球入盒问题分类例析
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——“小球入盒”模型
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——“小球入盒”模型凤斌;叶菊【摘要】<正>数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化,建立能近似刻画并"解决"实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。
排列组合问题的情景设置千变万化,"小球入盒"是一类典型的数学模型,将其用来解读排列、组合问题,可以搭起挖掘知识的内涵和外延的平台,直击目标。
【期刊名称】《青苹果：高中版》【年(卷),期】2016(000)009【总页数】3页(P42-44)【关键词】排列组合;数学模型;数学手段;分配问题;组合问题;情景设置;问题解决;思考方法;非负整数;正整数解【作者】凤斌;叶菊【作者单位】安徽省宿州二中【正文语种】中文【中图分类】G634.6数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。
排列组合问题的情景设置千变万化，“小球入盒”是一类典型的数学模型，将其用来解读排列、组合问题，可以搭起挖掘知识的内涵和外延的平台，直击目标。
模型1（球少盒多）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放1个球，共有多少种放法？解析（方法一）由于球与盒子均不同，每盒至多放1个球，所以这是一个排列问题，可直接从8个不同盒子中取出5个盒子进行排列（即放球），所以完成这件事有4=6720种放法。
（方法二）由于每盒至多放1个球，所以第1个球有8种放法，第2个球有7种放法，…，第5个球有4种放法。
因此，完成这件事有8×7×6×5×4=6720种方法。
模型2（球多盒少）（1）4个不同的球，放入3个不同的盒子，每个盒子至少放1个球，共有多少种放法？（2）6个不同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放1个球，共有多少种放法？解析（1）这是一个分组和分配的问题，先将4个不同的球分成3组，再进行全排列（即入盒），所以完成这件事有种放法。
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
球入盒问题分类例析
“球入盒”问题分类例析排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1. 8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个•由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆•即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，有五种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n>m），不能有空盒时的放法种数等于n分解为m个数的和的种数•二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2. 8个相同的球放入3个相同的盒子中•问有多少种不同的放法解析与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中•，有十种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n A m），可以有空盒时的放法种数等于将n分解为m个、（m- 1）个、（m—2）个、…、2个、1个数的和的所有种数之和•三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法•将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C" =7-621种，这样将8个球分成三2堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内•故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法•结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），不能有空盒的放法种数等于•四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中•问有多少种不同的放法解析与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个•还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板•首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有C11种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C w种，但这两种放法中有重复的，要除以2;最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球1 1 1 210 9放入3号盒子中•故一共有一C9 C10 C10------------ 45种•2 2或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即C9 Cg 9 36 45种•例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•先放一个到每个盒子中，只有一种放法•然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，2 2 种.结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），可以有空盒的放法种数等于Cr?；.五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了， 因为放入盒子只有一种情况•而8个球分成（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）•故一共有 C 1C 1C 6C 2C 2C 4C 2C 3C 3C 8C7C6.12 5.13 4 c8 c6 c4 , c8 C6C3+ C 8C 7C 5 +C 8C 7C 4 ++ —2 2结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（ n 》m ），不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数•六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法 解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1c 8c ；c f c f -Cs127 ;二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况•所以一共有966+127+仁10942种.结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（n > m ）,可以有空盒的放法种数等于将n 个不同的球分成m 堆、 （m—1）堆、（m — 2）堆、…、2堆、1堆的所有种数之和•七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 这个问题就等价于“ 8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法” 就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中•即966 A 33=5796种•结论 n 个不同的球放入m 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数乘以m! •例8将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好 3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）•A 120B 240C 360D 720解析 先在10个不同的球中任取 7个分别放到对应标号的盒子中，有 Cw 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法•故满足题意的放法有 2C 170 =240种，选B.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例9. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法 解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的 127 A 33762，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561 种.三堆，各堆球数依次为 1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3 五种.对情况 1-1-6 有c 8c ；c种分法, 对情况1-2-5有C ；C ；C ；种分法，对情况1-3-4有C 8C ；C ：种分法，对情况2-2-4有CsCsC种分法，对情况2-3-3=966 种.它也等价于“ 8封信投到3个邮箱里”，应该有38=6561种•结论n个不同的球放入m个不同的盒子中（n》m），可以有空盒的放法种数等于m n种.。
常见算法之14---球放入盒问题
常见算法之14---球放⼊盒问题N个球放⼊M个盒⼦中的问题研究：本来这是组合数学中的问题，但近年来公务员考试，企业⾯试经常会涉及到这个问题。
这个问题并⾮咋⼀看上去那么容易，不妨⾃⼰先动⼿计算⼀下下⾯⼏个题⽬：情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法情形4 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形5 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形6 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形7 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形8 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
==================分割线=========================假定：c(N,M)表⽰为从n个项中挑选出m个项的⽅案数。
情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
每个球都可以随意放，有M个选择，故共M^N种⽅式。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
⾸先，从N个球中选出M个球，将这M个球排列。
（相当于每个盒⼦⾥放⼀个）c(N,M)*M!种然后，剩下的N-M个球就可以随意放了。
M^(N-M)种综上，c(N,M)*M!*[M^(N-M)]情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
根据隔板原理：将N个球排成⼀列，中间插⼊M-1个隔板，分成M个堆，其中允许隔板相邻，也可以放在两边。
N个球时，有N+1个空；插⼊⼀个板后，有N+2个空....故⼀共有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)种。
但板⼦的插⼊顺序是没有要求的，所以我们要去除重复的情形。
板⼦的顺序有(M-1)!综上，有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)/(M-1)!种情形。
陈湘平(n个小球放进r个盒子的不同方案的计数问题)
n个小球放进r个盒子的不同方案的计数问题（519015）广东省珠海市第四中学陈湘平摘要：本文主要对n个小球放进r个盒子这一问题，按n个小球是否相同，r个盒子又是否相同以及是否允许出现空盒共分成八种不同的情形作了较为全面的探讨，并给出了每一种情形方案数的计算公式.关键词：小球，盒子，空盒，相同，相异.从n个不同的元素中，取r个按次序排列的典型模型是把n个相异的小球，取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个.也就是说，把n个相异的小球取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个，其不同的放法数为排列数P .如果把上面模型中的“相异”换成“相同”，把“每盒一个”换成“允许出现空盒”或“不允许出现空盒”，那么它们不同的方案数又怎么样来计算呢？笔者对这个问题产生了浓厚的兴趣，并按n个小球是否相同，r个盒子又是否相同和是否允许出现空盒共分成八种情形作了粗浅的探讨，现逐一介绍如下：一把n个相异的小球放进r个相异的盒子里，允许出现空盒.我们不妨设这n个小球为a1，a2，…，a n.首先把a1放进盒子里，因为r个盒子是相异的，所以有r种放法.同理，a2，…，a n 放进盒子里都有r种放法，依乘法原则知不同的方案数N 1 = r·r·…·r = r n例1将4封不同的信投入4个不同的信箱，不同投法有多少？分析：这个问题等价于求把4个相异的小球放进4个相异的盒子，允许出现空盒的方案数.由上面的讨论可知这一方案数为44 =256.二把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒.为了讨论这种情形，我们很有必要先来了解一下第二类Stirling 数.定义1把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒，其不同的方案数用S2（n ，r）表示，称为第二类Stirling数.所以这种情形的不同方案数N2 = S2（n ，r）下面再来讨论一下具体怎么样求Stirling数.引理1(1) S2（n ，r）= 0 （r >n ）(2)S2（n ，r）= 0(3)S2（n ，1）=1(4)S2（n ，n）=1(5)S2（n ，2）=2n-1-1(6)S2（n ，n-1）= C证明：依定义1，结论（1），（2），（3），（4）显然成立，下面只证（5）和（6）.（5）证：从n个相异的小球中取出一个设为a1，剩下的n-1个相异的小球，每个都有与a1同盒或不同盒两种选择，共有2n-1种方案，但必须排除全体都与a1同盒这种情形，这时另一盒是空盒！故实际上只有2n-1-1种方案.所以S2（n ，2）=2n-1-1.（6）证：n个相异的小球放进r-1个相同的盒子里，不允许有一空盒，故必有一盒有两个小球，从n个相异的小球中取出2个，共有C 种方案，故S2（n ，n-1）= C .引理2S2（n ，r）= S2（n-1 ，r-1）+ r·S2（n-1 ，r）证明：从n个相异的小球中取出一个设为a1，把n个相异的小球放进r个相同的盒子里，使得无一空盒的方案的全体可分为两类：（1）a1独占一盒，其方案数为S2（n-1 ，r-1）；（2）a1不独占一盒，这相当于先将剩下的n-1个小球放进r个盒子里，不允许出现空盒，共有S2（n-1 ，r）种方案，然后将a1放进其中一盒，有r种方案，由乘法原则得a1不独占一盒的方案数r·S2（n-1 ，r）.依加法原则有S2（n ，r）= S2（n-1 ，r-1）+ r·S2（n-1 ，r）.有了引理1和引理2，我们总是可以计算出S2（n ，r）的值来.下面给出一张S2（n ，r）数值表，以便大家查阅（注：表中空格值为0）rk=1三 把n 个相异的小球放进r 个相异的盒子里，不允许出现空盒. 这种情形相当于先把n 个相异的小球放进r 个相同的盒子里，要求无一空盒，然后将r 个盒子进行全排列，故这种情形的方案数N 3 = r! • S 2 (n ，r)例2 现从某校5名学生干部中选出4人分别参加北京市“资源”，“生态”和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营至少有一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案数是多少？分析：我们把参加活动过程分成以下两个步骤：第一，从5名学生干部中选出4名，共有C =5种不同方案；第二，再把选出的4名学生干部安排到3个夏令营活动中去，每个夏令营至少一人，这相当于把4个相异小球放进3个相异小球的盒子，不允许空盒，所以共有3！•S 2(4,3)=3!×6=36种不同方案.依乘法原则得不同的参加方案数为5×36=180.四 把n 个相异的小球放进r 个相同的盒子里，允许出现空盒. 易知，这n 个相异的小球可能只放在r 个相同盒子中的某k(k=1,2,…，r)个中，其余r-k 个盒子都是空的，依定义1以及加法 原则可得该情形的方案数N 4 =∑ S 2(n,k)五 把n 个相同的小球放进r 个相异的盒子里，允许出现空盒. 易证这种情形的方案数N 5等于不定方程x 1+x 2+…x r =n 的非负整数解的个数.引理3，不定方程x 1+x 2+…+x r =n 的非负整数解的个数为C .证明：设元集A=｛a1，a2，…，a r｝则A的任一个n-可重复组合可表示成｛x1•a1，x2•a2，…，x r•a r｝,其中x i（i=1,2,…,r）是非负整数且x1+x2+…+x r=n，所以r 元集A的n-可重复组合的个数等于方程x1+x2+…+x r=n的非负整数解的个数，而r元集A的n-可重复组合的个数为C ，故引理3成立.所以 N5 = C .例3将10个相同的小球装入3个编号为1，2，3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里的球的个数不少于盒子的编号数，这样的方案有多少种？分析：符合题目条件的方法可分为以下两个步骤来完成：首先我们从10个相同的小球中取出6个，在i号盒放入i个（i=1,2,3），因为小球是相同的，所以不同的方案数只有1种；然后把余下的4个相同的小球放进1，2，3号盒中，允许空盒，共有C =15种不同方案，由乘法原则，方案有1×15=15种.六把n个相同的小球放进r个相异的盒子里，不允许出现空盒.我们先从这n个小球中取出r个放进r个相异的盒子里，每盒一个（从而保证了不会出现空盒）.然后将余下的n-r个相同小球放进r个相异的盒子里，从第五种情形的讨论中可知有C =C =C种不同方案.所以该情形的不同方案数N6=C .例4某校准备参加2001年全国高中数学联赛，把10个选手名额分配到高三年级的8个班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有多少种？分析：我们知道，这10个选手名额是没有区别的，而高三年级的8个班是有区别的.所以这个问题等价于求把10个相同小球放进8个相异的盒子，不允许空盒的不同方案数.从第六种情形讨论中知不同的方案数共有C =C =C =36种.七把n个相同的小球放进r个相同的盒子里，不允许出现空盒.在讨论这种情形之前，我们有必要先来了解一下关于正整数的分拆问题，定义2，设n1，n2，…，n r是r个正整数，n1≥n2≥…≥n r，如果n=n1+n2+…+n r，则分解式n=n1+n2+…+n r称为一个部分数为r的n-分拆，n i（i=1，2，…，r）称为该分拆的一个部分，以P r（n）表示部分数为r的n-分拆的个数.把n个相同的小球放进r个相同的盒子，不允许出现空盒，求不同方案数，这一问题等价于如下的整数分拆问题：选取r个下整数n1，n2，…，n r，（n1≥n2≥…≥n r），使得n=n1+n2+…+n r,求不同的选取方案数，即P r（n）.所以第七种情形的方案数N7 = P r（n）.下面将给出具体的公式来求上面的P r（n）.引理4P1（n）=1 ，P n（n）=1rk=1 rk=1 5k=1 3k=1k=14r证明：由定义2即知. 引理5 P 2（n ）=[n/2]证明：设n= n 1+n 2是一个部分数为2的n-分拆，因为n 1≥n 2≥1，所以1≤n 2≤[n/2].又对任一个不大于[n/2]正整数n 2，令n 1=n -n 2，则n= n 1+ n 2是一个部分数为2的n -分拆，所以P 2（n ）=[n/2].引理6 P r （n ）=∑ P k (n-r)证明：以A 表示由全体部分数为r 的n -分拆所成之集，则∣A ∣= P r （n ）.设a ∈A,若在分拆a 中，大于1的部分有k(1≤k ≤r ，下同)个，则称a 是A 的第k 类元，去掉a 中等于1的部分，其余各部分均减小1，就得到一个部分数为k 的(n-r)-分拆，因此A 的第k 类元共有P k （n -r ）个，由加法原则有P r （n ）=∑ P k (n-r)有了引理4，5，6，我们就可以算出P r （n ）的值来，如： P 5(10) =∑ P k (10-5)=P 1（5）+P 2（5）+P 3（5）+P 4（5）+P 5（5） =1+1+[ 5/2 ] +∑P k (5-3)+∑ P k (5-4)=4+P 1(2) +P 2 (2)+P 1 (1) =4+1+1+1 =7这表明把10个相同的小球放进5个相同的盒子，使得无一空盒，共有7种不同的方案.有兴趣的读者不妨自行验证一下.rk=1八 把n 个相同的小球放进r 个相同的盒子里，允许出现空盒. 允许出现空盒，也就是说这n 个小球可能只放在r 个相同盒子当中的k(1≤k ≤r)个盒子里，其余的r-k 个盒子都是空的，由定义2及加法原则可得此情形的方案数N 8 = ∑ P k (n)再由引理6，不难得到 N 8= P r （n+r ）. 其具体的计算方法请参照第七种情形.参考文献：[1]曹汝成，组合数学，广州：华南理工大学出版社，2000[2]R.A.Brualdi.李盘林，王天明译.组合学导引，武汉：华中工学院出版,1982 [3]徐治利，蒋茂森，朱自强，计算组合数学.上海科学出版社，1987 [4]李宇寰，组合数学.北京：北京师范学院出版社，1988[5]卢开澄，组合数学算法与分析.北京：清华大学出版社，1983 [6]Tomesu.栾汝书等译.组合学引论.北京：高等教育出版社，1985作者e-mail:***************。
排列组合(正式版)
排列组合——隔板法隔板法就是在n 个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.应用隔板法必须满足三个条件：（1） 这n 个元素必须互不相异（2） 所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异.【例题解析】例1、把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？（3629=C ）例2、高二年级8个班级协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班级至少要出一名，有多少种不同的 组成方式？分析：将10名队员理解成10个球，排成一列，共形成9个空隙，设想有7个隔板，将排成一列的10个球隔成8段，注意：任意两块隔板不能相邻！故为3679=C 种. 附加：从5个学校选出8名学生组成代表团，每校至少有一人的选法种数是多少？分析：问题转化为将8个学生分成5组，每组至少一人，故有3547=C 种选法.例3、求方程X+Y+Z+W=23的正整数解的个数.分析：我们设想有23个无区别的球排成一列，共形成22个空，可以理解为有3块隔板，将排成一列的球隔成4段，共有1540322=C 个正整数解。
对某些不符合上述隔板法条件的一些问题可以通过一些技巧“转化”为符合条件的隔板问题.〖技巧一：添加球数用隔板法〗例4、求方程X+Y+Z+W=23的非负整数解的个数.分析：注意到x 、y 、z 、w 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，此时只要添加四个球，给x 、y 、z 、w 各一个球。
这样原问题就转化为求X+Y+Z+W=27的正整数解的个数了，故解的个数为2600326=C .例5、20个相同的球分给3个人，允许有人不取，但必须分完，有多少种分法？分析：问题转化为：20个相同的球分给1，2，3编号的盒子，允许有盒为空，但必须分完，有多少种分法？解析：添加3个球，给3个人每人一个，问题转化为：23个相同的球分给3个人，每人至少分一个球，且必须分完，有多少种分法？也就是23个球有22个空隙，2块隔板分成三部分，231222=C 种.评述：这个问题是典型的玻瑟——爱因斯坦（Bose-Einstein ）统计模型：要将k 个相同的球放入n 个不同的盒子,每盒所放球数不限,有多少种不同放法?〖技巧二：减少球数用隔板法〗例6： 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数.分析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个无区别的球,问题等价于将14个球放入4个编号为1,2,3,4的四个盒子里，每个盒子至少有一个球的问题.剩下14个无区别的球排成一列，共形成13个空，可以理解为有3块隔板，将排成一列的球隔成4段，每段至少1个，有286313=C 种.附加：20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒内的球数不小于盒子的编号数，问有多少种放法？解析：先取出3个球，在编号1，2，3的三个盒子内分别放0，1，2个球。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
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“球入盒”问题分类例析
排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：
一、球相同，盒子相同，且盒子不能空
例1．8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？
解析 球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个. 由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个， 有五种不同的放法.
结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），不能有空盒时的放法种数等于ｎ分解为ｍ个数的和的种数.
二、球相同，盒子相同，且盒子可以空
例2．8个相同的球放入3个相同的盒子中. 问有多少种不同的放法？ 解析 与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法.
结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），可以有空盒时的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2个、1个数的和的所有种数之和.
三、球相同，盒子不同，且盒子不能空
例3．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？ 解析 这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法. 将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有2
7C =
212
6
7=⨯种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内. 故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法.
结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法种数等于1
1--m n C .
四、球相同，盒子不同，且盒子可以空
例4．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中. 问有多少种不同的放法？
解析 与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个. 还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板. 首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有1
9
C 种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有1
10C 种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中. 故一共有
2
119C 110C 452
9
102
10=⨯=
=C 种. 或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取
一个插入两块隔板，即453692
919=+=+C C 种.
例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 先放一个到每个盒子中，只有一种放法. 然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，有212
67212
71716=⨯==C C C 种.
结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于1
2-+m n C .
五、球不同，盒子相同，且盒子不能空
例5．8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？
解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了，因为放入盒子只有一种情况. 而8个球分成
三堆，各堆球数依次为1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种. 对情况1-1-6有2
66
1718C C C 种分法，对情况1-2-5有
55271
8C C C 种分法，对情况1-3-4有4
43718C
C C 种分法，
对情况2-2-4有2442628C C C 种分法，对情况2-3-3有2
3
3
3628C C C （注
意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）.故一共有
2
6
61718C C C +552718C C C +4
43718C C C +2442628C C C +2333628C C C =966种.
结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数.
六、球不同，盒子相同，且盒子可以空
例6．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？
解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有
1272
1485
53866287718=+++C C C C C C C ；
二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况. 所以一共有966+127+1=1094种.
结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2堆、1堆的所有种数之和.
七、球不同，盒子不同，且盒子不能空
例7．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？ 解析 这个问题就等价于“8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法？”
就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中. 即9663
3A =5796种.
结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数乘以ｍ！.
例8 将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）.
A 120
B 240
C 360
D 720
解析 先在10个不同的球中任取7个分别放到对应标号的盒子中，有710C 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法. 故满足题意的放法有27
10C =240种，选B.
八、球不同，盒子不同，且盒子可以空
例9．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法？
解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的1277623
3=A ，还有只分一堆的3种情况，所以一共有
5796+762+3=6561种.
它也等价于“8封信投到3个邮箱里”,应该有38=6561种.
结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于ｍｎ
种.。