2017年秋季高二年级期中考试数学试题
北京101中学2017-2018学年高二下学期期中考试试卷(理)数学试题及答案解析
北京101中学2017-2018学年高二下学期期中考试试卷（理）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 下列导数公式正确的是（ ）A. （x n ）'=nx nB. （x 1）'=21xC. （sinx ） '=-cosxD. （e x ） '=e x 2. 下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值为（ ）X 0 123Pa61 31 41 A.41B.31C.21D.61 3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A={两次的点数均为偶数}，B={两次的点数之和为8}，则P （B|A ）=（ ）A. 181B.121C.31D.92 4. 若⎰-axx 1)1(dx=1-21ln3，且a>1，则a 的值为（ ）A. -3B. 1n3C. 3D. 35. 用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=236n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ）A. k 3+1B. （k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C. （k+1）3D. 2)1()1(36+++k k6. 函数y=e x （x 2-3）的大致图象是（ ）A. B.C. D.7. ①已知：p 3+q 3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，可假设p+q≥2；②设a 为实数，f （x ）=x 2+ax+a ，求证：|f （1）|与|f （2）|中至少有一个不大于21．用反证法证明时可假设|f （1）|>21或|f （2）|>21．以下说法正确的是（ ） A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确 8. 若函数y=f （x ）对任意x ∈（-2π，2π）满足f'（x ）cosx-f （x ）sinx>0，则下列不等式成立的是（ ）A.2f （-4π）<f （-3π） B. 2f （-4π）>f （-3π） C. f （-4π）>2f （-3π） D. f （-4π）<2f （-3π） 二、填空题共6小题。
淮北一中2017-2018学年高二下学期期中考试文科数学试题含答案
淮北一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题（文科）命题人：吴瑞瑞 审题人：王爱华一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，，则A ∩B=（D ）A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，2} 2.已知i 是虚数单位，则复数52ii-的虚部为（ D ） A.2i - B.2- C.2i D.2 3．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a b >,则221a b >-”的否命题为“若,a b ≤则221a b ≤-”； ③“2,11x R x ∀∈+≥否定是“2,11x R x ∃∈+<”； ④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件． 其中正确的命题的个数是(C ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.若数列{}n a 满足*1112,(),1nn na a a n N a ++==∈-则该数列的前2017项的乘积是（C ） A.-2 B.-3 C.2 D.12-5．在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（ A ）A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（ C ）A. 6?k <B. 7?k <C. 6?k >D. 7?k >7.如图，四棱锥P ABCD -中，所有棱长均为2，O 是底面正方形ABCD 中心，E 为PC 中点，则直线OE 与直线PD 所成角为(B )A.30 B. 60 C.45 D.908.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ D ） A. 362π+B. 322π++4π+342π++（第7题图） （第8题图 ）9.已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为34-，则()1f =（C ） A.0 B.1 C.38 D.1510.设,x y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩若目标函数2y z x =+的取值范围[],m n 恰好是函数2sin (0)y x ωω=>的一个单调递增区间，则ω的值为（ C）A. B.2π C.4π D.8π 11.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12,F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（A ）A.(2,)+∞B.C.D.12.对于函数()f x 和()g x ，设{}()0,x R f x α∈∈={}()0,x R g x β∈∈=若存在,αβ使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”．若函数()12x f x ex-=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为（C ）A.7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]2,3D.[]2,4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量(1,1),(1,2),,a x b x a b =+=-⊥则()()a b a b +⋅-= -15 ． 14.若()ln ln x x f x e a e b -=+为奇函数，则12a b+的最小值为 2．15. 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[]80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中， 有_____24_ 株树木的底部周长小于100cm ．16.设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则①11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ② 7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④ ()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ⑤ 经过点(),a b 的所有直线均与函数()f x 的图象相交．以上结论正确的是_____①②③⑤ _____________（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．（1）求角A 的大小； （2）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．18.(本题满分12分)已知等差数列{}na的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足11225233,1,10,2.a b b S a b a ==+=-=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令**2,21(),2()n n nn m m N S c b n m m N ⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩ ,设数列{}nc 的前n 项和n T ，求n T .19．（本题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB ⊥平面PAC ．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB ⊥平面PAC ，…（7分）∴AB 是三棱锥B ﹣EAC 的高，正△PAC 的边长为…（8分）∵E 是PC 的中点，∴S △EAC =S △PAC =．…（10分）∴三棱锥A ﹣EBC 的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P 作PO ⊥AC 于点O ，∵平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC ∩平面ABCD=AC ， ∴PO ⊥平面ABC ，过E 作EF ⊥AC 于点F ，同理得EF ⊥平面ABC ， ∴EF 是三棱锥E ﹣ABC 的高，且PO ∥EF ，…（7分） 又E 是PC 中点，∴EF 是△POC 的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC 的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分） 在Rt △ABC 中，S △ABC =．…（10分）∴三棱锥A ﹣EBC 的体积为…（12分）20.(本题满分12分)设函数()ln(1),f x x mx =+-其中.m R ∈（1）若1,m =求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 的极值；（3）若函数()f x 在区间20,1e ⎡⎤-⎣⎦上恰有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，函数无极值，当时，的极大值为，无极小值；（3）.试题解析：（）依题意，函数的定义域为，当时，，，令，得，解得或，又∵，∴函数的单调递减区间是． （），，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴无极值，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，无极小值， 综上所述，当时，函数无极值，当时，的极大值为，无极小值． （）由（）可知，当时，在区间上是增函数，显然，在区间不可能恰有两个零点，当时，，又， ∴为的一个零点，∴若在恰有两个零点，则，即，解得．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为F ，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AF 的中点为M ，线段BF 的中点为N ，且14OM ON ⋅=.（1）求弦AB 的长； （2）当直线l 的斜率12k =，且直线 //l l '时，l '交椭圆于,,P Q 若点A 在第一象限，求证：直线,AP AQ 与x 轴围成一个等腰三角形．解：（1）由题意可知：2c=2，c=，设F （，0），A （x 0，y 0），B （﹣x 0，﹣y 0），则M （，），N （，﹣），由•==，则x 02+y 02=5，则丨AB 丨=2=2，（2）由直线l 的斜率k=时，且 l′∥l ，则l ：y=x ，设 l′：y=x +m ，y 0=x 0，由x 02+y 02=5，则A （2，1），由c=，代入椭圆方程解得：a=2，c=，∴椭圆的方程：，联立，整理得x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则k1=，k2=．由x2+2mx+2m2﹣4=0，可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，k1+k2=•=====0．即k1+k2=0．直线AP，AQ与x轴围成一个等腰三角形请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：如果多做，按所做的第一题记分. 22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为4cosρθ=，直线l的参数方程为325(415x tty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．(1)求直线l和圆C的直角坐标方程；(2)设点(2,1)P,直线l与圆C交于,A B两点，求PA PB⋅的值．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数）．∴直线l 的直角坐标方程为，∵圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ， ∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0．（2）将代入x 2+y 2﹣4x=0，整理得：，∴|PA |•|PB |=|t 1|•|t 2|=|t 1•t 2|=3．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲.已知函数()2 1.f x x =+ (1)解不等式()5;f x x >+(2)若对于任意,,x y R ∈有1131,21,46x y y --<+<求证：()1f x <．【解答】（Ⅰ）解：f （x ）＞x +5⇒|2x +1|＞x +5 ⇒2x +1＞x +5或2x +1＜﹣x ﹣5， ∴解集为{x |x ＞4或x ＜﹣2}． （Ⅱ）证明：．。
2017—2018学年第二学期高二年级期中考试数学(理)试卷解析版
2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。
湖北省武汉市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理
省市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题（每小题5分，共60分，各题均只有一个正确答案）1. 已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，且P(ξ<2)=0.8, 则P(0<ξ<1)=( )A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.22. 如图,阴影部分的面积等于( )A. 23B. 23-C.323D.3533. 已知2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )A ．15B ．30C ．45D ．604. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点M(,04π)处的切线斜率为( )A. 12B. 22C. 1D.25. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为 ( )A.281B. 427C. 827D.16816. 某产品近四年的广告费x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表，根据此表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为( )万元.A. 650B. 655C. 677D. 7207. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若1P(0)=5ξ=，=1E()ξ期望，则方差D =( )ξ（） A.15B.25C. 5D. 258. 袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X =3)等于 ( )A.528 B. 17 C. 1556D. 279. 定义在R 上的可导函数()f x ，其导函数为'()f x 满足'()2f x x >恒成立，则不等式x 40203050y 490 260 390 540(4)8()16f x x f x -+<+的解集为（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (,2)-∞D. (,4)-∞10. 将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别等于( )A.6091，12B.12，6091C.2091，12D.12，209111. 已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值围是（ ）A. 1(,)2-∞B. 1(0,)2C. (0,1)D. (,1)-∞12. 已知曲线y ＝x 2+1在点P 200(+1)x ,x 处的切线为l ，若l 也与函数ln ,(0,1)y x x =∈的图象相切，则x 0满足( ) （其中 2.71828...e =）A. 012x <<B. 02x e <<C. 03e x <<D. 032x <<二、填空题 （每小题5分，共20分）13. 已知121(11),a x dx -=+-⎰则93()2a x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为14．若322()7f x x ax bx a a =++--在x =1处取得极大值10，则b a的值为 .15. 现需建造一个容积为V 的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍。
衢州四校2017学年第一学期期中联考高二数学试题及答案
衢州四校2017学年第一学期高二年级期中联考数 学 试 题 卷命题人：龙游中学 张飞熊 周兆明 审校：邵志成本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上。
2. 答题时，请按答题纸上的注意事项的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分 共40分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 不等式22530x x --<成立的充要条件是（ ） A ．102x -<< B.132x -<< C.132x -<< D.16x -<< 2. 已知直线0(0,0)Ax By C AB BC ++=>>，则直线不经过（ ）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 已知圆2221:(1)(3)(0)C x y r r -++=>和圆222:16C x y +=，则圆1C 与圆2C 的位置关系中不可能的是（ ）A ．相切 B.相交 C.内含 D.外离4. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱）高为2，体积为8， 则这个球的体积是（ ） A 3π B.43π C.433D.123π 5. 用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截得的圆台上、下底面的半径分别为2cm 、5cm ，圆台的母线长 为9cm ，则圆锥的母线长为（ ） A ．15cm B.9cm C.6cm D.185km 6. 已知命题：①若22ac bc >，则a b >；②“若3b =，则29b =”的逆否命题；③“若,a b 是偶数，则a b +是偶数”的逆命题；④“若1x =，则220x x +-=”的否命题.其中真命题的个数有（ ）A ．0 B.1 C.2 D.3 7. 设,αβ是两个不同的平面，l 是空间的一条直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若,⊥⊥l ααβ，则//l β B.若//,//l ααβ，则//l β C ．若,//⊥l ααβ，则⊥l β D.若//,⊥l ααβ，则⊥l β8. 在ABC ∆中，5,6,AB AC BC PA ===⊥平面,8ABC PA =，则P 到BC 的距离是（ ） A 52535 D.459. 如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与,αβ所成的 角分别为45,30，过,A B 分别作两平面交线的垂线，垂足 分别为11,A B ，则11:A B AB 等于（ ）A ．1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:410.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点12(,0),(,0)F c F c -，P 为直线2a y c=上一点，1F P 的垂直平分线恰过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．2[,1)2 B.3[ C.3 D.2(0,2非选择题部分 共110分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.在直观图（如图）中，四边形''''O A B C 为菱形且边长为2cm ， 则在xoy 坐标系中，四边形ABCO 周长为 cm ， 面积为 cm 2.12.已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，则该椭圆的离心率是，2ABF ∆的周长是 . 13.已知三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，它的外接球的表面积为 . 14.过点(3,2)P 的直线l 与,x y 的正半轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，则ΔAOB 面积的最小值为 ，此时两截距之和为 .15.如图，正方体''''-ABCD A B C D 的棱长为a ，连接'',',',,','A C A D A B BD BC C D 得到一个三棱锥， 则三棱锥''-A BC D 的高是 .16.有六根细木棒，其中较长的两根分别为5cm ，4cm ，其余四根均 为3cm ，用它们拼成一个三棱锥，则其中较长的棱所在直线的 夹角的正弦值为 .17.已知(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 在直线AC 上，若 ||2|AD BD ≤恒成立，则t 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（本题满分14分）已知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求：（I ）顶点C 的坐标； （II ）直线BC 的方程.19.（本题满分15分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 为正三角形，平面⊥PAD 平面ABCD ，E 为PC 中点，F 为AC 与BD 的交点. （I ）求证：//EF 平面PAD ； （II ）求直线EF 与PB 所成的角.20.（本题满分15分）已知圆C 过点(3,1)A ，(2,2)B 且圆心在直线20x y -=上. （I ）求圆C 的方程；（II ）直线l 过点(4,3)P --且被圆C 截得弦长||8AB =，求直线l 的方程；（III ）过圆C 外一动点M 作圆C 的两条互相垂直的切线，切点为,E F ，求EF 的中点轨迹方程.21.（本题满分15分）如图，正方形123SG G G 的边长为2，,E F 分别为1223,G G G G 的中点，现沿,SE SF及EF 把正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合于一点G . （I ）求证：⊥SG 平面EFG ；（II ）求二面角--G EF S 的余弦值；（III ）求直线GE 与平面SEF 所成角的余弦值.22.（本题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>66)P 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的方程； （II ）若圆：2234x y +=的切线l 交椭圆C 于,A B 两点，求||AB 的最大值.衢州四校2017学年第一学期高二年级期中联考数 学 参 考 答 案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分， 共36分. 11. 12，8 12.21，8 13. 63，π4 14. 12，1015.a 332 16. 5317. (,0]-∞ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：（Ⅰ）由题意，得直线AC 的方程为0112=-+y x …………4分解方程组⎩⎨⎧=-+=--0112052y x y x ，得)3,4(C ……… 7分（Ⅱ）设),(00y x B ，则)21,25(00++y x M . 于是有 0521500=-+-+y x ，即01200=--y x 解方程组⎩⎨⎧=--=--0520120000y x y x ，得)3,1(--B ……… 12分直线BC 的方程为：6590x y --=……………………14分 19. 解：（Ⅰ）F E , 分别是AC PC ,的中点 PA EF ||∴PAD EF PAD EF 平面平面⊄⊂, ∴ EF ||平面PAD ……… 7分（Ⅱ）PA EF ||∴ APB ∠是直线EF 与PB 所成的角平面⊥PAD 平面ABCDAD AB ⊥ ⊂AB 平面ABCD ∴ ⊥AB 平面PAD∴ ⊥AB PA侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是正方形∴ PA AB =∴ ︒=∠45APB直线EF 与PB 所成的角为︒45 ……… 15分20. 解：（Ⅰ）设圆心C ),(b a ，半径为r 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-02)1()3()2()2(222222b a r b a r b a 解得 5,2,1=-=-=r b a∴ 圆C 的方程 25)2()1(22=+++y x ……… 5分 （Ⅱ）设直线l 方程 )4(3+=+x k y 即 034=-+-k y kx 由 82||22=-=d r AB 得 3=d则 31|13|2=+-=k k d 得 34-=k直线方程为 02534=++y x若直线l 的斜率不存在，方程为4-=x 也符合条件故 直线l 的方程 02534=++y x 或 4-=x ……… 10分 (III)由已知得 四边形MECF 为正方形，边长为5 EF 的中点为正方形的中心H ，且225||=HC EF 的中点轨迹方程 225)2()1(22=+++y x ……… 15分21. 解：（Ⅰ） G GF GE GF SG GE SG =⊥⊥ ,, ∴ ⊥SG 平面EFG ； ……… 5分 （Ⅱ） F E ,分别3221,G G G G 的中点 ∴ GF GE SF SE ==, 取EF 的中点D ，连接SD,GD ∴ EF GD EF SD ⊥⊥,∴ GDS ∠是二面角S EF G --的平面角正方形321G G SG 的边长为2 ∴ 2,223,22,2====SG SD GD EF 由（Ⅰ）知 SGD ∆是∆Rt ，则31cos ==∠SD GD SDG 故 二面角S EF G --的余弦值为31……… 10分 (III)作SD GO ⊥交于点O ，连接OE 由（Ⅱ）知 ⊥EF 平面SGD ∴ EF GO ⊥ ∴ ⊥GO 平面SEF∴ GEO ∠是直线GE 与平面SEF 所成角在GOD Rt ∆中，31cos ==∠GD OD ODG∴ 3222=-=OD GD OGGOE Rt ∆中，32sin ==∠GE GO GEO ∴ 35cos =∠GEO 故 直线GE 与平面SEF 所成角的余弦值为35……… 15分 22. 解：（Ⅰ）由已知得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+22222361321c b a a cb a 得⎩⎨⎧==1322b a ∴ 椭圆C 的方程为 1322=+y x ……… 6分（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，3||=AB设切线l 方程 m kx y +=，原点到直线l 的距离为23，则231||2=+k m 得 )1(4322+=k m由 ⎩⎨⎧+==+mkx y y x 3322 得 0336)13(222=-+++m kmx x k设),(),,(2211y x B y x A 则 13)1(3,1362221221+-=+-=+k m x x k km x x ∴ ]4))[(1(||2122122x x x x k AB -++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=13)1(34136)1(22222k m k km k 13)13)(1(122222+-++=k m k k )0(461912322≠≤+++=k kk 当且仅当33±=k 时，2||=AB 当0=k 时，3||=AB故 ||AB 的最大值为2 ……… 15分。
2017高二数学期中试卷
2017-2018学年第一学期高二数学期中试卷2017.11一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1． 10y ++=的倾斜角是 ▲ ．2． 在空间，没有公共点的两条直线的位置关系为 ▲ .3． 已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是 ▲ ．4． 两平行直线01243=-+y x 与01186=++y x 之间的距离是 ▲ .5． 圆422=+y x 与圆0124422=-+-+y x y x 的公共弦所在的直线方程为 ▲ .6． 设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为 ▲ ．7． 若无论a 取何值，直线0)1()2(=++++a y a x a 始终平分半径为2的圆 C ，则圆C 的标准方程为 ▲ .8． 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于 ▲ ．9． 已知三条直线40,235ax y x y ++=+=和23x y -=中任意两条都不平行，且不能构成三角形，则实数a 的值为 ▲ ．10．过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于A,B 两点,当ACB ∠最小时,直线l 的方程为 ▲ .11．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点， 能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P-的直线与圆221x y +=相切于点T ，与圆()(223x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ▲ ．13．设集合(){}()(){}1,,4,2+-==-==b x k y y x B x y y x A ，若对任意10≤≤k 都有 φ≠B A ，则实数b 的取值范围是 ▲ .14．在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线2x −y −4=0上，若圆M 上存在点N ，使NO = 12NA ，其中O (0，0)、A (0，3)，则圆心M 的横坐标a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2-A ，直线032:=--y x l .(1) 若直线m 过点A ，且与直线l 垂直，求直线m 的方程；(2) 若直线n 与直线l 平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为3，求直线n 的方程.16．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.(1) 若AE AB AE CF ⊥⊥,，求证： ⊥AE EF ；(2) 求证：//EF 平面ABCD .17．（本小题满分14分） F E D C BA如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB =60°，平面PCD ⊥底面ABCD ， E 是AB 的中点，G 为P A 上的一点．(1) 求证：平面GDE ⊥平面PCD ；(2) 若PC ∥平面DGE ，求PG GA的值．P A BC D E G18．（本小题满分16分）已知关于y x ,的方程04222=+--+m y x y x 表示圆C .(1) 求实数m 的取值范围；(2) 若圆C 上恰有三个点到直线0443:=++y x l 的距离为1，求实数m 的值;(3) 若从点)1,3(P 射出的光线，经x 轴于点)0,53(Q 处反射后与圆相切，求圆的方程.19．（本小题满分16分）已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的 交点.(1) 求圆M 的方程；(2) 已知点Q 是x 轴上的动点， QA ， QB 分别切圆M 于A ， B 两点.① 若3AB =，求MQ 及直线MQ 的方程；② 求证：直线AB 恒过定点.20．（本小题满分16分）已知圆08:221=+++F x y x C ，028322:=+++y x l ，若直线l 被圆1C 截得 的弦长为32．(1) 求圆1C 的方程； (2) 设圆1C 和x 轴相交于A 、B 两点，点P 为圆1C 上不同于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 交y 轴于M 、N 点．当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 是否经过圆1C 内一定点？请证明你的结论；(3) 若RST ∆的顶点R 在直线1x =-上，S 、T 在圆1C 上，且直线RS 过圆心1C ，030SRT ∠=，求点R 的纵坐标的范围．高二数学期中试卷参考答案2017.11 1.32π 2.平行或异面 3.π2 4.27 5.02=+-y x 6.④ 7.()()42122=++-y x 8.090 9.718-10.0342=+-y x 11.①④ 12.4 13.[]3,221- 14.⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 15.解：（1）∵直线m 与直线l 垂直 ∴设直线m 的方程为02=++b y x ………………………………2分 ∵直线m 过点()1,2-A∴0=b∴直线m 的方程为02=+y x ………………………………7分（2）∵直线n 与直线l 平行∴设直线n 的方程为02=+-t y x ………………………………9分 令0=x ，则t y =令0=y ，则2t x -= ………………………………11分 ∴32=-t t ∴6=t∴直线n 的方程为062=+-y x ………………………………14分16.证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD ，又∵AB ⊥AE ，∴AE ⊥CD ………………………………4分 又∵AE ⊥CF ，CD ∩CF=C ，CD 、CF ⊂平面CDEF ，∴AE ⊥平面CDEF ………………………………6分 又∵EF ⊂平面CDEF ，∴⊥AE EF ………………………………7分（2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD又∵AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴AB//平面CDEF …………………10分 又∵AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF …………………12分 又∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF//平面ABCD. …………………14分17.（1）证明：菱形ABCD 中，∠DAB =60°∴△ADB 是正三角形，又E 是AB 的中点 ∴DE ⊥AB∵AB ∥DC DE CD ∴⊥， …………………2分 平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD ∩底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ， ………………6分 又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ； ………………8分（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA ∩平面GDE GH =，//PC GH ∴， ………………12分 2===AEDC HA CH GA PG . ………………14分18.解：（1）若此方程表示圆，由0422>-+F E D 得04164>-+m ，………………………2分 解得5<m ，即5<m 时，此方程表示圆. ………………………4分（2）点)2,1(C 到直线0443:=++y x l 的距离为3169483=+++=d …………7分则圆C 半径为4=r ∴1145-=⇒=-m m ………………10分（3）P 关于x 轴的对称点为)1,3(-'P ，由对称知直线Q P '与圆相切.由)1,3(-'P 与)0,53(Q 得直线Q P '的方程为03125=-+y x …………………12分 圆心)2,1(C 到直线Q P '距离为2125324522=+-+=d …………………14分直线Q P '与圆相切，r d =∴，即m -=52，解得1=m所以圆的方程为4)2()1(22=-+-y x …………………16分19. 解：（1）因为直线3430x y -+=与圆M 相切， ………………………1分 故圆心()0,2到直线的距离为r ，即：835r -+=， 1r =. 所以圆的方程为()2221x y +-=. ………………………4分（2）①设直线MQ ， AB 交于点P，则AP =， 又1AM =，所以13MP ==， 而2AM MP MQ =，所以3MQ =， ………………………7分设()0,0Q x ，而点()0,2M3=，0x =则)Q或()Q ，从而直线MQ 的方程为：20x +-=或20x +=. ………………………10分 ②证明：设点(),0Q q ，由几何性质可以知道， A ， B 在以MQ 为直径的圆上， 此圆的方程为2220x y qx y +--=， AB 为两圆的公共弦，两圆方程相减得230qx y -+=， 即3:22q AB y x =+， ………………………13分 所以过定点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ………………………16分20.解：(1)圆F y x C -=++16)4(:221 F -=++-+16)328328(32 ，12=F ∴圆1C 的方程为()4422=++y x …………………4分 (2)设)0)(,(000≠y y x P ，则4)4(2020=++y x ∴600+=x y k PA 则)6(6:00++=x x y y l PA ，M )66,0(00+x y ∴则)2(2:00++=x x y y l PB ，N )22,0(00+x y 圆2C 的方程为20000200002)22266()22266(+-+=+++-+x y x y x y x y y x …………………6分 化简的012)2266(000022=-+++-+y x y x y y x …………………8分 令0=y ，得32±=x 又点()0,32-在圆1C 内 所以当点P 变化时，以MN 为直径的圆2C 经过圆1C 内一定点)0,32(-……………10分(3)设(1,)R t -，作1C H RT ⊥于H ，设1C H d =，由于0130C RH ∠=，12RC d ∴=， …………………12分由题得2d ≤，14RC ∴≤4≤，t ≤≤，∴点A 的纵坐标的范围为⎡⎣ …………………16分。
山东省济宁市微山一中邹城一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题
山东省济宁市微山一中、邹城一中20172018学年高二下学期期中考试数学（理）试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()2zi i =+，则其虚部为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2i 2.设函数()()2017ln f x x x =+（e 为自然对数的底数）.若()0'2018f x =，则0x =（ ）A ．eB ．2e C ．ln 2 D ．13.已知①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形. ①、②、③组合成“三段论”.根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（ ） A ．正方形是平行四边形 B ．平行四边形的对角线相等 C ．正方形的对角线相等 D ．以上均不正确4.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，其导函数()'f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个 5.利用数学归纳法证明不等式()()*1111112,23421n f n n n N -+++++<≥∈+的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项 C.12k -项 D ．2k项6.给出下列两个论断：①已知：332p q +=，求证：2p q +≤；用反证法证明时，可假设2p q +>.②设a 为实数，()2f x x ax a =++，求证：()1f 与()2f 中至少有一个不小于12；用反证法证明时可假设()112f ≥且()122f ≥.以下说法正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确 7.下列类比推理中，得到的结论正确的是（ ）A ．把长方体与正方体类比，则有长方体的对角线平方等于长、宽、高的平方和B ．把()log ax y +与()a b c +类比，则有()log log log a a a x y x y +=+C. 向量a ，b 的数量积运算与实数a ，b 的运算性质ab a b=类比，则有a b a b =D ．把()na b +与()nab 类比，则有()nn n a b a b +=+8.函数()()21x f x x e =-（e 为自然对数的底数）的递增区间为（ ）A ．(),-∞+∞ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9.如图所示，阴影部分的面积为（ ）A ．76 B ．1 C.23 D ．1210.函数()321343f x x x x =+--在[]0,2上的最小值是（ ） A ．173-B ．103- C.4- D ．1- 11.2018年4月我市事业编招考笔试成绩公布后，甲、乙、丙、丁四位同学同时报考了教育类的高中数学职位，他们的成绩有如下关系：甲、乙的成绩之和与丙、丁成绩之和相同，乙、丁成绩之和大于甲、丙成绩之和，甲的成绩大于乙、丙成绩之和.那么四人的成绩最高的是（ ）A ．甲B ．乙 C. 丙 D ．丁 12.已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数()'f x 满足()()'f x f x <（x R ∈，e 为自然对数的底数），则（ ） A ．()()220f e f >，()()201820180f e f > B ．()()220f e f <，()()201820180f e f >C.()()220f e f <，()()201820180f e f < D ．()()220f e f >，()()201820180f e f <第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设复数z 满足()1234i z i +=-（i 为虚数单位），则z 的值为 ． 14.已知力()1x Fx e =+（e 为自然对数的底数）且和x 轴正方向相同.若力()F x 作用在质点P 上，并从点10x =处运动到21x =处，则()F x 对质点P 所做的功是 ．15.设函数()()21ln 22f x x b x =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是 ．16. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B 曼德尔布罗特（BenoitB Mandelbrot ）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照分型的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数()()()121z m m m i =-++-.（m R ∈，i 为虚数单位）.（Ⅰ）若z 是纯虚数,求实数m 的值； （Ⅱ）若2m =，设(),z ia bi ab R z i+=+∈-，试求a b +. 18. 已知0a >，0b >.（Ⅰ）求证：22a b a b b a+≥+； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，试求函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值. 19. 我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品.该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元；设该公司年内共生产该旅游商品x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()Rx 万元，且满足函数关系：()2210.8,010*********,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩. （Ⅰ）写出年利润W （万元）关于该旅游商品x （千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大？20. 已知数列{}n a 满足：132a =，()()121141431n n n n a a n n a n n +-=++--+. （Ⅰ）试求数列2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）请猜想{}n a 的通项公式n a ，并运用数学归纳法证明之.21. 已知：0b a e <<<，其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈. （Ⅰ）试猜想ba 与ab 的大小关系； （Ⅱ）请对你得出的结论写出证明过程.22. 已知函数()ln af x x x=+，()x g x e bx -=+，,a b R ∈，e 为自然对数的底数.（Ⅰ）若函数()yg x =在R 上存在零点，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）若函数()yf x =在1x e=处的切线方程为20ex y +-=.求证：对任意的()0,x ∈+∞，总有()()f x g x >.试卷答案一、选择题15:BDCAC 610:CADBA 11、12：DC二、填空题13.5 14．e 15. (],1-∞- 16.三、解答题17. 解：（Ⅰ）若z 是纯虚数，则()()12010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =-. （Ⅱ）若2m =，则4z i =+.∴()()()()423442714133355i i i i i a bi i i i i i +-++++====++-++-，∴75a =，15b =，∴85a b +=. 18.（Ⅰ）证明：【法一】∵0a >，0b >，∴222222a b a b a b b a a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当ab =时等号成立．∴22a b a b b a +≥+（当且仅当a b =时等号成立）. 【法二】∵0a >，0b >，∴要证22a b a b b a+≥+， 只需证3322ab a b ab +≥+，只需证()()()22a b a ab b ab a b +-+≥+，只需证22a ab b ab -+≥，即证2220a ab b -+≥，即证()20a b -≥，显然，对于0a >，0b >总成立.∴22a b a b b a+≥+成立. （Ⅱ）解：由于01x <<，可将1x -看作（Ⅰ）中的a ，x 看作（Ⅰ）中的b .依据（Ⅰ）的结论，则有()221111x x y x x xx-=+≥-+=-， 当且仅当1x x -=，即12x =时，等号成立. 所以，所求函数()2211x x y xx-=+-的最小值为． 19.解：（Ⅰ）依题意，知当010x <≤时，()()310 2.78.11030x W xR x x x =-+=--，当10x >时，()()100010 2.798 2.73WxR x x x x=-+=--， ∴38.110,01030100098 2.7,103x x x W x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩.（Ⅱ）①当010x <≤时，由（Ⅰ）得()()299'8.11010x x x W +-=-=， 令'0W =，得9x =. ∴当()0,9x ∈时，'0W >；当()9,10x ∈时，'0W <，∴当9x =时，有3max98.191038.630W =⨯--=.②当10x >时，1000100098 2.7982 2.73833Wx x x x ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1000 2.73x x =，即1009x =时，38W =. 综合①、②知，当9x =时，W 取得最大值.即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大. 20.解：（Ⅰ）由题意，得21312a =，33130a =，45756a =. （Ⅱ）依据（Ⅰ），得213111212a ==+，331113030a ==+，457115656a ==+， 由此猜想()11221na n n =+-.下面用数学归纳法证明之： 当1n =时，1311221a ==+⨯，结论成立； 假设n k =时，结论成立，即有()11221k a k k =+-，则对于1n k =+时，()()121141431k k k k a a k k a k k +-=++--+()()()2122111411431221k k k k k k k k k ⨯-=+⎛⎫++--+ ⎪-⎝⎭()()()()212211842141121k k k k k k k k -=+-++⨯--+-()()()21221184214121k k k k k k k -=+⎡⎤-++--⎢⎥-⎣⎦ ()()()()11221221112212112121k k k k k k k k --=+=++++++--()()()()()111122221212121k k k k k =+=++++-++. ∴当1n k =+时，结论成立.综上，可得对*n N ∈，有()11221na n n =+-成立.21.解：（Ⅰ）依题意，取2a =，1b =，得21>，即有ba ab >；取1a=，12b =时，有112>，∴b aa b >；取12a =，13b =时，131226⎛⎫=== ⎪⎝⎭，121336⎛⎫=== ⎪⎝⎭.又(6631611664=⨯=，(662271728=⨯=，∴11321123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时有ba ab >.由此猜测ba ab >对一切0b a e <<<成立.（Ⅱ）证明：要证ba ab >对一切0b a e <<<成立，只需证ln ln ba ab >，即证ln ln a ba b >. 设函数()ln xf x x=，()0,x e ∈. ∴()21ln 'xf x x -=，当()0,x e ∈时，()'0f x >恒成立， ∴函数()ln xf x x=在()0,e 上单调递增， 又0b a e <<<，∴()()f a f b >，即ln ln a ba b>， 故有ba ab >.22.（Ⅰ）解：易得()1'xxg x e b b e -=-+=-. 若0b =，有()()10,x g x e=∈+∞，不合题意； 若0b <，有()010g =>，1110bg e b ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，满足题设；若0b >，令()'0x g x e b -=-+=，得ln x b =-.∴()g x 在(),ln b -∞-上单调递减；在()ln ,b -+∞单调递增，则()()ln min ln ln ln 0b g x g b e b b b b b =-=-=-≤，∴b e ≥.又()010g=>满足题设，综上所述，所求实数()[),0,b e ∈-∞+∞.（Ⅱ）证明：易得，()21'a f x x x=-， 则由题意，得21'f e ae e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解得2a e =.∴()2ln f x x ex=+，从而11f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即切点为1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 将切点坐标代入20ex y b +-+=中，解得0b =. ∴()x g x e -=.要证()()f x g x >，即证2ln x x e ex-+>（()0,x ∈+∞）， 只需证2ln x x x xe e-+>（()0,x ∈+∞）. 令()2ln u x x x e=+，()xv x xe -=，()0,x ∈+∞. 则由()'ln 10u x x =+=，得1x e =，∴()ux 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴()min 11ux u e e⎛⎫==⎪⎝⎭. 又由()()'10x x x v x e xe e x ---=-=-=，得1x =，∴()vx 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11v x v e==.∴()()()()min max ux u x v x v x ≥≥≥，显然，上式的等号不能同时取到. 故对任意的()0,x ∈+∞，总有()()f x g x >.高二数学（理）试题参考答案2018.05一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D C A C C A D B A D C二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 14． 15. 16.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17. 解：（Ⅰ）若是纯虚数，则解得. ………………………………………………………………4分（Ⅱ）若，则. …………………………………………………5分∴， (8)分∴，∴. …………………………………………………10分18.（Ⅰ）证明：【法一】∵，∴，…………………………4分当且仅当时等号成立．……………………………………………………5分∴（当且仅当时等号成立）. ……………………………6分【法二】∵，∴要证，………………………………2分只需证，……………………………………………………3分只需证，只需证，即证，即证，显然，对于总成立. …………………………5分∴成立. ……………………………………………………………6分【说明】本小题若考生运用作差法等它方法证明（略述），只要步骤合理、正确，请参照标准赋分.）（Ⅱ）解：由于，可将看作（Ⅰ）中的，看作（Ⅰ）中的.依据（Ⅰ）的结论，则有，…………………10分当且仅当，即时，等号成立.…………………………………11分所以，所求函数的最小值为．………………………………12分19.解：（Ⅰ）依题意，知当时，，当时，，…………………3分∴. ……………………………………………4分（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）得，令，得.………………………………………………………………5分∴当时，；当时，，∴当时，有. …………………………7分②当时，，当且仅当，即时，.………………………………10分综合①、②知，当时，取得最大值.……………………………………11分即当年产量为千件时，该公司在该旅游商品生产中获得的年利润最大.……12分20.解：（Ⅰ）由题意，得，，. ………………………………3分（Ⅱ）依据（Ⅰ），得，，，由此猜想. ………………………………………………………5分下面用数学归纳法证明之：当时，，结论成立；………………………………………6分假设时，结论成立，即有，……………………………7分则对于时，…………8分.………………………10分∴当时，结论成立. ……………………………………………………11分综上，可得对，有成立.………………………………12分21.解：（Ⅰ）依题意，取，得，即有；取时，有，∴；取时，，.又，，∴，此时有. …………………………………………………………………3分由此猜测对一切成立.……………………………………4分（Ⅱ）证明：要证对一切成立，只需证，………………………………………………………………5分即证.……………………………………………………………………6分设函数，. …………………………………………………8分∴，当时，恒成立，∴函数在上单调递增，…………………………………………10分又，∴，即，………………………………11分故有. ……………………………………………………………………12分22.（Ⅰ）解：易得. ………………………………………1分若，有，不合题意；若，有，满足题设；…………………2分若，令，得.∴在上单调递减；在单调递增，则，∴.又满足题设，……………………………………………………4分综上所述，所求实数. …………………………………5分（Ⅱ）证明：易得，，则由题意，得，解得.∴，从而，即切点为. …………………………6分将切点坐标代入中，解得. ∴. …………7分要证，即证（），只需证（）.令，，. ……………………………8分则由，得，∴在上单调递减；在上单调递增，∴. …………………………………………………………9分又由，得，∴在上单调递增；在上单调递减，∴. …………………………………………………………10分∴，显然，上式的等号不能同时取到. ……………………………………………11分故对任意的，总有.…………………………………12分。
2017年秋季高二年级期中考试数学试题
2017年秋季高二年级期中考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的.） 1、已知命题p ：∀x∈R，2x ＞0，那么命题⌝p 为（ ）A.∃x∈R，2x ＜0B.∀x∈R，2x ＜0C.∃x∈R，2x≤0D.∀x∈R，2x≤02、椭圆1422=+y m x 的焦距为22，则m 的值等于（） A.5或-3B.2或6C.5或3D.5或33、在空间直角坐标系O-xyz 中，已知A(1,2,-1)，B(1,2,1)，则|AB|=（） A.2B.2C.5D.254、已知向量，，且与互相垂直，则K 的值是（ ）A.1B.51C.53D.3115 5、方程2(28)0x y y x y -++-=表示的曲线为（） A ．一条直线和一个圆B ．一条线段与半圆 C ．一条射线与一段劣弧D ．一条线段与一段劣弧6、已知椭圆122=+y m x 和双曲线1222=-y ax 有共同的焦点21,F F ，点P 是它们的一个公共点，则21F PF ∆的面积是（） A ．1B ．2C ．3D ．27、已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（）A ．1≥aB ．1≤aC ．1-≥aD ．3-≤a8、双曲线()222104x y a a -=>的一个焦点与抛物线25y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程是A.14y x =±B.12y x =± C.2y x =± D.4y x =± 9、已知()()2,,,1,21,0,a t t b t t ==--则b a -的最小值是 A.2B.3C.5D.610、以O 为中心，1F ，2F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（） A.22 B.33 C.63 D.2411、双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上任意一点P 可向圆2222b x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭作切线,PA PB ，若存在点P 使得·0PA PB =，则双曲线的离心率的取值范围是（） A.)3,⎡+∞⎣B.(1,3⎤⎦C.)3,5⎡⎣D.()1,512、如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是4π，PQ 是正方形BDEF 所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．[，]D ．[，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知，，，则向量→AB 与→AC 的夹角等于_____．14、椭圆221259x y +=上的点到直线45400x y -+=的最小距离为_____________. 15、在区间[]1,5和[]2,6内分别取一个数，记为a 和b ，则方程22221()x y a b a b-=<表示离心率小5的双曲线的概率为16、在正方体1111ABCD A B C D -中，33AB =,E F 在线段1DB 上，且1DE EF FB ==，点M 是正方体表面上的一动点，点,P Q 是空间两动点，若||||2||||PE QE PF QF ==且||4PQ =，则MP MQ•的最小值为 .三.解答题(本大题共6道题，共70分)17.（本题满分10分）把一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ． 试就方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩解答下列各题：（1）求方程组只有一个解的概率； （2）求方程组只有正数解的概率．18.（本题满分10分）给定命题p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根．如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围．19、（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，，E 为PD 的中点． (1)证明：；(2)设，三棱锥的体积，求二面角D-AE-C 的大小20、（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB =，点D 是11A B 的中点，点E 在11A C 上，且DE AE ⊥（I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ； （II ）求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值。
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2017年秋季高二年级期中考试数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的. ） 1、已知命题p ：∀ x∈R，2x ＞0，那么命题⌝p 为（ ）
A. ∃x∈R，2x ＜0
B. ∀x∈R，2x ＜0
C. ∃x∈R，2x≤0
D. ∀x∈R，2x≤0
2、椭圆14
2
2=+y m x 的焦距为22，则m 的值等于（ ） A.5或-3 B.2或6 C.5或3 D. 5或3
3、在空间直角坐标系O-xyz 中，已知A(1,2,-1)，B(1,2,1)，则|AB|=（ ） A.2 B. 2 C.5 D. 25
4、已知向量，，且与互相垂直，则K 的值是（ ）
A. 1
B.
51 C. 53
D. 31
15
5、方程2(28)0x y y x y -++-=表示的曲线为（ ） A ．一条直线和一个圆 B ．一条线段与半圆 C ．一条射线与一段劣弧 D ．一条线段与一段劣弧
6、已知椭圆12
2=+y m x 和双曲线1222=-y a
x 有共同的焦点21,F F ，点P 是它们的一个公共点，则21F PF ∆的面积是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
7、已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ）
A ．1≥a
B ．1≤a
C ．1-≥a
D ．3-≤a
8、双曲线()22
2104
x y a a -=>的一个焦点与抛物线25y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线
方程是 A. 14y x =±
B. 1
2
y x =± C. 2y x =± D. 4y x =±
9、已知()()2,,,1,21,0,a t t b t t ==--则b a -的最小值是 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
10、以O 为中心， 1F ， 2F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为（ ） A.
22 B. 3 C. 6 D. 24
11、双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上任意一点P 可向圆2
222b x y ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
作切线,PA PB ，若
存在点P 使得·
0PA PB =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. )3,⎡+∞⎣
B. (
1,3⎤⎦ C. )3,5⎡⎣
D. ()
1,5
12、如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是4
π
，PQ 是正方形BDEF 所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（ ）
A ．[
，
]
B ．[
，
]
C ．[
，
]
D ．[
，
]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知
，
，
，则向量→
AB 与→
AC 的夹角等于_____．
14、椭圆
22
1259
x y +=上的点到直线45400x y -+=的最小距离为_____________. 15、在区间[]1,5和[]2,6内分别取一个数，记为a 和b ，则方程22
221()x y a b a b
-=<表示离心率小
5的双曲线的概率为
16、在正方体1111ABCD A B C D -中，33AB =,E F 在线段1DB 上，且1DE EF FB ==，
点M 是正方体表面上的一动点，点,P Q 是空间两动点，若
||||
2||||
PE QE PF QF ==且||4PQ =，则MP MQ •的最小值为 .
三.解答题(本大题共6道题，共70分)
17.（本题满分10分）把一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ． 试就方程组3
22ax by x y +=⎧⎨
+=⎩
解答下列各题：
（1）求方程组只有一个解的概率； （2）求方程组只有正数解的概率．
18.（本题满分10分）给定命题p ：对任意实数x 都有012
>++ax ax 成立；q ：关于x 的方程
02=+-a x x 有实数根．如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数a 的取值范围．
19、（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，
，
E 为PD 的中点． (1)证明：
；
(2)设，三棱锥的体积，求二面角D-AE-C 的大小
20、（本小题满分12分）
如图4，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA =，点D 是11A B 的中点，点E 在11A C 上，且DE AE ⊥
（I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ； （II ）求直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值。
21、（本小题满分13分）已知椭圆与椭圆有相同
的离心率，且经过点P （2，﹣1）． （ I ）求椭圆C 1的标准方程；
（ II ）设点Q 为椭圆C 2的下顶点，过点P 作两条直线分别交椭圆C 1于A 、B 两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率为定值，并且求出这个定值．
22. （本小题满分13分）已知动直线l 与椭圆C ：22
132
x y +
=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ △的面积6
OPQ S =
△O 为坐标原点． （Ⅰ）证明：2212x x +和22
12y y +均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ 的最大值；
A
B
C
D
A 1
B 1
1
E。