清华大学微积分B(1)第1次习题课答案(确界、极限、子列)
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
第4页共5页
清华大学微积分A习题课_1 极限
x A, y B 均有 x a, y b
因此 x y a b ，即 a b 是集合 A B 的一个下界. 另一方面， 0, x A, y B ，使得 x a
, y b ， 2 2
因此 x y a b , 即 inf( A B) a b inf A inf B .
1 1 ( ) n 1 2 (ln x2 ln x1 ) ln x1 1 1 ( ) 2
两端令 n 得到，
2 1 2 . lim ln xn (ln x2 ln x1 ) ln x1 ln x1 x2 n 3 3
所以 lim xn lim e
1
故 lim ( n 1 n ) 0 ．
n
3．证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛． 证明： 不妨设 an 为一单调增加数列， ank 为 an 的一个子列， 且 lim ank A sup{ank } ．
k
0 ，因为 lim ank A ，所以 N0 0 ，当 k N 0 时，有 ank A ．
n
注意到 xn 2 xn 1 xn ，因此， xn 2 xn 1 xn 1 xn
2 2
3 2 两端令 n 得到 a x2 x1 ，即 lim xn
x2 2 x1 .
3
n
x2 2 x1 .
(法二)由 xn 2
xn 1 xn ，知 xn 0 ，两边取对数，
x2 n 2 x2 n x2 n 1 x2 n 1 ， x2 n 3 x2 n 1 x2 n 2 x2 n 2 ，
清华微积分答案
清华微积分答案a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场向量值函数的切平面、微分、偏导f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度，aij := ?fi/?xj)f的全微分df=adx当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f)div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm复合函数求导一阶偏导：若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微，j(f○g) = j(f(u)) j(g(x))具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即ui=g(x1,…,xn)?f/?xj= ?f/?u * ?u/?xj= sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u}高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151隐函数、隐向量值函数由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数隐函数：1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续，且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值，那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数,??)处，2.偏导公式：在b内的(??????????/??????=???或者说????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1)由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij)所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0于是立即可得上述公式隐向量值函数：1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y可逆，则存在p0的邻域b(x0)*b(y0)，使得对于在b(x0)内的任意x，存在唯一y∈b(y0)满足f(x,y)=0，即f在b内确定了一个连续可微隐函数y=f(x)2.偏导公式：j(f) :=?(y1,…,ym)/?(x1,…,xn) :=?y/?x= -[?f/?y]-1*?f/?x注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.如果只求j(f)中的一列，?(y)/?(xi)=-[?(f)/?(y)]-1* [?(f)/?(xi)]3.如果只求j(f)中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题4.计算?f/?x时，忽略y是x的函数，将y当作自变量计算（从证明中可以看出原因，因为?y/?x的成分被移到了等式左侧j(f)里面)，而不用偏导公式，采取对f(x,y)=0左右同时对xi求偏导的方法时，y要看做xi的函数）3.隐向量值函数的反函数：函数y=f(x)将rn映射至rm，如果j(f)= ?f/?x可逆，那么存在f的反函数x=f-1(y)，且j(f-1)=[j(f)]-1注：1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，a-1=a*/|a|，a*是a的余子矩阵的转置2.|j(f-1)|=|j(f)|-1用参数形式给出的隐函数若有x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，则需要列方程求曲面和曲线的切平面、法线、法向量三维空间下，函数f(x,y,z)=0确定了一个曲面。
微积分B(2)第1次习题课参考答案(极限、连续、可微)_168607827
=
lim cos 2θ
ρ →0
=
0,
θ = π, 4
−1,
θ = π, 2
所以极限 不存在． lim (x, y)→(0,0)
x2 x2
− +
y2 y2
方法 3：因为 ， ，所以极限 不存在． x2
lim
x→0
lim
y→0
x2
− +
y2 y2
=1
lim lim
y→0 x→0
x2 x2
− +
y2 y2
(0, 0) ∂y
=
lim
y→0
f
(0, y) − y
f
(0, 0)
=
lim
y→0
f
(0, y
y)
= lim y→0
f
(0, y) y2
⋅
y
=
A×0
=
0
因为 ，所以 lim x→0 y→0
f
(x, y) − f (0, 0) x2 + y2
=
lim
x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
⋅
x2 + y2 = A× 0 = 0
1
ye xy + exy
=
∂ ∂y
y
−
y 1 + exy
=1−
1 + exy (1 +
− xyexy exy )2
所以 ， ． ∂z ∂x
(0,0)
=0
∂2z ∂y∂x
=1− 1 = 1 22
(0,0)
（ ）已知 ，求 ． 3
z = ln(2 + x2 + y4 )
清华大学微积分B1课程讲义及习题答案
(2) Z+. (思路: 当" ! 1, G¯" = {a1, a2, . . . , an, . . . }, 即当"足够大时, A的"邻域可包
含{a1, a2, . . . , an, . . . }, 此时G" = Z+. 注意等号的位置.)
证明: 令M=max{|a1 A|, |a2 A|, . . . , |an A|, . . . }, 8"M > M, G¯"M = {x|x 2
<
pp 2, 故 2是S的上界. p
8c < 2, 9x 2 (c, 2), x > c(满足定理1.2.3的第二个条件), 故supS= 2.
4. 若A,B为R中的非空有界集,则A[B与A\B也是有界集,并且 inf(A[B)=min{infA,infB}, sup(A[B)=max{supA,supB},
1.3.3 习题1.3解答
8
8
1.
设f (x)
=
<x + :0,
1,
1.2.2 定理1.2.3的证明
定理1.2.3 设E为非空集合, a, b为实数. 则有
(1) b=supE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 b是E的一个上界; 2 对于任意满足c < b的实数c, 9x 2 E, 使得x > c.
(2) b=infE的充分必要条件是下列两个条件同时满足:
1 a是E的一个下界; 2 对于任意满足c > a的实数c, 9x 2 E, 使得x < c.
微信: 18811708556 • 基础习题课的教学目标:
– 使同学掌握课程基本内容 – 使同学掌握常见问题的一般解法 – 使同学学会正确地书写解答过程 • 其他要求和说明:
微积分第一章课外习题参考答案
p14. 三.1.证明 : 令f ( x) x3 3x 1, 则f ( x)在[1,2]上连续,且
f (1) 3 0, f (2) 1 0, 由闭区间上连续函数的零点定理,
存在 (1,2),使得f ( ) 0,即 3 3 1.
1,
n2
lim
n
n2
1,
n2
1
n
)
1
lim
n
n(
n2
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
p8. 2.证明 : (1) x1 2 0, x2 2 x1 x1 0,设xn xn1 0,则
xn1 2 xn 2 xn1 xn 0, 根据数学归纳法原理,{ xn }为单调增加序列, (2) x1 2 2,设xn 2,则
xn1 2 xn 2 2 2, 根据数学归纳法原理,xn 2, n 1,2, ,
(接上页p8.)
{ xn }为单调增加有界序列.
lim
n
xn存在
.
设
lim
n
xn
A,由xn
2 xn1 ,得
lim
n
xn
lim
n
2 xn1 ,
A 2 A, A 2, A 1(舍去),
lim
n
lim n k 1, lim n kAn 1
n
n
lim
n
xn
A
max(a1,a2 ,
ak ).
例如: lim n 1n 2n 8n 8. n
p15. 三.由导数定义知 :
1.
e xh lim
ex.
0910高等数学B(一)试题解答PPT课件
（2）求过拐点的法线方程；若法线过原点，试确定k的取值．
解： y 2k(x2 3) 2x 4kx3 12kx,
y 12kx2 12k 12k(x 1)(x 1),
令 y 0 ,得 x1 1, x2 1(舍去）. y在x1 1的两侧变号，
(1, 4k)为曲线的拐点. 切线斜率y |x1 所以过点(1, 4k)的法线方程为Y 4k
当a x a 时，f (x) 0,
x a是f ( x)的极大值点.
4.
设f ( x)在x a处有二阶导数，且lim f ( x) 1，则 （ A）
xa x a
A. x a是f ( x)的极大值点；B. x a是f (x)的极小值点；；
C. (a, f (a))是y f ( x)的拐点； D. x a是y f ( x)的拐点。
f (x) f (0) f
(0) x
f (0) x2
f
(n) (0) xn
2!
n!
o( xn )
一、 填空题（每小题3分，共15分） 4. 已知f ( x) x3 cos7 x x2，
则 1 f ( x)dx ______ . 1
知识点：对称区间上奇偶函数的积分性质
解 原式 1 x2dx 2 1 x2dx 2
x
x
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
eln x sin x eln x dx C
x
1 x
sin x
x
x dx C
1 cos x C .
x
把y( ) 1代入通解，得 C 1.
故特解为
y 1 ( cos x 1).
清华大学微积分-PART1
1
微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail: xylu@
2019/8/14
2
参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
f 1 的 值 域 是f 的 定 义 域D.
2019/8/14
30
[例2] 设 y f ( x) sin x 则 f :[ , ] [1, 1] 严格单调
22 有反函数
x f 1( y) arcsin y y [1, 1]
[例3] y e x (, ) (0, )
在函数定义中，要求函数是单值的，即
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 但 是, x1 x2 , 不 一定 有 f ( x1 ) f ( x2 )
如果 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
则 在 定 义 域D与 值 域 f (D) 之 间 就 有 如下 关 系
有 理 数c". 2019/8/14
13
二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
可以确定一个函数y f (g( x)),则称
这个函数为由f 与g 构成的复合函数.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（3）已知 a 1, k 0 。证明： lim
nk 0 n a n
n n [ k ]1 [ k ]1
提示：令 a 1 b(b 0) ，当 n [k ] 1 时， a (1 b) Cn
b
，
nk nk 1 n [ k ]1 [ k ]1 a Cn b
Page 2 of 14
作者：闫浩
2013 年 9 月
所以
0 an
2 ． n 1
因此 0 ，取 N 1
2 ，则当 n N 时，有 2 0 an ，
故 lim a n 0 ．从而 lim ( n n ) 1 ．
n
n
1 在定义域内有下界，无上界； x2 1 2）设 0 ，则 y 2 在 ( , ] [ , ) 上有界。 x
（思考：一个函数在某个区间上无界如何叙述？） 证明：1）
1 1 0 ，因此 y 2 有下界。 2 x x 1 1 1 ，得到 yG 2 4G G ，因此 y 2 无上界。 x xG 2 G 1 1 1 2 ，此时 y 2 有界。 2 x x
并且注意到 lim
nk nk 0 ，可以得到 lim 0 。具体证明应用 N 定义叙述。 n C [ k ]1 n a n n
n
5.下列说法中，哪些与 lim an A 等价. 如果等价，请证明，如果不等价，请举出反例. （1）对于无限多个正数 0, N ，只要 n N ，就有 | an A | ；
G 0 ，取 xG
2） 0 ，当 x (, ] [ , ) 时，有 0
2.设 A, B 均是非空有界数集，定义 A+B {x +y | x A, y B} 。证明： （1） inf( A B ) inf A inf B ； （2） sup( A B ) sup A sup B 证明：仅证（1） ； （2）的证法类似于（1） 。 设 a inf A, b inf B ， 由 确 界 的 定 义 ， x A, y B 均 有 x a, y b ， 因 此
*
（2） 0, N ，只要 n N ，就有 | an A | ；
*
（3） (0,1), N ，只要 n N ，就有 | an A | ；
*
（4） k 0, 0, N ，只要 n N ，就有 | an A | k ；
x y a b ，即 a b 是集合 A B 的一个下界，另一方面 0, x A, y B ，使
得 x a
, y b ，因此 x y a b , 即 inf( A B) a b inf A inf B . 2 2
n
lim ( n 1 n ) 0
证明： 0 ，由于
| n 1 n | 1
1 n 1 n
1 n
，
欲使 |
n 1 n | ，只需
1 ，即 n 2 便可． n
n 1 n | ．
取 N 1 ，则当 n N 时，有 | 2
1
故 lim ( n 1 n ) 0 ．
n
（2） lim ( n n ) 1
n
证明： 因为 n n 1 ，令 n n 1 a n ，则 a n 0 ，且 lim ( n n ) 1 等价于 lim a n 0 ．
n
n
由于
1 1 2 n 2 ， n (1 a n ) n 1 na n n(n 1)a n an n(n 1)a n 2 2
作者：闫浩
2013 年 9 月
微积分 B(1)第一次习题课参考答案（第四周）
教学目的：本次习题课希望巩固确界、极限、子列等一些基本概念，这些概念是微积分的 基础，通过对习题的演练，使同学们加强对相关概念的理解；另外，由于新课标中的高中 数学较为简单，本次习题课也准备了பைடு நூலகம்些与常用的初等数学知识相关的习题，帮助大家衔 接中学与大学的内容。 必讲题:1--7.10.11.14.15.24.25.26. 其余题目留给同学自己练习。 一、集合的上下界、确界 1．证明 1） y
AB 的 一 个 上 界 。 另 一 方 面 0 ， 对 于
x a
，因此 , y b ab ab 2 x y (a )(b ) ab ( a b) ( ) ab ab ab ab ab
x A, y B 使 得 ab
3.设 A, B 均是由非负实数构成的有界数集，定义 AB {xy | x A, y B} 。证明： （1） inf AB inf A inf B ； （2） sup AB sup A sup B
Page 1 of 14
作者：闫浩
2013 年 9 月
证明： （1）略，仅证（2） 。 设 a sup A, b sup B ，若 a =b =0 ，则结论显然成立，下面设 a，b 0 。 由确界的定义， x A, y B 均有 0 x a, 0 y b ，因此 0 xy ab ，即 ab 是集合
即 sup AB ab sup A sup B 。 注： （ 1 ） 的 证 明 中 ， 也 要 用 到 类 似 “ 0 ， 对 于
x a
”的技巧。 , y b ab ab
x A, y B 使 得 ab
二、数列极限的定义 4．用极限定义证明 (1)