2014年人教A版选修4-2课件 3. 线性变换的基本性质
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2014年人教A版选修4-2课件 3. 逆矩阵与二元一次方程组
1
e . f
下面证唯一性: x1 x2 设 y , y 是方程组的两个解, 1 2
ax by e, 证明: 二元一次方程组 的矩阵形式是 cx dy f x e a b . A , 其中 A y f c d
x e 1 于是有 A , y f x1 e x2 e 1 1 则 Ax , e A . y f y f 1 1E 2 得 A , 2 y f x1 x2 1 e 从而得 x. e a b y1 y2 A1 . 即得方程的解 y f c d f ax by e, ∴ 二元一次方程组 有唯一解 下面证唯一性: cx dy f x1 ax2 b 1 e x 设 y , y 是方程组的两个解 , . y1 c 2 d f A1A
3 1 2 2 x 3 , 根据 “习题3.2” y 1 1 3 2 2 x 第 5 题, 你能求出 吗? y 3 x 1 y 3, 2 2 如 “问题1” 中, 二元一次方程组 1 x 3 1. 2 2 的系数矩阵 A 对应着一个线性变换, 将 P(x, y) 变换
问题1. 已知
3 1 2 2 x 3 , 根据 “习题3.2” y 1 1 3 2 2 x 第 5 题, 你能求出 吗? y 1 3 3 1 3 1 3 2 x x 2 2 E2 . y y 1 3 3 1 3 2 2 2 3 x 1 y 3, x 3 3 1, 2 2 2 已知方程组 解得 1 x 3 1. y 3 3. 2 2 2 逆矩阵与解二元一次方程组联系起来了.
下面我们对定理进行证明:
2014年人教A版选修4-2课件 选修4-2复习与小结
对应的矩阵为
cosa sina . sina cosa
3. 几种特殊变换 (3) 反射变换:
把平面上的任一点 பைடு நூலகம் 对应到它关于直线 l 的对称点 P, 关于 x 轴的反射变换公式为 xx, y y.
对应的矩阵为
1 0
0 . 1
3. 几种特殊变换 (4) 伸缩变换:
将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍, 纵 坐标变为原来的 k2 倍, 其变换公式为 x k1 x, y k y. 2 对应的矩阵为 k1 0 . 0 k2
3. 几种特殊变换
(1) 恒等变换: 点 P(x, y) 经变换后所得的像 P(x, y) 与点 P 相同, 记为 I, 其变换公式为
x x, y y. 对应的矩阵为 1 0 . 0 1
3. 几种特殊变换 (2) 旋转变换:
将点 P(x, y) 绕原点 O 按逆时针方向旋转 a 角得点 P(x, y), 记为 Ra , 其坐标变换公 式是 x x cosa y sina , y x sina y cosa .
3. 几种特殊变换 (5) 投影变换:
将平面上每一点 P 对应到它在已知直线 l 上的投影 P, 关于 x 轴的投影变换公式为
x x, y 0.
对应的矩阵为 1 0 . 0 0
3. 几种特殊变换 (6) 切变变换: 将每一点 P(x, y) 沿着与 x 轴平行的方向 平移 ky 个单位, 或沿着与 y 轴平行的方向平 移 kx 个单位变成点 P(x, y), 坐标变换公式 分别为 xxky, xx, yy. yykx. 对应的矩阵为 1 0 1 k . . k 1 0 1
知识要点 例题选讲 补充练习 自我检测
1.1 线性变换与二阶矩阵PPT课件 (人教A版选修4-2)
(2)将点A(1, ' y 2 (1) 2.
从而A'的坐标为(1,2).
一般地，在直角坐标系 xoy内，将每个点的纵坐标 变为原来 的k倍(k是非零常数 ), 横坐标保持不变的线性 变换，其变换公式是
x' x, 1 0 . 对应的二阶矩阵是 y' ky. 0 k
在二阶矩阵中，横的叫 行，从上到下依次称为 矩阵的第一行、 第二行； 竖的叫列，从左到右依 次称为矩阵的第一列、 第二列 .
矩阵的表示法 ： 矩阵通常用大写的英文 字母A，B，C， 表示.
几个特殊的矩阵： 0 0 零矩阵：元素全为 0的二阶矩阵 0. 0 0 称为零矩阵，简记为 1 0 单位矩阵：矩阵 为E 2 . 0 1 称为二阶单位矩阵，记
关于y轴的反射变换把直角坐标系 xoy内的任意一点 P( x, y) 变成它关于y轴的对称点P' ( x' , y' ).相应的坐标变换公式是
x ' x, -1 0 对应的二阶矩阵为 . y ' y . 0 1
关于直线y x的反射变换把直角坐标 系内任意一点 P ( x, y) 变成它关于直线 y x的对称点P' ( x' , y' ), 相应的坐标变换公式 是
在平面直角坐标系 oxy内，很多几何变换都具 有下列形式： x' ax by, (3) y ' cx dy. 其中系数a, b, c, d均为常数.我们把形如(3)的几何变换叫做 线性变换， (3)式叫做这个线性变换的 坐标变换公式 . P' ( x' , y ' )是P( x, y )在这个线性变换作用下 的像.
从而A'的坐标为(1,2).
一般地，在直角坐标系 xoy内，将每个点的纵坐标 变为原来 的k倍(k是非零常数 ), 横坐标保持不变的线性 变换，其变换公式是
x' x, 1 0 . 对应的二阶矩阵是 y' ky. 0 k
在二阶矩阵中，横的叫 行，从上到下依次称为 矩阵的第一行、 第二行； 竖的叫列，从左到右依 次称为矩阵的第一列、 第二列 .
矩阵的表示法 ： 矩阵通常用大写的英文 字母A，B，C， 表示.
几个特殊的矩阵： 0 0 零矩阵：元素全为 0的二阶矩阵 0. 0 0 称为零矩阵，简记为 1 0 单位矩阵：矩阵 为E 2 . 0 1 称为二阶单位矩阵，记
关于y轴的反射变换把直角坐标系 xoy内的任意一点 P( x, y) 变成它关于y轴的对称点P' ( x' , y' ).相应的坐标变换公式是
x ' x, -1 0 对应的二阶矩阵为 . y ' y . 0 1
关于直线y x的反射变换把直角坐标 系内任意一点 P ( x, y) 变成它关于直线 y x的对称点P' ( x' , y' ), 相应的坐标变换公式 是
在平面直角坐标系 oxy内，很多几何变换都具 有下列形式： x' ax by, (3) y ' cx dy. 其中系数a, b, c, d均为常数.我们把形如(3)的几何变换叫做 线性变换， (3)式叫做这个线性变换的 坐标变换公式 . P' ( x' , y ' )是P( x, y )在这个线性变换作用下 的像.
人教版高中数学选修四教学课件-线性变换的基本性质
∴Aα=
1 2
-
3 2
31
22
1 2
-
3 2
,
31
22
3
3-7 3
=2 ,
3 3+7
7
2
Aβ=
1 2
-
3 2
31
22
-1 6
=
-
1 2
-3
3
-
3 2
+
3
.
题型一 题型二 题型三 题型四
∴A(2α+3β)=2Aα+3Aβ
3-7 3 =
3
+
- 2 -9 3 33
3
=
2 -16 3 33
,
3 3+7
- 2 +9
=
1,
即2x+y-2=0.
0.8 0
令(x,y)为直线 l 上任一点,在矩阵
对应的变换作用下的像为点(x',y'),
x'
0.8 0 x
01 0.8x
则有
=
=
.
y'
01 y
y
题型一 题型二 题型三 题型四
∴
������' ������'
= =
0.8������, ������.
∴
5 ������ = 4 ������',
2 + 16
-1-6 3
A(-α+2β)=-Aα+2Aβ=
7 3-3
2
-3
3+7 2
+
- 3+6
=
-
5 2
-
高中数学选修4-2(人教A版)第一讲线性变换与二阶矩阵2.3知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学选修4-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一讲 线性变换与二阶矩阵 三 线性变换的基本性质一、知识清单线性变换与二阶矩阵二、知识讲解1.线性变换与二阶矩阵旋转变换平面上的图形绕原点旋转可以看成一个变换（transtormation），称为旋转变换，它建立了平面上的每个点到的对应关系用一个字母来表示这个旋转变换．为了表示点对应，写成，称是在变换作用下的像（image）．并且用箭头来表示与的这种关系：变换：或：．在平面上建立了直角坐标系之后，变换也建立了这两个点的坐标之间的对应：变换：．与对应关系式左边的，组成点的坐标，可以看成向量的坐标，排成一列的形式，称为列向量（columnvector）．一般地，如果变换：前后坐标之间的关系具有如下的形式：也就是，都是，的常数项为的一次函数，就将这样的变换称为线性变换（linear transformation），此时可以将变换表达式写成的形式 ．不同的线性变换差别仅仅在于一次函数表达式中的个系数，，，的不同．因此这个数排成的行列的数表决定了平面上的线性变换．我们将这样由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵（matrix），也称为矩阵．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
αP (x ,y )(,)P ′x ′y ′{=x cos α−y sin α,x ′=x sin α+y cos α．y ′T P P ′=T (P )P ′P ′P T P P ′ T P ↦P ′ T P ↦T ()P ′T T (x ,y )↦(,)x ′y ′P P ′x ′y ′P ′(,)x ′y ′O P ′−→−()x ′y ′T P (x ,y )↦(,)P ′x ′y ′{=ax +by ,x ′=cx +dy ．y ′x ′y ′x y 0T ()=x ′y ′()a c b d ()x y 4a b c d 422()a c b d 422222×2。
2014年人教A版选修4-2课件 2. 二阶矩阵与平面向量的乘法
一般地, 我们引入下面定义. x a b 定义: 设 A , a y , 规定二阶矩阵 A 与 c d axby a b x 向量 a 的乘积为向量 , 记为 Aa 或 , cxdy c d y 即 x axby a b Aa . cxdy c d y
x a b 这就定义了矩阵 与向量 y 的乘法. c d
直角坐标系内的向量与点是一一对应的. 为了方 便, 今后, 我们对向量、点以及有序实数对这三者不 加区别. 例如, 我们称点 A 的坐标 (x, y) 就是向量OA 的坐标, 或直接把向量 OA 叫做向量 (x, y). 向量 (x, y) 是一对有序数组, x, y 叫做它的两个 分量, 我们把这两个分量按照 x 在上, y 在下的次序 x 写成一列 , 这种形式的向量称为列向量, 相应的, y 形如 (x, y) 的向量称为行向量. 本专题中, 规定所有 的平面向量都写成列向量.
一 线性变换与二阶矩阵
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
三 线性变换的基本性质
1. 什么是列向量? 坐标是怎样表示的? 2. 矩阵与列向量的乘法是怎样运算的? 运算结果是一个什么量? 3. 如何用二阶矩阵与列向量表示线性变
换?
问题1. 在第一节中, 我们学了逆时针旋转 30 角 的旋转变换, 你能写出它的二阶矩阵吗? 任一点 P(x, y) 经过这个旋转变换的像是多少? A( 3 , 1 ) 和 B(2, 2 2 -1) 经过这个变换的像各是多少? 总结一下这些像的 计算法则. 逆时针旋转30角的旋转 变换矩阵 3 -1 2 2 1 3 2 2 P(x, y)的像: P( 3 x - 1 y, 1 x 3 y). 2 2 2 2
3 -1 2 如: A R30 2 1 3 2 2 点 P(x, y), A( 3 , 1 ), B(2, -1) 经过旋转变换 R30 2 2 的像: 3 -1 3 x- 1 y x 2 2 2 2 OP A OP . 1 3 y 1 x 3 y 2 2 2 2 3 1 3 1 1 3 1 3 2 2 2 2 2 . 2 2 2 O A A OA 1 . OB A OB 1 3 3 3 1 3 -1 1 -2 2 2 2 2 2 2
2014人教A版数学一轮复习指导课件 选修4-2 第1节 矩阵变换及其性质变换的复合与二阶矩阵的乘法
旋转角
换称做 点 O 叫做
旋转变换 旋转中心
，
5．投影变换
1 像 0 0 1 0 ， 这类将平面内图形投影到某条直线(或 0 1 0
投影变换矩阵
某个点)上的矩阵，我们称之为 换称做
投影变换
，相应的变
．
• 6．切变变换 • 将每一点P(x，y)沿着与x轴平行的方向平移ky 切变变换 个单位，称为平行于 x轴的 ．将 切变变换 每一点P(x，y)沿着与y轴平行的方向平移 kx个 切变变换矩阵 单位，称为平行于 y轴的 ．对 应的矩阵叫做 ．
x0 a12 与列向量 y 的乘法规则： a22 0
a11 2．二阶矩阵 a 21
________________________________________.
a11 a 21
a12 x0 a11×x0＋a12×y0 ＝ a22y0 a21×x0＋a22×y0
2 A＝ 0
0 对应的变换下得到曲线 F，求 F 的方程． 1
x0′ 2 P′(x0′，y0′)，则有 y ′＝0 0
解：设 P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点 P(x0，y0)在矩阵 A 对应的变换下变为点
x0 x0′＝2x0， y ，所以 0 y0′＝y0，
变换下变成点 P′(x′，y′)．
x′ 1 则 y′＝0 x′＝5 1 x x＋y 5 ＝ ＝ 即 ， 0y 0 0 y′＝0
∴P′(5,0)．
答案：(5,0)
5．已知圆 C：x ＋y ＝1 在矩阵形
2
2
a A＝ 0
0 (a>0，b>0) b
换称做 点 O 叫做
旋转变换 旋转中心
，
5．投影变换
1 像 0 0 1 0 ， 这类将平面内图形投影到某条直线(或 0 1 0
投影变换矩阵
某个点)上的矩阵，我们称之为 换称做
投影变换
，相应的变
．
• 6．切变变换 • 将每一点P(x，y)沿着与x轴平行的方向平移ky 切变变换 个单位，称为平行于 x轴的 ．将 切变变换 每一点P(x，y)沿着与y轴平行的方向平移 kx个 切变变换矩阵 单位，称为平行于 y轴的 ．对 应的矩阵叫做 ．
x0 a12 与列向量 y 的乘法规则： a22 0
a11 2．二阶矩阵 a 21
________________________________________.
a11 a 21
a12 x0 a11×x0＋a12×y0 ＝ a22y0 a21×x0＋a22×y0
2 A＝ 0
0 对应的变换下得到曲线 F，求 F 的方程． 1
x0′ 2 P′(x0′，y0′)，则有 y ′＝0 0
解：设 P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点 P(x0，y0)在矩阵 A 对应的变换下变为点
x0 x0′＝2x0， y ，所以 0 y0′＝y0，
变换下变成点 P′(x′，y′)．
x′ 1 则 y′＝0 x′＝5 1 x x＋y 5 ＝ ＝ 即 ， 0y 0 0 y′＝0
∴P′(5,0)．
答案：(5,0)
5．已知圆 C：x ＋y ＝1 在矩阵形
2
2
a A＝ 0
0 (a>0，b>0) b
高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用课件新人教A版选修4-2
2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论：设W 1 V，W2 V，且都是子空间，则 W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ 1. （1） 交空间
交集： W1W2=｛ W1 而且 W 2｝Vn（F） W1W2是子空间，被称为“交空间”
（2）和空间
W1W2 W1＋W2
和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法
特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces)
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi R}
运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点：
一. 集合与映射 1. 集合 2. 集合：作为整体看的一堆东西. 3. 集合的元素：组成集合的事物.
设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S.
集合的表示：(1 ) 列举法
2
(2) 特征性质法 Maa具有的性质
例如 P ( x ,y )x 2 y 1
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)
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y
2a
y
a
O x O
a
x
先伸长, 再旋转;
先旋转, 再伸长.
两结果相同.
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗? 两用代数运算试试. 90旋转变换公式为 x = x cos 90 y sin 90, x = y, y = x. y = x sin 90 y cos 90. 0 1 设 A=R90 = . 1 0 先伸长, 再旋转: 4 2 0 1 A(2a)= . = 2 1 0 4
一 线性变换与二阶矩阵
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
三 线性变换的基本性质
(第一课时)
第一课时 第二课时
1. 标平面上一向量经过两次线性变换 所得的结果, 与两次变换的先后顺序有什么 关系?
2. 二阶矩阵与向量的乘法有什么性质? 3. 在线性变换的作用下, 点的像是什么? 直线的像是什么?
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗? 两用代数运算试试.
问题2. a, b 是任意的两个平面向量, 对于任一二 阶矩阵 A, A(ab)=AaAb 是否成立? 画图试试. 设 A 为关于 x 轴的反射变换矩阵, (旋转变换 OA = α, OB = β, 如图. y y 也同样, 同 C 学们可试试.) B B
A O x O A A x
C α β = OC , Aα = OA, Aβ = OB, A(α β) = OC . Aα Aβ = OC . A(ab)=AaAb. C
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗 ? 两用代数运算试试 . 先旋转 , 再伸长: 90旋转变换公式为 4 0 1 1 2 = 2(Aa)= 2 =2 . 2 = y, 2 90,1 x 900 y sin x = x cos1 得 A (2 )=90 2(A a). = xa sin y cos 90. y = x. y 0 1 猜想 : 对任意二阶矩阵 A 和任意平面向量 a, 设 A=R90 = . 以及任意实数 l, 1 0 先伸长, 再旋转: A(la) = l(Aa) 成立. 4 2 0 1 A(2a)= 下面我们证明这一猜想 .. = 2 1 0 4
P1 P2 = l OP1 m OP2 , 设线性变换矩阵为 A, 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为 A P1 P2 = A(l OP1 mOP2 ) = lAOP1 mAOP2 , 当 AOP1 = AOP2 时, 上式为 (l m ) AOP1,
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把 平面上的直线变成直线 (或一点). 对性质 2 的证明我们简述如下: 设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使
B
证明:
x2 b= y 是两意平面向量, 则 2 a b x1x2 a b x1 x 2 A(ab)= = c d y1y2 c d y1 y2 a(x1x2)b(y1y2) = ; c(x1x2)d(y1y2) a b x1 a b x2 ax1by1 ax2by2 AaAb= = y y c d 1 c d 2 cx1dy1 cx2dy2 a(x1x2)b(y1y2) = . c(x1x2)d(y1y2) 所以得 A(ab) = AaAb.
P1 P2 = l OP1 m OP2 , ① 设线性变换矩阵为 A, 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为 A P1 P2 = A(l OP1 mOP2 ) 这是点 P1 经过 A 变换, 再经过 (lm) 伸缩 的一个点. = lAOP1 mAOP2 , 当 时 , ①式结果是 OP A OP 1 2 当A 时 , 上式为 AOP1 = AOP2 以 AOP 的数乘向量之和确定的一条直线 . , A OP 2OP (1 l m )A 1,
x1 a b 设 A= 为任意二阶矩阵, a= y , c d 1
性质 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上 的任意两个向量, l 是一个任意实数, 则 (1) A(la) =lAa; (2) A(ab) =AaAb. 由性质 1 很容易推出下面的定理.
定理 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上 的任意两个向量, l1, l2 是任意两个实数, 则 A(l1al2b) =l1Aal2Ab.
x a b 为任意二阶矩阵, a= y 为任 证明: 设 A= c d 意平面向量, l 为任意实数, 则 x a b a b lx laxlby A(la)= = ; l y = l y lcxldy c d c d a b x axby laxlby l(Aa)= l = l = . c d y cxdy lcxldy 因此得 A(la) = l(Aa).
问题3. 平面上一点经过线性变换所得的像仍然是 一个点吗? 一条直线呢? 一个点经过任意的线性变换, 所得的像都是一个 点. 一条直线经过线性变换后, 所得的像是一条直线 或一个点.
如: 一条垂直于 x 轴的直线, 关于 x 轴的投影变 换, 它的像就是这条直线与 x 轴的交点.
y l
O
A
x
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把 平面上的直线变成直线 (或一点). 对性质 2 的证明我们简述如下: 设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使
2a
y
a
O x O
a
x
先伸长, 再旋转;
先旋转, 再伸长.
两结果相同.
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗? 两用代数运算试试. 90旋转变换公式为 x = x cos 90 y sin 90, x = y, y = x. y = x sin 90 y cos 90. 0 1 设 A=R90 = . 1 0 先伸长, 再旋转: 4 2 0 1 A(2a)= . = 2 1 0 4
一 线性变换与二阶矩阵
二 二阶矩阵与平面向量的乘法
三 线性变换的基本性质
(第一课时)
第一课时 第二课时
1. 标平面上一向量经过两次线性变换 所得的结果, 与两次变换的先后顺序有什么 关系?
2. 二阶矩阵与向量的乘法有什么性质? 3. 在线性变换的作用下, 点的像是什么? 直线的像是什么?
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗? 两用代数运算试试.
问题2. a, b 是任意的两个平面向量, 对于任一二 阶矩阵 A, A(ab)=AaAb 是否成立? 画图试试. 设 A 为关于 x 轴的反射变换矩阵, (旋转变换 OA = α, OB = β, 如图. y y 也同样, 同 C 学们可试试.) B B
A O x O A A x
C α β = OC , Aα = OA, Aβ = OB, A(α β) = OC . Aα Aβ = OC . A(ab)=AaAb. C
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按 逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果 相同吗 ? 两用代数运算试试 . 先旋转 , 再伸长: 90旋转变换公式为 4 0 1 1 2 = 2(Aa)= 2 =2 . 2 = y, 2 90,1 x 900 y sin x = x cos1 得 A (2 )=90 2(A a). = xa sin y cos 90. y = x. y 0 1 猜想 : 对任意二阶矩阵 A 和任意平面向量 a, 设 A=R90 = . 以及任意实数 l, 1 0 先伸长, 再旋转: A(la) = l(Aa) 成立. 4 2 0 1 A(2a)= 下面我们证明这一猜想 .. = 2 1 0 4
P1 P2 = l OP1 m OP2 , 设线性变换矩阵为 A, 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为 A P1 P2 = A(l OP1 mOP2 ) = lAOP1 mAOP2 , 当 AOP1 = AOP2 时, 上式为 (l m ) AOP1,
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把 平面上的直线变成直线 (或一点). 对性质 2 的证明我们简述如下: 设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使
B
证明:
x2 b= y 是两意平面向量, 则 2 a b x1x2 a b x1 x 2 A(ab)= = c d y1y2 c d y1 y2 a(x1x2)b(y1y2) = ; c(x1x2)d(y1y2) a b x1 a b x2 ax1by1 ax2by2 AaAb= = y y c d 1 c d 2 cx1dy1 cx2dy2 a(x1x2)b(y1y2) = . c(x1x2)d(y1y2) 所以得 A(ab) = AaAb.
P1 P2 = l OP1 m OP2 , ① 设线性变换矩阵为 A, 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为 A P1 P2 = A(l OP1 mOP2 ) 这是点 P1 经过 A 变换, 再经过 (lm) 伸缩 的一个点. = lAOP1 mAOP2 , 当 时 , ①式结果是 OP A OP 1 2 当A 时 , 上式为 AOP1 = AOP2 以 AOP 的数乘向量之和确定的一条直线 . , A OP 2OP (1 l m )A 1,
x1 a b 设 A= 为任意二阶矩阵, a= y , c d 1
性质 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上 的任意两个向量, l 是一个任意实数, 则 (1) A(la) =lAa; (2) A(ab) =AaAb. 由性质 1 很容易推出下面的定理.
定理 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上 的任意两个向量, l1, l2 是任意两个实数, 则 A(l1al2b) =l1Aal2Ab.
x a b 为任意二阶矩阵, a= y 为任 证明: 设 A= c d 意平面向量, l 为任意实数, 则 x a b a b lx laxlby A(la)= = ; l y = l y lcxldy c d c d a b x axby laxlby l(Aa)= l = l = . c d y cxdy lcxldy 因此得 A(la) = l(Aa).
问题3. 平面上一点经过线性变换所得的像仍然是 一个点吗? 一条直线呢? 一个点经过任意的线性变换, 所得的像都是一个 点. 一条直线经过线性变换后, 所得的像是一条直线 或一个点.
如: 一条垂直于 x 轴的直线, 关于 x 轴的投影变 换, 它的像就是这条直线与 x 轴的交点.
y l
O
A
x
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把 平面上的直线变成直线 (或一点). 对性质 2 的证明我们简述如下: 设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使