小学奥数总复习第二十二讲《二元一次不定方程》练习
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
六年级数学思维集训 第二十二章 不定方程
第二十二章不定方程典型题训练1例一个两位数中间加上一个0, 得到的三位数比原两位数的8倍小1。
原来的两位数是多少?1. 一根钢条长4. 6米, 把它锯成每根长0. 7米和0.4米的甲、乙两种产品, 甲、乙两种产品分别锯多少根才能使这根钢条恰好没有剩余?2. 甲地有157吨货物要运往乙地, 大卡车每次运5吨耗油10升, 小卡车每次运2吨耗油5升。
如果想要耗油量最少, 那么大卡车和小卡车应分别运多少次?耗油最少为多少升?3. 有一堆围棋子, 白子枚数是黑子的3倍。
每次拿出7枚白子、4枚黑子, 经过若干次(不到10次) 后, 剩下的白子数是黑子数的11倍。
原来的白子有多少枚?典型题训练2例某工厂为优秀职工发奖金, 一等奖每人1800元, 二等奖每人1200元, 三等奖每人800元。
每种奖都有人领, 共有15名优秀职工领取总数为16000元的奖金, 获一、二、三等奖的职工分别有多少人?1.100头驴驮100袋物品, 一头大驴驮3袋, 一头中驴驮2袋, 两头小驴驮1袋。
如果三种驴至少都有1头, 且小驴不足70头, 那么大驴、中驴、小驴分别有多少头?2. 某工厂共有12间员工宿舍, 可以住80人。
大宿舍每间住8人, 中宿舍每间住7人, 小宿舍每间住5人。
中宿舍和小宿舍共有多少间?3. 有三种卡片, 第一种卡片上画有1朵红花, 第二种卡片上画有5朵红花, 第三种卡片上画有10朵红花, 每种卡片各有100张。
如果要从三种卡片中选出21张, 每种卡片都要选到, 恰好凑出100朵红花。
那么这21张卡片中, 第一、第二、第三种卡片分别有多少张?典型题训练3例一位学生问老师: 今年是2008年, 您的年龄是多少岁? 老师回答学生: 我今年的年龄正好等于我出生那一年的年份的各位数字之和。
老师今年多少岁?1. 一位年轻人2000年时的年龄正好等于他出身年份的数字之和, 这位年轻人2015年多少岁?2. 科学家牛顿生于1643年, 在他发表著名论文《自然定律》时, 他的年龄还不足50岁, 而且正好是那年年份之和的2倍, 这篇论文是哪年发表的?3. 张兵1953年出生, 在今年之前的某年, 他的年龄是9的倍数并且是这一年年份数的各位数字之和, 这一年他多少岁?典型题训练4例某次英语竞赛原定一等奖10人、二等奖20人。
小学数学竞赛不定方程成品
竞赛培训班数学练习学校：班级：姓名：一、求下列二元一次不定方程的正整数解。
⑴5x+3y=22 ⑵5x+14y=52二、应用题1．一只箱中装有若干只蟋蟀与蜘蛛，他们共有46只脚。
问蟋蟀与蜘蛛各有多少只？2．小强问小明：“你家养了几只兔和鸡？”小明说：“我养的兔比鸡多，鸡兔一共24条腿。
你猜猜我养了几只兔和鸡？3．大、小盒子共装99个球，每个大盒装12个，小盒装5个，恰好装完，盒子个数大于10，那么大小盒子各有多少个？4．有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26个，其中蓝皮球的个数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少个？5．甲、乙、丙三个同学共栽树55棵，甲的棵数是乙的2倍，丙栽的最少，他只栽了十几棵。
三个人各栽了多少棵？6．买每支2角5分的A种铅笔和每支1角5分的B 种铅笔各若干支，每种铅笔都要买3支或3支以上，共花了2.25元。
问两种铅笔各买了几支？7．一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数8．小王发现自己今年（1994）的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和。
小王今年多少岁？9．有两个自然数，他们的和是128400，最大公约数是8025。
这两个自然数各是多少？（写出全部的解）10．把一些苹果分给若干儿童，每人3个，则剩余8个，每人5个，则最后一人将分不足。
已知儿童是偶数个，问苹果共有多少个？11．小明在邮局寄了三封信：平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，他一共用了一元二角二分钱。
那么小明寄的三封信的总和最少是多少封？12．我国古代有一名数学家叫张丘建，从小很爱动脑筋。
有一天宰相要考考他，让他用100文钱，买回100只鸡，当时的价格是：公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，小鸡一文钱买三只。
聪明的张丘建当时算出了三种鸡都买的三种答案，请你找出这些答案来。
2021年小升初奥数22讲-第22讲 二元一次不定方程
第22讲 二元一次不定方程知识要点 我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么一般来说，它的解往往是不确定的.例如方程23x y -=与方程组2100 32180x y x y z ++=⎧⎨++=⎩， 等，它们的解是不确定的.像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组.定理 如果a 、b 是互素的整数，c 是整数，且方程ax by c +=①有一组整数解00,x y ，那么此方程的一切整数解可以表示为00 ,x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩，②③ 其中0123.t =±±±⋯，，，，证明 因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足00 ax by c +=，因此()0000 .()a x bt b y at ax by c -++=+=④.这表明0x x bt =-、0 y y at =+也是方程①的解设''x y 、是方程①的任一整数解，则有 ''ax by c +=,所以()()00''a x x b y y -=--.由于()1a b =，,所以()0'a y y -.即 0'y y at =+,其中t 是整数.将0'y y at =+代入④，即得'x x bt =-0，因此''x y 、可以 表示成的0x x bt =-，0 y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0 y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证.有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解 典例精讲典例1 求11x+15y=7的整数解.解法一 将方程变形得71511y x -=，因为x 是整数，所以7-15y 应是11的倍数由观察得0021x y ==-，是这个方程的一组整数解，所以方程的整数解为215x t =-，111y t =-+，t 为整数.解法二 先考察11x+15y=1，通过观察易得1141531⨯-+⨯=（）（），所以11× （-4×7)+15×(3×7)=7.可取002821x y =-=，，从而方程的整数解为x=-28-15t ，y=21+11t ，t 为整数.说明 二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解.由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式典例2求方程7x+19y=213的所有正整数解。
小学生奥数不定方程知识点及练习题
【导语】⼀次不定⽅程（linearindeterminateequation）亦称线性不定⽅程，是⼀类重要的不定⽅程，指未知数多于⼀个的⼀次⽅程。
设a₁，a₂，……，a 是⾮零整数，b是整数，称关于未知数x₁，x₂，……，x （n≥2）的⽅程a₁x₁+a₂x₂+……+a x =b是n 元⼀次不定⽅程。
以下是®⽆忧考⽹整理的《⼩学⽣奥数不定⽅程知识点及练习题》相关资料，希望帮助到您。
1.⼩学⽣奥数不定⽅程知识点 ⼀次不定⽅程： 含有两个未知数的⼀个⽅程，叫做⼆元⼀次⽅程，由于它的解不，所以也叫做⼆元⼀次不定⽅程； 常规⽅法： 观察法、试验法、枚举法； 多元不定⽅程： 含有三个未知数的⽅程叫三元⼀次⽅程，它的解也不； 多元不定⽅程解法： 根据已知条件确定⼀个未知数的值，或者消去⼀个未知数，这样就把三元⼀次⽅程变成⼆元⼀次不定⽅程，按照⼆元⼀次不定⽅程解即可； 涉及知识点： 列⽅程、数的整除、⼤⼩⽐较； 解不定⽅程的步骤： 1、列⽅程 2、消元 3、写出表达式 4、确定范围 5、确定特征 6、确定答案 技巧总结： A、写出表达式的技巧：⽤特征不明显的未知数表⽰特征明显的未知数，同时考虑⽤范围⼩的未知数表⽰范围⼤的未知数。
B、消元技巧：消掉范围⼤的未知数。
2.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、已知△和☆表⽰两个⾃然数，并且△/5＋☆/11=37/55，△＋☆等于多少？ 2、已知1999×△＋4×□=9991，其中△，□是⾃然数，那么□等于多少？ 3、箱⼦⾥有乒乓球若⼲个，其中25%是⼀级品，五分之⼏是⼆级品，其余91个是三级品，箱⼦⾥有乒乓球多少个？ 4、某班同学分成若⼲⼩组去植树，若每组植树n棵，且n为质数，则剩下树苗20棵，若每组植树9棵，则还缺少2棵树苗，这个班的同学共分成⼏组？ 5、数学测试卷有20道题，做对⼀道得7分，做错⼀道扣4分，不答得0分，张红得100分，她有⼏道题没答？3.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、x是⾃然数，x÷810=0a25字母a表⽰⼀个数字，x是多少？ 2、某青年1997年的年龄等于出⽣年份各数字的和，那么，他的出⽣年份是多少？ 3、王⽼师家电话号码是七位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063，将三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529，王⽼师家电话号码是多少？ 4、如果在分数28/43的分⼦分母上加上⾃然数a、b所得结果是7/12，那么，a＋b的最⼩值等于多少？ 5、有三个分⼦相同的量减假分数，化成带分数后为a（2/3），b（5/6），c（7/8），已知a、b、c⼩于10，a是多少？4.⼩学⽣奥数不定⽅程练习题 1、在两位数中，能被其各位数字之和整除，⽽且除得的商恰好是4的数有多少个？ 3、甲级铅笔7分钱⼀⽀，⼄级铅笔3分钱⼀⽀．张明⽤5⾓钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少⽀？ 4、有纸币60张，其中1分、1⾓、1元和10元各有若⼲张．问这些纸币的总⾯值是否能够恰好是100元？ 5、将⼀根长为374厘⽶的合⾦铝管截成若⼲根36厘⽶和24厘⽶两种型号的短管，加⼯损耗忽略不计。
多元一次不定方程的完整讲义和练习
二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
小学奥数二元一次方程 (2)
小学奥数二元一次方程 (2)一、引入二元一次方程是数学中常见的一个概念，也是小学奥数中的重要内容之一。
本文将介绍二元一次方程的基本概念和解题方法。
二、二元一次方程的基本概念二元一次方程是指含有两个变量的一次方程。
一般来说，二元一次方程的一般形式为：ax + by = c其中，a、b、c都是已知的实数，而x、y则是未知数。
三、解二元一次方程的方法解二元一次方程有多种方法，以下介绍两种常用且简单的方法。
1. 消元法：首先，我们需要选择一个变量进行消元，使得方程中只剩下一个变量。
然后，我们可以通过代入的方式求解另一个变量。
最后，将求得的变量值代入原方程，就可以得到另一个变量的值。
2. 相减法：首先，我们将两个方程相减，得到一个只含有一个变量的方程。
然后，求解这个方程，得到一个变量的值。
最后，将求得的变量值代入原方程中，得到另一个变量的值。
四、实例解析下面以一个具体的例子来说明解二元一次方程的步骤：例题：2x + 3y = 10x - y = 1解题步骤：1. 使用消元法，将第二个方程两边乘以2，得到2x - 2y = 2。
2. 将第一步得到的方程和第一个方程相减，得到5y = 8。
3. 解得y = 8/5。
4. 将y的值代入第一个方程，得到2x + 3(8/5) = 10。
5. 解得x = 5/2。
五、总结二元一次方程是小学奥数中的重要内容之一。
通过本文的介绍，我们了解了二元一次方程的基本概念和解题方法，包括消元法和相减法。
通过实例解析，我们也可以清楚地看到解二元一次方程的具体步骤。
希望本文对小学奥数研究有所帮助。
新编六年级奥数精讲和测试：第22讲二元一次不定方程
例1．求11x+15y=7的整数解。
例2．求方程7x+19y=213的所有正整数解。
例3．求方程组310053100x y zx y z++=⎧⎨++=⎩的全部整数解。
例4．现有5分和7分的两种硬币，用它们去支付142分货款，有多少种不同的方法？例5．一个布袋中有红、黄、兰三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，兰球上标有数字3。
小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数和最多不超过多少个？A卷01．a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
02．求方程9x+21y=79的整数解。
03．求方程3x+4y=5的整数解。
04．求方程7x+11y=123的整数解。
05．求方程6x+22y=90的非负整数解。
06．某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元和9元的光盘x张和y张，每种光盘至少买3张，问购买的方式共有多少种？B卷01．三元方程x+y+z=2007的非负整数解的组数有多少？02．求方程2x+3y+7z=23的整数解。
03．求方程组5795235736x y zx y z++=⎧⎨++=⎩的正整数解。
04．求方程123x+57y =531的全部正整数解。
05．求方程3x+5y=1306的正整数解的组数。
06．甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中60道题。
其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？多的比少的多几道题？C卷01．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分。
小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
小明套10次共得61分，问小鸡至少被套中几次？02．今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？03．今有公鸡每只五元钱，母鸡每只三元钱，小鸡每元钱三只。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小学奥数总复习第二十二讲《二元一次不定方
程》练习
定义：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次不定方程；
方法：观察法、试验法、枚举法；
步骤：1、列方程；2、写出表达式；3、确定范围；4、确定特征；
5、确定答案；
技巧：①写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，②用范围小的未知数表示范围大的未知数。
1、有甲、乙两种卡车，甲车每次可装煤6吨，乙车每次可装煤8吨，现在有煤130吨，要求一次运完，而且每一辆卡车都要满载，问需甲、乙两种卡车各多少辆？
2、有一个两位数，加上54以后，十位上的数字和个位上的数字正好互换位置，求这个两位数。
3、大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。
4、小华买圆珠笔若干支，正好付出10元钱，他所买的圆珠笔有两种，有1元1支的，也有1.5元一支的，他两种圆珠笔各买了多少支？
5、买三种水果30千克共用去230元其中苹果每千克12元，橘子每千
克8元，梨每千克6元。
问三种水果各买多少千克？
6、(我国古代问题)100元买100只鸡，小鸡1元钱3只，母鸡3元钱1只，公鸡5元钱1只，小鸡、母鸡、公鸡各买几只?
7、钢笔每支8元，笔记本每本5元。
现有63元钱，问钢笔和笔记本各买多少，才能使钱正好用完？(钢笔和笔记本都要买)
8、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有)
9、小明和妈妈到商店去买玩具，买一个电动玩具需付19元。
若妈妈身上只有2元的钞票二十张，而商店里都是5元一张的，问妈妈该怎样付钱？
10、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26个，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少个?
11、一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，……）。
男生的平均成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分。
如果该班的人数多于30人，少于50人，问有多少男生和多少女生参加了测验？
12、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得100分，已知做对一道题得7分，做错一题扣4分，不做得0分。
问小毛做对几道题？
13、有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为59mm和39mm两种不同规格的小铜管（要求没有余料），每锯一次损耗1mm的铜管料，为了使铜管料的损耗最少，应分别锯成59mm的大铜管多少段？39mm的小铜管多少段？
14、有一根长133厘米的钢管，把它锯成8厘米和13厘米的小管，每锯一次损耗1厘米，问能据多少段恰好用完？。