2020-2021石家庄市一中实验学校高二数学上期末第一次模拟试卷(带答案)
2020-2021石家庄市一中实验学校高二数学上期末第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．152．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A ．85B ．84C ．83D ．813．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？4．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（ ） A ．31号 B ．32号C ．33号D ．34号5．把化为五进制数是（ ）A ．B ．C ．D ．6．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，L，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A．151B．168C．1306D．14088．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（）A．5个B．10个C．20个D．45个9．执行如图的程序框图，如果输出的是a=341，那么判断框（）A．4k<B．5k<C．6k<D．7k<10．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．27B．57C．29D．5911．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是()A．0.020B．0.018C．0.025D．0.0312．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y关于x的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( )A ．26B ．27C ．28D ．29二、填空题13．已知样本数据为40，42，40，a ，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.14．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >的概率是______．15．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD-的内部的概率为______．16．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．17．若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.18．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为 __________．19．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．20．某种活性细胞的存活率(%)y 与存放温度()x C ︒之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：经计算得回归直线的斜率为-3.2.若存放温度为6C ︒，则这种细胞存活率的预报值为__________%．三、解答题21．为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元，具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定，可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召，通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.（1）若该高中学校有2000名在校学生，编号分别为0001，0002，0003，…，2000，请用系统抽样的方法，设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.（写出必要的步骤） （2）该校根据助学金政策将助学金分为3档，1档每年3000元，2档每年2000元，3档每年1000元，某班级共评定出3个1档，2个2档，1个3档，若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想，求这2名同学不在同一档的概率.22．某洗车店对每天进店洗车车辆数x 和用次卡消费的车辆数y 进行了统计对比，得到如下的表格：(Ⅰ)根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(b ∧的结果保留两位小数)(Ⅱ)试根据()I 求出的线性回归方程，预测50x =时，用次卡洗车的车辆数． 参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+；其中，()1122211())()nni i i i i i nn iii i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$．23．某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，给出下表数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（2）试判断y 与x 之间是正相关还是负相关，并预测燃放烟花爆竹的天数为9天时的雾霾天数约为几天？（参考公式：()()()1122211nniii ii i nnii i i x x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$.）24．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 25．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果： 表1：男、女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） [30,40） [40,50） [50,60） [60,70） [70,80] 男生人数 5 25 30 25 15 女生人数1020402010（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数； （Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计男生 女生 合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中20()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00126．设关于x 的一元二次方程2220x bx a -+=，其中,a b 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率. （1）若随机数,{1,2,3,4}a b ∈；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的一个数，b 是从区间[1,3]中任取的一个数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<， 不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<， 满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.2．A解析：A 【解析】 【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解． 【详解】由一组数据的茎叶图得： 该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=． 故选：A ． 【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据系统抽样知，组距为604=15÷，即可根据第一组所求编号，求出各组所抽编号. 【详解】学生60名，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,所以组距为604=15÷， 已知03号，18号被抽取，所以应该抽取181533+=号， 故选C. 【点睛】本题主要考查了抽样，系统抽样，属于中档题.5．B解析：B【解析】 【分析】利用倒取余数法可得化为五进制数.【详解】 因为所以用倒取余数法得323，故选：B. 【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化，利用倒取余数法可解决此类问题.6．A解析：A 【解析】 【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】当10k -<<时，()011011nk k <+<<+<，， 所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势． 【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用组合数列总事件数，根据等差数列通项公式确定所求事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：共有318C 17163=⨯⨯种事件数，选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-， 由1、4、7、10、13、16，可得4种， 由2、5、8、11、14、17，可得4种， 由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8．A解析：A【解析】应抽取红球的个数为5010051000⨯=，选A.点睛：在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i ＝n∶N.9．C解析：C【解析】由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2;a=4a+1=5,k=k+1=3;a=4a+1=21,k=k+1=4;a=4a+1=85,k=k+1=5;a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”.10．D解析：D【解析】【分析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况.其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为59 p=.故选：D.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题. 11．A解析：A【解析】【分析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出a．【详解】由频率分布直方图的性质得：()100.0050.0150.0350.0150.0101a +++++=，解得0.020a =． 故选A ． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x 的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m 的值即可． 【详解】 由题意可得：810111214115x ++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y =⨯+=， 故21252835275m++++=，26m ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．二、填空题13．【解析】【分析】由平均数的公式求得再利用方差的计算公式求得即可求解【详解】由平均数的公式可得解得所以方差为所以样本的标准差为【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差标准差的计算着重考查了运算与求解能解析：3【解析】 【分析】由平均数的公式，求得49a =，再利用方差的计算公式，求得2283s =，即可求解. 【详解】由平均数的公式，可得1(4042404344)436a +++++=，解得49a =， 所以方差为2222222128[(4043)(4243)(4043)(4343)(4343)(4443)]63s =-+-+-+-+-+-=，所以样本的标准差为s = 【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14．【解析】【分析】基本事件总数由双曲线的离心率得利用列举法求出双曲线的离心率包含的基本事件有6个由此能求出双曲线的离心率的概率【详解】某同学同时掷两颗骰子得到点数分别为ab 基本事件总数双曲线的离心率解解析：16【解析】 【分析】基本事件总数n 6636=⨯=，由双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >，得b 2a >，利用列举法求出双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >()a,b 有6个，由此能求出双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >【详解】某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ， 基本事件总数n 6636=⨯=，Q双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >ca a∴=>，解得b 2a >，∴双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >()a,b 有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,5，(1，6)，()2,6，共6个，则双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >61p 366==． 故答案为16．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.15．【解析】【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概【解析】 【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径，即2R =，即R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为343π⨯=，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率8P ==，故答案为：9π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．16．【解析】∵方程无实根∴Δ＝1－4a<0∴即所求概率为故填：解析：34【解析】∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴14a >，即所求概率为34.故填：3417．【解析】【分析】由题意从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议求得基本事件的总数再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中求得其包含的基本事件的个数即可求解【详解】由题意从甲乙解析：5 6【解析】【分析】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，求得基本事件的总数，再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，求得其包含的基本事件的个数，即可求解．【详解】由题意，从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议，则基本事件的总数为246n C==，又由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中，其包含的基本事件的个数为221m C==，所以甲乙两人至少有一人被选中的概率为151166mpn=-=-=．故答案为56．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式，以及对立事件的应用，其中解答中认真审题，合理选择方法，分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18．【解析】分析：设爸爸到家时间为快递员到达时间为则可以看作平面中的点分析可得全部结果所构成的区域及其面积所求事件所构成的区域及其面积由几何概型公式计算可得答案详解：设爸爸到家时间为快递员到达时间为以横解析：1 8【解析】分析：设爸爸到家时间为x，快递员到达时间为y，则(,)x y可以看作平面中的点，分析可得全部结果所构成的区域及其面积，所求事件所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案.详解：设爸爸到家时间为x，快递员到达时间为y，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：根据题意，所有基本事件构成的平面区域为 5.5 6.5(,)|67x x y y ⎧⎫≤≤⎧⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭，面积=1S ，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为 5.5 6.5(,)|670x x y y x y ⎧⎫≤≤⎧⎪⎪⎪≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭，直线=0x y -与直线=6.5x 和y=6交点坐标分别为(6,6)和(6.5,6.5)，2111==228S ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭阴影由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：1=8S P S =阴影.故答案为18. 点睛：本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出x 、y ，将(,)x y 基本事件和所求事件在平面直角坐标系中表示出来.19．【解析】分析：根据题意求出区间内随机取两个数分别记为以及对应平面区域的面积再求出满足调价使得函数有零点的所对应的平面区域的面积利用面积比的几何概型即可求解详解：由题意使得函数有零点则即在平面直角坐标 解析：14π-【解析】分析：根据题意，求出区间[,]-ππ内随机取两个数分别记为,a b ，以及对应平面区域的面积，再求出满足调价使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的所对应的平面区域的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.详解：由题意，使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点， 则222(2)4()0a b π∆=--+≥，即222a b π+≥，在平面直角坐标系中,a b 的取值范围，所以对应的区域，如图所示， 当,[,]a b ππ∈-对应的面积为边长为2π的正方形，其面积为24π，所以其概率为2324144ππππ-=-.点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算，对于几何概型概率可以为线段的长度比，区域的面积、几何体的体积比等，其中这个“几何度量”值域大小有关，与形状和位置无关，解决的步骤为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”，在求出总的事件所对应的“几何度量”，最后根据公式求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．34【解析】分析：由题意求出代入公式求值从而得到回归直线方程代入代入即可得到答案详解：由题意设回归方程由表中数据可得：；代入回归方程可得当时可得故答案为34点睛：该题考查的是有关回归直线的有关问题在解析：34 【解析】分析：由题意求出,x y ，代入公式求值^a ，从而得到回归直线方程，代入6x =代入即可得到答案.详解：由题意，设回归方程 3.2ˆ,ˆyx a =-+ 由表中数据可得：1,50x y ==；代入回归方程可得ˆ53.2a=. 当6x =时，可得3.2653.234y =-⨯+=，故答案为34.点睛：该题考查的是有关回归直线的有关问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有回归直线过均值点，即样本中心点，利用题中所给的表格中的数据，计算得出相应的量，代入式子求得对应的结果.三、解答题21．（1）见解析；（2）()1115P A = 【解析】 【分析】（1）第一步编号分组，第二步抽样；（2）先用枚举法确定从6名学生选2名的总事件数，再从中确定2名同学不在同一档的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）第一步：分组.将2000名学生分成50组，每组40人，编号是0001～0040的为第1组，编号为0041～0080的为第2组，…，编号为1961～2000为第50组；第二步：抽样.在第1组中用简单随机抽样方法（抓阄）抽取一个编号为m 的学生，则在第k 组抽取编号为()401k m -+的学生.每组抽取一人，共计抽取50名学生.（2）记该班3个1档的学生为1A ，2A ，3A ，2个2档的学生为1B ，2B ，1个3档的学生为1C ，从该班获得助学金的同学中选择2名同学不在同一档为事件A .基本事件：12A A ，13A A ，11A B ，11A B ，11A C ，23A A ，21A B ，22A B ，21A C ，31A B ，32A B ，31A C ，12B B ，11B C ，21B C ，共计15个.事件A 包含的基本事件共有11个，则()1115P A = 【点睛】本题考查系统抽样以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．(Ⅰ) 0.502y x $=+；(Ⅱ)27. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由已知图表结合公式即可求得y 关于x 的线性回归方程；(Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的线性回归方程中，取50x =求得y 值，则答案可求． 【详解】(Ⅰ1018263640)265x ++++==，710171823155y ++++==．515107181026173618402352615310i ii x y xy =-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=∑，522222222151018263640526616ii xx =-=++++-⨯=∑．3100.50616b ∴=≈$． 150.50262a y b x $$∴=-=-⨯=．则y 关于x 的线性回归方程为0.502y x =+$；(Ⅱ)由(Ⅰ)的线性回归方程可得，当50x =时，用次卡洗车的车辆数估计是0.5050227⨯+=． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.23．（1）1917ˆ2626yx =-；（2）正相关，6天 【解析】 【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）根据回归直线方程判断出判断y 与x 之间的相关关系，令9x =，求得雾霾天数的预测值. 【详解】 （1）依题意23578122465,355x y ++++++++====，x 2 3 5 7 8 合计y 1 2 2 4 6 xy 2 6 10 28 48 94 x 249254964151 所以21515526b==-⨯$，$352626a =-⨯=-，所以ˆ2626y x =-. （2）由1917ˆ2626yx =-可知，y 与x 正相关，当9x =时，雾霾天数的预测值为19177796262613⨯-=≈天. 【点睛】 本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.24．（1）0.9；（2）0.085a =，0.125b =；（3）第4组. 【解析】试题分析：（1）由频率分布表知，100人中有10人阅读时间不少于12小时，所以由对立事件的概率计算公式得p=；（2）由频率分表知，阅读时间在[4，6）的共17人，所以样本落在该组的概率为0．17，则频率分布直方图中样本落在[4，6）的小矩形的面积为0．17，从而求出矩形的高即a 的值，同理得到b 的值；（3）可以通过频率分布表或频率分布直方图求出平均数即可知平均数在那一组．试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是；（2）课外阅读时间落在[4，6）的有17人，频率为0．17，所以，课外阅读时间落在[8，10）的有25人，频率为0．25，所以，（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 考点：频率分布表和频率分布直方图的应用．【方法点睛】频率分布直方图的几个常用结论：（1）所有小矩形的面积和为1；（2）小矩形的高等于样本落在该组的概率除以组距；（3）最高的小矩形的所在组的区间的中点值即为众数；（4）每个组的区间中点值乘以所在组的概率之和即为平均数；（4）样本取值m ，两侧的样本数据的概率相等且为，则m 即为中位数．25．（Ⅰ）225；（Ⅱ）没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”． 【解析】分析：（1）根据样本比例=总体比例，再计算总体人数 （2）先填表，再利用卡方公式计算详解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数x , 依据题意有30750100x =，解得：225x =， 所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人. （Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 合计 13070200其中()2200603040702002.198 2.7061001001307091K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.点睛：本题考查概率、统计学的基础内容，卡方的计算要先化简后计算． 26．（1）58（2）12【解析】 【分析】（1）根据判别式求得方程有实根的条件，用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）画出可行域，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）设事件A 为方程2220x bx a -+=有实根，()22240b a -≥，有实根的充要条件为b a ≥，若随机数,{1,2,3,4}a b ∈基本事件共有16个：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2，()()()()()()()()()()2,3,2,4,3,13,23,3,3,4,4,1,4,24,3,,4,4，其中括号中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，则事件A 中包含10个基本事件，故事件A 发生的概率为105()168P A ==. （2）试验的全部结果所构成的区域为{}(,)|04,13a b a b ≤≤≤≤，如图矩形ABCD . 构成事件A 的区域为{}(,)|04,13,a b a b b a ≤≤≤≤≥，如图梯形ABFE . 概率为两者的面积之比，所以所求的概率41()82P A ==.【点睛】本小题主要考查古典概型和几何概型的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.。
石家庄市2019-2020学年第一学期期末高二数学试卷含答案
………………4 分
a^ 77.363，
……………………6 分
∴回归方程为^y＝－1.818x＋77.363.
…………………8 分
(2)由回归方程知，每增加 1 000 件产量，单位成本下降 1.818 元．……………………10 分
(3)当^y＝70 时，70＝－1.818x＋77.363，
得 x≈4.050 千件．
则 P 0,0, h, B 0,1,0,C 2,1,0 , D 2, 1,0
所以 PC 2,1, h , BD 2, 2, 0
PC
BD
0
，所以
PC
BD
.
……………………… 4 分
证法二：设 AB 中点为 O ，连接 PO ，由已知 PA PB ，所以 PO AB ，
A2, B1 ，A2, B2 ，A3, B1 ，A3, B2，B1, B2 ，共 10 种．
…………9 分
所以这 2 个孩子跳绳数值都在区间 45, 65 内的概率为 10 2 ．
15 3
………………………10 分
18 解：（1）圆 C 的方程 x2＋y2－8y＋12＝0．
A2, B1 ，A2, B2 ，A2,C ，A3, B1 ，A3, B2 ，A3,C ，B1, B2 ，B1,C ，B2,C ，
共 15 种．
…………………………………………………………………7 分
事件 M 包含的基本事件有：A1, A2 ，A1, A3 ，A1, B1 ，A1, B2 ，A2, A3 ，
a^＝77.364，………………………6 分
∴回归方程为^y＝ — 10 x＋77.364.………………………8 分 5.5
河北省石家庄市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
16．已知点 是抛物线 的对称轴与其准线的交点，点 为该抛物线的焦点，点 在抛物线上且满足 ，当 取最小值时，点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________.
A．40B．30C．20D．12
2．某中学高三从甲、乙两个班中各选出 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是 ，乙班学生成绩的中位数是 ，則 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆 的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 的值为（）
A． B． C．2D．4
三、解答题
17．为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个数的数值落在区间 ， ， 内的频率之比为 .（计算结果保留小数点后面3位）
（Ⅰ）求这些学生跳绳个数的数值落在区间 内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间 内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个学生，求这2个学生跳绳个数的数值都在区间 内的概率.
12．已知 为定义在 上的可导函数， 为其导函数，且 恒成立，其中 是自然对数的底，则（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数 的极小值为_______．
14．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．
A． B．
C． D．
7．设命题 ：函数 在 上为单调递增函数；命题 ：函数 为奇函数，则下列命题中真命题是（）
河北省石家庄市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题含答案 理 新人教A版
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
（2） ， ，
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
当 时， ，解得 ，不满足 ，舍去。。。。。10分
当 时， ，解得 ，符合条件，综上， 。。12分
20.(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
22．（本小题满分12分）
已知椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点 重合，椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 的直线与椭圆 相交于 、 两点，求使 成立的动点 的轨迹方程；
（3）若点 满足条件（2），点 是圆 上的动点，求 的最大值．
13.
14.、720
15.3
16. ①③④
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…4分
（Ⅱ）如图，以C为原点， 、 、 分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－ 1，0)．
设P(0，0，a)（a＞0），
于是n＝(2，－2，－2)， ＝(1，1，－2)．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ＝|cos ，n|＝ ＝ ，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 ．…12分
22.
又 ，且 ，…………… 4分
解得 .
∴椭圆 的方程为 .…………… 5分
解法2:抛物线 的焦点 的坐标为 ，
设点 的坐标为 , .
17.解：由命题 得 ，
由命题 得
由此分析，只有 才可能，所以对于 ：
2020-2021石家庄市高中必修一数学上期末一模试卷带答案
f 2 a1 f 2 ，则 a 的取值范围是 （
）
A．
,
1 2
B．
,
1 2
3 2
,
C．
3 2
,
D．
1 2
,
3 2
11．点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的平面图形运动一周， O ， P 两点连线的 距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图所示，则点 P 所走的图形可能是
17．已知 f (x) ､ g(x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f (x) g(x) 2x x ，则 f (1) g(1) __________. 18．已知函数 g(x) f (x) x 是偶函数，若 f (2) 2 ，则 f (2) ________
19．已知二次函数 f x ，对任意的 x R ，恒有 f x 2 f x 4x 4成立，且
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
4．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) 2 f (x) ，且当 x (0,1] 时， f (x) x(x 1) .
若对任意 x (, m] ，都有 f (x) 8 ，则 m 的取值范围是 9
A．
,
9 4
（2） 21g2 2 1g4 lg 5 lg 25 .
25．已知幂函数 f x xm22m3 m Z 为偶函数，且在区间 0, 上单调递减.
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）讨论 F x a
f
x
xf
b
x
的奇偶性. a,b
R
（直接给出结论，不需证明）
26．即将开工的南昌与周边城镇的轻轨火车路线将大大缓解交通的压力，加速城镇之间的 流通．根据测算，如果一列火车每次拖 4 节车厢，每天能来回 16 次；如果一列火车每次拖 7 节车厢，每天能来回 10 次，每天来回次数 是每次拖挂车厢个数 的一次函数． （1）写出 与 的函数关系式； （2）每节车厢一次能载客 110 人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数 最 多？并求出每天最多的营运人数（注：营运人数指火车运送的人数）
河北省石家庄市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题含答案 文 新人教A版
河北省石家庄市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题含答案（文） 新人教A 版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合},2,1,0{x A =，2{1,},B x AB A ==，则满足条件的实数x 的个数有CA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2. 已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan α的值为D A ．43-B ．43C ．34-D ．343.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。
若0a b =<时2()0a b a -=，所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件，选A.4. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =（ ）A ．6-B ．4-C ．2-D ．2【答案】A5.为了得到函数x x x y 2cos 21cos sin 3+=的图象,只需将函数x y 2sin =的图象 CA ．向左平移12π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向右平移6π个长度单位6.若O 为平面内任一点且0)()2(=-⋅-+AC AB OA OC OB ，则ABC ∆是 CA ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形7.已知函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=)10(1)01(1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为BA ．(,1)(1,)-∞-+∞B ． 1[1,)(0,1]2--C ．(,0)(1,)-∞+∞ D ．1[1,](0,1]2--8. 有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为（ ）A ．13B ．7+32C ．72πD ．14【答案】D 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(131131)14⨯+⨯+⨯=,选 D ．10.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π,则球的表面积为A ．22500cm πB ．2250cm πC ．2100003cm π D ．225003cm π 11.已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是B A ．416(,)55 B ．4(,16)5 C ．(1,16) D ．16(,4)512.已知函数()x e x F =满足()()()x h x g x F +=，且()x g ，()x h 分别是R 上的偶函数和奇函数，若[]2,1∈∀x 使得不等式()()02≥-x ah x g 恒成立，则实数a 的取值范围是B A ．(,22)-∞ B ．(,22]-∞ C ．(0,22] D ．(22,)+∞试卷II （90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13.已知抛物线28y x =-的准线过双曲线2213x y m -=的右焦点，则双曲线的离心率为 2 .14. 直线1cos sin =+θθy x 与圆9)1(22=+-y x 的公共点的个数为 2 . 15.如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数n后,输出的)20,10(∈S ,那么n 的值为 4=n . 16．有下面四个判断：①命题：“设a 、b R ∈，若6a b +≠，则33a b ≠≠或”是一个假命题②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题③命题“a ∀、22,2(1)b R a b a b ∈+≥--”的否定是：“a ∃、22,2(1)b R a b a b ∈+≤--”④若函数2()ln()1f x a x =++的图象关于原点对称，则3a = 其中错误的有 ① ② ③ ④ .三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数12sin()43()sin x f x xπ+-=. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若()2f x =，求sin 2x 的值.解：（Ⅰ）由题意，sin 0x ≠，所以，()x k k ≠π∈Z .函数()f x 的定义域为{,}x x k k ≠π∈Z . ………………………4分 （Ⅱ）因为()2f x =，所以12sin()2sin 43x x π+-=， 2212(sin cos )2sin 223x x x +-=， 1cos sin 3x x -=， ………………………8分将上式平方，得11sin 29x -=，所以8sin 29x =. ………………………10分（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ………………………4分 （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,因为32DM =,所以90DOM ∠=，OD OM ⊥. 又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. 因为OMAC O =,所以OD ⊥平面ABC ， 因为OD ⊂平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………………8分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积.由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，所以3OD =为三棱锥D ABM -的高.ABM ∆的面积为11393sin120632222BA BM ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 所求体积等于19332ABM S OD ∆⨯⨯=. ………………………12分19. 如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =． (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 解：(1)设M 的坐标为(,)x y (x ，y)，P 的坐标为(,)p p x y ，由已知得54p p x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∵P 在圆上，∴2225116x y +=，即轨迹C 的方程为2212516x y +=………………………5分 (2) 过点(3,0)且斜率为45的直线方程为4(3)5y x =-，设直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线方程4(3)5y x =-代入C 的方程，得22(3)12525x x -+= ，即x 2－3x －8＝0. ………………………8分 ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为221212||()()AB x x y y =-+-2121641(1)()255x x =+-=………………12分 20. 设数列{}n a 满足：15a =，145n n a a ++= (I)求证：{1}n a -是等比数列；(Ⅱ)设数列||n n b a =，求{b n }的前2013项和2013S ．解：（I ）由+1+4=5n n a a 得+1=4+5n n a a - 令()+1+=4+n n a t a t -，得+1=45n n a a t -- 则5=5t -，=1t - 从而()+11=41n n a a --- . 又11=4a -,1232013=4+4+4++4+1 ……………………………………10分201420144441=+1=143--- ………………………………12分 21. 设函数()(1)x x f x a k a -=--(0a >且1)a ≠是定义域为R 的奇函数.(1)求k 值; (2)若()312f =,且()()222x xg x a a mf x -=+-,在[)1,+∞上的最小值为2-,求m 的值.解:(1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2, ………………………4分 (2)∵f(1)=32,231=-∴a a ,即,02322=--a a（舍去）。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
2020-2021石家庄市一中实验学校高三数学下期末第一次模拟试卷(带答案)
2020-2021石家庄市一中实验学校高三数学下期末第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )A ．B ．C ．D ．2．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．193．若满足sin cos cos A B C a b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形 4．下列四个命题中，正确命题的个数为( )①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线一定可以确定一个平面；③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈；④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30°C ．45︒D ．15︒6．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ）A ．53 B ．35 C ．37D ．57 7．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则 A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b ==- D ．1,1a b =-=-8．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．5 9．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒>B ．22a b a b >⇒>C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒> 10．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A ．513x <<B ．135x <<C ．25x <<D ．55x << 11．样本12310,?,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）A ．()a b +B ．2()a b +C ．1()2a b + D ．1()10a b + 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．15．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．16．已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．17．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.18．34331654+log log 8145-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 19．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是20．()sin 5013=o o ________________.三、解答题21．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141t xttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110ρθρθ++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．22．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；()2设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．23．设()34f x x x=-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x=-的定义域；（Ⅱ）若存在实数x满足()1f x ax≤-，试求实数a的取值范围.24．如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，ABE60∠=︒，G为BE的中点.(Ⅰ)求证：AG⊥平面ADF；(Ⅱ)求AB3=BC1=，求二面角D CA G--的余弦值.25．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,x ty kt=⎧⎨=⎩（t为参数），直线l2的参数方程为2,,x mmmyk=-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin20lρθθ+=，M为l3与C的交点，求M的极径.26．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，S是11B D的中点，E，F，G分别是BC，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f （x ）在区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0．即函数图象连续并且穿过x 轴．【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f （a ）•f （b ）＜0A 、B 中不存在f （x ）＜0，D 中函数不连续．故选C ．【点睛】本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题．2．D解析：D【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369. 故选D 3．C解析：C【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】 由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o .所以ABC ∆为等腰直角三角形.故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.4．A解析：A【解析】【分析】【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A ．5．C解析：C【解析】由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.6．A解析：A【解析】 由正弦定理可得：sin 5sin 3A aB b == . 本题选择A 选项. 7．C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为()a i i b i +=+，即1ai b i -+=+，因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-，故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.8．A解析：A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==Q ，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上， 22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．9．C解析：C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误；选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误；选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题． 10．A解析：A【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐角为角α，根据余弦定理得22223cos 04x xα+-=>，解得x >x 边对的锐角为β，根据余弦定理得22223cos 012x β+-=>，解得0x <<x 的取值范x << A.考点：余弦定理.11．C解析：C【解析】【分析】【详解】 由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=L L ，所以所求平均数为 ()121012101210121012020202a a a b b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+L L L L 考点：样本平均数12．C解析：C因为()2f x x ax =+是偶函数，所以22()()20f x x ax f x x ax ax -=-==+∴= 所以0a =.所以“0a =”是“()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.故选C. 二、填空题13．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题 解析：12【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B .详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===,因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c === 所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解.【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >， 综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 15．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
2020-2021石家庄市一中实验学校九年级数学上期末第一次模拟试卷(带答案)
2020-2021石家庄市一中实验学校九年级数学上期末第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( ) A ．()1119802x x += B ．()1119802x x -= C ．()11980x x += D ．()11980x x -=2．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3π C ．2π-12D ．124．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．二次函数236yx x =-+变形为()2y a x m n =++的形式，正确的是（ ）A ．()2313y x =--+ B ．()2313y x =--- C ．()2313y x =-++D ．()2313y x =-+-6．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞47．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x ，则可列方程是（ ） A ．400(1)640x +=B ．2400(1)640x +=C ．2400(1)400(1)640x x +++=D ．2400400(1)400(1)640x x ++++=8．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，“快递业”成为我国经济的一匹“黑马”，2016年我国快递业务量为300亿件，2018年快递量将达到450亿件，若设快递量平均每年增长率为x ，则下列方程中，正确的是( ) A ．()3001x 450+= B ．()30012x 450+= C ．2300(1x)450+=D ．2450(1x)300-=9．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( ) A ．x(x －1)＝2070 B ．x(x ＋1)＝2070 C ．2x(x ＋1)＝2070D ．(1)2x x -＝2070 10．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）A ．确定事件B ．必然事件C ．不可能事件D ．不确定事件11．方程x 2＝4x 的解是（ ） A ．x ＝0B ．x 1＝4，x 2＝0C ．x ＝4D ．x ＝212．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ） A ．y=1+12x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2二、填空题13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__人．14．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___． 15．抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣2与y 轴的交点坐标是_____．16．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.17．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．18．关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．19．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有_____个． 20．若二次函数y ＝x 2﹣3x +3﹣m 的图象经过原点，则m ＝_____．三、解答题21．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根． (1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．22．在平面直角坐标系中，已知二次函数y =ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＞0）图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）若M 为对称轴与x 轴交点，且DM =2AM ． ①求二次函数解析式；②当t ﹣2≤x ≤t 时，二次函数有最大值5，求t 值；③若直线x =4与此抛物线交于点E ，将抛物线在C ，E 之间的部分记为图象记为图象P （含C ，E 两点），将图象P 沿直线x =4翻折，得到图象Q ，又过点（10，﹣4）的直线y =kx +b 与图象P ，图象Q 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围． 23．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．24．如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a 的值和图象的顶点坐标。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
河北省石家庄市2020至2021学年高二上学期期末考试数学试题真题
石家庄市2020-2021学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科答案）一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B C C D D DB B B D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 86 12. 10313.221327x y -= 14. 6 15. 322 16.23三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)解：198788978,8x 甲＝（8＋＋＋＋＋＋＋）＝ 1=10698.8x 乙（10＋7＋8＋＋9＋5＋＋）＝…………………………4分 ()()()()()()()()2222222212s 8898887888889878,82⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦甲＝()()()()()()()()222222221s 1087888108985868983,8⎡⎤-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙＝ ……………………………8分∵.x x =乙甲，s s <乙甲，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 .…………………10分18. (本小题满分12分)（Ⅰ）依题意可知C 点的坐标为（-1,1），圆C 的半径为 2，……………………………2分∴圆C 的方程为22(1)(1)2x y ++-=.………………………………4分（Ⅱ）2222222PC AC =+==.∴在Rt PAC ∆中，030,6APC PA ∠==,…………………………………7分 可知0260,6APB APC PB ∠=∠==,………………………………………10分∴066cos 60PA PB ⋅=⋅=3.……………………………12分19. (本小题满分12分)处应填 (4)分处应填……………………8分处应填……………… 12分20. (本小题满分12分) 解：设事件A 为“方程229304x ax b ++=有实根”． 当0a ≥，0b ≥时，方程229304x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．…………2分 （Ⅰ）基本事件共8个：(00)(01)(10)(11)(20)(21)(30)(31)，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．………………………4分事件A 中包含7个基本事件，所以事件A 发生的概率为7()8P A =．……………7分 （Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{}()|030a b a b ，，≤≤≤≤1．…………9分 构成事件A 的区域为{}()|030a b a b a b ，，，≤≤≤≤1≥． 所以所求的概率为1311152316⨯-⨯⨯=⨯．…………………12分 21. (本小题满分12分)（Ⅰ）证明：依题意可知PD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥,//EF CD ,………………2分 可知CD ⊥平面PDA ,得CD ⊥PA ,从而PA EF ⊥.…………………………5分（Ⅱ）法一：取AD 的中点Q ，连结,,QF QG ，过Q 做QM DG ⊥于M ，过M 做MN FG ⊥于N ,则QNM ∠为二面角Q FG D --的平面角，其余弦值为二面角E FG D --的余弦值的相反数,后面略.法二：建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(1,2,0),(0,0,1),(0,1,1)D G F E(1,2,0)DG = (0,0,1)DF =(0,1,0)EF =-(1,1,1)EG =-……………7分 取AB 的中点M ,连结MC ,可知MC DG ⊥,则MC ⊥平面DFG ，又1102MC =（-，，），设平面EFG 的法向量为(,,)x y z =n 00EF EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,可知0,0.y x y z -=⎧⎨+-=⎩ 则(1,0,1)=n ………………………………10分,|||MC MC MC ⋅>=⋅nn |n 本小题满分12分)（Ⅰ）依题意可知c =1,b =1.……………………………11+=. 椭圆的方程为2221xy =.…………………………………（Ⅱ）若M 的坐标为(2,0)时，圆的方程为。