PA PB PC ==，ABC △是正三角形，所以PAC PBC PAB △≌△≌△，故PA PC ⊥所以正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直.把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为正方体的体对角线的长度，即d =3π⨯=⎝⎭．故选D ． 5.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．32解析：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即11(46)3(26)32722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6， 则该柱体的体积是276162V =⨯=．故选B ．6.（2019北京11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。
专题21 几何体的表面积与体积-三年高考2015-2017数学
1.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．B．3π4C．π2D．π4【答案】B【解析】【考点】圆柱的体积公式【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.2.【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【答案】B 【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V ππ=⨯⨯=，上半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱的一半，其体积()22136272V ππ=⨯⨯⨯=，该组合体的体积为：12362763V V V πππ=+=+=。
故选B 。
【考点】三视图；组合体的体积3.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】92π 【解析】设正方体边长为，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法.4.【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（） （A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π【答案】A 【解析】试题分析： 该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积5.【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z 大于零)，则四面体P —EFQ 的体积( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关 【答案】D【解析】试题分析： ∵DC ∥A 1B 1，EF ＝1，∴S △EFQ ＝12×1×(定值)．而点P 到面EFQ 的距离为P 到面A 1DCB 1的距离，为DP ·sin45°＝2z .∴V 四面体P —EFQ ＝13×2z ＝13z .考点：点到面的距离;锥体的体积.6.【 2014湖南7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径,则862r r r -+-==,故选B. 【考点定位】三视图内切圆球三棱柱【名师点睛】解决有关三视图的题目，主要是根据三视图首先得到几何体的空间结构图形，然后运用有关立体几何的知识进行发现计算即可，问题在于如何正确的判定几何体的空间结构，主要是根据“长对正，高平齐，宽相等”进行判断.7.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（） （A ）23π（B ）43π（C ）53π（D ）2π 【答案】C【解析】直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.8.【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1，点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32.3A π.4B π.2C π4.3D π【答案】D 【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故22R ==，即得1R =，所以该球的体积224441333V R πππ===，故选D .考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.【名师点晴】本题主要考查的是正四棱柱的几何特征；球的体积，属于容易题．解题时一定要注意正四棱柱的几何特征（实际上是一个特殊的长方体），求出球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式直接运算即可9.【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【答案】C【解析】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积154V π=，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积2161834V πππ=+=，所以削掉部分的体积与原体积之比为5434105427πππ-=，故选C.10.【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题．11.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
高考数学总复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件 文
A．4＋4 2＋2 3 B．14＋4 2 C．10＋4 2＋2 3 D．4
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解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱
垂直于底面的四棱锥 S- ABCD．
连接 AC，因为 AC＝ 22＋42＝2 5，SC＝ 2 52＋22＝2 6， SD＝SB＝ 22＋22＝2 2，CD＝ 22＋22＝2 2，SB2＋BC2＝(2 2)2 ＋42＝24＝SC2，故△SCD 为等腰三角形，△SCB 为直角三角形．
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(1)已知直三棱柱 ABC- A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若
AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( C )
A．3
17 2
B．2 10
C．123
D．3 10
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解析：如图，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM＝12BC＝12 32＋42＝52，OM＝12AA1＝6，
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设 AC 的中点为 O，连接 SO，BO， 则 SO⊥AC，∴SO⊥平面 ABC，∴SO⊥BO. 又 OS＝OB＝1，∴SB＝ 2， 故△SAB 与△SBC 均是边长为 2的正三角形，故该四面体的 表面积为 2×12× 2× 2＋2× 43×( 2)2＝2＋ 3.
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角度 2 求简单几何体的体积
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的 正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多