2018-2019学年湖北省武汉外国语学校九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年湖北省武汉外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.方程x（x+5）=0的根是（）A. B.C. ，D. ，3.二次函数y=2（x+2）2-1的图象是（）A. B.C. D.4.下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（）A. B.C. D.5.把一元二次方程x2-6x+4=0化成（x+n）2=m的形式时，m+n的值为（）A. 8B. 6C. 3D. 26.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（）A. B. C. D.7.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）A. B.C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（-5，2），（-2，-2），（5，-2），则点D的坐标为（）A. B. C. D.9.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac-b+1=0；④OA•OB=-．其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 110.如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x≥0）与y2=x2（x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1=x2（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC，交y2=x2（x≥0）的图象于点E，则=（）A.B. 1C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.设x1、x2是方程x2-x-1=0的两个实数根，则x1+x2=______．12.若+（b+4）2=0，那么点（a，b）关于原点对称点的坐标是______．13.一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是______m．14.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（-6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为______．15.若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为______．16.如图，在边长为2a的等边△ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接BM，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动的过程中，线段BN长度的最小值为______．三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）17.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若=-1，则m的值为多少？18.“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）19.解方程（1）（2x+1）2=3（2x+1）（2）x2-2x-1=020.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．21.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？22.如图，在Rt△ABC中∠C=90°，线段AD是线段AB绕A点按逆时针方向旋转90°得到的，△EGF由△ABC沿CB方向平移得到的，且直线EG过点D．（1）求∠BDG的大小；（2）若AB=10，∠BAC=30°，求CF的长．23.设二次函数y=ax2+bx-（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（-1，4），B（0，-1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．24.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A 点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、x2+2x-3=0是一元二次方程，故A正确；B、2x2y-1=0是二元二次方程，故B错误；C、x2-（x+7）x=0是一元一次方程，故C错误；D、ax2+bx+c=0（≠0），故D错误；故选：A．根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】D【解析】解：x=0或x+5=0，∴x1=0，x2=-5．故选：D．原方程可转化为x=0或x+5=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．3.【答案】C【解析】解：∵a=2＞0，∴抛物线开口方向向上；∵二次函数解析式为y=2（x+2）2-1，∴顶点坐标为（-2，-1），对称轴x=-2．故选：C．先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．4.【答案】C【解析】解：根据旋转的性质，分析图可知C不是旋转，它是轴对称的关系．故选：C．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度．本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．5.【答案】D【解析】解：x2-6x=-4，x2-6x+9=-4+9，（x-3）2=5，所以n=-3，m=5，所以m+n=5-3=2．故选：D．利用配方法得到（x-3）2=5，则可得到m和n的值，然后计算它们的和即可．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方．6.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABC=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选：D．先根据矩形的性质得∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，再根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，然后根据四边形的内角和得到∠3=68°，再利用互余即可得到∠α的大小．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7.【答案】C【解析】解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，则△PBQ的面积S=PB•BQ=（3-t）×2t=-t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选：C．根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．8.【答案】A【解析】解：∵点A，C的坐标分别为（-5，2），（5，-2），∴点O是AC的中点，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD经过点O，∵B的坐标为（-2，-2），∴D的坐标为（2，2），故选：A．依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（-2，-2），即可得出D的坐标为（2，2）．本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．9.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∴ac-b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=-，所以④正确．故选：B．由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2-4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（-c，0），再把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=-，则可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10.【答案】D【解析】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则y1=x2=a，解得x=，∴点B（，a），y=x2=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y=（）2=3a，1∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴x2=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3-，∴==3-．故选：D．设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB 的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：∵方程x2-x-1=0中，△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x1+x2=1．故答案为：1．观察方程可知，方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根，由根与系数关系直接求解．本题考查了一元二次方程的根与系数关系．关键是先判断方程的根的情况，利用根与系数关系求解．12.【答案】（-3，4）【解析】解：∵+（b+4）2=0，∴a-3=0，b+4=0，解得：a=3，b=-4，∴点（a，b）的坐标为（3，-4），∴关于原点对称点的坐标是（-3，4），故答案为：（-3，4）；首先根据非负数的性质可得a-3=0，b+4=0，再解出a、b的值．进而得到点的坐标，然后再根据关于原点对称点的坐标特点可得答案．此题主要考查了非负数的性质、关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．13.【答案】12【解析】解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，∴设原菜地的长为x米，则宽为（x-2）米，根据题意得：x（x-2）=120，解得：x=12或x=-10（舍去），故答案为：12．根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．14.【答案】（-2，6）【解析】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，AB=OC=2，则tan∠BOA==，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，，∴△AOB≌△HB1O，∴B 1H=OA=6，OH=AB=2，∴点B1的坐标为（-2，6），故答案为：（-2，6）．连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．15.【答案】0或2或-2【解析】解：当m=0时，函数为y=2x+1，其图象与x轴只有一个交点．当m≠0时，△=0，即（m+2）2-4m（）=0．解得：m=±2．∴当m=0，或m=±2时，函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点．故答案为：0或2或-2．当m=0时，函数为一次函数与x轴有一个交点，当m≠0时，△=0时，抛物线与x轴只有一个交点．本题主要考查的是抛物线与x轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．16.【答案】a【解析】解：连接MN，由旋转的特性可知，BM=BN，又∵∠MBN=60°，∴△BMN为等边三角形．∴BN=MN=BM，∵点M是高CH所在直线上的一个动点，∴当BM⊥CH时，BN最短（到直线的所有线段中，垂线段最短）．又∵△ABC为等边三角形，且AB=BC=CA=2a，∴当点M和点H重合时，BN最短，且有MN=BN=BH=AB=a．故答案为：a．由旋转的特性以及∠MBN=60°，可知△BMN是等边三角形，从而得出MN=BN，再由点到直线的所有线段中，垂线段最短可得出结论．本题考查了旋转的特性、垂线段最短理论以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：由旋转的特性以及∠MBN=60°，可知△BMN是等边三角形，从而得出MN=BN，再结合点到直线的所有线段中，垂线段最短，即可得出结论．17.【答案】解：（1）由题意知，（2m+3）2-4×1×m2≥0，解得：m≥-；（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2m+3），αβ=m2，∵=-1，∴=-1，∴=-1，m2-2m-3=0（m-3）（m+1）=0m1=-1，m1=3，由（1）知m≥-，所以m1=-1应舍去，m的值为3．【解析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞0，求出m的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=是解答此题的关键．18.【答案】解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x，解得：x=1000，1.5×1000=1500（元），答：进价为1000元，标价为1500元；（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：w=（51+×3）（1500-1000-a），=-（a-80）2+26460，∵-＜0，∴当a=80时，w最大=26460，答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．【解析】（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8-8x，将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x-100）×7-7x，根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x，再解方程即可得到进价，进而得到标价；（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可．此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系式，进而求出最值．19.【答案】解：（1）（2x+1）2=3（2x+1）（2x+1）2-3（2x+1）=0，（2x+1）[（2x+1）-3]=0，解得：x1=-，x2=1；（2）x2-2x-1=0（x-1）2=2，则x-1=±，解得：x1=1+，x2=1-．【解析】（1）直接利用提取公因式法分解因式得出答案；（2）直接利用配方法解方程得出答案．此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．20.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，-4），∴A2A3所在直线的解析式为：y=-5x+16，令y=0，则x=，∴P点的坐标（，0）．【解析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．本题考查了利用旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21.【答案】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31-12.6）÷0.6=1≈2（人）．答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．【解析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22.【答案】解：（1）∵线段AD是线段AB绕点A旋转90°所得，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，由平移知DG∥AB，∴∠BDG=∠ABD=45°．（2）由平移性质可得AE∥FC，EF∥AC，又∠C=90°，∴四边形ACFE是矩形，∴FC=AE，∠EAC=90°，∴∠BAC+∠EAB=90°，又∠DAE+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠BAC=30°，由DG∥AB得，∠EDA+∠DAB=180°，∴∠EDA=180°-90°=90°，在Rt△ABC中，∵AB=10，∠BAC=30°，∴BC=AB=5，在Rt△ADE中，∵AD=10，∠DAE=30°，∴AE==，∴CG=AE=，∵FG=BC=5，∴CF=CG+FG=5+．【解析】（1）线段AD是线段AB绕点A旋转90°所得，推出△ABD为等腰直角三角形，可得∠ABD=45°由平移知DG∥AB，可得∠BDG=∠ABD=45°；（2）首先证明∠DAE=∠BAC=30°，解直角三角形求出BC，AE即可解决问题；本题考查旋转变换、平移变换、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）设y=0∴0=ax2+bx-（a+b）∵△=b2-4•a[-（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）当x=1时，y=a+b-（a+b）=0∴抛物线不经过点C把点A（-1，4），B（0，-1）分别代入得解得∴抛物线解析式为y=3x2-2x-1（3）当x=2时m=4a+2b-（a+b）=3a+b＞0①∵a+b＜0∴-a-b＞0②①②相加得：2a＞0∴a＞0【解析】（1）利用一元二次方程根的判别式．（2）当x=1时，y=0，所以抛物线过点AB（3）把x=2代入用ab表示m，由m的范围结合a+b＞0可解．本题考查了二次函数图象性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．24.【答案】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c对称轴是直线x=1，∴-=1，解得b=2，∵抛物线过A（0，3），∴c=3，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，令y=0可得-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，∴B点坐标为（3，0）；（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，∵P在抛物线上，∴P（2t，-4t2+4t+3），∵四边形OMPN为矩形，∴ON=PM，∴3t=-4t2+4t+3，解得t=1或t=-（舍去），∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=-x+3，∴当t＞0时，OQ≠OB，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，∴Q（2t，-2t+3），∴OQ==，BQ==|2t-3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t-3|=3，解得t=（舍去）或t=；当OQ=BQ时，则有=|2t-3|，解得t=；综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．【解析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用t表示出PM和ON的长是解题的关键，在②中用t表示出Q点的坐标，进而表示出OQ和BQ的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．686．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．49．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣212．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=2a n a n+1，且n∈N*，则a8=．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于．15．设实数x，y满足，则的取值范围是．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（2分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣i•iz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】解：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正确；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y=，可知：x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假，充要条件的应用，是基本知识的考查．3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）【分析】当B=∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，∴当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，成立；当B≠∅时，，解得2≤m≤3．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故A不正确．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故它的图象的对称中心为（﹣，0 ），k∈Z，故B正确．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故它增区间[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，故C不正确．该函数的最小正周期为=π，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．68【分析】首先运用a n=求出通项a n，判断正负情况，再运用S10﹣2S2即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S1=a1=﹣2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，故a n=，据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10∴|a1|+|a2|+…+|a10|=﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）=S10﹣2S2=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1）=67．故选：C．【点评】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意n=1的情况，是一道基础题．6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°【分析】利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．【解答】解：∵b=acosC+c．∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinC，可得：sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinC，可得：sinCcosA=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．【分析】由题意求出cosα，cos（α+β），利用β=α+β﹣α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可．【解答】解：α，β为锐角，则cosα===；＜sinα，∴，则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．4【分析】由“等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和”可求得公差，再由a k+a4=0可求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，∴9+36d=4+6d，其中d为等差数列的公差，∴d=﹣，又∵a k+a4=0，∴1+（k﹣1）d+1+3d=0，代入可解得k=10，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题．9．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为e x﹣2m=﹣3有解，即可得到结论．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣2m，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则切线斜率k=e x﹣2m，满足（e x﹣2m）=﹣1，即e x﹣2m=﹣3有解，即2m=e x+3有解，∵e x+3＞3，∴m＞，故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）【分析】根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣y的最大值，再根据最值给出λ的求值范围．【解答】解：由题意得x，y的约束条件．画出不等式组表示的可行域如图示：在可行域内平移直线z=x﹣y，当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，目标函数z=x﹣y有最大值z=3+7=10．x﹣y＜λ+恒成立，即：λ+≥10，即：．解得：λ∈（0，1]∪[9，+∞）故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣2【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b，c＞0且（a+b）（a+c）=4﹣2，则2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥=2=2，当且仅当a+b=a+c=﹣1时取等号．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．【分析】根据题意可得函数g（x）=xf（x）=e x﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可【解答】解：∵x∈（0，+∞），∴x1f（x1）＜x2f（x2）．即函数g （x ）=xf （x ）=e x ﹣ax 2在x ∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x ）=e x ﹣2ax ≥0恒成立． ∴2a ≤，令，则，x ∈（0，1）时m'（x ）＜0，m （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时m'（x ）＞0，m （x ）单调递增， ∴2a ≤m （x ）min =m （1）=e ， ∴．故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，且n ∈N*，则a 8=．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步根据通项公式求出结果． 【解答】解：数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，则：（常数），数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．则：，所以：，当n=1时，首项a 1=1， 故：．所以：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于﹣3．【分析】由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．【解答】解：∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12∴•=﹣3=||||cosθ∴||cosθ=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．15．设实数x，y满足，则的取值范围是[﹣，] ．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最值．【解答】解：由实数x，y满足，得到可行域如图：由图象得到的范围为[k OB，k OA]，A（1，1），B（，）即∈[，1]，∈[1，7]，﹣ [﹣1，]．所以则的最小值为﹣；m最大值为：；所以的取值范围是：[﹣，]故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求m的范围．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a．【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；（2）将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．【解答】解：（1）∵f（x）=•=2sin（+x）•sin（+x）﹣cos2x=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos[2（+x）]﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴最小正周期T=π，由2x﹣=+kπ，得x=+，k∈Z，所以f（x）的对称轴为：x=+，k∈Z，（2）因为f（x）﹣m=2可化为m=2sin（2x﹣）﹣1在x∈[，]上有解，等价于求函数y=2sin（2x﹣）﹣1的值域，∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴y∈[0，1]故实数m的取值范围是[0，1]【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合sinB≠0，可得，结合A为三角形内角，可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质列出关于公差d的方程，利用方程求得d，然后写出通项公式；（2）根据单调数列的定义推知a n=2n﹣1，然后利用已知条件求得b n的通项公式，再由错位相减法求得答案．【解答】解：（1）∵a8是a5，a13的等比中项，{a n}是等差数列，∴（1+7d）2=（1+4d）（1+12d）解得d=0或d=2，∴a n=1或a n=2n﹣1；（2）由（1）及{a n}是单调数列知a n=2n﹣1，（i）当n=1时，T1=b1===．（ii）当n＞1时，b n==，∴T n=+++…+……①∴T n=+++…++……②①﹣②得T n=+++…+﹣=﹣，∴T n=﹣．综上所述，T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题综上所述，20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．令n=1时，，n=2时，， n=3时，，由于2a 2=a 1+a 3， 所以，解得k=﹣1． 由于=（2n ﹣1）（n +1），且n +1≠0， 则a n =2n ﹣1；（2）由于===，所以S n =+…+=+n==．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．21．（2分）已知函数f （x ）=ax +lnx （a ∈R ） （1）若a=2，求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程； （2）求f （x ）的单调区间和极值；（3）设g （x ）=x 2﹣2x +2，若对任意x 1∈（0，+∞），均存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义，可求曲线y=f （x ）在x=1处切线的斜率，从而求出切线方程即可；（2）求导函数，在区间（0，﹣）上，f'（x ）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x ）＜0，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；（3）由已知转化为f （x ）max ＜g （x ）max ，可求g （x ）max =2，f （x ）最大值﹣1﹣ln （﹣a ），由此可建立不等式，从而可求a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知f′（x）=2+（x＞0），…（2分）∴f'（1）=2+1=3，f（1）=2，故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3，故切线方程是：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0…（4分）（2）求导函数可得f′（x）=a+=（x＞0）．…当a＜0时，由f'（x）=0，得x=﹣．在区间（0，﹣）上，f'（x）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞），=﹣1﹣ln（﹣a）…（10分）故f（x）极大值=f（﹣）（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．∵g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x2∈[0，1]，∴g（x）max=2…（11分）由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），所以ln（﹣a）＞﹣3，解得a＜﹣．…（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f（x）max＜g（x）max．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的范围，构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴∴a=1，∴f（x）=e x，f令h（x）=x2e x﹣1，h'（x）=（2x+x2）e x，h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，所以x∈（﹣∞，0）时，h（x），即x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，所以函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减．（Ⅱ） 由条件可知，g（x）=e x﹣x+m+1，①g'（x）=e x﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使函数有两个零点，则g（x）min=g（0）=m+2＜0，∴m＜﹣2．‚②证明：由上可知，x1＜0＜x2，∴﹣x2＜0，∴构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，所以m（x）＞m（0）即g（x2）=g（x1）＞g（﹣x1）又g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。
湖北省武汉外国语学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
湖北省武汉外国语学校2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线22x y =的焦点坐标为（ B ）A ．)21,0(B ．)81,0(C ．)0,21(D ．)0,1(2．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题D ．在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件3．给定两个命题q p ,若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成的角为θ)900(0<<θ的平面所截，截面是一个椭圆面，当030=θ时，这个椭圆的离心率为( A )A ．21B ．23C ．33D ．325．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 恰好是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为（ A ） A ．12+B ．2C ．2D ．13+6． 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ,x 的值分别为3,4则输出v 的值为（ B ）A ．399B ．100C ．25D ．67．已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ A ）A ．B ．C ． 4D ． 8．若坐标原点O 和)0,2(-F 分别为双曲线1222=-y ax (0>a )的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则⋅的取值范围为( B ) A ．),323[+∞-B ．),323[+∞+C ．),47[+∞-D ．),47[+∞9.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点F ，作渐近线x aby =的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( C ) A ．)2,1(B ．)2,1(C ．),2(+∞D ．),2(+∞10．双曲线C 的方程为1422=-y x ，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点Q P ,，使901=∠PQ F ，则PQ F 1∆的内切圆半径为（ B ）A ．2B ．2C ．3D ．511.已知圆4:22=+y x O 上的动点M 和定点)2,2(),0,1(B A -，则MB MA +2的最小值为（ D ）A ．62B ．72C ．24D ．10212．已知中心在原点O ，焦点在y 轴上，且离心率为35的椭圆与经过点(1,0)C -的直线l 交于B A ,两点，若点C 在椭圆内，OAB ∆的面积被x 轴分成两部分，且OAC ∆与OBC ∆的面积之比为1:4，则O A B ∆面积的最大值为（ A ） A ．45B ．23 C ．1315D ．49 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市武汉外国语学校2024-2025学年高三上学期10月考试 数学(含答案)
武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷命题教师： 审题教师：考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．3，且，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 已知，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A ．3B ．C ．D ．6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A ．114B. 120C ．126D ．1327．已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 已知函数，，函数，若为偶函数，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）A ．数据，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B ．已知随机变量，若，，则C ．若一组样本数据（，2，…，n ）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为D ．若事件M ，N 的概率满足，且，则M 与N 相互独立10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．有三条边相等的四边形D ．有一组对角相等的四边形11. 设函数，则（ ）A ．当时，直线是曲线的切线B ．若有三个不同的零点，则C ．存在a ，b ，使得为曲线的对称轴D ．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知是等差数列的前n 项和，若，，则 ．13. 已知函数，写出函数的单调递减区间．14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为 ；（2）恰好得n 分的概率为．（用与n 有关的式子作答）{}2|230A x x x =+-≥{}|22B x x =-≤<A B = []2,1--[)1,2-[]1,1-[)1,2ii 212+-3i5-3i 5i -ib a -=c a c ⊥a b 6π3π23π56π(0,),(0,)22ππαβ∈∈()sin sin sin αβαβ+<+()sin cos cos αβαβ+<+()cos sin sin αβαβ+<+()cos cos cos αβαβ+<+33333a R ∈222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩x ()0f x …R a[]0,1[]0,e []0,2[]1,e ()()f x f x x R =-∈，()15.5=f ()()()1g x x f x =-⋅()1+x g ()0.5-g 32.521.51-(),X B n p :()40E X =()30D X =160n =(),i i x y 1i =132y x =-+12-()()0,1P M ∈()()0,1P N ∈()()1P N M P N +=32()231f x x ax =-+0a =1y =()y f x =()f x 123,,x x x 12312x x x ⋅⋅=-x b =()y f x =02ax ≠()f x 0x x =()y f x =n S {}n a 320S =990S =6S =()()π2,0,cos 2sin ∈+=x xxx f ()x f四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分13分）已知的面积为，且满足,设和的夹角为，（1）求的取值范围；（2）求函数16.（本题满分15分）如图，已知四棱锥，，侧面为正三角形，底面是边长为4的菱形，侧面与底面所成的二面角为120°．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的正弦值．17.（本题满分15分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．18.（本题满分17分）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点A （1）求椭圆E 的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．19.（本题满分17分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质．（1）设函数，其中为实数① 求证：函数具有性质；② 讨论函数的单调性；（2）已知函数具有性质，给定，，且，若，求的取值范围．ABC ∆3360≤⋅≤AC AB AB ACθθ()2cos sin 3f πθθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭ABCD P -AD PB ⊥PAD ABCD PAD ABCD ABCD P -A PB C --()2()e ln0x af x a a x-=+>a e =()y f x =()()1,1f ()2f x ≥a 2222:1(0)x y E a b a b +=>>12,F F 2352,3⎛⎫ ⎪⎝⎭21AF F ∠l l )(x f ),1(+∞)('x f a )(x h )(x h ),1(+∞∈x )(x h )1)(()('2+-=ax x x h x f )(x f )(a P )(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+b )(x f )(b P )(x f )(x g )2(P 为正实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α21)1(mx x m +-=β1,1>>βα12()()()()g g g x g x αβ-<-m2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.13. 14. （1）；（2）三、解答题15、解：（1）由题，可得，又，所以，得到或因为，所以6分（2），化简得进一步计算得，因为，故故可得13分16、解：（1）过点作垂直于平面，垂足为，连接交于，连接，则有，又，所以，因为，所以，又，所以为得中点依题侧面与底面所成的二面角为120°，即有，所以，因为侧面为正三角形，502433ππ⎛⎫⎪⎝⎭，132713425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭3sin 21==∆θbc S ABC θsin 6=bc 36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB 36sin cos 60≤≤θθ33tan≥θ2πθ=()πθ,0∈,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2cos sin 3f πθθθθ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭()21sin 24f θθθ=()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，P PO ABCD O BO AD E PE AD PB AD PO ⊥⊥,P PB PO =⋂POB AD 平面⊥POB PE 平面⊂PE AD ⊥PD PA =E AD PAD ABCD 32π=∠PEB 3π=∠PEO PAD所以，则，所以7分（2）如图，在平面内过点作得垂线，依题可得两两垂直，以为建立空间直角坐标系可得，，，取得中点为，则因为，所以，由（1)，，知所以，可得所成角即为二面角的平面角，求得，，则则15分17、解：（1）当时，，，所求切线方程为：，即5分（2）转化为，可得构造函数，易得在单调递增所以有，由在单调递增,故可得，即有在恒成立令，，得到，可得时，；时，，所以在时取最大值所以，得到15分323sin4=⋅=πPE 323323sin=⋅=⋅=πPE PO 38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P ABCD O OB Ox Ox OB OP ,,Ox OB OP ,,轴轴，轴，x y z ()0,3,2A ()0,0,0P ()0,33,0B PB N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N AB AP =PB AN ⊥POB AD 平面⊥AD BC //POB BC 平面⊥PB BC ⊥NA BC ,A PB C --⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=23,23,2AN ()0,0,2=BC 72724-=-BC NA sin A PB C --=a e =1()e lnx e f x x -=+0(1)e ln 2f e =+=11()e ,(1)0x f x f x-''=-=)1(02-=-x y 2y =()2≥x f ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，()e x g x x =+()g x R ()(ln 2)ln g a x g x +-≥()g x R ln 2ln a x x +-≥ln ln 2a x x ≥-+()∞+，0()2ln +-=x x x h ()011=-='xx h 1=x ()10，∈x ()0>'x h ()∞+∈，1x ()0<'x h ()x h 1=x ()ln 11a h ≥=ea ≥18、解：（1）∵椭圆E 经过点A ，∴，解得E ：；4分（2）由（1）可知，，思路一：由题意，，设角平分线上任意一点为，则得或∵斜率为正，∴的角平分线所在直线为思路二：椭圆在点A 处的切线方程为，根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为，∴，的角平分线所在直线即10分（3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点，设，∴∴线段中点为在的角平分线上，即得∴与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点，52,3⎛⎫⎪⎝⎭23e =222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22195x y +=1(2,0)F -2(2,0)F 1:512100AF l x y -+=2:2AF l x =(),P x y 51210213x y x -+=-9680x y --=2390x y +-=21AF F ∠9680x y --=52,3⎛⎫⎪⎝⎭2319x y +=23k =-切21AF F ∠l 32l k =21AF F ∠34:23l y x =-9680x y --=l ()()1122,,,B x y C x y 2:3BC l y x m =-+2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩BC 25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭21AF F ∠106803m m --=3m =52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭l ()()1122,,,B x y C x y BC ()00,M x y由点差法，，∴，∴，与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）① ，∵，恒成立，∴函数具有性质；3分② 设，(i) 当即时，，，故此时在区间上递增；(ii) 当时当即时，，，故此时在区间上递增；当即时，，∴时，，，此时在上递减；时，，，此时在上递增.综上所述，当时，在上递增；当时，在上递减，在上递增.9分()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++1x >()()2101h x x x =>+()f x ()P b ()0f x '>()f x ()1,+∞()0f x '>()f x ()1,+∞x ⎛∈ ⎝()0f x '<()fx ⎛ ⎝()fx ∞⎫+⎪⎪⎭2b ≤()f x ()1,+∞2b >()fx ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+0065OM y k x ==:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩()()211u x x bx x =-+>0b -≥0b ≤()0u x >0b >240b ∆=-≤02b <≤()0u x >240b ∆=->2b>1211x x ==<=>，()0u x<x ∞⎫∈+⎪⎪⎭()0u x >()0f x '<（2）由题意， ，又对任意的都有，所以对任意的都有，在上递增.10分∵，，∴①先考虑的情况即，得，此时，∴∴满足题意13分②当时，，，∴∴，∴，不满足题意，舍去16分综上所述，17分()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'()h x ()1,x ∈+∞()0h x >()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()1,+∞12(1)mx m x α=+-12(1)m x mx β=-+()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--12x x αβ-<-()()121221m x x x x --<-01m <<1122(1)x mx m x x α<=+-<1122(1)x m x mx x β<=-+<1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<12()()()()g g g x g x αβ-<-1m ≥11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+12x x αβ≤<≤12()()()()g g x g x g αβ≤<≤12()()()()g g g x g x αβ-≥-01m <<。
湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高二上学期10月阶段性诊断考试数学试卷
湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高二上学期10月阶段性诊断考试数学试卷一、单选题1．已知直线1:12y l x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．4D ．4- 2．已知复数z 满足1i 2i z -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的菱形，侧棱长为2，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，则线段1AC 的长度是（ ）A B C ．3 D 4．已知四边形ABCD 内接于圆O ，且满足1AB =，3AD =，2BC CD ==，则圆O 的半径为（ ）A B C ．2 D 5．一条经过点()4,2A -的入射光线l 的斜率为2-，若入射光线l 经x 轴反射后与y 轴交于点B ，O 为坐标原点，则AOB V 的面积为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．66．如图，在棱长均为2的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是11A B 的中点，过B 、C 、D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（ ）AB C D 7．A 、B 两位同学各有2张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完6次硬币时游戏终止的概率是（ ）A ．116B ．332C ．18D ．3168．如图，在三棱锥A BCD -中，45ABC ∠=︒，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD 所成最大角的正弦值是4时，PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100人中随机抽取10人，每个人被抽到的可能性不相等B ．一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为300颗C ．一组数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，()50m m >.已知这组数据的极差为40，则这组数据的第m 百分位数为79D ．数据1x ，2x ，3x 的方差为22212393x x x ++-，则121x +，221x +，321x +的平均数为7 10．已知集合{S =直线sin cos |1l x y m nθθ+=，其中,m n 是正常数，[)0,2}θπ∈，下列结论中正确的是（ ）A ．当π4θ=时，S 中直线的斜率为n m - B ．S 中所有直线均经过同一个定点C ．当m n ≥时，S 中的两条平行线间的距离的最小值为2nD ．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面11．如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ，点P 为半圆弧»AD 上一动点（点P 与点A ，D 不重合），下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥P ABD -的四个面都是直角三角形B ．三棱锥P ABD -的体积最大值为1254C ．异面直线PA 与BC 的距离是定值D ．当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积为4三、填空题12．已知圆C 的圆心在直线310x y --=上，且过点()2,3A -，()2,5B ，则圆C 的一般方程为．13．ABC V 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，BC 边上的高长为3a ，则()2b c bc+的取值范围为.14．若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,5上存在零点，则22a b +的最小值为.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点为()4,0A ，()2,3B ，()4,6C .(1)求BC 边上的高AD 的直线方程；(2)求过点B 且与A 、C 距离相等的直线方程.16．在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB AC AA ===4BC =，点1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长；(2)求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的正弦值.17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin 1cos cos A A B B C-=-.(1)若c a b +=AB 上的角平分线CD 长；(2)若ABC V 为锐角三角形，点F 为ABC V 的垂心，6CF =的取值范围. 18．（1）甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币.甲抛掷()1n +次，乙抛掷n 次，*n ∈N ，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.（2）某单位进行招聘面试，已知参加面试的50名学生全都来自A ，B ，C 三所学校，其中来自A 校的学生人数为10.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码()1,2,3,,50k k =L ，按面试号码k 由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.若B ，C 两所学校参加面试的学生人数比为1：3，求A 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A 校所有参加面试的学生完成面试后，B ，C 两校都还有学生未完成面试）的概率.19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =r ，点()0000,,P x y z .若平面α以u r 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=.(1)若平面1:210x y α--=，平面1:310y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的一个方向向量；(2)已知集合(){},,|1,1,1P x y z x y z =≤≤≤，(){},,|2Q x y z x y z =++≤，(){},,|2,2,2T x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为1V ，P Q ⋂中所有点构成的几何体的体积为2V ，集合T 中所有点构成的几何体为W .（ⅰ）求1V 和2V 的值； （ⅱ）求几何体W 的体积3V 和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的余弦值.。
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一（下）期末数学试卷一、单选择：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足z （1+i ）＝2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣iD ．i2．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（ ） A ．调查一批炮弹的杀伤半径，合理的调查方式为抽样调查B ．抽签法适用于总体中个体数较少，样本量也较小的抽样，随机数法适用于总体中个体数较多，但样本量较小的抽样C ．若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则数据y i ＝ax i ﹣b （i ＝1，2，3，…，n ）的平均数为ax −bD ．若甲、乙两组数据的标准差满足s 甲＜s 乙，则可以估计乙比甲更稳定 3．若tan α＝2，则sin2α2+cos 2α的值为（ ）A ．47B ．411C ．211D ．274．已知向量a →=(1，1)，b →=(1，−1)，则“(a →+λb →)⊥(a →+μb →)”是“λμ＝﹣1”的（ ）条件． A ．充要条件 B ．充分不必要 C ．必要不充分D ．既不充分也不必要5．一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（ ） A ．3：1B ．√3：1C ．9：1D ．27：16．如图，△A 'O 'B '是水平放置的△AOB 的直观图，但部分图象被墨汁覆盖，已知O '为坐标原点，顶点A '、B '均在坐标轴上，且△AOB 的面积为9，则O 'B '的长度为（ ）A ．34B ．3√22C ．32D ．3√247．已知I 为△ABC 的内心，且满足4IA →+3IB →+3IC →=0→，若△ABC 内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（ ） A ．92B ．3C ．94D ．48．已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（ ） A ．36−203πB ．32−223πC ．60﹣12πD ．60−403π二、多选择：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.多选或不选得0分，漏选得2分. 9．已知A ，B 是相互独立事件，且P(A)=12，P(B)=12，下列说法正确的是（ ） A ．A ，B 可能是互斥事件B ．P(AB)=14C ．P （A ∪B ）=34D ．由于P （A ）+P （B ）＝1，则A ，B 可能是相互对立事件10．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，下列叙述正确的是（ ） A ．若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形 B ．若a cosA=b cosB=c cosC，则△ABC 一定是等边三角形C ．若A ＞B ，则cos A ＜cos BD ．若2b ≥a +c ，则B ∈(0，π3]11．若正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面棱长为4，侧棱长为3，且M 为棱AA 1的靠近点A 的三等分点，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动，且满足MP 与底面ABCD 的所成角θ≥π4，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为π4B ．有且仅有一个点P 使得MP ⊥PC 1 C ．四面体P ﹣A 1CD 1的体积取值范围为[6，8] D ．线段|PC 1|长度最小值为√1712．已知a ＞0，b ＞0，下列命题中正确的是（ ）A ．若ab ﹣a ﹣2b ＝0，则a +2b ≥8B ．若a +b ＝2，则ba +4b≥5C ．若a +b ＝1，则√2a +4+√b +1≤2√3D ．若1a+1+1b+2=13，则ab +a +b ≥14+6√6三、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=43|PB →|，则点P 的坐标为 ． 14．函数f(x)=log 2(2sinx −√3)的单调增区间是 ．15．在直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，AC 上有一动点P （异于B ，C ），将△ABP 沿AP 折起，使得三棱锥A ﹣PBC 的顶点A 在底面PBC 上的投影M 恰好落在线段BC 上，则BM 长度的范围 ． 16．已知锐角△ABC 中，a 2−b 2c 2=2cosC ，则a2bcos 2B的取值范围 ．四、解答题（本题共6题，总分70分）17．（10分）如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点． （1）求作过D 1，E ，F 三点的截面（写出作图过程）； （2）求截面图形的面积．18．（12分）某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数、中位数、平均数；（2）学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数．19．（12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos （A ﹣C ）+cos B ＝1，b 2＝ac ． （1）求B ；（2）若b ＝2，求△ABC 的周长．20．（12分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为45，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率：（1）第一轮射击中恰好有一人中靶； （2）经过两轮射击，两人共中靶3次．21．（12分）如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2a ，AD =√2a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa （0＜λ≤2），（1）若λ＝1，求AC 和BE 所成角的余弦值；（2）设二面角C ﹣AE ﹣D 的大小为θ，直线BE 与平面SCD 所成的角为φ，求出tanφtanθ的最大值，并指出此时的λ取值22．（12分）已知函数f(x)=log 2(4x +1)+ax 是偶函数． （1）求实数a 的值； （2）若函数g （x ）＝22x +2﹣2x+m •2f（x ）的最小值为﹣3，求实数m 的值；（3）当k 为何值时，讨论关于x 的方程[f （x ）﹣1+k ][f （x ）﹣1﹣4k ]+2k 2+k ＝0的根的个数．（请写出详细解答过程）2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选择：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足z （1+i ）＝2i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣iD ．i解：由z （1+i ）＝2i ，得z =2i 1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i ，∴z 的虚部为1． 故选：A ．2．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（ ） A ．调查一批炮弹的杀伤半径，合理的调查方式为抽样调查B ．抽签法适用于总体中个体数较少，样本量也较小的抽样，随机数法适用于总体中个体数较多，但样本量较小的抽样C ．若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则数据y i ＝ax i ﹣b （i ＝1，2，3，…，n ）的平均数为ax −bD ．若甲、乙两组数据的标准差满足s 甲＜s 乙，则可以估计乙比甲更稳定解：对于A ，因为调查一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，所以合理的调查方式为抽样调查，故A 正确； 对于B ，抽签法适用于总体中个体数较少，样本量也较小的抽样，随机数法适用于总体中个体数较多，但样本量较小的抽样，故B 正确；对于C ，根据平均数的性质，可知数据y i ＝ax i ﹣b （i ＝1，2，3，…，n ）的平均数为a x −b ，故C 正确； 对于D ，若甲、乙两组数据的标准差满足s 甲＜s 乙，则可以估计甲比乙更稳定，故D 错误． 故选：D ． 3．若tan α＝2，则sin2α2+cos 2α的值为（ ）A ．47B ．411C ．211D ．27解：因为tan α＝2， 所以sin2α2+cos 2α=2sinαcosα2sin 2α+3cos 2α=2tanα2tan 2α+3=2×22×22+3=411．故选：B ．4．已知向量a →=(1，1)，b →=(1，−1)，则“(a →+λb →)⊥(a →+μb →)”是“λμ＝﹣1”的（ ）条件． A ．充要条件 B ．充分不必要 C ．必要不充分D ．既不充分也不必要解：由a →=(1，1)，b →=(1，−1)，可得a →+λb →=（1+λ，1﹣λ），a →+μb →=（1+μ，1﹣μ）， 若(a →+λb →)⊥(a →+μb →)，则有（a →+λb →）•（a →+μb →）＝0， 即（1+λ）（1+μ）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得λμ＝﹣1，反之，当λμ＝﹣1时，得a →+λb →=（1−1μ，1+1μ），a →+μb →=（1+μ，1﹣μ），此时有（a →+λb →）•（a →+μb →）＝（1−1μ）（1+μ）+（1+1μ）（1﹣μ）＝0， 故“(a →+λb →)⊥(a →+μb →)”是“λμ＝﹣1”的充要条件． 故选：A ．5．一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（ ） A ．3：1B ．√3：1C ．9：1D ．27：1解：正四面体P ﹣ABC 中，取BC 中点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ， 过点P 作PE ⊥AD 于点E ，则PE ⊥平面ABC ，外接球球心O 在PE 上，连接OA ，则OA ＝OP ＝R ， 因为正四面体的棱长为2，所以BD =CD =1，AD =√AB 2−BD 2=√3，则AE =23AD =2√33，PE =√PA 2−AE 2=√4−43=2√63．OE =PE −PO =2√63−R ， 由勾股定理得OE 2+AE 2＝AO 2，即(2√63−R)2+(2√33)2=R 2，解得R =√62； 设内切球球心为O 1，则O 1在PE 上，过点O 1作O 1H ⊥PD 于点H ，则O 1E ＝O 1H ＝r ， 故PO 1=2√63−r ，PD =√3，DE =13AD =√33， 因为△PO 1H ∽△PDE ， 所以PO 1PD=O 1H ED，即2√63−r √3=√33，解得r =√66，故它的外接球与内切球半径之比为R ：r =√62：√66=3：1， 体积之比为27：1． 故选：D ．6．如图，△A 'O 'B '是水平放置的△AOB 的直观图，但部分图象被墨汁覆盖，已知O '为坐标原点，顶点A '、B '均在坐标轴上，且△AOB 的面积为9，则O 'B '的长度为（ ）A ．34B ．3√22C ．32D ．3√24解：因为△AOB 的面积为9， 所以它的直观图△A 'O 'B '的面积为9×12√2=92√2，即12×6×O ′B ′×sinπ4=2√2，解得O ′B ′=32．故选：C ．7．已知I 为△ABC 的内心，且满足4IA →+3IB →+3IC →=0→，若△ABC 内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（ ） A ．92B ．3C ．94D ．4解：设BC 的中点为D ，由4IA →+3IB →+3IC →=0→，知4IA →=−3（IB →+IC →）＝﹣6ID →， 所以A ，I ，D 三点共线，又AI 为∠BAC 的平分线，所以△ABC 为等腰三角形，且AB ＝AC ， 所以ID 为内切圆的半径，即ID ＝2，所以IA ＝3，AD ＝5，设内切圆与AB 相交于点E ，则IE ＝ID ＝2，且IE ⊥AB ， 所以sin ∠BAD =IE IA =23，cos ∠BAD =√53，tan ∠BAD =5，所以sin ∠BAC ＝sin2∠BAD ＝2sin ∠BAD cos ∠BAD =4√59， 在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠BAD ＝2√5， 所以BC ＝2BD ＝4√5，在△ABC 中，由正弦定理知，2R =BC sin∠BAC =4√5459=9，所以△ABC 外接圆半径R =92． 故选：A ．8．已知一个长方体的封闭盒子，从同一顶点出发的三条棱长分别为3，4，5，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子随意翻动，则小球达不到的空间的体积是（ ） A ．36−203πB ．32−223πC ．60﹣12πD ．60−403π解：在正方体的 8 个顶点处的立方体空间内，小球不能到达的空间为：8[13−18（43π×13]＝8−43π，除此之外，以正方体的12条棱边长为1的12个正四棱柱空间内小球不能到达的空间共 （1−π4）×（4×1+4×2+4×3）＝24﹣6π， 其它空间小球均能到达，故小球不能到达的空间体积为：8−43π+24﹣6π＝32−22π3． 故选：B ．二、多选择：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.多选或不选得0分，漏选得2分. 9．已知A ，B 是相互独立事件，且P(A)=12，P(B)=12，下列说法正确的是（ ）A．A，B可能是互斥事件B．P(AB)=14C．P（A∪B）=34D．由于P（A）+P（B）＝1，则A，B可能是相互对立事件解：∵A，B是相互独立事件，且P(A)=12，P(B)=12，故P（AB）＝P（A）P（B）=14，故A错误；P（A B）＝P（A）•（1﹣P（B））=12×12=14，故B正确；P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）=12+12−14=34，故C正确，D错误．故选：BC．10．△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，下列叙述正确的是（）A．若a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形B．若acosA =bcosB=ccosC，则△ABC一定是等边三角形C．若A＞B，则cos A＜cos BD．若2b≥a+c，则B∈(0，π3]解：对于A：因为a cos B＝b cos A，由正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A＝0，即sin（A﹣B）＝0，在三角形中，可得A﹣B＝0，即A＝B，这时不知道C是否和A，B相等，所以△ABC不一定是等腰三角形，所以A不正确；B中，acosA =bcosB=ccosC，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，整理可得sin A cos B﹣cos A sin B＝0，即sin （A﹣B）＝0，可得A＝B，同理可得A＝C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形，所以B正确；C中，π＞A＞B，所以y＝cos x为单调递减，所以cos A＜cos B，所以C正确；D中，因为2b≥a+c，两边平方可得4b2≥a2+c2+2ac，由余弦定理可得4b2＝4（a2+c2﹣2ac cos B），所以4（a2+c2﹣2ac cos B）≥a2+c2+2ac恒成立，整理可得cos B≤3(a2+c2)−2ac8ac恒成立，而3(a2+c2)−2ac8ac≥6ac−2ac8ac=12，所以cos B≤12，即B∈[π3，π），所以D不正确．故选：BC．11．若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面棱长为4，侧棱长为3，且M为棱AA1的靠近点A的三等分点，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动，且满足MP 与底面ABCD 的所成角θ≥π4，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为π4B ．有且仅有一个点P 使得MP ⊥PC 1 C ．四面体P ﹣A 1CD 1的体积取值范围为[6，8] D ．线段|PC 1|长度最小值为√17解：A ．由线面角的定义可知，∠MP A ＝θ＝45°，即MA ＝AP ＝1，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长）， 即圆的14，面积为14π×12=14π，A 正确；如图，设点P 的轨迹与AD ，AB 交于点E ，F ，B ．不妨点P 与点F 重合，此时PC 1=√FB 2+BC 2+C 1C 2=√34，由余弦定理得：cos ∠MFC 1=MF 2+C 1F 2−C 1M 22MF⋅C 1F =2+34−362×√2×√34=0，则∠MFC 1=π2，同理可得：∠MEC 1=π2，故不止一个点P 使得MP ⊥PC 1，B 错误； C ．如图，AA 1⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以AA 1⊥BC ，且AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，AA 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥平面ABB 1A 1， BC ⊂平面A 1CD 1，所以平面A 1CD 1⊥平面ABB 1A 1， 且平面A 1CD 1∩平面ABB 1A 1＝A 1B ，因为AE ∥A 1D 1，AE ⊄平面A 1CD 1，A 1D 1⊂平面A 1CD 1， 所以AE ∥平面A 1CD 1，所以点A ，E 到平面A 1CD 1的距离相等，如图，当点P 在点E 处时，此时点P 到平面A 1CD 1的距离最大，最大距离为AH =3×45=125， 此时四面体P ﹣A 1CD 1的体积为13S △A 1CD 1⋅AH =13×12×4×5×125=8，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面A 1CD 1的距离最小，最小距离为FK ，因为△BFK ∽△BAH ，所以FK =34AH ，所以最小体积为34×8=6，故四面体P ﹣A 1CD 1的体积取值范围为[6，8]，C 正确；D ．当PC 取最小值时，线段|PC 1|长度最小，由三角形两边之和大于第三边知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即|PC|min =4√2−1， 则|PC 1|min =√(4√2−1)2+32=√42−8√2，D 错误． 故选：AC ．12．已知a ＞0，b ＞0，下列命题中正确的是（ ） A ．若ab ﹣a ﹣2b ＝0，则a +2b ≥8B ．若a +b ＝2，则ba +4b≥5C ．若a +b ＝1，则√2a +4+√b +1≤2√3D ．若1a+1+1b+2=13，则ab +a +b ≥14+6√6解：对于A ，因为a ＞0，b ＞0，ab ﹣a ﹣2b ＝0，所以ab ＝a +2b ，所以1=1b +2a， 所以a +2b ＝（a +2b ）（1b +2a ）＝4+ab +4ba ≥4+2√ab ⋅4ba =4+4＝8，当且仅当ab =4b a，即b ＝2，a ＝4时取“＝”，故A 正确；对于B ，若a +b ＝2，ba+4b=b a+2a+2b b=b a+2ab+2≥2√b a ⋅2ab +2＝2√2+2，当且仅当b a=2a b，即a ＝2√2−2，b ＝4﹣2√2时取“＝”，故B 错误；对于C ，由a +b ＝1，a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得：（√2a +4+√b +1）2﹣（√a +2•√2+√b +1•1）2≤（a +2+b +1）（2+1）＝12， 所以√2a +4+√b +1≤2√3，当且仅当√a+2√2=√b+11，即a =23，b =13时取等号，故C 正确；对于D ，由1a+1+1b+2=13，得3（b +2）+3（a +1）＝（a +1）（b +2），化简得ab ＝a +2b +7，所以a =2b+7b−1， 因为a ＞0，b ＞0，所以b ＞1，所以ab +a +b =2a +3b +7=4b+14b−1+3b +7=3(b −1)+18b−1+14≥2√3(b −1)⋅18b−1+14=6√6+14， 当且仅当3(b −1)=18b−1，即b =√6+1时取等号， 所以ab +a +b ≥14+6√6，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=43|PB →|，则点P 的坐标为 （10，﹣21） ．解：∵点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=43|PB →|，∴AP →=43BP →，设P （x ，y ），且A （2，3），B （4，﹣3）， ∴（x ﹣2，y ﹣3）=43（x ﹣4，y +3）， ∴{x −2=43(x −4)y −3=43(y +3)，解得{x =10y =−21， ∴P （10，﹣21）． 故答案为：（10，﹣21）．14．函数f(x)=log 2(2sinx −√3)的单调增区间是 （π3+2kπ，π2+2kπ]，k ∈Z ．解：令t ＝2sin x −√3＞0，得sin x ＞√32，则π3+2kπ＜x ＜2π3+2kπ，k ∈Z ．函数t ＝2sin x −√3在（π3+2kπ，π2+2kπ]，k ∈Z 上为增函数，又f （x ）＝log 2t 是定义域内的增函数，∴函数f(x)=log 2(2sinx −√3)的单调增区间是（π3+2kπ，π2+2kπ]，k ∈Z ．故答案为：（π3+2kπ，π2+2kπ]，k ∈Z ．15．在直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，AC 上有一动点P （异于B ，C ），将△ABP 沿AP 折起，使得三棱锥A ﹣PBC 的顶点A 在底面PBC 上的投影M 恰好落在线段BC 上，则BM 长度的范围 （√2，2） ． 解：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC =√22+22=2√2， 折叠后的图形如图所示，∵三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，∴AM ⊥BC ， ∴在Rt △AMB 中，BM ＜AB ＝2，在△ABC 折叠前，如图，作AM 1⊥BC 于点M 1，在折叠过程中，随着点D 不断靠近点C ，点M 也不断靠近点M 1， ∴BM ＞BM 1＝AB cos45°＝2×√22=√2， ∴BM ∈（√2，2），∴BM 长度的范围为（√2，2）． 故答案为：（√2，2）． 16．已知锐角△ABC 中，a 2−b 2c 2=2cosC ，则a2bcos 2B的取值范围 （1，43） ．解：锐角△ABC 中，a 2−b 2c 2=2cos C ，由正弦定理得sin 2A ﹣sin 2B ＝2sin C 2cos C ＝sin2C sin C ， 又因为sin 2A ﹣sin 2B ＝sin 2A ﹣sin 2A sin 2B ﹣sin 2B +sin 2A sin 2B ＝sin 2A （1﹣sin 2B ）﹣sin 2B （1﹣sin 2A ） ＝sin 2A cos 2B ﹣sin 2B cos 2A＝（sin A cos B +cos A sin B ）（sin A cos B ﹣cos A sin B ） ＝sin （A +B ）sin （A ﹣B ） ＝sin C sin （A ﹣B ）， 所以sin （A ﹣B ）＝sin2C ，当A ﹣B ＝2C 时，因为A +B +C ＝π，所以2A ＝π+C ，因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＜π2，2A ＜π，所以A ﹣B ＝2C 不成立； 当2C +A ﹣B ＝π时，因为A +B +C ＝π，所以C ＝2B ， 因为△ABC 是锐角三角形，所以C ＝2B ＜π2，B +C ＝3B ＞π2， 所以π6＜B ＜π4，所以C ＝2B ∈（π3，π2），所以A ∈（π4，π2），由正弦定理得，a2bcos 2B=12•sinAsinBcos 2B=12•sin3B sinBcos 2B=12•sin(B+2B)sinBcos 2B=12•sinBcos2B+cosBsin2BsinBcos 2B=12•sinB(cos 2B−sin 2B)+2cos 2BsinB sinBcos 2B =12•3cos 2B−sin 2B cos 2B=12（3﹣tan 2B ），又因为tan B ∈（√33，1），所以tan 2B ∈（13，1），所以3﹣tan 2B ∈（2，83），所以a2bcos 2B的取值范围是（1，43）．故答案为：（1，43）．四、解答题（本题共6题，总分70分）17．（10分）如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点． （1）求作过D 1，E ，F 三点的截面（写出作图过程）； （2）求截面图形的面积．解：（1）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，画直线EF 与DA ，DC 的延长线分别交于点M ，N ，连接D1M，D1N，分别与棱AA1，CC1交于点G，H，连接EG，FH，如图1，抹去MA，ME，MG和NC，NF，NH得过D1，E，F三点的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面五边形D1GEFH，如图2，（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别为棱AB，BC的中点，由（1）及图1知，ME=NF=EF=√2，即MN=3√2，AM=AE=1，则DM＝3，D1N=D1M=√DM2+DD12=√13，等腰△D1MN底边MN上的高ℎ=√D1M2−(12MN)2=√13−(322)2=√342，△D1MN的面积SΔD1MN =12MN⋅ℎ=12×3√2×√342=3√172，由AG∥DD1，得MGMD1=MAMD=13，即有MGMD1=13=MEMN，因此△MEG∽△MND1，于是S△MEG=19S△D1MN，同理S△NFH=19S△D1MN，所以截面五边形D1GEFH的面积S=S△D1MN −2S△NFH=79S△D1MN=7√176．18．（12分）某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数、中位数、平均数；（2）学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数．解：（1）2×（0.005+0.055+0.09+0.15+a +0.08+0.015+0.005）＝1， 解得a ＝0.1，这300名员工日行步数x 的样本众数为8+102=9，因为2×（0.005+0.055+0.09）＝0.3＜0.5，2×（0.005+0.055+0.09+0.15）＝0.6＞0.5， 所以中位数落在区间[8，10），设中位数为m ， 则0.3+（m ﹣8）×0.15＝0.5，解得m =283， 所以300名员工日行步数x 的样本中位数为283这300名员工日行步数x 的样本平均数为x =2×0.005×3+2×0.055×5+2×0.09×7+2×0.15×9+2×0.1×11+2×0.08×13+2×0.015×15+2×0.005×17＝9.44；（2）步数大于或等于13000步的频率为2×（0.015+0.005）+（14﹣13）×0.08＝0.12， 估计全校获得加分的人数为3000×0.12＝360人．19．（12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos （A ﹣C ）+cos B ＝1，b 2＝ac ． （1）求B ；（2）若b ＝2，求△ABC 的周长．解：（1）由于cos （A ﹣C ）+cos B ＝1，整理得cos （A ﹣C ）﹣cos （A +C ）＝1，化简得：cos A cos C +sin A sin C ﹣cos A cos C +sin A sin C ＝1， 所以2sin A sin C ＝1，由于b 2＝ac ，利用正弦定理sin 2B ＝sin A sin C ，所以sin 2B =12，故sin B =√22； 故B =π4或3π4．（2）由（1）得：B =π4或3π4．①当B =π4时，据余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，所以4=a 2+c 2−2ac ⋅√22， 整理得a 2+c 2−√2ac =4， 由于ac ＝b 2＝4，故(a +c)2=a 2+c 2+2ac =4+4√2+8=12+4√2， 所以a +c =√12+4√2．故a +b +c ＝2+√12+4√2．②当B =3π4时，据余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，所以4=a 2+c 2+2ac ⋅√22， 整理得a 2+c 2+√2ac =4，所以a 2+c 2=4−4√2＜0（出现矛盾） 所以a +c =√12+4√2．故a +b +c ＝2+√12+4√2．20．（12分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为45，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率：（1）第一轮射击中恰好有一人中靶； （2）经过两轮射击，两人共中靶3次．解：（1）设“甲中靶”为事件A ，“乙中靶”为事件B ，所以第一轮射击中恰好有一人中靶的概率P 1＝P （A B ）+P （A B ）=34×15+14×45=720． （2）经过两轮射击，两人共中靶3次分两种情况：甲中靶2次，乙中靶1次；甲中靶1次，乙中靶2次，其中甲中靶2次，乙中靶1次的概率为34×34×45×15×2=72400，甲中靶1次，乙中靶2次的概率为34×14×2×45×45=96400，所以P 1=72400+96400=168400=2150． 21．（12分）如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2a ，AD =√2a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa （0＜λ≤2），（1）若λ＝1，求AC 和BE 所成角的余弦值；（2）设二面角C ﹣AE ﹣D 的大小为θ，直线BE 与平面SCD 所成的角为φ，求出tanφtanθ的最大值，并指出此时的λ取值解：（1）连接BD，因为SD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以AC⊥SD，因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又SD∩BD＝D，所以AC⊥面SBD，又BE⊂面SBD，所以AC⊥BE，所以直线AC和直线BE所成的角为直角，其余弦值为0．（2）如图，连接BE，CE，AE，因为SD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以SD⊥BC，因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥CD，又SD∩CD＝D，所以BC⊥面SCD，所以φ＝∠BEC，tanφ=BC CE，过点D作DF⊥AE交AE于F，连接AF，因为SD⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，所以SD⊥CD，因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，又SD∩AD＝D，所以CD⊥面SAD，又AE ⊂面SAD ， 所以CD ⊥AE ，因为DF ⊥AE ，CD ∩DF ＝D ， 所以AE ⊥面CDF ， 又CF ⊂面CDF ， 所以AE ⊥CF ， 所以θ＝∠CFD ，tan θ=CD DF， 因为AD =√2a ，DE ＝λa ， 所以tanφtanθ=BC CE •DFCD =DFCE=AD⋅DE AEAE=AD⋅DE AE 2=AD⋅DEAD 2+DE 2=√2a⋅λa (√2a)2+(λa)2=√2λ2+λ2=√22λ+λ≤√222=12，当且仅当2λ=λ，即λ=√2时，取等号，所以tanφtanθ的最大值为12．22．（12分）已知函数f(x)=log 2(4x +1)+ax 是偶函数． （1）求实数a 的值； （2）若函数g （x ）＝22x +2﹣2x+m •2f（x ）的最小值为﹣3，求实数m 的值；（3）当k 为何值时，讨论关于x 的方程[f （x ）﹣1+k ][f （x ）﹣1﹣4k ]+2k 2+k ＝0的根的个数．（请写出详细解答过程）解：（1）f(−x)=log 2(4−x +1)−ax =f(x)=log 2(4x +1)+ax ⇒2ax +log 2(4x +1)−log 2(4−x +1)=0，而log 2(4x+1)−log 2(4−x+1)=log 24x +14−x +1=log 2(4x +1)⋅4x (4−x +1)⋅4x =log 2(4x +1)⋅4x4x+1=log 24x =2x ， ∴2ax +2x ＝0⇒a ＝﹣1； （2）f(x)=log 2(4x +1)−x ， ∴2f(x)=2log 2(4x +1)−x=4x+12x =2x +2−x ，故函数g （x ）＝22x +2﹣2x+m （2x +2﹣x ）的最小值为﹣3，令2x +2﹣x ＝t （t ≥2），故h （t ）＝t 2+mt ﹣2（t ≥2）的最小值为﹣3，等价于{−m2≤2ℎ(2)=2m +2=−3，或{−m2＞2ℎ(−m 2)=−m 24−2=−3， 解得m =−52；（3）由f(x)=log 2(4x+1)−x =log 24x+12x =log 2(2x +12x )，令φ(x)=2x +12x (x ≥0)，x 2＞x 1≥0， 有φ(x 2)−φ(x 1)=(2x 2+12x 2)−(2x 1+12x 1)=2x 2−2x 1+12x 2−12x 1=2x 2−2x 1+2x 1−2x22x 1+x 2=(2x 2−2x 1)(2x 1+x2−1)2x 1+x2． 由x 2＞x 1≥0，有2x 2−2x 1＞0，2x 1+x 2＞20=1，可得φ（x 2）＞φ（x 1），可知函数φ（x ）为增函数，故当x ≥0时，函数f （x ）单调递增， 由函数f （x ）为偶函数，可知函数f （x ）的增区间为[0，+∞），减区间为（﹣∞，0）， 令n ＝f （x ）﹣1，有n ≥f （0）﹣1＝log 22﹣1＝0，方程[f （x ）﹣1+k ][f （x ）﹣1﹣4k ]+2k 2+k ＝0（记为方程①）可化为（n +k ）（n ﹣4k ）+2k 2+k ＝0， 整理为n 2﹣3kn ﹣2k 2+k ＝0（记为方程②），Δ＝9k 2﹣4（﹣2k 2+k ）＝17k 2﹣4k ， ①当Δ＜0时，有0＜k ＜417，此时方程②无解，可得方程①无解； ②当Δ＝0时，k ＝0时，方程②的解为n ＝0，可得方程①仅有一个解为x ＝0； k =417时，方程②的解为n =617，可得方程①有两个解； ③当Δ＞0时，可得k ＞417或k ＜0， 1°当方程②有零根时，k =12，此时方程2还有一根为n =32，可得此时方程①有三个解；2°当方程②有两负根时，{x 1+x 2=3k ＜0x 1x 2=k −2k 2＞0，可得{k ＜00＜k ＜12，不可能；3°当方程②有两正根时，可得0＜k ＜12，又由Δ＞0，可得417＜k ＜12，此时方程①有1个根；4°当方程2有一正根一负根时，x 1x 2=k −2k 2＜0，可得k ＞12或k ＜0， 又由Δ＞0，可得k ＞12或k ＜0，此时方程①有两个根， 由上知：当k ＝0时，方程①有一个根；当0＜k＜417时，方程①没有根；当k=417或k＜0或k＞12时，方程①有两个根；当k=12时，方程①有三个根；当417＜k＜12时，方程①有四个根．第21页（共21页）。
湖北省武汉市外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷
湖北省武汉市外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．下列图形中具有稳定性是（）．正方形．平行四边形．梯形．直角三角形．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠的度数是（）A．88︒B．94︒6．下列各式中计算结果为x6的是（）A．24x x+B．()32x-7．从n边形的一个顶点出发，可以作7条对角线，则A ．2B ．39．如图，△ABC 中，AB ＝AD A ．20°B ．40°10．如图，在四边形ABCD 中，且四边形ABCD 的面积是18，则A ．92B ．6二、填空题11．计算()23442a a a a ⋅⋅+-的结果是12．已知x +y =3，x 2+y 2=23，（x -y ）13．已知等腰三角形的一边长等于14．已知()221162x t x mx -=-+，则15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°BC 的延长线上，CE 平分∠ACM 上一点，满足CG ＝CF ，连接DG②∠DHF =60°；③若∠A =60°，则AB ∥CE ；④若BE 平分∠ABC 中，则EB 平分∠DEC ；正确的有_____（只填序号）16．如图，在四边形ABCD 中，AC 是四边形的对角线，30CAD ∠= ，过点C 作CE AB ⊥于点E ，260B BAC ACD BAC ∠=∠∠+∠= ，，若AB 的长度比CD 的长度多3，则BE 的长为______．三、解答题17．计算下列各题：(1)()2215105x y xy xy-÷(2)210011006994-⨯18．先化简，再求值．(1)()()()()221313151m m m m m ---++-，其中2m =-；(2)已知：2240m m --=，求代数式()()()2332m m m +-+-的值．19．如图，在△ABC 中，△ABC 的周长为26cm ，∠BAC ＝140°，AB ＋AC ＝12cm ，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，与AB 、AC 分别交于点D 、G 求：(1)∠EAF 的度数；(2)求△AEF 的周长(1)求CED ∠的度数；(2)若15AE CE ==，，求22．我们知道，在学习了课本阅读材料：图形的面积能解释得出代数恒等式，请你解答下列问题：(1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形到代数恒等式：()2a b c ++=；(2)已知22211a b c a b c ++=++，(3)若n 、t 满足如下条件：()()(222020202221n n n -+-++()()(2020202222020n n n --+-23．在Rt ABC △中，90BAC ∠=(1)如图1，D 、E 分别在BC ，BA 的延长线上，2ADE CAD ∠=∠；求证：(2)如图2，在（1）的条件下，点F 在BD 上，AFB EFD ∠=∠，求证：FAD ∠(3)如图3，若AB AC =，过点C 作CN AB ∥，连AN ，在AN 上取点G ，使连BG 交AC 于H ，连CG ，试探究线段CN 、CH 、GN 之间满足的数量关系式，并给出证明．24．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为0a （，）．(1)如图1，当4a =时，若点C 的坐标为x y （，），ABC 是等腰直角三角形，。
2018-2019学年湖北省武汉市九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（）A．3x2+1＝6x B．3x2﹣1＝6x C．3x2+6x＝1 D．3x2﹣6x＝1 2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2 4．（3分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（）A．两枚骰子向上一面的点数之和大于1B．两枚骰子向上一面的点数之和等于1C．两枚骰子向上一面的点数之和大于12D．两枚骰子向上一面的点数之和等于125．（3分）已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定6．（3分）如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD 的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣9．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．若于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知3是一元二次方程x2＝p的一个根，则另一根是．12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称点的坐标是．13．（3分）一个口袋有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白秋数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，再放回口袋中，…，不断重复上述过程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明正估计口袋中的白球的个数是．14．（3分）第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉矩形，小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片．如图，该照片（中间的矩形）长29cm、宽为20cm，她想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框（阴影部分），且镜框所占面积为照片面积的．为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为．15．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加m．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣3x﹣1＝0．18．（8分）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．19．（8分）武汉的早点种类丰富，品种繁多，某早餐店供应甲类食品有：“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A、B、C、D）；乙类食品有：“米粑粑”、“烧梅”、“欢喜坨”、“发糕”（分别记为E、F、G、H），共八种美食．小童和小郑同时去品尝美食，小童准备在“热干面”、“面窝”、“米粑粑”、“烧梅”（即A、B、E、F）这四种美食中选择一种，小郑准备在“生煎包”、“锅贴饺”、“欢喜坨”、“发糕”（即C、D、G、H）这四种美食中选择一种，用列举法求小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率．20．（8分）如图，在边长为1的正方形网格中，A（1，7）、B（5，5）、C（7，5）、D（5，1）．（1）将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE．当BE与CD第一次平行时，画出点A运动的路径，并直接写出点A运动的路径长；（2）线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．22．（10分）某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y （件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝25时，y＝550；当x＝30时，y＝500．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元/件．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？（3）直接写出商家销售该商品每天获得的最大利润．23．（10分）如图，等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C，其中∠EDC＝120°，AB＝CE＝2，连接BE，P为BE的中点，连接PD、AD（1）为了研究线段AD与PD的数量关系，将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度，使CE与CA重合，如图2，请直接写出AD与PD的数量关系；（2）如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若∠ACD＝45°，求△PAD的面积．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（1﹣m）x﹣m交x轴于A、B 两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C（1）如图1，m＝3．①直接写出A、B、C三点的坐标．②若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（2）如图2，过点E（m，2）作一直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，求证：OM•ON是一个定值．2018-2019学年湖北省武汉市部分学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：3x2﹣6x+1＝0，其二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1，故选：A．2．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．3．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2．故选：A．4．【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和大于1，是必然事件，故此选项错误；B、两枚骰子向上一面的点数之和等于1，是不可能事件，故此选项错误；C、两枚骰子向上一面的点数之和大于12，是不可能事件，故此选项错误；D、两枚骰子向上一面的点数之和等于12，是随机事件，故此选项正确；故选：D．5．【解答】解：∵⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，∴直线l和⊙O相离，∴直线l与⊙O没有公共点．故选：A．6．【解答】解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．7．【解答】解：画树状图，如图所示：所有等可能的情况数有8种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有3种，则P＝．故选：B．8．【解答】解：如图，连接OD．由题意：OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝∠AOD＝60°，∵∠ADC＝∠AOB＝120°，∴∠ADO+∠ADC＝180°，∴O，D，C共线，∴图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S扇形ODB＝×1×﹣＝﹣，故选：B．9．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax＝b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．10．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1 ∴﹣＝﹣1，解得b＝2a．又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c解得，c＝﹣8a．∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0）对称轴h＝﹣1，最大值k＝＝﹣9a如图所示，顶点坐标为（﹣1，﹣9a）令ax2+2ax﹣8a＝0即x+2x﹣8＝0解得x＝﹣4或x＝2∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（﹣4，0）与（2，0）∴ax2+bx+c＝p即常函数直线y＝p，由p＞0∴0＜y≤﹣9a由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1 ∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有5个．又∵x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于直线x＝﹣1轴对称当x＝﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．所以p值可以有3个．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．【解答】解：把x＝3代入x2＝p，得p＝32＝9．则原方程为x2＝9，即x2﹣9＝0．设方程的另一根为x，则3x＝﹣9．所以x＝﹣3．故答案是：﹣3．12．【解答】解：点（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．13．【解答】解：3÷＝12（个）．故答案为：12．14．【解答】解：根据题意可得：2（29+2x）•x+20x•2＝20×29×，整理得：4x2+98x﹣145＝0．故答案是：4x2+98x﹣145＝0．15．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了6﹣4＝2米，故答案为：2．16．【解答】解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．当CF与圆相切时，AF最大．此时FA＝FG，BC＝CG．设AF＝x，则DF＝4﹣x，FC＝4+x，在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：42+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得x＝1．故答案为1．三、解答题（共8题，共72分）17．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，∴x1＝，x2＝．18．【解答】证明：∵AD＝CB，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．19．【解答】解：根据题意画树状图如下：由树状图可知，所有可能出现的结果共有16种，并且这些结果出现的可能性相等，小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的结果共有4种，则小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率是＝．20．【解答】解：（1）点A运动的路径如图所示，出点A运动的路径长为＝；（2）如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．21．【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．在△OAC和△OAB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS），∴∠OAC＝∠OAB，∴AO平分∠BAC，∴AO⊥BC．又∵AD∥BC，∴AD⊥AO，∴AD是⊙O的切线．（2）①证明：如图2，连接AE．∵∠BCE＝90°，∴∠BAE＝90°．又∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°．∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，∴∠BAG＝∠AEB．∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠BAG＝∠ABC，∴AG＝BG．②解：在△ADC和△AFB中，，∴△ADC≌△AFB（AAS），∴AF＝AD＝2，BF＝CD＝3．设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝3，BG＝AG＝x+2，∴FG2+BF2＝BG2，即x2+32＝（x+2）2，∴x＝，∴FG＝．22．【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意可得，解得：，则y＝﹣10x+800；（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，∵销售单价最高不能超过48元/件，∴x＝40，答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；（3）利润w＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣80）（x﹣20），∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝50时，w最大值为9000．23．【解答】解：（1）如图2中，由题意：在Rt△APD中，∠APD＝90°，∠PAD＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：如图1中，延长ED到F，使得DF＝DE，连接BF，CF．∵BP＝EP，DE＝DF，∴BF＝2PD，BF∥PD，∵∠EDC＝120°，∴∠FDC＝60°，∵DF＝DE＝DC，∴△DFC是等边三角形，∵CB＝CA，∠BCA＝∠DCF＝60°，∴∠BCF＝∠ACD，∵CF＝CD，∴△BCF≌△ACD（SAS），∴BF＝AD，∴AD＝2PD．（3）如图1中，延长BF交AD于G，由（2）得到∠FBC＝∠DAC，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∵DP∥BG，∴∠ADP＝∠AGB＝60°，如图3中，作DM⊥AC于M，PN∠AD于N．在等腰△CDE中，∵CE＝2，∠CDE＝120°，∴CD＝DE＝2，∵∠ACD＝45°，∴CM＝DM＝2．AM＝2﹣2，在Rt△ADM中，AD2＝（2﹣2）2+22＝32﹣8．在Rt△PAD中，S△PAD＝•AD•PN＝AD2＝4﹣3．24．【解答】解：（1）①当m＝3时，y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）②如图1，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，∵∠ACD＝45°，∴AC＝AK，∵∠AOC＝∠KHA＝90°，∠ACO＝90°﹣∠OAC＝∠KAH，∴△OAC≌△HKA（AAS），∴AH＝CO＝3，KH＝OA＝1，∴K（2，1），设直线CD的解析式为y＝kx﹣3∴2k﹣3＝1，∴k＝2，∴设直线CD的解析式为y＝2x﹣3，联立，解得x＝0（舍去），或x＝4，∴D（4，5）（2）∵y＝x2+（1﹣m）x﹣m，当y＝0时，x2+（1﹣m）x﹣m＝0，解得x＝﹣1或x＝m，∴A（﹣1，0），B（m，0），∵过点E（m，2）作一直线交抛物线于P、Q两点，设直线PQ的解析式为y＝ax+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），∴2＝am+b，b＝2﹣am，∴直线PQ的解析式为y＝ax+2﹣am，联立，消去y，得：x2+（1﹣m﹣a）x+am﹣m+2＝0，∴x1+x2＝a+m﹣1，x1•x2＝am﹣m﹣2，如图2，作PS⊥x轴于点S，作QT⊥x轴于点T，则△AMO∽△APS，∴，即∴OM＝x1﹣m，同理，ON＝﹣（x2﹣m），∴OM•ON＝﹣（x1﹣m）（x2﹣m）＝＝﹣[am﹣m﹣2﹣m（a+m ﹣1）+m2]＝2，为定值．。
2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级(上)期中数学试卷(含答案)
2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共计30分1．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）A．正方形B．直角三角形C．长方形D．平行四边形2．（3分）大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（ ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4．（3分）如图，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF5．（3分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA6．（3分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A．PQ＞6B．PQ≥6C．PQ＜6D．PQ≤67．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°8．（3分）已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（ ）A．1B．﹣1C．2021D．﹣20219．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）A．∠OBD＝120°B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为BC的中点，CE⊥AM于点E，其延长线交AB于点D，连接DM．下列结论：①∠AMC＝∠DMB，②DC+DM＝AM，③∠ADC＝∠BDM，④CE＝BD，⑤∠AMD＝2∠DCM．其中正确的个数有（ ）个．A．5B．4C．3D．2二.填空题（每小题3分，共计18分）11．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 边形．12．（3分）一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是 ．13．（3分）AM为△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AM的取值范围是 ．14．（3分）在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 ．15．（3分）在如图所示的6×5网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC 有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 ．16．（3分）如图，锐角△ABC中，∠A＝30°，BC=72，△ABC的面积是63，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是 ．三.解答题（本题共计72分）17．（8分）已知等腰△ABC的周长为20，一边长为6，求另两边的长．18．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．20．（8分）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣1，2）．（1）请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？（直接写答案）（2）作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A′、B′、C′三点坐标．（3）在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．21．（8分）如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD交于F．（1）求证：∠ABC +∠ADC ＝180°；（2）若AF ＝5，DF ＝2，求AB 的长．22．（10分）如图，AD 为△ABC 的角平分线．（1）如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB ＝7，AC ＝5．则BE ＝ ；（2）如图2，BG ⊥AD 于点G ，连接CG ，若△ACG 的面积是5，求△ABC 的面积；（3）如图3，若∠C ＝2∠B ，AB ＝m ，AC ＝n ，则BD 的长为 ．（用含m ，n 的式子表示）23．（10分）在△ABC 中，BE ，CD 为△ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：∠BFC ＝90°+12∠A ；（2）已知∠A ＝60°，①如图1，若BD ＝4，BC ＝6.5，求CE 的长；②如图2，若BF ＝AC ，求∠AEB 的大小．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，过点B （3，3）向坐标轴作垂线，垂足分别是点A 和点C ，点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E．（1）若点D的坐标为（t，0），求点E的坐标（用含t的式子表示）；（2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究∠DEC与∠AFD的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点M是x轴负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且DM＝DN＝AB，ND交AO于点G，求△OGD的周长．2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共计30分1．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）A．正方形B．直角三角形C．长方形D．平行四边形【解答】解：直角三角形有稳定性，故选：B．2．（3分）大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．3．（3分）一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（ ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4．故选：B．4．（3分）如图，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF【解答】解：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项不符合题意；B、BC＝DE，不是对应边相等，故本选项不符合题意；C、AB＝EF，不是对应边相等，故本选项不符合题意；D、∵AF＝CD，∴AC＝DF，又∵∠A＝∠D，∠1＝∠2，∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项符合题意；故选：D．5．（3分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：△OAB与△OA′B′中，∵AO＝A′O，∠AOB＝∠A′OB′，BO＝B′O，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．故选：B．6．（3分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A．PQ＞6B．PQ≥6C．PQ＜6D．PQ≤6【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，∴点P到OB的距离为6，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥6．故选：B．7．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°【解答】解：A．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，∴∠C＝180°×714=90°，∴该三角形是直角三角形；C．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A＝180°×611＞90°，∴该三角形是钝角三角形；D．∵∠A＝9°，∠B＝81°，∴∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；故选：C．8．（3分）已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（ ）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021【解答】解：∵P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，∴m―1=2m―4 n+2=―2，解得m＝3，n＝﹣4，∴（m+n）2021＝（3﹣4）2021＝﹣1．故选：B．9．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）A．∠OBD＝120°B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，∴OA∥BD，故选项A，B，都不符合题意，∵OC＝BD，∴OB＝BC+OC＝BC+DB，∵OB＝AB，∴CB+BD＝AB，故C选项不符合题意，∵∠OAB＝∠CAD＞∠BAD，∴AB不平分∠OAD，故选项D符合题意，故选：D．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为BC的中点，CE⊥AM于点E，其延长线交AB于点D，连接DM．下列结论：①∠AMC＝∠DMB，②DC+DM＝AM，③∠ADC＝∠BDM，④CE＝BD，⑤∠AMD＝2∠DCM．其中正确的个数有（ ）个．A．5B．4C．3D．2【解答】解：作BG⊥CB，交CD的延长线于点G，过点B作BH⊥CG于H，如图所示：∵∠CBG＝90°，CE⊥AM，∴∠CAM+∠AMC＝∠BCG+∠AMC＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，在△ACM和△CBG中，∠CAM=∠BCGAC=BC，∠ACM=∠CBG∴△ACM≌△CBG（ASA），∴AM＝CG，CM＝BG，∠CMA＝∠CGB，∵CM＝BM，∴BG＝BM，∵∠ABC＝45°，∴∠MBD＝∠GBD=12∠CBG，在△BDG和△BDM中，BG=BM∠GBD=∠MBDBD=BD，∴△BDG≌△BDM（SAS），∴∠DGB＝∠DMB，∠BDG＝∠BDM，DM＝DG，∴∠AMC＝∠DMB，∠ADC＝∠BDG＝∠BDM．AM＝CG＝CD+DG＝CD+DM，故①②③正确，∵△ACM≌△CBG，∴S△ACM＝S△CBG，∴12×AM×CE=12CG×BH，∴CE＝BH，在Rt△BDH中，BD＞BH，∴BD＞CE，故④错误，∵∠AMD+∠BMD+∠AMC＝180°，∠DCM+∠AMC＝90°，∠AMC＝∠BMD，∴∠AMD＝2∠DCM，故⑤正确，故选：B．二.填空题（每小题3分，共计18分）11．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 九 边形．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180＝1260，解得n＝9．12．（3分）一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是 80°或20° ．【解答】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；（2）当80°为底角时，顶角＝180°﹣2×80°＝20°．故答案为：80°或20°．13．（3分）AM为△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AM的取值范围是 1＜AM＜5 ．【解答】解：如图，延长AM到E，使ME＝AM，∵AM是BC边上的中线，∴BM＝CM，在△ABM和△ECM中，BM=CM∠AMB=∠EMCME=AM，∴△ABM≌△ECM（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝4，AC＝6，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AM＜5．故答案为：1＜AM＜5．14．（3分）在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 2 ．【解答】解：设P到△ACB的三边的距离为x，由三角形的面积公式得，12×5×12=12×5×x+12×12×x+×13×x，解得，x＝2，故答案为：2．15．（3分）在如图所示的6×5网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC 有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 7 ．【解答】解：以AB 为公共边的三角形有△ABG ，△ABH ，△ABM ，以AC 为公共边的三角形有△ACD ，△ACE ，△ACN ，以BC 为公共边的三角形有△BCF ，3+3+1＝7，故答案为：7．16．（3分）如图，锐角△ABC 中，∠A ＝30°，BC =72，△ABC 的面积是63，D ，E ，F 分别是三边上的动点，则△DEF 周长的最小值是 2437 ．【解答】解：如图，作E 关于AB 的对称点M ，作E 关于AC 的对称点N ，连接AE ，MN ，MN 交AB 于F ，交AC 于D ，由对称性可知：DE ＝DN ，EF ＝MF ，AE ＝AM ＝AN ，∴△DEF 的周长DE +EF +FD ＝DM +DF +FN ，∴当点E 固定时，此时△DEF 的周长最小，∵∠BAC ＝30°，∠BAE ＝∠BAM ，∠CAE ＝∠CAN ，∴∠MAN ＝60°，∴△MNA 是等边三角形，∴MN ＝AE ，∴当AE 的值最小时，MN 的值最小，根据垂线段最短可知：当AE ⊥BC 时，AE 的值最小，∵BC =72，△ABC 的面积是63，∴12BC •AE ＝63，∴此时AE =2437，∴MN 的最小值为2437，∴△DEF 的周长的最小值为2437，故答案为：2437．三.解答题（本题共计72分）17．（8分）已知等腰△ABC 的周长为20，一边长为6，求另两边的长．【解答】解：当腰为6时，则另两边长为6、20﹣6×2＝8，此时三边满足三角形三边关系，即此时三角形的另两边为6，8；当底边为6时，则另两边长为12（20﹣6）＝7，此时三边满足三角形三边关系，即此时三角形的另两边为7，7；综上可知三角形的另两边长为6，8或7，7．18．（8分）如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，AD ＝8，DE ＝6，求BE 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCD ＝90°∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠D＝∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝8，BE＝CD，∵EC＝CD+DE，∴BE＝CE﹣DE＝8﹣6＝2．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵AB＝AD，在三角形ABD中，∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×12=77°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C=12∠ADB=77°×12=38.5°．20．（8分）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣1，2）．（1）请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？（直接写答案）（2）作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A′、B′、C′三点坐标．（3）在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：△ABC与△A′B′C′关于y轴对称；（2）如图，△A1B1C1即为所求，A′（2，1）、B′（1，2）、C′（3，3）；（3）如图，点M即为所求．M（﹣1，0）．21．（8分）如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD交于F．（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；（2）若AF＝5，DF＝2，求AB的长．【解答】证明：（1）如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，、∵CA平分∠BAD，∴∠EAC＝∠FAC，在△ACE和△ACF中，∠CAE=∠CAF∠CEA=∠CFA，AC=AC∴△ACE≌△ACF（AAS），∴AF＝AE，CE＝CF，在Rt △CBE 和Rt △CDF 中，CE =CFBC =CD ，∴Rt △CBE ≌Rt △CDF （HL ），∴∠ADC ＝∠CBE ，∵∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠ADC +∠ABC ＝180°；（2）∵Rt △CBE ≌Rt △CDF ，∴DF ＝BE ＝2，∵△ACE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ＝5，∴AB ＝AE ﹣BE ＝3．22．（10分）如图，AD 为△ABC 的角平分线．（1）如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB ＝7，AC ＝5．则BE ＝ 2 ；（2）如图2，BG ⊥AD 于点G ，连接CG ，若△ACG 的面积是5，求△ABC 的面积；（3）如图3，若∠C ＝2∠B ，AB ＝m ，AC ＝n ，则BD 的长为 m 2n―m ．（用含m ，n 的式子表示）【解答】解：（1）∵AD 是△ABC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵CE ⊥AD ，∴∠CFA ＝∠EFA ，在△AEF 和△ACF 中，∠EAF =∠CAFAF =AF ∠AFE =∠AFC，∴△AEF ≌△ACF （ASA ），∴AE＝AC＝5，∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，故答案为：2；（2）延长BG、AC交于点H，由（1）知AB＝AH，点G为BH的中点，设S△BGC＝S△HGC＝a，根据△ABH的面积可得：S△ABC+2a＝2（5+a），∴S△ABC＝10；（3）在AB上取AN＝AC，∵AD是△ABC的平分线，∴∠NAD＝∠CAD，在△ADN与△ADC中，AN=AC∠NAD=∠CAD，AD=AD∴△ADN≌△ADC（SAS），∴∠AND＝∠C，DN＝CD，∵∠C＝2∠B，∴∠AND＝2∠B，∴∠B ＝∠BDN ，∴BN ＝DN ＝AB ﹣AC ＝m ﹣n ，∴CD ＝DN ＝m ﹣n ，根据△ABD 和△ACD 的高相等，面积比等于底之比可得：BD CD =AB AC，∴BDm ―n =m n ，∴BD =m 2n―m ，故答案为：m 2n ―m ．23．（10分）在△ABC 中，BE ，CD 为△ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：∠BFC ＝90°+12∠A ；（2）已知∠A ＝60°，①如图1，若BD ＝4，BC ＝6.5，求CE 的长；②如图2，若BF ＝AC ，求∠AEB 的大小．【解答】（1）证明：∵BE ，CD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABE ＝∠CBE =12∠ABC ，∠ACD ＝∠BCD =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB +∠A ＝180°，∴∠FBC +∠FCB =12（180°﹣∠A ），∴∠BFC ＝180°―12（180°﹣∠A ）＝90°+∠A 2；（2）解：①如图1，在BC 上截取BH ＝BD ，连接FH ，当∠A＝60°时，∴∠BFC＝90°+30°＝120°，∴∠DFB＝∠CFE＝60°，在△BFD和△BFH中，BD=BH∠FBD=∠FBH，BF=BF∴△BFD≌△BFH（SAS），∴∠DFB＝∠BFH＝60°，∴∠CFE＝∠CFH＝60°，在△CFE和△CFH中，∠ECF=∠HCFCF=CF，∠EFC=∠HFC∴△CFE≌△CFH（ASA），∴CE＝CH，∴BC＝BH+CH＝BD+CE，∴CE＝BC﹣BD＝6.5﹣4＝2.5；②如图2，延长CD，使NF＝BF，连接BN，∵NF＝BF，∠BFD＝60°，∴△BFN是等边三角形，∴BF＝BN＝NF，∠N＝∠NBF＝60°，∵BF＝AC，∠A＝∠N＝60°，∴BN＝AC，在△BND和△ACD中，∠N=∠A∠NDB=∠ADC，NB=AC∴△BND≌△ACD（AAS），∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∴∠DCB＝2∠CBF，∵∠DFB＝∠DCB+∠FBC＝60°，∴∠FBC＝20°，∠DCB＝40°＝∠ACD，∴∠AEB＝∠FBC+∠ACD+∠DCB＝100°．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，过点B（3，3）向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C，点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E．（1）若点D的坐标为（t，0），求点E的坐标（用含t的式子表示）；（2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究∠DEC与∠AFD的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点M是x轴负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且DM＝DN＝AB，ND交AO于点G，求△OGD的周长．【解答】解：（1）如图，过点E作EH⊥x轴于点H，则∠DHE＝∠AOD＝90°，∴∠OAD+∠ODA＝90°，∵点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，∴∠ADE＝90°，AD＝DE，∴∠EDH+∠ODA＝90°，∴∠OAD＝∠EDH，∴△DHE≌△AOD（AAS），∴DH＝OA，EH＝OD，∵D（t，0），∴OD＝t，∴EH＝t，∵BA⊥OA，BC⊥OC，BA＝BC，∠AOC＝90°，∴四边形OABC是正方形，∴OA＝OC＝AB＝BC＝3，∴OH＝OD+DH＝OD+OA＝t+3，∴E（t+3，t）；（2）∠DEC+∠AFD＝90°，理由如下：由（1）得：四边形OABC是正方形，如图，过点E作EH⊥x轴于点H，将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABP，则∠BAP＝∠OAD，AD＝AP，由（1）得∠ADE＝90°，AD＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠DEA＝45°，∴∠FAP＝∠BAF+∠BAP＝∠BAF+∠OAD＝∠OAB﹣∠DAE＝45°，∴∠FAP＝∠DAE，∴△FAP≌△FAD（SAS），∴∠AFD＝∠AFP，由（1）得EH＝OD，DH＝OA＝OC，∴DH﹣CD＝OC﹣CD，∴CH＝OD，∴CH＝EH，∴△ECH是等腰直角三角形，∴∠ECH＝45°，∴∠BCE＝∠BCH﹣∠ECH＝45°，∵∠BCE+∠CEF+∠CFE＝180°，∴∠BCE+∠DEC+∠AED+∠CFE＝180°，∴45°+∠DEC+45°+∠CFE＝180°，∴∠DEC+∠CFE＝90°，∵∠CFE＝∠AFP＝∠AFD，∴∠DEC+∠AFD＝90°；（3）如图，连接BD，BG，过点B作BQ⊥DG于点Q，由（1）得四边形OABC是正方形，OA＝AB＝BC＝OC＝3，∵DM＝DN＝AB，∴∠DMN＝∠DNM，DM＝OC，∴DM﹣OD＝OC﹣OD，∴OM＝CD，∴△BDC≌△AMO（SAS），∴∠BDC＝∠DMN，∵∠BDC+∠BDN＝∠CDN＝∠DMN+∠DNM，∴∠BDN＝∠DNM＝∠DMN＝∠BDC，∴△BDC≌△BDQ（AAS），∴CD＝DQ，BC＝BQ，∴AB＝BQ，在Rt△BAG和Rt△BQG中，BG=BGAB=QB，∴Rt△BAG≌Rt△BQG（HL），∴AG＝QG，∴C△OGD＝OG+DG+OD＝OG+GQ+DQ+OD＝OG+AG+CD+OD＝OA+OC＝3+3＝6．∴△OGD的周长为：6．。
湖北省孝感市安陆市2018-2019学年人教版九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、精心选一选，相信自己的判断（本大题共10个小题每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中）1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2＝9 B．（x+4）2＝21 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣2）2＝9 3．已知x＝2是方程（3x﹣m）（x+3）＝0的一个根，则m的值为（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣24．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60°B．90°C．120°D．150°6．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长7．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数是57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2＝57 B．1+x+x2＝57 C．（1+x）x＝57 D．1+x+2x＝57 8．若t是一元二次方程x2+bx+c＝0的根，则判别式△＝b2﹣4c和完全平方式M＝（2t+b）2的关系是（）A．△＝M B．△＞MC．△＜M D．大小关系不能确定9．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A．B．BC2＝AB•BC C．D．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分11．若x2＝2，则x＝．12．已知一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两根之和为﹣6，两根之积为﹣8，则此方程为．13．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数．14．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx+n 的x的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为．16．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是．三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分74分解答写在答题卡上）17．解方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）x（x+1）﹣2（x+1）＝0．18．如图所示，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标；（2）将△A1B1C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）观察图形发现，△A2B2C2是由△ABC绕点顺时针旋转度得到的．19．下表给出了代数式ax2+bx+c与x的一些对应值：（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y＝ax2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；（3）当0＜x＜3，求x的取值范围．20．阅读下列材料：有这样一个问题：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）对应的二次函数为y＝ax2+bx+c（a＞0）；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：方程根的几何意义：请将（2）补充完整（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．21．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？22．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．23．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动．若EF，EG 分别与AB，BC相交于点M，N，若AB＝2．（如图2）①求证：四边形EMBN的面积为定值；②设BM＝x，△EMN面积为S，求S最小值．24．如图，抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M，P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．（1）写出点A，B的坐标，并证明△MDE是等腰三角形；（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴上方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．。
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校九年级上学期期末数学试卷及参考答案
2022-2023学年湖北省武汉外国语学校初三数学第一学期期末试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是( ) A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．确定性事件3．已知O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与O 的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断4．将一元二次方程28100x x −+=通过配方转化为2()x a b +=的形式，下列结果中正确的是( ) A ．2(4)6x −=B ．2(8)6x −=C ．2(4)6x −=−D ．2(8)54x −=5．若一元二次方程22(23)0x m x m −++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1212x x x x +=，则m 的值是( ) A ．1−B ．3C ．3或1−D ．3−或16．在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的4个白球和n 个黄球．某同学进行如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回、摇匀，为一次摸球试验．记录摸球的次数与摸出白球的次数的列表如下： 摸球试验的次数 100 200 500 1000 摸出白球的次数2139102199根据列表可以估计出n 的值为( ) A ．4B ．16C ．20D ．247．如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为( )A ．4.5mB ．5mC ．5.5mD ．6m8．已知1(1,)y −，2(0,)y ，3(3,)y 是抛物线24(0)y ax ax c a =−+>上的点，则( ) A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<9．如图，在ABC ∆中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30︒后得到ADE ∆，点B 经过的路径为BD ，则图中阴影部分的面积为( ) A ．512π B ．43πC ．34πD ．2512π 10．无论k 为何值，直线22y kx k =−+与抛物线223y ax ax a =−−总有公共点，则a 的取值范围是( ) A ．0a >B ．23a −C ．23a −或0a > D ．23a −二、填空题（每题3分，共18分）11．若点(,7)A m 与点(4,)B n −关于原点成中心对称，则m n += ．12．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．13．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x = ．14．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着原点旋转180︒，所得抛物线的解析式是 ．15．如图，直线(0)y x m m =−+>与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，C 是AB 的中点，点D 在直线2y =−上，以CD 为直径的圆与直线AB 的另一交点为E ，交y 轴于点F ，G ，已知62CE DE +=，25FG =，则CD 的长是 ．16．如图，已知二次函数223y x x =−++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 点为该图象在第一象限内的一点，过点P 作直线BC 的平行线，交x 轴于点M ．若点P 从点C 出发，沿着抛物线运动到点B ，则点M 经过的路程为 ． 三、解答题（共72分）17．已知关于x 的方程：240x x k −−=有两个不相等的实数根， （1）求实数k 的取值范围、（2）已知方程的一个根为5，求方程的另一个根．18．如图，在ABC ∆中，AB BC =，120ABC ∠=︒，点D 在边AC 上，且线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120︒能与BE 重合，点F 是ED 与AB 的交点． （1）求证：AE CD =；（2）若45DBC ∠=︒，求BFE ∠的度数．19．为庆祝党的二十大胜利召开，学校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A 、B 、C 、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：等级 成绩()x 人数 A 90100xaB8090x < 25 C 7080x <20 D70x <5（1）表中a = ；D 等级对应的扇形圆心角为 度；（2）若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A 等级的学生共有 人；（3）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．20．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 交于点D ，DE AC ⊥，垂足为E ，ED 的延长线与AB 的延长线交于点F ． （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若O 的半径为52，2BD =，求CE 的长． 21．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹；（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，AE BD ⊥于点E ，若CF BD ⊥于点F ，请用无刻度直尺在图1中作出符合题意的点F ；（2）已知ABC ∆每个顶点均在格点上，BAC α∠=，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转α，得到△AB C ''，过点C 作CH B C ''⊥于H ，请用无刻度直尺在图2中作出△AB C ''和符合题意的点H ，并直接写出CH 的长．22．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为h (m h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++≠． （1）c 的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时150a =−，910b =，求基准点K 的高度h ；②若150a =−时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为 ； （3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．23．如图1，在正方形ABCD 中，M 、N 分别为边AB 、AD 上的点，连接CM 、CN ，且CM CN =． （1）求证：BMC DNC ∆≅∆；（2）如图2，若P 是边BC 上的点，且NP CM ⊥于O ，连接OA ，求证：2OM ON OA +=； （3）如图3，在满足（2）的条件下，过O 作OQ BC ⊥于Q ，若2AM BM =，求OQCD的值．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，5OB =，点D 是此抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上C ，D 两点之间的距离是 ；（3）①点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ，求BCE ∆面积的最大值；②在①的条件下，当BCE ∆的面积最大时，P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ，探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（每题3分，共30分）1．解：A 、是中心对称图形，故本选项符合题意； B 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．2．解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件， 故选：C ． 3．解：O 的半径为6，圆心O 到直线l 的距离为5，56<，即d r <，∴直线l 与O 的位置关系是相交． 故选：B ．4．解：2810x x −=−，28166x x −+=，2(4)6x −=．故选：A ．5．解：关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m −++=的两个不相等的实数根，∴△22(23)41290m m m =+−=+>， 34m ∴>−， 1223x x m +=+，212x x m ⋅=，又1212x x x x +=⋅，223m m ∴+=， 解得：1m =−或3m =， 34m >−， 3m ∴=，故选：B ．6．解：通过大量重复试验后发现，摸到白球的频率稳定于0.2，∴40.24n=+， 解得：16n =． 故选：B ．7．解：设垂钓通道的宽度为x 米，则两块垂钓鱼塘可合成长为(1303)x −米、宽为(602)x −米的矩形， 根据题意得：(1303)(602)5750x x −−=， 整理得：2322010250x x −+=， 解得：1205603x =>（舍去），25x =． 即垂钓通道的宽度为5米． 故选：B ．8．解：抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 0a >，∴抛物线开口方向向上，∴当2x <时，y 随x 的增大而减小，3(3,)y 关于对称轴2x =的对称点为3(1,)y ， 101−<<， 321y y y ∴<<．故选：C ． 9．解：5AB =，3AC =，4BC =，ABC ∴∆为直角三角形，由题意得，AED ∆的面积ABC =∆的面积，由图形可知，阴影部分的面积AED =∆的面积+扇形ADB 的面积ABC −∆的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB 的面积23052536012ππ⨯==， 故选：D ．10．解：当0a =时，若0k =，直线2y =与直线0y =没有交点，不合题意． 当1a =时，二次函数为：223y x x =−−．由22223kx k x x −+=−−得：2(2)25x k x k −++−． △22(2)4(25)424k k k k =+−−=−+2(2)20k =−+．无论k 为何值，2(2)0k −，∴△0>．直线22y kx k =−+与抛物线223y ax ax a =−−总有公共点， 1a ∴=符合题意．故排除B ，D ．当1a =−时，二次函数为：223y x x =−++． 由22223kx k x x −==−++得：2(2)10x k x +−−=， △2(2)40k =−+>．∴直线22y kx k =−+与抛物线223y ax ax a =−−总有公共点． 1a ∴=−符合题意．故排除A ． 故选：C ．二、填空题（每题3分，共18分）11．解：点(,7)A m 与点(4,)B n −关于原点成中心对称， 4m ∴=，7n =−，3m n ∴+=−．故答案为：3−．12．解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为9，其中阴影部分的面积为2， 所以该小球停留在黑色区域的概率是29． 故答案为：29． 13．解：每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，列方程得：1(1)81x x x +++=， 22800x x +−=解得：110x =−（舍去），28x =．答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑． 故答案为：8．14．解：2223(1)2y x x x =++=++，抛物线223y x x =++的顶点坐标为(1,2)−，点(1,2)−关于原点的对称点为(1,2)−， 所以抛物线223y x x =++绕着原点旋转180︒，所得抛物线的解析式是2(1)2y x =−−−． 故答案为：2(1)2y x =−−−．15．解：如图，设CD 的中点为O '，延长BA 交直线2y =−于M ，直线2y =−交y 轴于P ，作CH OB ⊥于H ，连接O F '，作AJ DM ⊥于J ，O N FG '⊥于N ．CD 是O '的直径， 90CED ∴∠=︒，直线(0)y x m m =−+>与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，(,0)A m ∴，(0,)B m ， OA OB ∴=， 45OAB ∴∠=︒， //OA DM ，45EMD OAB ∴∠=∠=︒，90DEM ∠=︒， ED EM ∴=，2EC ED EC EM CM ∴+=+==JA DM ⊥， 90AJM ∴∠=︒，2AJ JM ∴==，22AM =， 2BC CA ∴==(8,0)A ∴．(0,8)B ，(4,4)C ，设(,2)D n −，则1(4)2O N n '=+，2211(4)622O F CD n '==−+，O N FG '⊥， 5FN ∴=在Rt △O FN '中，222211(5)(4)[(4)6]44n n ++=−+，解得1n =，22(14)635CD ∴=−+=故答案为3516．解：二次函数223(3)(1)y x x x x =−++=−−+，∴当0y =时，11x =−，23x =，当0x =时，3y =，∴点A 的坐标为(1,0)−，点B 的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)， 设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，330b k b =⎧⎨+=⎩，解得13k b =−⎧⎨=⎩， 即直线BC 的函数解析式为3y x =−+， //PM BC ，点P 在抛物线上且在第一象限，∴设点P 的坐标为2(,23)m m m −++， 设直线PM 的解析式为y x c =−+，223m m m c −++=−+， 解得233c m m =−++，∴直线PM 的解析式为233y x m m =−−++， 令223323x m m x x −−++=−++且△0=， 解得32m =， 此时直线PM 的解析式为214y x =−+，当0y =时214x =，∴点M 横坐标为最大值是214， ∴点M 经过的路程为：219(3)242−⨯=， 故答案为：92． 三、解答题（共72分）17．解：（1）关于x 的方程240x x k −−=有两个不相等的实数根，∴△224(4)41()0b ac k =−=−−⨯⨯−>， 解得：4k >−，k ∴的取值范围是4k >−；（2）设另一个根的值为a ，根据根与系数的关系得： 4541a −+=−=， 解得1a =−，即方程的另一个根为1−．18．（1）证明：线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120︒能与BE 重合，BD BE ∴=，120EBD ∠=︒，AB BC =，120ABC ∠=︒，120ABD DBC ABD ABE ∴∠+∠=∠+∠=︒，DBC ABE ∴∠=∠，()ABE CBD SAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=；（2）解：由（1）知45DBC ABE ∠=∠=︒，BD BE =，120EBD ∠=︒， 1(180120)302BED BDE ∴∠=∠=︒−︒=︒， 180BFE BED ABE ∴∠=︒−∠−∠1803045105=︒−︒−︒=︒．19．解：（1）抽取的学生人数为：9025100360÷=（人)， 1002520550a ∴=−−−=，D 等级对应的扇形圆心角为：536018100︒⨯=︒． 故答案为：50，18；（2）根据题意得：501800900100⨯=（人)， 答：估计成绩为A 等级的学生共有900人；故答案为：900；（3）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁， 画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，则甲、乙两人至少有1人被选中的概率是105126=． 20．（1）证明：连接OD ，AB AC=，ABC ACB∴∠=∠，OB OD=，ABC ODB∴∠=∠，ACB ODB∴∠=∠，//OD AC∴，DE AC⊥，DE OD∴⊥，即EF OD⊥，OD是O的半径，EF∴是O的切线；（2）解：连接AD，AB是O直径，AD BC∴⊥，DE AC⊥，ADC DEC∴∠=∠，C C∠=∠，CDE CAD∴∆∆∽，∴CD CE CA CD=，AB AC =，2DC DB ∴==，5AC AB ==， ∴252CE=，∴45CE =．21．解：（1）如图1，点F 即为所求；（2）如图2，线段CH 即为所求．根据画图可知：//CH AQ ，∴235CH=，65CH ∴=．22．解：（1）起跳台的高度OA 为66m ， (0,66)A ∴， 把(0,66)A 代入2y ax bx c =++得：66c =，故答案为：66；（2）①150a =−，910b =，219665010y x x ∴=−++，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ， 219757566215010y ∴=−⨯+⨯+=， ∴基准点K 的高度h 为21m ； ②150a =−， 216650y x bx ∴=−++， 运动员落地点要超过K 点，75x ∴=时，21y >，即217575662150b −⨯++>， 解得910b >， 故答案为：910b >； （3）他的落地点能超过K 点，理由如下： 运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ， ∴抛物线的顶点为(25,76)，设抛物线解析式为2(25)76y a x =−+， 把(0,66)代入得：266(025)76a =−+，解得2125a =−， ∴抛物线解析式为22(25)76125y x =−−+， 当75x =时，22(7525)7636125y =−⨯−+=， 3621>， ∴他的落地点能超过K 点． 23．（1）证明：四边形ABCD 是正方形， 90B D ∴∠=∠=︒，在Rt BMC ∆和Rt DNC ∆中，BC DC MC NC =⎧⎨=⎩， Rt BMC Rt DNC(HL)∴∆≅∆；（2）延长CM到H，使HM ON=，连接AH，NP CM⊥，90B∠=︒，90OPC PCO∴∠+∠=︒，90BMC PCO∠+∠=︒，OPC BMC∴∠=∠，//AD BC，ANP NPC BMC AMH∴∠=∠=∠=∠，BCM DCN∆≅∆，BM DN∴=，AB BM AD DN∴−=−，AM AN∴=，()AHM AON SAS∴∆≅∆，HAM NAO∴∠=∠，AH AO=，90BAO NAO∠+∠=︒，90HAM BAO∴∠+∠=︒，AHO∴∆是等腰直角三角形，根据勾股定理得2OH OM ON OA=+=；（3）解：延长QO交AD于点F，2AM BM=，3AB BC BM∴==，//OQ AB，∴13 OQ BMQC BC==，设OQ a =，则3QC a =，OQ BC ⊥，NP CM ⊥，OPQ COQ ∴∆∆∽， ∴13PQ OQ OQ QC ==， 设BM b =，则3AB b =，2AM AN b ==， 3FO FQ OQ BA OQ b a ∴=−=−=−，2(33)3FN AN AF AN QB b b a a b ∴=−=−=−−=−， //BC AD ， ∴13PQFNOQ FO ==， ∴3133a b b a −=−， 解得35ba =， ∴31535bOQCD b ==．24．解：（1）1OA =，5OB =，(1,0)A ∴−，(5,0)B ，将A 、B 两点代入22y ax x c =++，∴2025100a c a c −+=⎧⎨++=⎩， ∴1252a c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，215222y x x ∴=−++；（2）2215192(2)2222y x x x =−++=−−+，9(2,)2D ∴，令0x =，则52y =，5(0,)2C ∴，CD ∴=，故答案为：（3）①如图1，过点E 作EF x ⊥轴交BC 于点F ， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∴5250b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， ∴1252k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 1522y x ∴=−+， 设215(,2)22E m m m −++，则15(,)22F m m −+， 221515152222222EF m m m m m ∴=−+++−=−+， 22115551255()()2224216BCE S m m x ∆∴=⨯⨯−+=−−+， ∴当52x =时，BCE S ∆有最大值12516； ②EM MP PB ++存在最小值，理由如下： 当52x =时，5(2E ，35)8， 9(2,)2D ， ∴抛物线的对称轴为直线2x =，PM 垂直对称轴，//PM x ∴轴，2PM =，如图2，过E 点作x 轴的平行线，且HE PM =， ∴四边形PMEH 是平行四边形，EM HP ∴=，作B 点关于y 轴的对称点B '，BP B P '∴=，22EM MP PB PH B P B H ''∴++=+++， 当B '、P 、H 三点共线时，EM MP PB ++的值最小， 5(2E ，35)8，2EM PM ==， 1(2H ∴，35)8， (5,0)B ，(5,0)B '∴−， 设直线B H '的解析式为y tx n =+， ∴5013528t n t n −+=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得354417544t n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 351754444y x ∴=+， 175(0,)44P ∴， 175(2,)44M ∴， ∴当175(2,)44M 时EM MP PB ++存在最小值．。