人教版高中数学全套试题1-1习题课

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人教版高中数学全套试题第1章1.1.1第一课时知能优化训练

1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．水浒书业的全体员工B．《优化方案》的所有书刊C．2010年考入清华大学的全体学生D．美国NBA的篮球明星解析：选D.A、B、C中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2．(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1B．2C．3 D．4解析：选B.①②正确，③④错误．3．集合A＝{一条边长为1，一个角为40°的等腰三角形}中有元素()A．2个B．3个C．4个D．无数个解析：选C.(1)当腰长为1时，底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时，底角为40°或顶角为40°，所以共有4个三角形．4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．解析：由x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.由x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.答案：31．若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形答案：A2．设集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A答案：C3．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学；③2010年广州亚运会的比赛项目；④1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合；由于②③④中的对象具备确定性、互异性，所以②③④能构成集合．4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a≠b，a≠c，b≠c.5．下列各组集合，表示相等集合的是()①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}；②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}；③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}．A ．①B ．②C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2.6．若所有形如a ＋2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ，对于x ＝13－52，y ＝3＋2π，则有( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∉MC ．x ∉M ，y ∈MD ．x ∉M ，y ∉M解析：选B.∅x ＝13－52＝－341－5412，y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∉M .7．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确．答案：38．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________．解析：当a ＝2时，6－a ＝4∈A ；当a ＝4时，6－a ＝2∈A ；当a ＝6时，6－a ＝0∉A ，所以a ＝2或a ＝4.答案：2或49．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0，b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时，|a |a ＋|b |b＝－2. 所以集合中的元素为2,0，－2.即元素的个数为3.答案：310．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解：∵－3∈A ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.11．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试判断12－3是不是集合A 中的元素？解：∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ，即12－3∈A .12．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值．解：根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧ a ＝14b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12.。

高中数学人教A版选修1-1习题：第一章常用逻辑用语1.1.2-1.1.3

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课时过关·能力提升基础巩固1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.若一个数是负数,则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数,则它是负数C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数.2.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab3.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是()A.若q不正确,则p不正确B.若q不正确,则p正确C.若p正确,则q不正确D.若p正确,则q正确,原命题的逆命题和否命题互为逆否命题,为等价关系.故只需写出原命题的否命题即可.4.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数.5.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠⌀”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的有()A.都真B.都假C.否命题真D.逆否命题真,而其否命题为“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,则{x|ax2+bx+c<0}=⌀”,为假命题.6.下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;④“若x>2 017,则x>0”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.37.命题“若-1<x<1,则x2<1”的逆否命题是.x2≥1,则x≤-1或x≥18.命题:“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题有个.b≤-1时,Δ=4b2-4(b2+b)=-4b>0,所以原命题为真命题;由Δ≥0,得b≤0,故其逆命题为假命题.所以这4个命题中真命题有2个.9.给出以下命题:①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.其中真命题的序号是.否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”.真命题.②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,∴x2+x-m=0有实根,即原命题为真.∴逆否命题为真.10.证明:若p3+q3=2,则p+q≤2.,我们考虑是否能够比较容易地证明命题的逆否命题:若p+q>2,则p3+q3≠2.:若p+q>2,则p3+q3≠2.由p+q>2,得q>2-p,根据幂函数y=x3的单调性得q3>(2-p)3,即q3>8-12p+6p2-p3.]≥2,p3+q3>8-12p+6p2=6[(p-1)2+13所以p3+q3>2.因此p3+q3≠2.这说明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.能力提升1.下列说法正确的是()A.若一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”D.若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真A中逆命题与逆否命题互为否命题,真假性没有关系;选项B中两者等价;选项C中逆否命题应是“若a,b不全为0,则a2+b2≠0”;选项D正确.2.互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性.我们用“↔”表示同真或同假,把它叫做“连连看”.下面让我们领略“连连看”的风采:已知命题p的否命题是r,命题r的逆命题为s,命题p的逆命题是t,则下列同真同假的“连连看”中,正确的一组是()A.p↔r,s↔tB.p↔t,s↔rC.p↔s,r↔tD.p↔r,s↔rp的否命题是r,命题r的逆命题为s,所以命题p与s互为逆否命题,故有p↔s;又由于命题p的否命题是r,命题p的逆命题是t,故命题r,t也是互为逆否命题,即r↔t.3.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3.4.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是.(填序号)的逆命题是:若四点中任意三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任意三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以②的逆命题是真命题.5.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数(m>0,且m≠1).若这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.1★6.给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“矩形的对角相等”的逆命题;③“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是.当k>0时,Δ=4+4k>0,故方程有实根;②对角相等的四边形不一定是矩形,故②是假命题;③“若x,y中至少有一个为零,则xy=0”是真命题,所以原命题的否命题是真命题.7.判断下列命题的真假:(1)“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题;(3)“梯形不是平行四边形”的逆否命题;(4)“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题.若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题.(2)“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题.(3)“梯形不是平行四边形”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.(4)“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2”,是假命题.★8.已知下列三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,若至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围.:(1)三个方程都无实根;(2)只有一个方程有实根}至少有一个方程有实根.(3)只有两个方程有实根(4)三个方程都有实根若按分类讨论,则需分三种情况,且(2)(3)又分多种情况,显然运算量太大,若注意到(2)(3)(4)可合并为至少有一个方程有实根,利用“补集”的思想,问题即可等价转化.,则有{Δ1=(4a )2+4(4a -3)<0,Δ2=(a -1)2-4a 2<0,Δ3=(2a )2+8a <0,即{ -32<a <12,a >13或a <-1,-2<a <0.解得−32<a <−1. 故若三个方程中至少有一个方程有实根,则a 的取值范围是a ≥-1或a ≤−32.。

高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)

综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析当sin θ＝1时，曲线表示圆．当sin θ<0时，曲线表示的双曲线．当sin θ>0时，曲线表示椭圆．答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ，当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值．故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省．答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增；由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0，即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

最新高中数学选修1-1(人教版练习)：第一章常用逻辑用语 Word版含答案

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一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句中，命题的个数是导学号 03624316( C )①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2C．3 D．4[解析]①不能判断真假，故不是命题，其他都是命题．2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是导学号 03624317( D )A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1[解析]“－1<x<1”的否定为“x≤－1或x≥1”，故原命题的逆否命题为：“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．3．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是导学号 03624318( A )A．1 B．2C．3 D．4[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．4．(2017·北京文，7)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的导学号 03624319( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 方法1：由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |<0.当90°<θ<180°时，m ·n <0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A ．方法2：∵m ＝λn ， ∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈(π2，π]，当〈m ，n 〉∈(π2，π)时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A ．5．(2017·天津文，2)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的导学号 03624320( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵2－x ≥0，∴x ≤2.∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2. ∵当x ≤2时，不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时，一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．故选B ．6．(2016·江西抚州高二检测)以下说法正确的个数是导学号 03624321( C ) (1)“b 2＝ac ”是“b 为a ，c 的等比中项”的充分不必要条件； (2)“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件；(3)“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充分不必要条件． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] (1)中，a ＝b ＝0时，b 2＝ac ，但b 不是a ，c 的等比中项，若b 为a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，故“b 2＝ac ”是“b 为a ，c 的等比中项”的必要不充分条件；(2)中，|a |>|b |⇔a 2>b 2，故“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的充要条件；(3)中，A ＝B ＝π2时，tan A 、tan B 无意义，当A ＝π3，B ＝4π3时，tan A ＝tan B ，而A ≠B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的既不充分也不必要条件，故选C ．7．已知命题p ：∀x 1、x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则¬p 是导学号 03624322( C )A ．∃x 1、x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1、x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1、x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1、x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 [解析] 根据全称命题的否定是存在性命题求解． ¬p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.8．(2016·重庆巴蜀中学高二检测)设a 、b ∈R ，那么“a b>1”是“a >b >0”的导学号 03624323( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a b >1⇒a b －1>0⇒a －b b >0⇒b (a －b )>0⇒a >b >0或a <b <0.故“ab>1”是“a >b >0”的必要不充分条件．9．“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的导学号 03624324( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 当a <0时，Δ＝4－4a >0， ∴方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，不妨设两根分别为x 1、x 2. 则x 1＋x 2＝－2a >0，x 1x 2＝1a<0，故方程ax 2＋2x ＋1＝0有一正根一负根. 当a ＝0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根为－12，∴a <0⇒方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根⇒/a <0，故选A ． 10．下列命题中是假命题．．．的是导学号 03624325( D ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos (α＋β)＝cos α＋sin β D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin (2x ＋φ)都不是偶函数[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2 x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos (α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时， f (x )＝sin (2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题．11．下列命题中的真命题是导学号 03624326( D ) A ．∃x ∈[0，π2]，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3[解析] ∵对任意x ∈R ，有sin x ＋cos x ＝2sin (x ＋π4)≤2，∴A 假；∵x ∈(π2，π)时，tan x <0，sin x >0，∴B 假；∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴方程x 2＋x ＝－1无解，∴C 假；∵x 2＋2x －(4x －3)＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴对任意x ∈R ，x 2＋2x －(4x －3)>0恒成立，故D 真．12．命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实根，命题q ：函数f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”真命题，则实数a 的取值范围是导学号 03624327( A )A ．(－22，1]∪[22，＋∞)B ．(－22，22)C ．(－22，＋∞)D ．(－∞，22)[解析] ∵方程x 2＋ax ＋2＝0无实根， ∴△＝a 2－8<0，∴－22<a <22， ∴p ：－22<a <2 2.∵函数f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a >1. ∴q ：a >1.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假．当p 真q 假时，－22<a ≤1，当p 假q 真时，a ≥2 2.综上可知，实数a 的取值范围为(－22，1]∪[22，＋∞)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2016·北京昌平区高二检测)若命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≤0，则¬p ： ∃x ∈R ，x 2－x ＋14>0 .导学号 03624328[解析] 根据全称命题的否定是特称命题，故¬p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14>0.14．给出命题：“若函数y ＝f (x )是指数函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__1__.导学号 03624329[解析] 因为命题：“若函数y ＝f (x )是指数函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是指数函数”是假命题，如函数y ＝x ＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.15．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ .导学号 03624330 [解析] 由题意可知，命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”为真命题，∴(－5)2－4×152a <0，即a >56.∴实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.16．(2016·贵州安顺高二检测)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：x 2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．其中正确的是__①②③④__.(填所有正确命题的序号)导学号 03624331[解析]命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1正确，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也正确，所以①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)判断下列语句是否为命题，若是命题，再判断是全称命题还是特称命题，并判断真假.导学号 03624332(1)有一个实数α，tan α无意义；(2)任何一条直线都有斜率吗？(3)圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径；(4)圆内接四边形的对角互补；(5)对数函数都是单调函数．[解析](1)特称命题．α＝π2时，tan α不存在，所以，特称命题“有一个实数α，tan α无意义”是真命题．(2)不是命题．(3)虽然不含有全称量词，但该命题是全称命题．它的含义是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径，所以，全称命题“圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径”是真命题．(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．(5)虽然不含全称量词，但“对数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题．18．(本题满分12分)写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”导学号 03624333[解析]逆命题：若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.逆命题为真．否命题：若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.否命题为真．逆否命题：若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.逆否命题为真．19．(本题满分12分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围.导学号 03624334[解析] P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}． ∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件， ∴x ∈Q ⇒x ∈P ，即Q ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥－1，∴－1≤a ≤5.20．(本题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：任意m ∈R ，关于x 的方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)q ：存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.导学号 03624335[解析] (1)¬p ：存在m ∈R ，使方程x 2＋x －m ＝0无实数根．若方程x 2＋x －m ＝0无实数根，则Δ＝1＋4m <0，则m <－14，所以¬p 为真．(2)¬q ：所有x ∈R ，x 2＋x ＋1>0.因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以¬q 为真．21．(本题满分12分)(2016·广东汕头高二检测)已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点；命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围.导学号 03624336[解析] p 真：(1－2＋a )(4－4＋a )<0， ∴a (a －1)<0，∴0<a <1. ∴p 假：a ≤0或a ≥1.q 真：(2a －3)2－4>0∴4a 2－12a ＋5>0，∴a >52或a <12.q 假：12≤a ≤52.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 、q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <112≤a ≤52，∴12≤a <1.当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1a >52或a <12，∴a ≤0或a >52.综上可知，a 的取值范围是a ≤0或12≤a <1或a >52.22．(本题满分12分)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 导学号 03624337[解析] 由(4x －3)2≤1，得12≤x ≤1，令A ＝{x |12≤x ≤1}．由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，令B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由¬p 是¬q 的必要不充分条件，得p 是q 的充分不必要条件，即A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1，∴0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是[0，12]．。

人教A版高中数学必修1全册练习题

人教A版高中数学必修1全册练习题高中数学必修1练习题集第一章、集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示例1.用符号和填空。

⑴设集合A是正整数的集合，则0_______A，________A，______A；⑵设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1+______B；⑶设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A，美国_____A，印度_____A，英国____A例2.判断下列说法是否正确，并说明理由。

⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵1，，，，这些数组成的集合有五个元素；⑶由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。

例3.用列举法表示下列集合：⑴小于10的所有自然数组成的集合A；⑵方程x=x的所有实根组成的集合B；⑶由1～20中的所有质数组成的集合C。

例4.用列举法和描述法表示方程组的解集。

典型例题精析题型一集合中元素的确定性例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A.2B.3C.4D.5题型二集合中元素的互异性与无序性例2.已知x{1，0，x}，求实数x的值。

题型三元素与集合的关系问题1.判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。

若aA，bB，试判断a+b与A，B的关系。

2.求集合中的元素例4.数集A满足条件，若aA，则A，（a≠1），若A，求集合中的其他元素。

3.利用元素个数求参数取值问题例5.已知集合A={x∣ax+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一个元素，求a的取值。

⑵若A中至多有一个元素，求a的取值范围。

题型四列举法表示集合例6.用列举法表示下列集合⑴A={x∣≤2，xZ}；⑵B={x∣=0}⑶M={x+y=4，xN，yN}.题型五描述法表示集合例7.⑴已知集合M={xN∣Z}，求M；⑵已知集合C={Z∣xN}，求C.例8.用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。

人教版高中数学全套试题1-1-2第1课时

1．1.2程序框图与算法的基本逻辑结构第1课时程序框图、顺序结构双基达标(限时20分钟)1．下列图形符属于判断框的是()．解析判断框用菱形表示，且图中有两个退出点．答案 C2．下列关于程序框图的说法正确的有()．①用程序框图表示算法直观、形象，容易理解；②程序框图能清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言；③在程序框图中，起止框是任何流程不可少的；④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D3．(2012·东营高一检测)给出下列程序框图：若输出的结果为2，则①处的执行框内应填的是()．A．x＝2 B．b＝2 C．x＝1 D．a＝5解析因结果是b＝2，∴2＝a－3，即a＝5.当2x ＋3＝5时，得x ＝1. 答案 C4．下面程序框图表示的算法的运行结果是________．解析由题意P ＝5＋6＋72＝9，S ＝9×4×3×2＝63＝6 6.答案 6 65．写出如下程序框图的运行结果．S ＝________.若R ＝8，则a ＝________. 答案 2.5 46．已知一个直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，设计一个算法，求三角形的面积，并画出相应的程序框图．解算法如下：第一步：输入两直角边的边长a ，b ；第二步：计算S ＝12ab ；第三步：输出S . 程序框图：综合提高(限时25分钟)7．如图所示的程序框图表示的算法意义是( )．A ．边长为3,4,5的直角三角形面积B ．边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积C ．边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积D ．以3,4,5为弦的圆面积解析由直角三角形内切圆半径r ＝a ＋b －c2，故选B.答案 B8．一个完整的程序框图至少包含( )．A ．起、止框和输入、输出框B ．起、止框和处理框C ．起、止框和判断框D ．起、止框、处理框和输入、输出框解析一个完整的程序框图至少需包括起、止框和输入、输出框．答案 A9．根据下边的程序框图所表示的算法，输出的结果是________．解析该算法的第1步分别将X，Y，Z赋于1,2,3三个数，第2步使X取Y的值，即X 取值变成2，第3步使Y取X的值，即Y的值也是2，第4步让Z取Y的值，即Z取值也是2，从而第5步输出时，Z的值是2.答案 210．(2012·苏州高一检测)阅读如图的程序框图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是________．解析输入a＝21，b＝32，c＝75，则x＝21，a＝75，c＝32，b＝21，则输出a＝75，b＝21，c＝32.答案75,21,3211．写出求A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间距离的算法，并画出程序框图．解算法如下：第一步，给两点的坐标赋值x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？；第二步，计算Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1；第三步，计算d＝(Δx)2＋(Δy)2；第四步，输出两点间的距离d.程序框图如图所示．12．(创新拓展)某市劳动保障部门规定：某工种在法定工作时间内，工资为每小时8元，加班工资为每小时12元．已知某人在一周内工作60小时，其中加班20小时，他每周收入的10%要交纳税金．请设计一个算法，计算此人这周所得的净收入，并画出相应的程序框图．解此人一周在法定工作时间内工作40小时，加班20小时，他一周内的净收入等于(40×8＋20×12)×(1－10%)元．算法如下：第一步，令T＝40，t＝20.第二步，计算S＝(8×T＋12×t)×(1－10%)．第三步，输出S.程序框图如图．。

【创新设计】高中数学（人教版必修二）配套练习：第1章习题课（含答案解析）

习题课空间几何体【课时目标】熟练掌握空间几何体的结构，熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，以三视图为载体，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体进一步巩固几何体的体积与表面积计算．积与表面积计算．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式．．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式．2．空间几何体的表面积和体积公式．．空间几何体的表面积和体积公式．名称名称几何体几何体表面积表面积体积体积柱体柱体 (棱柱和圆柱)S表面积＝S 侧＋2S 底V ＝________锥体锥体 (棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝________台体台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝_________ ____________ 球S ＝________V ＝43πR 3一、选择题一、选择题1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S ，则它的侧面积是( ) A ．1πS B ．πS C ．2πS D ．4πS 2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．12B ．23C ．1D ．2 3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A ．280B ．292C ．360D ．372 5．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A ．a 33B ．a 34C ．a 36D ．a 312 6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3二、填空题二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm 3．9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm ．三、解答题三、解答题10．如下的三个图中，如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；按照给出的尺寸，求该多面体的体积；11．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．能力提升12．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3．13．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝ 2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值是___________．1．空间几何体是高考必考的知识点之一，重点考查空间几何体的三视图和体积、表面积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点．其中组合体的体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算．充分发挥空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算．2．“展”是化折为直，化曲为平，把立体几何问题转化为平面几何问题，多用于研究线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等．面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等．习题课习题课空间几何体空间几何体答案答案知识梳理知识梳理1．2πrl πr πrl l π(r ＋r′)l2．Sh 13Sh 13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 4πR 2作业设计作业设计1．B [设圆柱底面半径为r ，则S ＝4r 2， S 侧＝2πr·2r ＝4πr 2＝πS ．]2．C [由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝12×1×2×2＝1．]3．C [当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4．]4．C [由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．体．∵下面长方体的表面积为8×8×10×10×10×22＋2×2×8×8×8×22＋10×10×2×2×2×22＝232，上面长方体的表面积为8×8×6×6×6×22＋2×2×8×8×8×22＋2×2×6×6×6×22＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×2×6×6×6×22＝360．]5．C [连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为22a 的正四棱锥组成，正四棱锥的高为a 2，则八面体的体积为V ＝2×13×(22a)2·a 2＝a 36．]6．D [由43πR 3＝32π3，得R ＝2． ∴正三棱柱的高h ＝4．设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝43． ∴V ＝34(43)2·4＝483．] 7．103解析解析该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的正四棱柱的组合体，其体积为四棱柱的组合体，其体积为V ＝1×1×1×1×1×22＋13×22×1＝103． 8．144解析解析此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V 正四棱台＝13(82＋42＋82×42)×)×33＝112，V 正四棱柱＝4×4×4×4×4×22＝32，故V ＝112＋32＝144． 9．4解析解析设球的半径为r cm ，则πr 2×8＋43πr 3×3＝πr 2×6r ．解得r ＝4． 10．解．解 (1)如图所示．如图所示．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×4×4×4×66－13×èæøö12×2×2×22×2＝2843 (cm 3)． 11．解．解由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×8×2r 2r 8＝1．2－2r ，∴塑料片面积S＝πr 2＋2πr(1．2－2r)＝πr 2＋2．4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2．4πr ＝－3π(r 2－0．8r)＝－3π(r －0．4)2＋0．48π．∴当r ＝0．4时，S 有最大值0．48π，约为1．51平方米．平方米．(2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×2×00．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．图．12．4解析解析由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V ＝13×12×3×3×4×4×4×22＝4 m 3．13．5 2解析解析将△BCC 1沿BC 1线折到面A 1C 1B 上，如图．上，如图．连接A 1C 即为CP ＋P A 1的最小值，过点C 作CD ⊥C 1D 于D 点，△BCC 1为等腰直角三角形，角形，∴CD ＝1，C 1D ＝1，A 1D ＝A 1C 1＋C 1D ＝7． ∴A 1C ＝A 1D 2＋CD 2＝49＋1＝5 2．。

人教版A版高中数学选修1-1课后习题解答

高中数学选修1-1课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系练习（P4）1、2220,1;(2)1,20x x x x x x +-===+-=例:(1)若则若则.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两腰上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题. 逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题. 逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：命题的逆否命题是：若1a b -=，则22243a b a b -+--22243a b a b -+--()()2()23a b a b a b b =+-+---当1a b -=时22310a b b a b =++--=--=原式所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）不是命题.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题. 否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形两腰相等，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径. 可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1.2 充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.2、（1）p 是q 的必要条件；（2）p 是q 的充分条件；（3）p 是q 的充要条件；（4）p 是q 的充要条件.习题1.2 A 组（P12）1、（1）若两个角是对顶角，则两个角相等.（2）若两个角相等则这两个角是对顶角.（3）若两直线平行，则同位角相等.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分不必要条件.4、充要条件是222a b r +=.习题1.2 B 组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=.2222222222222202220a b c ab ac bc a ab b b bc c c ac a ++---=∴-++-++-+=则2所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以2220a b c ab ac bc ++---=所以222a b c ab ac bc ++=++ 1.3 简单的逻辑联结词练习（P17）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225+≠，真命题；（2）3不是方程290x -=的根，假命题；（3）1≠-，真命题.习题1.3 A 组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题；（2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题；（4）8715+=，真命题；习题1.3 B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1.4 全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉；（2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤；（2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>；（4）任意四边形的对角线不互相垂直.习题1.4 B 组（P26）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和都不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章复习参考题A 组（P28）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等. 逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、（1）若两个角是对顶角，则两个角相等.（2）若两个角相等则这两个角是对顶角.（3）若两直线平行，则同位角相等.3、（1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>；（2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）00(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，00243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠；（2）54≤；（3）00,0x R x ∃∈≤；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形第一章复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧；（2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin ab cA B C ==.第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2双曲线2.3 抛物线第二章复习参考题第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生在中的优化问题举例第三章复习参考题A组（P117）。

高中数学必修一课后习题答案(人教版),高中数学必修1试题及答案解析

当时，集合，而，则，或，
得，或，
综上得：实数的值为，或．
5．解：集合，即；
集合，即；
集合；
则 .
6．解：（1）要使原式有意义，则，即，
得函数的定义域为；
（2）要使原式有意义，则，即，且，
得函数的定义域为．
7．解：（1）因为，
所以，得，
即；
（2）因为，
2．解：图象如下
是递增区间，是递减区间，是递增区间，是递减区间．
3．解：该函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．
4．证明：设，且，因为，即，所以函数在上是减函数.
5．最小值．
练习（第36页）
1．解：（1）对于函数，其定义域为，因为对定义域内
每一个都有，
所以，
即．
8．证明：（1）因为，
所以，
即；
（2）因为，
所以，
即 .
9．解：该二次函数的对称轴为，
函数在上具有单调性，
则，或，得，或，
即实数的取值范围为，或．
10．解：（1）令，而，
即函数是偶函数；
（2）函数的图象关于轴对称；
（3）函数在上是减函数；
（4）函数在上是增函数．
是奇函数，其图象是关于原点对称的．
习题1.3（第39页）
1．解：（1）
函数在上递减；函数在上递增；
（2）
函数在上递增；函数在上递减.
2．证明：（1）设，而，
由，得，
即，所以函数在上是减函数；
（2）设，而，
由，得，

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习题课正弦定理与余弦定理
双基达标
(限时20分钟)
1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是
( )．
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C
2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是
( )．
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．60°
解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝
b 2＋
c 2
－bc 2bc
＝
⎝⎛⎭
⎫b －c 22＋3c 2
42bc
＞0，∴0°＜A ＜90°.
答案 A
3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )．
A.21
B.106
C.69
D.154
解析设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a
2.
在△ABM 中，
AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a
2×4·cos ∠AMB ①
在△ACM 中，
AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a
2·cos ∠AMB ②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋1
2a 2，
∴a ＝106. 答案 B
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为
________．
解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π
6.
答案 π
6
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
解析由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π
4＝2得 sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1，∴B ＝π
4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得
sin A ＝a sin B
b ＝
2sin π
42＝12
， ∴A ＝π6或56
π.
∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π
6.
答案 π6
6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ，故sin A sin C ＝12
.
cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －1
2，
即cos A cos C －12＝－1
2，
cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，所以A ＝90°，或A ＝30°.
综合提高 (限时25分钟)
7．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为
( )．
A.43 B ．8－4 3 C ．1
D.23
解析由(a ＋b )2－c 2＝4得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，故方程①化为2ab (1＋cos C )＝4. ∴ab ＝2
1＋cos C .
又∵C ＝60°，∴ab ＝4
3.
答案 A
8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是
( )．
A.⎝⎛⎦⎤0，π6
B.⎣⎡⎭⎫
π6，π C.⎝⎛⎦
⎤0，π3
D.⎣⎡⎭⎫π3，π
解析在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝
a 2R ，sin B ＝
b 2R ，sin C ＝c
2R
(其中R 为△ABC 外接圆的半径)，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴0＜A ≤π
3.
答案 C
9．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c
cos
C 2，则△ABC 的形状是________．
解析 ∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2，∴sin A 2＝sin B 2＝sin C
2，
又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＋B 2＋C 2＝π2.
∴A 2＝B 2＝C 2，∴A ＝B ＝C ＝π3. 答案等边三角形
10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B 的
值是________．
解析由b a ＋a
b ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .
化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C
tan B
切化弦，
得sin C cos C ·⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )
sin A sin B
＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B . 根据正、余定理得sin 2C
cos C sin A sin B ＝
c 2
ab ·
a 2＋
b 2－
c 22ab
＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 2
32c 2－c 2
＝4. 答案 4
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2
，sin 3A
2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2
，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.
(1)求角A 的大小；
(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →
|，试判断△ABC 的形状．解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m·n ＝3，即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A
2＝3， ∴2＋2cos A ＝3.
∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π
3
.
(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →
|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×32，即
32sin B ＋12cos B ＝3
2
， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32
. ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，
∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π
2.
当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.
故△ABC 是直角三角形．
12．(创新拓展)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝
34. (1)求
1tan A ＋1tan C
的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．
解 (1)由cos B ＝3
4，
得sin B ＝
1－⎝⎛⎭⎫342＝74.
由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C
sin C
＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B
＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝47
7
. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，
由cos B ＝3
4，可得ca ＝2，
即b 2＝2.
由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9， ∴a ＋c ＝3.。