多元变量的最值问题
2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》
多元变量的最值问题
一、代入减元
例1 设x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．
解 由2x ＋8y －xy ＝0得y ＝2x x －8
，因为x ，y ∈R ＋，所以x >8，所以 x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2(x －8)＋16x －8＝x ＋2＋16x －8
＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8
＋10＝18， 当且仅当x －8＝16x －8
，即x ＝12时，取“＝”号． 所以，当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取得最小值18.
点评 此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可
能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到y ＝2x x －8
，代入x ＋y 中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的．
二、等量减元
例2 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z
的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94
D ．3 答案 B
解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)
则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x
－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y
2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 点评 此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元
变量x ，y ，z 之间的关系，进而达到减元的目的．其实，由xy z 变到xy x 2－3xy ＋4y 2
就已经应用到了代入消元，再由xy x 2－3xy ＋4y 2变到1x y ＋4y x
－3仍然用到了整体消元的思想(把x y 当做整体)，
从而寻求到了xy z 取最大值时变量x ，y ，z 之间的关系．最后由2x ＋1y －2z 变到－1y 2＋2y
应用到了x ，y ，z 之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的．这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题．
三、换元减元
例3 已知θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，不等式2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ－m ＋1≥0恒成立，
求实数m 的取值范围．
解 原问题等价于：当θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2时， 不等式m ≤2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ＋1恒成立．
令y ＝2sin θcos θ＋sin θ＋cos θ＋1，θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2， 即求函数的最小值．
令t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4， 因为θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2， 所以θ＋π4∈⎣⎡⎦
⎤π4，3π4，所以t ∈[1，2]． 又2sin θcos θ＝t 2－1，
所以y ＝t 2－1＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14
， 当t ＝1(即θ＝0)时，y min ＝2.
故m ≤2.
点评 此题中的sin θcos θ，sin θ＋cos θ若不加处理难以将变量统一起来．但是，观察到sin θ cos θ与sin θ＋cos θ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的．
四、整体减元
例4 已知函数f (x )＝x ln x －a 2
·x 2－x ＋a (a ∈R )在其定义域内有两个不同的极值点． (1)求a 的取值范围；
(2)设两个极值点分别为x 1，x 2，证明：x 1·x 2>e 2.
解 (1)0<a <12
，过程略． (2)由题设有f ′(x )＝ln x －ax ，故x 1，x 2是方程ln x －ax ＝0的两根，即ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2，不妨设x 1>x 2>0，则由以上两式分别相加和相减得：
ln(x 1x 2)＝a (x 1＋x 2)，
ln x 1x 2
＝a (x 1－x 2)．。
多元变量的最值
多元变量的最值最值问题，特别是多元变量的最值问题是近几年高考的热点．这类最值问题因为变量多，结构式复杂，相互之间的制约关系较难把握，导致处理难度大．一、利用基本不等式求二元解析式的最值时，若关于两个变元的和式或积式为定值，可用基本不等式求最值． 例1 已知x>0，y>o ，lg2x +lg8y =1g2，则113x y +的最小值是二、构造方程牵涉多个变量，通过设立主元，其他看成系数，构造一元二次方程，运用根的判别式求解． 例2 已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=9，ab+ac+bc=24，则b 的取值范围是 ．三、转化为函数问题有时变量虽多，但巧妙利用两个等式之间的关系，构造出函数，再利用函数求最值是处理中学最值问题的一个常规手段．例3 已知x,y,z ∈R ，且x+y+z=1，x 2+y 2+z 2=3，则xyz 的最大值是 ．四、降元化归思想题中变量较多时，可以利用不等关系将三元变量降为二元，利用齐次结构式将二元转换为一元，体现数学中的化归思想。
例4 已知三次函数32()()32a b f x x x cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为五、三角换元法形如“约束条件f(x,y)=0的二次式下求解w=g(x,y)的最值、值域"等问题，利用三角代换来求解一样有它自己的特色和魅力．利用三角求解一样有别致新颖、干净利落一面，而且学生也易于掌握．例5 若实数x,y 满足221,x y xy ++=，则x+y 的最大值是 ．六、运用式子的几何意义在解题时充分利用好题目中的原始条件，结合一些常见的思想方法，从不同角度、用不同的知识处理这类问题(不是简单的重复或类比)，既可以充分利用所学的知识，又不失创造性。
例6 已知点P(x ，y)到原点的距离为1，则m 22x y x y +-=-+的最大值为 ．练习1.已知正数x ,y 满足xy +x +2y =6，则xy 的最大值为 .2.已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 ab 的最小值为 ..3. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.4.设0,,>z y x ，满足822=++z y xyz ，则z y x 224log log log ++的最大值是 ．5.若实数a ，b ，c ，满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为________．6.若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是8.已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．9.实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则max min 11S S += ．10. 若11,,11x y R x y +∈=+＋，则2x y +的最小值是 ．11.设,x y 为实数，若1422=+y x ，则y x +的最大值是12.已知直线022=-+y x a 与直线01)1(2=-+-y a bx 互相垂直，则||ab 的最小值为13.若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，y x y x 2422++的最小值是 ． 14.设,x y 是正实数，且3x y +=，则2211y x x y +++的最小值是 ．15.已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是16.若存在0[1,3]x ∈，使得不等式200043x ax x -+≤成立，则实数a 的取值范围是 ．17．设,a b ∈R ,关于,x y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是（ ）A ．[]16,16-B ．[]8,8-C ．[]4,4-D ．[]2,2- A18.若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为19. 设正实数x,y,z 满足4,5x y z xy yz zx ++=++=，则y 的取值范围为 .20．已知实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则ab bc ca ++的取值范围是21. 已知实数,,a b c 满足22211144a b c ++=，则22ab bc ca ++的取值范围是22. 已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为23.已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 24.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 25.设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是 26.设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43y x 的最大值是 .27.已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是 ．。
大学三年级解决多元函数的偏导数和最值问题
大学三年级解决多元函数的偏导数和最值问题在大学三年级的学习过程中，多元函数的偏导数和最值问题是数学分析领域中的重要内容之一。
本文将对如何解决多元函数的偏导数和最值问题进行详细探讨。
一、多元函数的偏导数多元函数是指具有多个自变量的函数，其偏导数用来描述函数在某个自变量方向上的变化率。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以计算它在任意一个自变量上的偏导数。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
计算偏导数时，通常将除待求的自变量外的其他自变量视为常数，并按照求导法则进行推导。
最终得到的偏导数是一个关于自变量的函数。
二、计算多元函数的偏导数计算多元函数的偏导数可以按照以下步骤进行：1. 确定函数的自变量个数n；2. 分别对每个自变量求偏导数，将其他自变量视为常数；3. 使用求导法则计算偏导数。
举个例子来说，对于一个三元函数f(x, y, z)，要计算它的偏导数，可以先分别对x、y、z求偏导数，然后根据求导法则得到最终的偏导数表达式。
三、多元函数的最值问题多元函数的最值问题是指在一定的条件下，求函数取得最大值或最小值的情况。
解决多元函数的最值问题通常需要用到偏导数的知识。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，要求其在一定的条件下取得最大值或最小值，可以按照以下步骤进行：1. 确定函数的定义域，即自变量的取值范围；2. 计算函数在定义域边界上的取值，也就是将自变量的取值固定在边界上；3. 计算函数在内部点的偏导数，并求解偏导数为零的方程组；4. 比较边界点和内部点的函数值，得出最值。
需要注意的是，解决多元函数的最值问题时，可能存在多个极值点，因此需要比较它们的函数值来确定最值。
四、总结通过本文的讨论，我们了解了多元函数的偏导数和最值问题的求解方法。
对于多元函数的偏导数，我们可以按照求导法则，将其他自变量视为常数，分别对每个自变量进行偏导数计算；对于多元函数的最值问题，我们需要计算函数在定义域边界上的取值，以及内部点的偏导数，并比较它们的函数值。
关于多元函数的极值和最值计算
关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。
在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。
首先，让我们来了解一下多元函数的概念。
在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。
多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。
因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。
下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。
首先是多元函数的极大值和极小值的求解。
要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。
第一步是计算多元函数的偏导数。
在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。
例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。
我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。
通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。
第三步是找到临界点。
临界点是指函数定义域的边界点。
我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。
为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。
通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。
接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。
要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。
首先，确定给定区域的边界条件。
给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。
第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。
这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。
拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数最值问题解法举例
= | z 1| + | z 2| + | z 3| ≥ | z 1 + z 2 + z 3| = 3 3 ( x + y + z) + ( x + y + z) i 2 2
∑x 2 + 2 ∑
i
n i=1
1 ≤k < j ≤n
k x x = 1. j k j
= 3| x + y + z | .
n
的关键 .
6 逐步调整法
设 ak =
i= k
y ∑
n
对于多个变量的最值 , 如果将变量的个 数逐渐减少 , 最后化为一元或二元函数 , 使问 题得以简化 , 这种方法称为逐步调整法 . 例6 设 n 是一个固定的整数 , n ≥2 . 试确定最小的正数 c , 使得不等式
n
i
, 则 y k = ak - a k + 1 .
f ( x 1 , x 2 , …, x n ) =
n 因此 , f ( x 1 , x 2 , …, x n ) min = λ μ. n 注 :利用均值不等式 、 柯西不等式是求多 元函数最值的常用方法 . 解此题的关键是 , 构
n n
的最小值 .
3 讲解 :令 z 1 = x + + y i , 2 2 3 x 3 z i , z3 = z + + x i, 2 2 2 其中 x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0. 则
把多元函数逐步减元是此解法的关键 .
n
( k = 1 , 2 , …, n ) , 即 ak = kn i=1
k- 1 i i - 1)
2
“一题一课”让解题教学走向简约、精准和高效——以一道多元变量的条件最值问题为例
“一题一课”让解题教学走向简约、精准和高效——以一道多元变量的条件最值问题为例李湘(江苏省无锡市辅仁高级中学214123)1问题背景美国著名数学教育家G・波利亚曾经说过：“掌握数学就意味着善于解题”•数学解题为学生提供了一个应用数学知识、掌握数学思想和方法、提高分析问题、解决问题的能力的平台•学习数学离不开解题，所以，解题教学成为数学教学的重要组成部分，贯穿了整个数学教学过程的始终•加强解题教学是提升数学教学的重要前提如何上好习题课？怎样才能有效地提高解题教学的效益？这是每位数学教师都应认真思考和积极探索的问题题海战术的课堂节奏快、容量大，教师滔滔不绝地讲解,希望能给学生多灌输一些题型,多传授一些方法,课后再给出大量的习题让学生操练,而学生则忙于记录，稀有思考,课后的重复训练和大量刷题费时又费力，效果还差强人意.针对这种现状,笔者通过调查分析,对解题教学的方式做了一些对比试验,感到“一题一课”具有简约、精准和高效的特点，不失为一种有效的方法•所谓“一题一课”,就是对一道题或一个材料进行深入研究,认真琢磨其本质,通过纵横联系,将孤立问题“串”起来;通过课外拓展，让学生思维“飞”起来;基于学情,科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动,从而完成一节课的教学任务，以此达成多维目标的过程•[1]下面记述一道多元变量的条件最值问题的教学过程,与同仁交流2教学案例2.1原题呈现，聚焦学生的思维问题1已知x],x2,x3》0,且x1+x2+x3t求卬二」f十二j11+x2的最小值.(投影显示)师:这是一道多元变量的条件最值问题，在x1,x2,x3》0,且x1+x2+x3=1的条件下，要求11+x f11+x2]+x2的最小值.怎么解决呢?这个问题综合性较强，难度较大，对学生有一定的挑战性,一经提出,学生就积极地展开思考，尝试求解.但都未能成功.师:在前面的学习中,我们研究过与其类似的问题吗？有没有积累过关于这一类问题的解题经验？2.2类题铺垫，引发学生的记忆学生认真回忆，互相交流，反响热烈.教师在学生讨论的基础上，给出以下问题作为铺垫,为解决原题提供知识和方法的储备.师:先请大家看一个比较熟悉的问题•问题2已知正实数x,y满足xy+x+y= 3,则x+y的最小值是_____•这是一道比较容易解决的问题，学生能够从不同的视角得到这个问题的不同解法3y 生1：因为xy+x+y=3,^x=丄,因为y+13——y x>0,y>0,所以0<y<3.贝Q x+y=y----y+1 =y+1+^^—2>2,当且仅当y=1时取等y+1号，所以,x+y的最小值是2.故填2.师:生1利用已知条件，通过消元，转化为一元变量的最值问题,然后运用基本不等式求出了最小值•非常好！生2：因为x>0,y>0,所以xy W (狓；y)，则3=xy+x+y<(狓十冷+(x+ y)，当且仅当x=y时取等号.可得(x+y)+ 4(x+y)—12》0,即(x+y+6)(x+y—2)》0,因为x>0,y>0,所以x+y+6>0,所以x+ y—2>0,即，当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最小值是2.故填2.生3：因为xy+x+y=3,所以(x+1)(y+ 1)=4,因为x,y>0,所以x+y=(x+1)+(y+ 1)—2>2槡(x+1)(y+1)—2=2,当且仅当x+1=y+1=2,即x=y=1时取等号.所以x+ y的最小值是2.故填2.师:生2和生3的解法，虽然过程有所不同，但有一个共同的特点9就是无需消元9只需运用整 体处理的方法，直接由基本不等式求出函数的最 小值，显得既简洁又巧妙•请大家再看下面的问题问题3 已知a 〉0,b 〉0,且a +b =2,则犪十2+b 的最小值是a b + 1 ----------很快有学生想到先将目标函数变形简化9再 运用基本不等式求出其最小值a 2 +2b 2 a 2 +2 b 2 —1 +1牛 4:----------------------=------------------------------=4 a b +1 a b +19 q ? 1a +-------b —1+ 丄=----十 丄 +1.因为 a 〉0,a b +1 a b +13槡—16,得丁》—2 — 373— +16,当—=3槡3Q7时，函数m =—2—33—+16,取得最小值匸.此时3z 〉0符合题意，故填3p师：很好！现在请大家回过来看看，我们开始 提出的问题，有办法解决了吗？2.3 探索解法，提升学生的能力学生交流讨论，探索原题的解法，很快就有同学取得了很好的进展生7：因为乙2(1 +x 1) —X 21 +X 1b 〉0,且 a +b = 2,所以 a + (b + 1)= 3,所以一■+a1 ) = 2(b + 1)b +1)3a3(b + 1) +1》2槡一 +1 = 232 +1当且仅当a =72 (b + 1)时取等号.所以犪十一+b 的最a b +11b + 1a+2 同理—2=】一二一'ia b +1—十 3b 2小值为普 + 2.故填普 + 29师：请大家思考，将目标函数变形为一+ab +1 + 1后,能用消元的方法将其转化为一元变量的函数，再求其最小值吗？生众:可以的，也不难解决.师:上面两题中都只涉及两个变量9有遇到过 三个变量的问题吗？问题4 已知x >0 —〉0,〉0,若x +槡3—+z =6,则x 3+ —2 +3z 的最小值为______.师:同学们有什么想法吗？生5：只要由x +槡—+z =6,消去z ,转化为二元变量的函数，就容易解决了师:这个想法不错,大家试试看.生 6：设 T =x 3 +—2 +3z 因为 x +槡3— +z =6,所以z = 6 — x —槡槡—,所以 T =x 3+—2+18 —3x —373 —,可得T — —2 + 3槡3— =x 3 + 18 ——3x ,设犳(x ) =x 3 +18 — 3x ,//(x ) =3x 2 —3.令 f f (.x) =0,可得 x =±1,fXx )在(0,1)上单调递减，在(1, +心 上单调递增，所以 fXx ) > f (1) =16,即 T ——2 +1+x 2,所以 w = 1+x 2+1+x 2+1+x 2X 2X 1X 2X 21-—)+ (1-X 2)+ (1-X 2)=/ 2 2 2、_ X 1 X 2 X s \3 *T 十X I + !+X 2+ !十X ^.不妨设 0 W x i W X 2 W X 3 ,由 X i +X 2 +X 3 =1,若 X s =1,则 X i =X 2 =0,此时犠= 1 + 1+ 一 =52若X 3 <1,则当X = 0 时，有 0<X 2 W X ，且X 2 +22X 3= 1,由 1+x 2 >2^2 >0^1十2X 2 ^X — =2，当且仅当X 2=1时取等号，又X 2 <X 3 <1,所以上式不取等号，于是有王2 < X ，同理x 2x 31XX 3 <X ，以犠=3一 (二2+X 3)〉3—X 2 +X 32=3-1=5；当X 1〉0 时，有 0<X 1 W X 2 W X 3 < 1,同上，可得x2 X I x 2 X? x 2 X.1十< 2 'j < - 'i < 2 '从而犠x1x2x31+X 1 1 +x 2 1 +x i)〉33故总有犠=「二+「当且仅当X 1,X 2,X 3中一个取1,另两个取0时取5等号，所以W mn=5.师:这位同学做得非常好！先将目标函数变形为w=3—（二十二十二）'再运用基本不等式使问题获得了解决，而且能正确地进行分类讨论，过程十分规范,值得大家学习•求解这个问题，还有其他方法吗？生8:可以运用消元的思想，先将目标函数转化为一元变量的函数，再运用求导的方法求解•不妨令0W x1W x2W x s次贝w=1+x2+]+x2+11+x2,当且仅当x1=x2时取等号•此时，由x1+x2+x3=1,得2^2+x3=1,学生经过一番思考和研讨，可以猜想当x1= 127x2=x s=1时,W取得最大值10,但是如何来证明这一结论,还是有一些困难•在教师的启发下,终于有学生得出了如下的解法生10：容易猜想，当x1=x2=x s=*1时，1十1十1=7 1+(1)1+(1)1+(3)210:1十x2，x e[0,1]，令19」=9,得W max证明如下:令犳—x点P(19)2令2x2=x,则x3=1—x,其中x g0,3•于是,有可=11+x211+x乙*11+x2考察函数犳（x）12的图象在点P处的1+xx2^F l+x^-令y8x2+4x2—2x+2'x&[，3_切线i.求导，得f'x）=（+x）f百）=97Q—27从而得切线l的方程为y—9=求导得y'=—16x(x2+4)—(2x—2)(x2—2x+2)一|0(x)n y=—I^C x—2.由图象可知对16x (x2+4)2x—2-(x2—2x+2)_>0对x e0,2」恒成立，所以y8x2+41x2—2x+2on ox e0,3单调递增,所以当x=0时,y mn=⑷+—=2所以w=+2十―I+i>2,当且仅当x1=x2=0x3=1时取等号，所以w-=5'r min2•2.4变式引申，拓展学生的思维师:上面我们从不同的视角探索了原题的解法，对这个问题，大家还有一些新的想法吗？能不能由原来的问题，提出一些新的问题来？生9：我想啊，能求出W的最大值吗？如果将问题变成求W的取值范围,又怎么求解？师:这个想法有见地.我们解决一道数学问题,不能就题论题•要善于从这道题出发，作一些变式，提出一些新的问题，将这道题的作用发挥到极致.就今天的这个问题而言，大家能求出W的最大值吗？试试看127任意x e[0,1],有1+x2W—2^x—2),即(1+50x2)(x—2)^一2恒成立•事实上，不妨令g(x)=(1+x2)(x—2)= x3—2x2+x—2,]贝g'(x)=3x2—4x+1= 3(x)(x—1),当x e[0,1]时，犵(x)在110,3上递减，在33?1上递增，故得犵（x）min=十(1)—2=27,所以（1+x2）（x—2）>—27,即上7W—57（x—2）对任意x e[0,1]恒成立.当且仅当x=3时取等号.所以'w=：1十十1+x3W一+x2+x3—6),又因为x1+x2+x s=1,所以W W—--(1—9716)二看7,当且仅当X1=X2=X3=3时取等号，所97以犠唉=1°.综上，当工1，工2，工3中的一个值取1,另两个51值取0时，犠m in=5,当X1=X2=X3=3时，犠=^犠max1°•2.5总结提炼，完善学生的认知师:很快又到下课的时间了！请同学们回忆一下我们今天这节课的研究内容生11：今天这节课，我们主要研究了多元变量的条件最值问题的求解方法.师：我们是怎样进行研究的？研究的方法是什么？生12：我们从一道典型的问题出发，联想已经研究过的类似的问题9从不同的视角9运用一题多解与一题多变的方法，探索得出这一类问题的一般的解题方法师:通过这节课的学习，你有哪些收获？生12：掌握了求解多元变量的条件最值问题的基本思维方法:一是利用已知条件消元，将其转化为一元变量的函数最值问题来处理，二是借助基本不等式整体求解生13：体会了等价转化、分类讨论、先猜后证、类比等数学思想和数学方法在解题中的应用.师：运用基本不等式求最值，要注意什么？生14：要关注“一正、二定、三相等”的条件,三者缺一不可！师:求解一元变量的函数最值问题，常用的方法有哪些？生15：可以借助函数的图象，利用函数的单调性、求导数的方法,也可以运用基本不等式.师:对今天的问题，大家还能做哪些探究？课后不妨试一试3教后反思“一题一课”的学习模式最大的特点是“小切口9深挖掘”,对数学“题”进行深度挖掘，以“原题”为本，设计出不同层次的探究题，由浅入深，逐个击破，真正做到了深度学习,促使学生的数学思维从低阶逐步跨越到高阶思维•1本节课给出的原题即问题1综合性较强，难度较大,对学生有一定的挑战性•对于多元变量的问题，处理的常用方法是消元法和基本不等式法9如何让学生体会这两种方法？本节课的一系列问题串，给学生铺设好了台阶，问题2和问题3难度适当提高，都能转化为一元函数，然后用基本不等式或者求导得到最值，也可以直接用基本不等式解决双元变量的最值.问题4的设计是让学生感受从二元变量跨度到三元变量，通过问题4,学生能进一步体会消元的思想和方法，尤其是三元变量的消元方法得到进一步的强化,从而能顺利地解决开始给出的问题1.这一串问题很好地体现了“一题一课”的选题原则:层次性、开发性、广延性．问题的层次性让不同能力的学生在学力上得到不同的发展；问题的开放性让不同层次的学生都能参与;问题的广延性，易于学生发现问题并做进一步的探究和推广•囚波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像9它们都成堆地生长,找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个•”数学问题好比蘑菇'成堆同根地出现.在进行解题教学时9教师如果能够以具有典型性、可以发挥示范辐射作用的原题为出发点9运用“一题一课”的模式9开展“蘑菇式”的变式探究活动，既可以让原本较枯燥无味的解题课堂变得生机勃勃，也能收到“讲一题、通一类、得一法”的效果•本节课的教学以一道题为主线9围绕着一个主题开展探索活动，揭示问题本质9提炼解题策略，挖掘知识之间的联系9渗透数学思想方法，显得简约、精准和高效.研究的内容和方法可以在学生头脑中留下深刻的印象9不容易遗忘9使其课后再做类似的问题时感到得心应手,逐渐感到学习数学不再枯燥无味.教学有法，教无定法.“教亦多术矣，运用在乎人”.叶圣陶先生也曾经说过:“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导.必令学生运其才智，勤其练习，领悟之源广开,纯熟之功弥深，乃为善教者也”•建议各位数学教师重视对解题教学的研究，努力探索和构建出更多的、适合学生的、行之有效的解题教学模式，帮助学生“跳出题海”，让学生在生动活泼、丰富多彩的探究活动中深化对知识的理解，提高应用所学知识分析问题和解决问题的能力，使我们的解题教学真正走向简约、精准和高效．参考文献口］张文海•“一题一课”:让高三数学复习走向素养落实［J］•数学通报,2020(7):30-34.［2］陈君丽.基于“一题一课”的数学深度学习一一以一类“含参不等式最值问题”为例［J1中学教研(数学)，2020(8)：9-12．。
多元函数最值问题求解策略
的最大值为
说明 : 如何将多元函数在限定的条件中转化成 单元函数 , 是破解本题的关键 . 本题应用了三角代换 及平均值法 .
( 2) 通过放缩减元 :
量 , 点集 D 称为该函数的定义域 , 数集 { z | z = f ( x,
y ) , ( x, y ) ∈ D } 称为该函数的值域 .
定义 3 类似地 , 可定义“ n 维空间 ” 、 “n 元函 数” . 二元及二元以上的函数统称为多元函数 . 2 多元函数最值问题求解策略 11 减元法 : 根据化归思想的理论可尝试将多元 函数问题转化为我们熟悉的一元函数来处理 , 可通 过换元 、 不等式放缩技巧 、 题中条 件等式等途径实 现.
=
4
2
3 4
)
2
+
4 2 a 3
3)2 + 2
4a 3 ≤ 4
<
a
2
3
< 1
所以 k < 1. 说明 : 本题在求解过程中也进行了两次配方从 而获得成功 . 3 1数形结合 : 当我们所要求的多元函数的结构 式与我们学过的一些公式 (如两点间距离公式 、 斜 率公式 , 点到直 线的 距离公式 、 定比分点坐标公式 等 ) 结构类似时可考虑用数形结合的思想方法 . 例 6 已知函数 f ( x) = a x3 - bx2 + ( 2 - b) x 3
B ( 2, 2 ) , C ( 4 , 2 ).
H A Z H I
技巧要熟练应用 . 二次系数非零的二次方程有解可 推出判别式非负这一结论经常用来给所求变量加以 限制 . 5 1不等式法 : 利用基本不等式 (均值不等式 ) 和 柯西不等式求解最值问题 .
( 1) 基本不等式 :
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值类似，多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。
在实际问题中，多元函数的极值问题有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。
一、多元函数的定义首先，我们来回顾一下多元函数的定义。
在数学中，多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$，极值的定义与一元函数类似，分为最大值和最小值。
具体定义如下：1. 最大值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值，点$(x_0,y_0)$是最大值点。
2. 最小值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值，点$(x_0,y_0)$是最小值点。
三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题，通常可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：对多元函数$z=f(x,y)$，分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
2. 解方程组：令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$，得到极值点$(x_0,y_0)$。
例谈求解多元函数最值问题的三种措施
备考指南多元函数最值问题中往往涉及了多个变量，无法直接运用简单基本函数的性质、图象来求得最值，因而此类问题一般较为复杂，需灵活运用基本不等式及其变形式，通过三角换元、数形结合来求得问题的答案.下面结合实例来探讨一下求解多元函数最值问题的三种措施.一、利用基本不等式及其变形式基本不等式是指若a,b>0，则a+b≥2ab.在求解多元函数最值问题时，通常需用到基本不等式及其变形式，如21a+1b≤ab≤a+b2≤(a、b>0)、a2+b2≥2ab、a+b+c≥3ab3c、n∑i=1n1x i≤∏i=1n x i n≤∑i=1n x i n≤.利用基本不等式及其变形式求解多元函数最值问题需注意几个条件：（1）每个变量是否都为正数；（2）是否可配凑出几个变量的和或积，并使其中之一为定值；（3）几个变量相等时等号是否成立.例1.已知a＜b，若不等式ax2+bx+c≥0对任意实数都成立，则M=a+2b+4cb-a的最小值为______.解：因为a＞0，b-a＞0，b2-4ac≤0，所以c≥b24a，故M≥a+2b+4∙b24ab-a=a2+2ab+b2a()b-a，则a 2+2ab+b2a()b-a=[]2a+()b-a2a()b-a=()b-a2+4a()b-a+4a2a()b-a=b-a a+4a b-a+4b-a a+4a b-a+4≥24=8，则M≥a2+2ab+b2a()b-a≥8，当a=3b时等号成立，故M的最小值为8.目标式中含有三个变量，需先找出变量之间的关系，通过恒等变换减少变量的个数，将目标式放缩为关于a、b的函数式；然后根据该式的结构特点，将其变形为几个简单分式的和，并使其中每两个式子的积为定值，即可根据基本不等式a+b≥2ab求得M的最值.例2.若x，y，z为正实数，x2+y2+z2=1，则yz x+ xzy+xyz的最小值为_____.解：由基本不等式可得：y2z2x2+x2z2y2+x2y2z2=12æèçöø÷y2z2+z2y2x2+12æèçöø÷x2z2+z2x2y2+12æèçöø÷x2y2+y2x2z2≥x2+y2+z2，则æèçöø÷yzx+xz y+xyz2=y2z2x2+x2z2y2+x2y2z2+2(x2+y2+z2)≥3()x2+y2+z2=3，即yzx+xz y+xyz≥3，当且仅当x=y=z=等号成立，故当x=y=z时，yzx+xz y+xyz有最小值3.对于本题，需运用基本不等式的变形式a2+b2≥2ab以及a+b+c≥3ab3c，才能顺利求得最值.在多次使用基本不等式及其变形式时，需确保在各个变量相等时，由基本不等式及其变形式得到的每个不等式的等号成立.二、三角换元由于多元函数最值问题中的变量较多，所以常常需通过三角换元，将问题中的变量化为关于某个角的三角函数，这样就能将问题转化为单变量函数最值问题来求解.通常可先根据题目中所给的条件，用三角函数sinα、cosα、tanα替换问题中的变量；然后通过三角恒等变换化简目标函数式，利用三角函数的图象、性质来求得最值.例3.已知实数x，y满足x2+y2≤1，求||x2+2xy-y2的最大值.解：令x=r cosθ、y=r sinθ，且0<r≤1，则||x2+2xy-y2=r2||cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ=r2||cos2θ+sin2θ=2r2||||||sinæèöø2θ+π4，因为sinæèöø2θ+π4∈[]-1,1，所以||x2+2xy-y2=||||||sinæèöø2θ+π4≤2r2≤2，故||x2+2xy-y2的最大值为2.54由x 2+y 2≤1可联想到同角的三角函数关系式sin 2θ+cos 2θ=1，于是令x =r cos θ、y =r sin θ，且0<r ≤1，即可通过三角换元，将目标式转化为三角函数式.最后根据正弦函数的有界性求出三角函数的最大值.例4.已知实数x ，y ∈R ，x 2-92y 2=2，求||2x +3y 的最小值.解：设ìïx =2sec θ，=2tan θ，S =||2x +3y =||22sec θ+2tan θ=||，∴||cos θS =22+2sin θ，∴||cos θS -2sin θ=22，∴S 2+4cos ()θ+ϕ=22≤S 2+4，∴S 2≥4，∵S ≥0，∴S ≥2，∴||2x +3y 的最小值为2.我们根据已知关系式x 2-92y 2=2，分别令x =2sec θ、32y =2tan θ，通过三角换元，将问题中的双变量x 、y 用单变量θ表示出来，就能将问题转化为关于θ的三角函数问题，利用辅助角公式以及正余弦函数的有界性进行求解即可.三、数形结合运用数形结合法求解多元函数最值问题，需深入挖掘目标函数式中代数式的几何意义，熟悉简单基本函数的解析式和图象，画出相应的图形，即可将问题转化为几何图形问题，通过移动点、直线、曲线的位置，确定取得最值时的临界情形，列出关系式，求得最值.例5.已知a ＞0，b ＞0，1a +1b=3，求a +b 的最小值.解：由1a +1b =3可得b =a 3a -1，因为3a -1＞0，所以a ∈æèöø13,+∞，令a +b =t ，则b =-a +t ，此时可以将t 看作直线b =-a +t 的纵截距.由图1可知直线b =-a +t 与函数b =a3a -1，a ∈æèöø13,+∞相切时，直线的纵截距最小值，可得b ′=-1()3a -12=-1，即a =b =23，则a +b 的最小值为43.通过数与形之间的互相转化，将函数最值问题转化为直线b =-a +t 与函数b =a3a -1图象之间的位置关系问题，即可通过分析直线与函数图象的临界情形：相切，确定a 、b 的取值，进而求得函数的最值.图1图2例6.已知x ，y ∈R ，则f ()x ,y =()x -y 2+æèçöø÷x +1y +12的最小值是_____.解：f ()x ,y =()x -y 2+æèçöø÷x +1y +12=()x -y 2+éëêêùûúú()x +12-æèçöø÷-1y 2，不妨将该式看作两点()x ,x +1、æèçöø÷y ,-1y 之间的距离的平方，显然()x ,x +1在直线y =x +1上，点æèçöø÷y ,-1y 在双曲线xy =-1上，画出图形，如图2所示.由图2可知当AC 垂直于直线y =x +1时，两点间的距离最短.则直线AC 的斜率为-1，且过原点，所以直线AC 的方程为y =-x ，得A ()-1,1，C æèöø-12,12，则||AC 2=12，所以f ()x ,y 的最小值为12.我们先将目标函数式变形为两式的平方和，即可根据两点间的距离公式，将目标式看作两点()x ,x +1、æèçöø÷y ,-1y 之间的距离的平方；然后结合图形，确定直线上的点到双曲线xy =-1上的点的最短距离，即可解题.解答多元函数最值问题，关键是研究问题中的变量和目标式，可通过变形目标式，利用基本不等式及其变形式求解；也可通过三角换元，将多变量化为单变量的三角函数问题来求解；还可以通过数形结合，将变量视为动点的坐标，通过研究动点、动直线、动曲线的位置关系，求得最值.同学们在解题时需仔细研究变量之间的关系，明确目标函数式的结构特点，选择与之相应的思路进行求解.（作者单位：江苏省启东市东南中学）备考指南55。
多次使用基本不等式解题的技巧
多元变量最值问题是一类较为复杂的题型.当目标式中的变量彼此相互独立、没有制约时，可多次使用基本不等式来求最值.我们知道应用基本不等式a +b ≥2ab ()a >0,b >0解题的三个条件是:一正二定三相等.而多次使用基本不等式，不仅要确保三个条件成立，还要采用一些技巧，如提取公因式、添减项、用“1”代换、放缩不等式等，拼凑出两式的和或积的形式，来求得最值.下面结合实例来说明。
例1.已知x >0,y >0，则x +y x +16xy 的最小值为______.解：x +y x +16xy =x +1x æèçöø÷y +16y ，∵y >0，∴y +16y ≥8，当且仅当y =4时等号成立.∵x >0,∴x +y x +16xy ≥x +8x ≥=42，当且仅当x =22时等号成立，∴当且仅当x =22,y =4时，x +y x +16xy的最小值为42.目标式中既含有x 又含有y ，而且是分式，不能直接用基本不等式求最值，于是将后两项中的公因式1x提取出来，便可直接利用基本不等式求得y +16y 的最值，然后再次利用基本不等式求得x +8x 的最值，最后利用不等式的传递性便可求得x +y x +16xy 的最小值.这里提取公因式的目的是为再次使用基本不等式创造条件，即配凑出积的定值.例2.已知a >0,b >0,c >2，且a +b =2，那么ac b+c ab -c 2+的最小值为_____.解：ac b +c ab -c 2+=c æèöøa b +1ab -12，因为a >0，b >0，所以a b +1ab -12=a b +()a +b 24ab-12=5a 4b+b 4a当且仅当b =5a 时等号成立.又因为c >2，所以c æèöøa b +1ab -12≥+)c -2+5≥10+5，当且仅当c =2+2时等号成立，所以ac b +c ab -c 2+的最小值为10+5.题目条件中含有三个未知量a 、b 、c ，而条件中只有a 、b 有制约条件，即c 为独立变量，可先提取公因式c ，利用基本不等式求出a b +1ab的最小值，然后将不等式放缩，并添加项-5，使两式的积为定值，便可再次使用基本不等式求得最值.例3.设x +4y =1()x >0,y >0，s >t >0，则x 2s 2+ys 2xy+1st -t2的最小值为______.解：由x +4y =1可得x 2+y xy =x 2+()x +4y y xy =xy+1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13,y =13时“=”成立.而st -t 2=t ()s -t ≤éëêùûút +()s -t 22=s 24，当且仅当t =s -t 时“=”成立.于是x 2s 2+ys 2xy +1ts -t 2≥5s 2+4s 2≥45，当且仅当x =13,y =16,st时“=”成立.所以x 2s 2+ys 2xy +1st -t2的最小值为45.解答本题，三次使用了基本不等式.首先用“1”的代换，将目标式进行变形，运用基本不等式求得x y +4yx的最值，然后直接利用基本不等式的变形式ab ≤ab ≤æèöøa +b 22求得st -t 2的最大值，再放缩不等式，第三次使用基本不等式求得5s 2+4s2的最值.通过对这三道例题的分析，我们发现，在多次使用基本不等式的时候，需要对原式进行必要的整合和变形.有些题目有三个变量，但只有两个变量间有约束条件，可先运用基本不等式求出其最值，再根据不等式的性质对不等式进行放缩，以便再次使用基本不等式.在多次使用基本不等式时，需要注意等号成立的条件.（作者单位：福建省武平县第二中学）解题宝典43Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。