2020年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科) (解析版)
2020年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x|≤1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或0≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或0＜x≤1} 2．在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则a9＝（）A．19B．112C．9D．123．设复数z＝x+yi，（x，y∈R），下列说法正确的是（）A．z的虚部是yiB．z2＝|z|2C．若x＝0，则复数z为纯虚数D．若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是圆4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A．8种B．9种C．12种D．14种5．若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ−π4)=（）A．−29B．29C．−79D．796．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是（）A．0.832B．0.920C．0.960D．0.9927．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b8．已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是（）A．①③⇒④B．①④⇒③C．③④⇒①D．②③⇒④9．如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（）A．h√1sin2α+1sin2β−2cos(α−β)sinαsinβB．h√1sin2α+1sin2β+2cos(α−β)sinαsinβC．h√1cos2α+1cos2β−2cos(α−β)cosαcosβD．h√12+12+2cos(α−β)cosαcosβ10．过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若3|AF|＝|BF|，O为坐标原点，则|AF||OF|=（）A．43B．34C．4D．5411．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f（x）的图象关于点（43，0）成中心对称；②函数f（x）在(−12，−16)上单调递；③圆C的面积为3136π．A．①②B．①③C．②③D．①②③12．函数f （x ）＝e mx +e ﹣mx +x 2﹣mx （m ∈R ）的图象在点A （x 1，f （x 1），B （﹣x 1，f （﹣x 1））处两条切线的交点P （x 0，y 0）一定满足（ ） A ．x 0＝0B ．x 0＝mC ．y 0＝0D ．y 0＝m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．执行如图所示的程序框图，若输入t ∈[﹣1，3]，则输出s 的取值范围是 ．15．已知向量AB →=(0，1)，|AC →|=√7，AB →⋅BC →=1，则△ABC 面积为 ． 16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C ﹣AM ﹣N 的余弦值为 ．若动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1∥平面AMN ，则线段PA 1的长度范围是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}是等比数列，且公比q不等于1，数列{b n}满足a n=2b n．（Ⅰ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）若a1＝2，3a3＝2a2+a4，求数列{1b n log2a n+1}的前n项和S n．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且DF=13 FC．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．19．已知椭圆C：x22+y2=1与x轴正半轴交于点A，与y轴交于B、C两点．（Ⅰ）求过A，B，C三点的圆E的方程；（Ⅱ）若O为坐标原点，直线l与椭圆C和（Ⅰ）中的圆E分别相切于点P和点Q（P，Q不重合），求直线OP与直线EQ的斜率之积．20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）21．已知函数，f(x)=aln2x −e 2xe ，a ∈R ．（Ⅰ）若函数f （x ）在x =e2处有最大值，求a 的值； （Ⅱ）当a ≤e 时，判断f （x ）的零点个数，并说明理由．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足|OA |•|OB |＝8，点B 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）设点M 的极坐标为(2，3π2)，求△ABM 面积的最小值． [选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣3|+|2x +3|． （Ⅰ）解不等式f （x ）≤8：（Ⅱ）设x ∈R 时，f （x ）的最小值为M ．若实数a ，b ，c 满足a +b +2c ＝M ，求a 2+b 2+c 2的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＜0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x|≤1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或0≤x≤1}D．{x|x≤﹣1或0＜x≤1}【分析】可解出集合A，然后进行并集、补集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤1}；∴A∪B＝{x|x≤1}；∴∁U（A∪B）＝{x|x＞1}．故选：B．2．在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则a9＝（）A．19B．112C．9D．12【分析】根据题意，由等比中项的性质可得（a6）2＝a3×a9，变形计算可得答案．解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3＝3，a6＝6，则有（a6）2＝a3×a9，变形可得a9=(a6)2a3=363=12；故选：D．3．设复数z＝x+yi，（x，y∈R），下列说法正确的是（）A．z的虚部是yiB．z2＝|z|2C．若x＝0，则复数z为纯虚数D．若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是圆【分析】利用复数的基本概念，复数的模以及轨迹方程判断选项的正误即可．解：复数z＝x+yi，（x，y∈R），z的虚部是y，所以A不正确；z2＝|z|2，不正确，因为左侧是复数，右侧是实数，所以B不正确；若x＝0，并且y≠0，则复数z为纯虚数，所以C不正确；若z满足|z﹣i|＝1，则z在复平面内对应点（x，y）的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为1的圆，所以D正确；故选：D ．4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（ ） A ．8种B ．9种C ．12种D ．14种【分析】分两类，第一类，1名女生3名男生，有∁21⋅∁43=8种，第二类，2名女生2名男生，有∁42=6种，根据分类计数原理可得．解：分两类，第一类，1名女生3名男生，有∁21⋅∁43=8种，第二类，2名女生2名男生，有∁42=6种， 根据分类计数原理得，共有8+6＝14种． 故选：D ．5．若sin(θ+π8)=13，则sin (2θ−π4)=（ ）A ．−29B ．29C ．−79D ．79【分析】由已知利用二倍角公式可求cos （2θ+π4）的值，利用诱导公式可求sin[π2−（2θ+π4）]＝sin （π4−2θ）＝cos （2θ+π4）=79，根据诱导公式可求sin (2θ−π4)=−sin （π4−2θ）=−79，由此得解．解：∵sin(θ+π8)=13，∴cos （2θ+π4）＝1﹣2sin 2（θ+π8）＝1﹣2×（13）2=79，∴sin[π2−（2θ+π4）]＝sin （π4−2θ）＝cos （2θ+π4）=79，∴sin (2θ−π4)=−sin （π4−2θ）=−79．故选：C ．6．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是（ ） A ．0.832B ．0.920C ．0.960D ．0.992【分析】结合题意可知，他能获得概率对应的事件为第一次能通过或第一次没通过，第二次通过，前两次没通过，第三次通过，然后结合独立事件的概率公式可求．解：每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8，则本次比赛他获得冠军的概率P＝0.8+0.2×0.8+0.22×0.8＝0.8+0.16+0.032＝0.992故选：D．7．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝ln（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】可以得出0＜log52＜1，log0.50.2＞1，ln（ln2）＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．解：∵0＝log51＜log52＜log55＝1，log0.50.2＞log0.50.5＝1，0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，∴c＜a＜b．故选：D．8．已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是（）A．①③⇒④B．①④⇒③C．③④⇒①D．②③⇒④【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用逐一核对四个选项得答案．解：对于A，由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a⊂α，故A错误；对于B，由α⊥β，a∥α，可得a⊂β或a∥β或a与β相交，故B错误；对于C，由a∥α，过a作平面γ与α相交，交线为b，则a∥b，∵a⊥β，∴b⊥β，而b⊂α，可得α⊥β，故C正确；对于D，由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D错误．故选：C．9．如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（）A．h√1sin2α+1sin2β−2cos(α−β)sinαsinβB ．h √1sin 2α+1sin 2β+2cos(α−β)sinαsinβ C ．h√1cos 2α+1cos 2β−2cos(α−β)cosαcosβD ．h√1cos 2α+1cos 2β+2cos(α−β)cosαcosβ 【分析】利用正弦定理求出AB ，再结合选项化简即可得出答案． 解：如图所示，由题意作PE ∥AB ，可得∠APE ＝α，∠BPE ＝β，∠APO =π2−α，则∠APB ＝α﹣β，∠ABP ＝β，在△AOP 中，PA =ℎcos(π2−α)=ℎsinα，在△PAB 中，∠B ＝β，∠APB ＝α﹣β， 由正弦定理ABsin∠APB=PA sinB，解得AB =sin(α−β)sinβ⋅ℎsinα=h •sin(α−β)sinα⋅sinβ； 又1sin α+1sin β−2cos(α−β)sinαsinβ═sin 2α+sin 2β−2sinαsinβ(cosαcosβ+sinαsinβ)sin αsin β=(sin 2α−sin 2αsin 2β)−2sinαsinβcosαcosβ+(sin 2β−sin 2αsin 2β)sin 2αsin 2β =sin 2αcos 2β−2sinαcosβcosαsinβ+cos 2αsin 2βsin 2αsin 2β =sin 2(α−β)sin 2αsin 2β， 又α﹣β∈（0，π2），且α、β∈（0，π2），所以sin(α−β)sinαsinβ＞0，所以AB ＝h •√1sin 2α+1sin 2β−2cos(α−β)sinαsinβ． 故选：A ．10．过抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若3|AF |＝|BF |，O为坐标原点，则|AF||OF|=（）A．43B．34C．4D．54【分析】根据条件画出示意图，设|AF|＝x，则|BF|＝3x，利用AFAB =FCBD，求出x，进而求出比值．解：过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0，p2），准线：y=−p2，根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x，由图可知：AFAB =FCBD，即x4x=p−x2x，解得x=23p，则AFOF =23P12P=43．故选：A．11．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f（x）的图象关于点（43，0）成中心对称；②函数f（x）在(−12，−16)上单调递；③圆C 的面积为3136π．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【分析】首先利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间和函数的对称轴即圆的半径．解：根据函数的图象与圆C 的关系，得到点C 为点M 和点N 的对称点． 所以点C 的横坐标x =23+02=13，即C （13，0）， 函数的最小正周期为T ＝2（13+16）＝1． 故①函数f （x ）的图象关于点的横坐标为：n •12×1+13，当n ＝2时，点（43，0）成中心对称，故①正确． 由于T4=14，所以−16−x =14，则x =−16−14=−512＞−12，故单调增区间为（−512，−16），故②错误． 由于f （x ）＝sin （2πx +φ），当x =−16时，f （−16）＝0，解得φ=π3． 所以f （x ）＝sin （2πx +π3）．当x ＝0时f （0）=√32．所以|CM |=(13)2+(32)2=√3136．所以圆C 的面积为π×(√3136)2=31π36．故③正确．故选：B ．12．函数f （x ）＝e mx +e ﹣mx +x 2﹣mx （m ∈R ）的图象在点A （x 1，f （x 1），B （﹣x 1，f （﹣x 1））处两条切线的交点P （x 0，y 0）一定满足（ ） A ．x 0＝0B ．x 0＝mC ．y 0＝0D ．y 0＝m【分析】求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得f （x ）的图象在A ，B 处的切线的方程，联立方程，求得交点的横坐标为0，即可得到结论． 解：f （x ）＝e mx +e﹣mx+x 2﹣mx 的导数为f ′（x ）＝me mx ﹣me ﹣mx +2x ﹣m ，可得f （x ）的图象在点A （x 1，f （x 1），B （﹣x 1，f （﹣x 1））处两条切线的斜率分别为k 1＝me mx 1﹣me ﹣mx 1+2x 1﹣m ，k 2＝me ﹣mx 1﹣me mx 1﹣2x 1﹣m ，可得k 1+k 2＝﹣2m ， f （x 1）＝e mx 1+e ﹣mx 1+x 12﹣mx 1，f （﹣x 1）＝e ﹣mx 1+e mx 1+x 12+mx 1，可得f （x ）的图象在A 处的切线的方程为y ﹣（e mx 1+e ﹣mx 1+x 12﹣mx 1）＝（me mx 1﹣me ﹣mx 1+2x 1﹣m ）（x ﹣x 1），①f （x ）的图象在B 处的切线的方程为y ﹣（e ﹣mx 1+e mx 1+x 12+mx 1）＝（me ﹣mx 1﹣me mx 1﹣2x 1﹣m ）（x +x 1），②①﹣②可得，2mx 1＝（2me mx 1﹣2me ﹣mx 1+4x 1）x ﹣x 1（﹣2m ），即（2me mx 1﹣2me ﹣mx 1+4x 1）x ＝0，x 1≠0，解得x 0＝0， 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则双曲线的渐近线方程为 y＝±x ． 【分析】由双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，可以求出a ，b ，从而求出双曲线的渐近线方程． 解：双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的离心率为e =ca =√2，∴c 2a =a 2+b 2a =2，∴1+b 2a2=2⇒b a=1∴双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线是y ＝±bax ＝±x ．答案：y ＝±x14．执行如图所示的程序框图，若输入t ∈[﹣1，3]，则输出s 的取值范围是 [0，1] ．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s={e t−1，t＜1 log3t，t≥1的值域，进而得到答案．解：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s={e t−1，t＜1log3t，t≥1的值域，当t∈[﹣1，1）时，s＝e t﹣1∈[e﹣2，1），当t∈[1，3]时，s＝log3t∈[0，1]，故输出s的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．15．已知向量AB→=(0，1)，|AC→|=√7，AB→⋅BC→=1，则△ABC面积为√32．【分析】将AB→，AC→看成基底，表示出BC→，代入AB→⋅BC→=1，可求出AB→，AC→的夹角，则面积可求．解：易知|AB→|=1，∴AB→⋅BC→=AB→⋅(AC→−AB→)=AB→⋅AC→−AB→2＝|AB→||AC→|cos A−|AB→|2＝1×√7cosA−1=1，∴cosA=7，∴sin A=√1−cos2A=√37．∴S △ABC=12|AB →||AC →|sinA =12×1×√7×√3√7=√32．故答案为：√32． 16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C ﹣AM ﹣N 的余弦值为23．若动点P 在正方形BCC 1B 1（包括边界）内运动，且PA 1∥平面AMN ，则线段PA 1的长度范围是 [3√22，√5] ．【分析】易知∠NQC 为二面角C ﹣AM ﹣N 的平面角，利用相似的性质可求得CQ ，进而求得NQ ，由此得解二面角C ﹣AM ﹣N 的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点P 的轨迹为经过BB 1，B 1C 1中点的线段，再根据对称性即可求得线段PA 1长度的最值，进而得到取值范围．解：延长AM 至Q ，使得CQ ⊥AQ ，连接NQ ，如图，由于ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，由三垂线定理易知∠NQC 为二面角C ﹣AM ﹣N 的平面角，而sin∠CMQ =sin∠AMB =CQCM =ABAM =2√2+1=25，故CQ =5=5， ∴NQ =√(2√5)2+1=3√5， ∴cos∠NQC =CQNQ =23；以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设P （m ，2，n ）（0≤m ，n ≤2），A （2，0，0），M （1，2，0），N （0，2，1），A 1（2，0，2），则AM →=(−1，2，0)，AN →=(−2，2，1)，A 1P →=(m −2，2，n −2)，设平面AMN 的一个法向量为v →=(x ，y ，z)，则{v →⋅AM →=−x +2y =0v →⋅AN →=−2x +2y +z =0，故可取v →=(2，1，2)， 又PA 1∥平面AMN ，∴A 1P →⋅v →=2(m −2)+2+2(n −2)=m +n −3=0， ∴点P 的轨迹为经过BB 1，B 1C 1中点的线段，根据对称性可知，当点P 在两个中点时，|PA 1|max =√22+1=√5，当点P 在两个中点的中点时，|PA 1|min =(√5)2−(22)2=3√22，故选段PA 1的长度范围是[3√22，√5]．故答案为：23，[3√22，√5]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n }是等比数列，且公比q 不等于1，数列{b n }满足a n =2b n ． （Ⅰ）求证：数列{b n }是等差数列；（Ⅱ）若a 1＝2，3a 3＝2a 2+a 4，求数列{1b n log 2a n+1}的前n 项和S n ．【分析】（Ⅰ）直接利用定义证明数列为等差数列． （Ⅱ）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）数列{a n }是等比数列，且公比q 不等于1， 所以a n+1a n=q ．数列{b n }满足a n =2b n ，则b n ＝log 2a n ，所以b n+1﹣b n＝log2a n+1﹣log2a n=log2a n+1a n=log2q．故数列{b n}是等差数列．解：（Ⅱ）由于a1＝2，3a3＝2a2+a4，可知3×2q2＝2×2q+2q3．解得q＝2或q＝1（舍去）．即a n=2n．设1b n log2a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，所以S n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=n n+1．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠BAD＝90°，点E为PB的中点，且CD＝2AD＝2AB＝4，点F在CD上，且DF=13 FC．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD且PA⊥PD，求直线PA与平面PBF所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）先证明四边形DFEM为平行四边形，进而得到EF∥DM，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PBF的一个法向量及直线PA的方向向量，再利用向量的夹角公式得解．解：（Ⅰ）证明：取PA的中点，连接DM，EM，在△PAB中，ME为一条中位线，则ME=∥12 AB，又由题意有，DF=∥12AB，故ME=∥DF，∴四边形DFEM为平行四边形，∴EF∥DM，又EF⊄平面PAD，DM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）取AD中点N，BC中点H，连接PN，NH，由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PN ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，可知PN ⊥平面ABCD ， 又AD ⊥NH ，故以N 为原点，NA ，NH ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，F(−1，1，0)，BP →=(−1，−2，1)，BF →=(−2，−1，0)，设平面PBF 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{m →⋅BP →=−a −2b +c =0m →⋅BF →=−2a −b +c =0，可取m →=(1，−2，−3)，又PA →=(1，0，−1)，故|cos ＜PA →，m →＞|=|PA →⋅m →|PA →||m →||=2√77，∴直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值为2√77．19．已知椭圆C ：x 22+y 2=1与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、C 两点．（Ⅰ）求过A ，B ，C 三点的圆E 的方程；（Ⅱ）若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和（Ⅰ）中的圆E 分别相切于点P 和点Q （P ，Q 不重合），求直线OP 与直线EQ 的斜率之积．【分析】（Ⅰ）由题意可得A ，B ，C 三点的坐标，再由圆的性质可得圆心在圆的弦的中垂线上，可设圆心的坐标，由圆的半径可求出圆心的坐标及半径的值，进而求出圆的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程由与椭圆相切由判别式为0求出参数的关系，及切点的坐标，再由与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径可得参数的关系，两式联立求出参数的值，进而求出EQ 的斜率及OP 的斜率，求出两个斜率之积．解：（Ⅰ）由题意可得A （√2，0），B （0，1），C （0，﹣1），由圆的性质可得圆心E 在线段BC 的中垂线上，所以设E （m ，0）可得AE ＝BE ，所以1+m 2＝（m −√2）2，解得m =√24，所以圆心E 的坐标（√24，0），半径r ＝|AE |=√1+m 2=√1+18=√98，所以圆E 的方程为：（x −√24）2+y 2=98；（Ⅱ）由题意设直线l 的方程为y ＝kx +m （k 存在且不为0），联立直线l 与椭圆的方程{y =kx +mx 2+2y 2=2，整理可得：（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0， 设直线l 与椭圆的切点P （x 0，y 0），由△＝0即16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣2）＝0，可得m 2＝1+2k 2，①， 解得x 0=−2km，y 0=1m ，因为直线l 与E 相切，所以圆心E 到直线l 的距离等于半径，可得√98=|√24k+m|√1+k，整理可得4√2km ＝8k 2﹣8m 2+9，② 由①②可得2k 2＝m 2﹣1=124， 直线OP 的斜率为k OP =y 0x 0=−12k ，直线EQ 与直线l 垂直，所以k EQ =−1k，所以k OP •k EQ ＝（−12k ）（−1k ）=12k2=24． 20．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP 普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案． 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验1k 次）；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验k +1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数E（X），分别求出k＝2、3、4时E（X）的值，比较即可．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p；所以k个人的混合后呈阴性的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k；依题意知X的可能取值为1k ，1+1k；所以X的分布列为；X1k 1+1kP qk1﹣qk（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：E（X）=1k•q k+（1+1k）•（1﹣qk）=1k−q k+1；所以当k＝2时，E（X）=12−0.92+1＝0.69，此时1000人需要化验的总次数为690次；当k＝3时，E（X）=13−0.93+1≈0.6043，此时1000人需要化验的总次数为604次；当k＝4时，E（X）=14−0.94+1＝0.5939，此时1000人需要化验的总次数为594次；即k＝2时化验次数最多，k＝3时化验次数居中，k＝4时化验次数最少；而采用方案①需要化验1000次；所以在这三种分组情况下，相比方案①，k ＝4时化验次数最多可以平均减少1000﹣594＝406（次）． 21．已知函数，f(x)=aln2x −e 2xe ，a ∈R ．（Ⅰ）若函数f （x ）在x =e2处有最大值，求a 的值； （Ⅱ）当a ≤e 时，判断f （x ）的零点个数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意得f ′（e2）＝0得，a ＝e ，则f （x ）＝eln （2x ）﹣e2xe ，先求f ′（x ），再令φ（x ）＝f ′（x ），求导得φ′（x ）=−e x 2−4e 2•e 2x e ＜0，则f ′（x ）为减函数，又f ′（e2）＝0，得f （x ）单调性，即函数f （x ）在x =e2处取得最大值，综上，a ＝e ． （Ⅱ）令t =2xe，g （t ）＝a +alnt ﹣e t （t ＞0），则g （t ）与f （x ）的零点个数相等，分三种情况①当a ＝0时，②当a ＜0时，③当0＜a ≤e 时，分析g （t ）单调性，函数值，零点个数，进而得出答案． 解：（Ⅰ）f （x ）＝aln 2x ﹣e2xe （x ＞0），f ′（x ）=a x−2ee 2xe ，由条件可知，x =e2时，f ′（x ）＝0，即2a e−2e•e ＝0，解得a ＝e ，则f （x ）＝eln （2x ）﹣e2xe ，f ′（x ）=e x −2ee 2x e ， 令φ（x ）＝f ′（x ），则φ′（x ）=−e x 2−4e 2•e 2x e ＜0，则f ′（x ）为减函数， 又f ′（e2）＝0，则f （x ）在（0，e2）上单调递增，在（e2，+∞）上单调递减，即函数f （x ）在x =e2处取得最大值， 综上，a ＝e ． （Ⅱ）令t =2xe，g （t ）＝a +alnt ﹣e t （t ＞0）， 则g （t ）与f （x ）的零点个数相等，①当a ＝0时，g （t ）＝﹣e t ＜0，即f （x ）＝﹣e2xe ＜0，所以函数f （x ）零点个数为0，②当a ＜0时，g ′（t ）=at −e t ＜0，所以函数g （x ）在（0，+∞）上为减函数， 即函数g （t ）至多有一个零点，即f （x ）至多有一个零点，当0＜t ＜e e a −1＜1时，a +alnt ＞e ⇒a +alnt ＞e t ⇒g （t ）＞0，所以当0＜t ＜e e a −1时，g （t ）＞0，又g （1）＝a ﹣e ＜0，所以函数g （t ）有且只有一个零点，即函数f （x ）有且只有一个零点，③当0＜a ≤e 时，令g ′（t ）＝0，即a t 0=e t 0， 令h （t ）＝te t （t ＞0），易知h （t ）＝te t 在（0，+∞）为增函数，且h （1）＝e ，故存在t 0∈（0，1]，使得g ′（t 0）＝0，即at 0=e t 0，由以上可知，当0＜t ＜t 0时，g ′（t ）＞0，g （t ）为增函数，当t ＞t 0时，g ′（t ）＜0，g （t ）为减函数，所以g （t ）max ＝g （t 0）＝a +alnt 0﹣et 0=a +alnt 0−at 0，t 0∈（0，1]， 令F （t ）＝a +alnt −a t ，t ∈（0，1]，则F ′（t ）=a t +a t 2＞0，所以F （t ）在（0，1]上为增函数， 则F （t ）≤F （1）＝0，即（g （t ））max ≤0，当且仅当t ＝1，a ＝e 时等号成立， 由以上可知，当a ＝e 时，g （t ）有且只有一个零点，即f （x ）有且只有一个零点， 当0＜a ＜e 时，无零点，综上所述，当0≤a ＜e 时，函数f （x ）无零点，当a ＜0或a ＝e 时，函数f （x ）有且只有一个零点．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足|OA |•|OB |＝8，点B 的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）设点M 的极坐标为(2，3π2)，求△ABM 面积的最小值． 【分析】（Ⅰ）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可； （Ⅱ）先表示出△ABM 的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可．解：（Ⅰ）将曲线C 1化为普通方程为（x ﹣1）2+y 2＝1，即x 2+y 2﹣2x ＝0，又ρ=√x2+y2，x=ρcosθ，则曲线C1的极坐标方程为ρ1＝2cosθ；又根据题意有ρ1ρ2＝8，可知ρ2=4cosθ，即为曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由S△ABM=12|OM|⋅|x B−x A|=12⋅2(ρ2−ρ1)cosθ=(4cosθ−2cosθ)cosθ=4−2cos2θ，而cos2θ≤1，故△ABM面积的最小值为2．[选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤8：（Ⅱ）设x∈R时，f（x）的最小值为M．若实数a，b，c满足a+b+2c＝M，求a2+b2+c2的最小值．【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案；（Ⅱ）由绝对值的三角不等式，求得f（x）的最小值M＝6，再结合柯西不等式，即可求解．解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝|2x﹣3|+|2x+3|．当x≤−32时，不等式等价为﹣（2x﹣3）﹣（2x+3）≤8，解得﹣2≤x≤−32；当−32＜x＜32时，不等式等价为﹣2x+3+2x+3≤8，解得−32＜x＜32；当x≥32时，不等式等价为2x﹣3+2x+3≤8，解得32≤x≤2；综上，不等式的解集为[﹣2，2]；（Ⅱ）由|2x﹣3|+|2x+3|≥|2x﹣3﹣2x﹣3|＝6，可得f（x）的最小值为M＝6，∵（a2+b2+c2）（12+12+22）≥（a+b+2c）2＝36，当且仅当“2a＝2b＝c”时取等号，∴a2+b2+c2≥6；即a2+b2+c2的最小值为6．。
吉林省长春市2020届高三(四模)数学(理)试题-含答案
长春市2020届高三质量监测(四)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|1},{|0},A x x B x x =≤=<则()U C A B =U .{||1}A x x … .{|1}B x x >.{|101}C x x x <-≤≤或 D.{|101}x x x ≤-<≤或2．在等比数列{}n a 中36,3,6,a a ==则a 9=A 19B ． 112C ．9D ．12 3．设复数(),,,R z x yi x y =+∈下列说法正确的是A ．z 的虚部是yi ；B ．22||z z =C ．若x=0，则复数z 为纯虚数;D ．若z 满足||1z i -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆.4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有A ．8种B ．9种C ．12种D ．14种5．sin ,sin 28341ππθθ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若则 A ．29- B ．29 C ．79- D ．796．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛。
在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是A ．0.832B ．0.920C ．0.960D ．0.9927．已知()50.5log 2,log 0.2,ln ln 2,a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B . a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．已知直线a 和平面α、β有如下关系：,αβ⊥①②α∥β，③α⊥β，④α∥a ，则下列命题为真的是A ．①③④ B.①④③ C ．③④① D.②③④9．如图，为测量某公园内湖岸边A ，B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得A ，B 的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为()222cos 11.sin sin sin sin A h αβαβαβ-+- ()22\si 2cos 11.s n n in si sin B h αβαββα-++ ()22co 2cos 11c s s os co cos Ch αβαββα-+- ()22co 2cos 1o s 1.cos c s cos D h αβαββα-++ 10．过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3|AF|=|BF|，O 为坐标原点，则|||AF OF = A ．43 B ．34 C ．4 D ．5411．函数()()sin f x x ϕω=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是② 函数()f x 的图象关于点(43,0)成中心对称： ②函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增：; ③ 圆C 的面积为3136π A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 12．函数()2)(mx mx f x ee x mx m -=++-∈R 的图象在点()()(),,(,A xf x B x f x --处两条切线的交点00(,)P x y 一定满足0.0A x =0.B x m = 0.0C y = 0.D y m =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知双曲线()222210,011x y a b a b-=>><的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 ▲ 14．执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3,t ∈-则输出s 的取值范围是 ▲15．已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 则△ABC 面积为 ▲16．已知正方体1111A A C B D C B D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则二面角C AM N --的余弦值为 ▲ ,若动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面,AMN 则线段1PA 的长度范围是 ▲ .(本小题第一空2分，第二空3分).三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答.17．(12分)(一)必考题：共60分已知数列{a n }是等比数列，且公比q 不等于1，数列{b n }满足2n b n a =.(Ⅰ)求证：数列{b n }是等差数列;(Ⅱ)若12432,32,a a a a ==+求数列211log nn b a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和S n .18．(12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB ∥,90,D A B C D ︒∠=点E 为PB 的中点，且 CD=2AD=2AB=4，点F 在CD 上，且13DF FC =.(Ⅰ)求证：EF ∥平面PAD ；(Ⅱ)若平面PAD ⊥平面,D ABCD PA P P D PA =⊥且//PD ，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.19．(12分)已知椭圆C:2212x y +=与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于B 、C 两点. (Ⅰ)求过A ，B ，C 三点的圆E 的方程(Ⅱ)若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和(Ⅰ)中的圆E 分别相切于点P 和点Q(P ，Q 不重合)，求直线OP 与直线EQ 的斜率之积。
2020年6月吉林省长春市普通高中2020届高三下学期质量监测(四)(四模)数学(理)试题及答案
绝密★启用前吉林省长春市普通高中2020届高三毕业班下学期质量监测(四)(四模)数学(理)试题2020年6月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|1},{|0},A x x B x x =≤=<则()U C A B =U .{||1}A x x … .{|1}B x x >.{|101}C x x x <-≤≤或 D.{|101}x x x ≤-<≤或2．在等比数列{}n a 中36,3,6,a a ==则a 9=A 19B ． 112C ．9D ．12 3．设复数(),,,R z x yi x y =+∈下列说法正确的是A ．z 的虚部是yi ；B ．22||z z =C ．若x=0,则复数z 为纯虚数;D ．若z 满足||1z i -=,则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆.4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要,某实践小组共有4名男生,2名女生,现从中选出4人参加校园植树活动,其中至少有一名女生的选法共有A ．8种B ．9种C ．12种D ．14种5．sin ,sin 28341ππθθ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若则 A ．29-B ．29C ．79-D ．796．田径比赛跳高项目中,在横杆高度设定后,运动员有三次试跳机会,只要有一次试跳成功即完成本轮比赛。
在某学校运动会跳高决赛中,某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军,结合平时训练数据,每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响),则本次比赛他获得冠军的概率是A ．0.832B ．0.920C ．0.960D ．0.9927．已知()50.5log 2,log 0.2,ln ln 2,a b c ===则a,b,c 的大小关系是A ．a b c <<B . a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．已知直线a 和平面α、β有如下关系：,αβ⊥①②α∥β,③α⊥β,④α∥a,则下列命题为真的是A ．①③④ B.①④ ③ C ．③④ ① D.②③ ④9．如图,为测量某公园内湖岸边A,B 两处的距离,一无人机在空中P 点处测得A,B 的俯角分别为α,β,此时无人机的高度为h,则AB 的距离为()222cos 11.sin sin sin sin A h αβαβαβ-+-()22\si 2cos 11.s n n in si sin B h αβαββα-++()22co 2cos 11c s s os co cos Ch αβαββα-+- ()22co 2cos 1o s 1.cos c s cos D h αβαββα-++ 10．过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F 作直线与该抛物线交于A,B 两点,若3|AF|=|BF|,O。
2020届吉林省重点中学高三四模理科数学试题Word版含答案
2020届吉林省重点中学高三四模理科数学试题一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1<=x x A ，{}02<-=x x x B ，则（ ）A ．B A ⊆ B ．A B ⊆C ．{}1<=x x B A ID ．{}0>=x x B A Y 2.已知R a ∈，i 为虚数单位，若i iia +++12为实数，a 则的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A ．15 B ．16 C ．18 D ． 214.已知3131⎪⎭⎫⎝⎛=a ，21ln =b ，4131log =c 则（ ）A ．c b a >>B ．c a b << C. a c b << D ．c a b >> 5. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．π34 B ．π25 C. π41 D ．π506. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为15，则判断框中应填入的条件M 为（ ）A ．16≥kB ．8<k C. 16<k D ．8≥k7. 商场一年中各月份的收入.支出(单位:万元)情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是1:6C.第三季度平均收入为50万元D.利润最高的月份是2月份8.学校艺术节对同一类的D C B A ,,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说:“B 作品获得一等奖”； 丙说:“A ,D 两项作品未获得一等奖”； 丁说:“C 作品获得一等奖”. 若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ） A ．A 作品 B ．B 作品 C. C 作品 D ．D 作品9.设抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，过点()0,p M 且倾斜角为︒45的直线与抛物线交于B A ,两点，若10=+BF AF ,则抛物线的准线方程为（ ）A ．01=+xB ． 02=+x C. 012=+x D ．032=+x 10.若函数()()+-=x x f ϖπsin ⎪⎭⎫⎝⎛+x ϖπ2sin 3()0>ϖ 满足(),21-=x f ()02=x f 且21x x -的最小值为4π，则函数()x f 的单调递增区间为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-62,652ππππk k ()Z k ∈ B ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-122,1252ππππ C. ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππ D ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππ11．已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 在左，右焦点分别为21,F F ，以O 为圆心，以O F 1为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y 轴左侧交于B A ,两点，且AB F 2∆是等边三角形.则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C. 13+ D ．23+ 12.已知函数()=x f ()x e x ax 1212--，若对区间[]1,0内的任意实数1x ，2x ，3x ，都有()()21x f x f +()3x f ≥则实数a 的取值范围是（ ）A ． []2,1B ．[]4,e C. []4,1 D ．[][]4,2,1e Y二、填空题: 本题共4 小题，每小题5分，共20 分.13.二项式6212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的常数项为 ．14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥02030y x y x x ，则y x z 2+=的取值范围是 ．15.已知向量AB 与AC 的夹角为︒120，且2=AB ，3=AC 若AC AB AP +=λ，且BC AP ⊥,则实数λ的值为 ．16. 已知在数列{}n a 中，211=a ，()n n n n a n a n a 211++=+则数列{}na 的通项公式为 ． 三、解答题: 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B c B a cos cos 2-C b cos =. (1)求角B 的大小:(2)若点D 为的BC 中点，且b AD =,求的值CAsin sin 的值 18.如图1,在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，点F 在线段BC 上,且BC BF 41=.若将AED ∆, CFD ∆分别沿FD ED ,折起，使C A ,两点重合于点M ,如图2.(1)求证: ⊥EF 平面MED ;(2)求直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值19. 从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位: mm ) 组成一个样本，且将纤维长度超过315mm 的棉花定为一级棉花.设计了如下茎叶图:20. 已知椭圆=+2222:by a x C ()01>>b a 的焦点坐标分別为()0,11-F ,()0,12F ,P 为椭圆C 上一点，满足2153PF PF ==且53cos 21=∠PF F(1) 求椭圆C 的标准方程:(2) 设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于B A ,两点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,41Q ，若BQ AQ =，求k 的取值范围. 21. 已知函数()b ax x xe x f x+++=2，曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为0324=--y x(1) 求b a ,的值； (2) 证明: ()x x f ln >.(二) 选做题: 共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=θρ2cos ()0sin 2>a a θ，过点()2,1--P 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 222221（t 为参数），l 与C 交于B A ,两点(1) 求C 的直角坐标方程和l 的普通方程； (2) 若PA ,AB ,PB 成等比数列，求a 的值. 23.[选修4-5: 不等式选讲]已知定义在R 上的函数x k x x f 22+-=.•∈N k .存在实数0x 使()20<x f 成立，(1) 求实数k 的值: (2)若21>m ，21>n 且求证()()10=+n f m f ，求证31619≥+n m2020届吉林省重点中学高三四模理科数学试题参考答案一、选择题1-5: BACBA 6-10: ADBAD 11、12：AC二、填空题13. 60 14. [)+∞,4 15.712 16. n n 2三、解答题17.解：（1）在ABC ∆中，C b B c B a cos cos cos 2=-Θ∴由正弦定理得=B A cos sin 2C B B C cos sin cos sin +()A C B sin sin =+=，()π,0∈A Θ，0sin ≠∴A ，则21cos =B ，()π,0∈B Θ，3π=∴B 在ABD ∆中，由余弦定理得22221c a AD +⎪⎭⎫⎝⎛=B ac cos 22⨯-ac c a 214122-+=，在ABC ∆中，由余弦定理得222c a b +=B ac cos 2-ac c a -+=22，b AD =Θ，ac c a -+∴22ac c a 214122-+=，整理得ac a 21432=，32=∴c a ，由正弦定理得32sin sin ==c a C A18.（1）证明：设正方形ABCD 的边长为4，由图1知,2==BE AE ,3,1==CF BF22AE AD DE +=∴52=,22BF BE EF +=5=,22CD CF DF +=5=222DF EF DE =+∴,︒=∠∴90DEF ,即ED EF ⊥由题意知，在图2中，ME MD ⊥,MF MD ⊥,⊂ME 平面MEF ,⊂MF 平面MEF ,且M MF ME =I ,⊥∴MD 平面MEF ,⊂EF Θ平面MEF ,EF MD ⊥∴.又⊂ED 平面MED ,⊂MD 平面MED ,且D MD ED =I ,⊥∴EF 平面MED（2）解：由（1）知⊥EF 平面MED ，则建立如图所示空间直角坐标系，过点M 作ED MN ⊥，垂足为N在DME Rt ∆中，554=⋅=ED MD ME MN ,22MN EM EN -=552=,从而()0,0,0E⎪⎪⎭⎫⎝⎛554,552,0M ,()00,5F ,()0,52,0D , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴554,552,0EM ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=554,552,5FM ,()0,52,5-=FD . 设平面MFD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-052505545525y x z y x ， 令2=x ，则1=y ，4=z ，()2,1,2=∴.设直线EM 与平面MFD 所成角为θ, 则EM <=cos sin θ,>n 35==nEM n EM .∴直线EM 与平面MFD 所成角的正弦值为3519. 解: (1) 1.乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度(或:乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度).2.甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散.(或:乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大.)3.甲种棉花的纤维长度的中位数为307mm .乙种棉花的纤维长度的中位数为318mm .4.乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近).甲种棉花的纤维长度除一个特殊值(352) 外，也大致对称，其分布较均匀.(2) 记事件A 为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”.则()=A P 225225115110210215115110C C C C C C C C +41= (3) 由题意知，X 的可能取值是0,1,2,其相应的概率为()25652530=⨯==X P ,()==1X P 251353535252=⨯+⨯,()25653522=⨯==X P ,所以X 的分布列为X 0 1 2P2562513 256 ()=X E 2522512560⨯+⨯+⨯1=20.解：（1）由题意设11r PF =，22r PF =则2153r r=，又a r r 221=+，a r 451=∴，a r 432= 在21F PF ∆中，由余弦定理得，=∠21cos PF F 2122122212r r F F r r -+=a a a a 4345224345222⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛53=，解得2=a ，1=c Θ，3222=-=∴c a b ，∴所求椭圆方程为13422=+y x （2）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，消去y 得()++2243x k 012482=-+m kmx ， 则=+21x x 2438kkm +-，222143124k m x x +-=，且()0434822>-+=∆m k …① 设AB 的中心为()00,y x M ，则=+=2210x x x 2434k km +-，200433kmm kx y +=+=， BQ AQ =Θ,QM AB ⊥∴,即，=⋅QM k k 14143443322-=-+-+⋅k km k mk ，解得kk m 4432+-=…② 把②代入①得22244343⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+->+k k k ，整理得0381624>-+k k ，即()()0341422>+-k k 解得⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,2121,Y k21.（1）解：()()a x e x x f x+++='21，由题意有()()⎪⎩⎪⎨⎧-===+='230210b f a f ，解得23,1-==b a （2）证明：（方法一）由（1）知，()232-++=x x xe x f x.设()x x x xe x h x ln 2-++= 则只需证明()23>x h ()()x x e x x h x 1121-+++='()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x e x x 121，设()x e x g x 12-+=则()012>+='x e x g x， ()x g ∴在()+∞,0上单调递增 0424141<-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛e g Θ，0323131>-+=⎪⎭⎫⎝⎛e g Θ⎪⎭⎫⎝⎛∈∃∴31,410x ，使得()01000=+=x e x g x且当()0,0x x ∈时，()0<x g ，当()+∞∈,0x x 时，()0>x g∴当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，()x h 单调递减当()+∞∈,0x x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增()()==∴0min x h x h 0020ln 0x x x e x x -++，由01200=-+x e x ，得210-=x e x ， ()+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴21000x x x h 0020ln x x x -+0020ln 1x x x -+-=， 设()x x x x ln 12-+-=ϕ，⎪⎭⎫⎝⎛∈31,41x ，()x x x 112--='ϕ()()xx x 112-+= ∴当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,41x 时，()0<'x ϕ，()x ϕ在⎪⎭⎫⎝⎛31,41单调递减，∴()()>=00x x h ϕ23131⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-31ln 131233ln 97>+=，因此()23>x h（方法二）先证当0≥x 时，()232-++=x x xe x f x232-≥x ，即证02≥-+x x xe x设()x x xe x g x-+=2，0≥x 则()()121-++='x e x x g x，且()00='g()()022>++='x e x x g ，()x g '∴在[)+∞,0单调递增，()()00='≥'g x g()x g '∴在[)+∞,0单调递增，则当0≥x 时，()()002=≥-+=g x x xe x g x（也可直接分析232232-≥-++x x x xe x⇔02≥-+x x xe x ⇔01≥-+x e x 显然成立） 再证x x ln 232≥-设()x x x h ln 232--=，则()x x x x h 1212-=-='，令()0='x h ，得21=x且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增.∴()x x x h ln 232--=02ln 2121>+-=⎪⎭⎫⎝⎛≥h ，即x x ln 232>-又()232232-≥-++=x x x xe x f x，()x x f ln >∴ 22.解：（1）由θθρsin 2cos 2a =，两边同乘ρ，得θρθρsin 2cos 22a = 化为普通方程为)0(22>=a ay x将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 222221消去参数t ，得直线l的普通方程为01=--y x（2）把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 222221代入ay x 22=，整理得028)1(222=+++-a t a t =+∴21t t )1(22a +，2821+=a t t ，由2)1(8a +=∆0)28(4>+-a ，得2>a 或0<a ，0>a Θ，2<∴a ，02821>+=∴a t tPA Θ,AB ,PB 成等比数列，PB PA AB ⋅=∴2由t 的几何意义得()2121221t t t t t t ==-，即()212215t t t t =+()[]2122a +∴)28(5+=a ，即011242=--a a ，解得2103±=a 又2>a ，2103+=∴a 23.（1）解：Θ存在实数0x 使()20<x f 成立，()2min <∴x f=+-x k x 22Θx k x 22+-x k x 22--≥k =，则()2min <=k x f解得22<<-k ，*∈N k ，1=∴k（2）证明：由（1）知，()x x x f 212+-=，21>m Θ，21>n ， ()=+-=∴m m m f 212m m 212+-14-=m ，同理，()14-=n n f()()10==n f m f ，10244=-+∴n m ，即3=+n m=+∴n m 19()n m n m +⎪⎭⎫ ⎝⎛+1931⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n m m n 91031316921031=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥n m m n 当且仅当n m m n =9，又3=+n m ，得49=m ，43=n 时取等号.。
吉林省长春市2020届高三数学质量监测(四模)试题文[含答案]
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吉林省长春市2020届高三数学质量监测（四模）试题 文一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1. 已知集合{|(2)0}A x x x …=-，{1,0,1,2,3}B =- ，则A B =I A. {0,1,2} B. {1,3}- C. {1,2} D. {0,1,2,3}2. 若1+(1)i (R),||2z a a z =-∈=，则 a =A. 0或 2B. 0C. 1或 2D. 1 3. 下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是 A. 2log 2xy = B. 21log ()2x y = C. 21log y x= D. 14y x =4. 已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是 A. 1a B. 3a C. 8a D. 10a5. 若单位向量12,e e 夹角为60︒，122-=a e e ，则||=aA. 4B. 2C. 3D. 16. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲7. 命题:p 存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立；:q 0a ∀>，()lna xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是 A. p q ∧ B. ()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D. ()p q ⌝∧8. 已知函数{|ln |,0()2(2),0x x f x x x x >=-+≤，则函数()3y f x =-的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知α为锐角，且sin()3tan()3sin()3παπαπα+=+-，则角α=A. 12πB. 6πC. 4πD. 3π10. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆2240x y y +-=截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.22 D. 2311. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12(N )n n n a S n n++=∈，则n S = A. 121n -+ B. 2nn ⋅ C. 31n- D. 123n n -⋅12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F,G 分别为棱11111,,A D DD A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④ EF 和1BB 成角为4π. 正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 若,x y 满足约束条件222022x y y x y ………+⎧⎪-⎨-⎪⎩，则z x y =+的最大值为___________.14.曲线()2sin f x x =在3x π=处的切线与直线10ax y +-=垂直，则a =_________.15. 在半径为2的圆上有,A B 两点，且2AB =，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为______.16. 三棱锥-A BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥-A BCD 体积的最大值为__________；三棱锥-A BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 __________.（本题第一空2分，第二空3分） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分）已知在△ABC 的三个内角分别为,,A B C ，2sin sin 2cos B AA =，1cos 3B =. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若2AC =，求AB 长.18.（本小题满分 12 分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：3050100擅长不擅长合计男性女性合计（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P k kK ≥（2(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d K -==+++++++其中）19. （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，,M N 分别为11,CC BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥NG .（Ⅰ）求证：1A B GM ⊥； （Ⅱ）求点1A 到平面MNG 的距离. 21.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于,A B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试证明2||||||AP AQ OM ⋅为定值，并求出该定值.21.（本小题满分 12 分）已知函数321()3f x x x mx m =+++. （Ⅰ）若1x 为()f x 的极值点，且1212()()()f x f x x x =≠，求122x x +的值； （Ⅱ）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为{22cos 2sin x y αα=+=（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数()|1||1|f x ax x =++- .（Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x < ；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.长春市2020届高三质量监测（二） 数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.【答案】A 【解析】{|02}A x x =…≤所以选A2.【答案】A 【解析】22||1+(1)=202z a a =-=∴或故选A 3．【答案】C 【解析】y x=的定义域为(0,)+∞，单调递减；2log 2xy x ==大豆油不符；21log ()2x y x ==-定义域不符；21log y x=符合；14y x =定义域为[0,)+∞，定义域不符.故选C.4.【答案】A 【解析】由5732a a =得1113(4)2(6)0a d a d a +=+∴=故选A5.【答案】C 【解析】由12λ-=a e e 得22222121122(2)2=3--4==⋅a e e e e e +e ,故选C6.【答案】D 【解析】甲的数据分析素养低于乙; 甲的数学建模素养与数学抽象素养相当；乙的六大素养中逻辑推理是最优之一；乙的六大素养整体平均水平优于甲。
吉林省长春市2020届高三质量监测(四)(四模)数学(理科)试题(含答案)
10. 过抛物线 C : x2 2 py （3 AF BF ，O 为坐标原点，则 | AF | | OF |
4
3
A.
B.
C. 4
3
4
5
D.
4
11. 函数 f (x) sin(Z x M ) 的部分图象如图中实线所示，图中的圆 C 与 f (x) 的图象交
D. 若 z 满足| z i | 1，则 z 在复平面内对应点 (x, y) 的轨迹是圆.
4. 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4 名男生，2 名女生，现从
中选出 4 人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有
A.8 种
B. 9 种
C. 12 种
D. 14 种
5. 若 sin(T S ) 1 ，则 sin(2T S )
开始
输入 t
是
t 1?
否
14. 执行如图所示的程序框图，若输入 t [1,3] ，则输出 s et1
s 的取值范围是______________.
15. 已知向量 AB (0,1) ，| AC | 7 ， AB BC 1 ，则 △ABC 面积为______________.
s log3 t
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A {x | x2 ≤1} ， B {x | x 0} ，则 R ( A ∪ B)
A. {x | x ≥1}
B. {x | x ! 1}
C. {x | x 1或0 ≤ x 1}
处两条切线的交点 P(x0, y0 ) 一定满足
A. x0 0
2020年吉林省吉林市高考数学四调试卷(理科) (含答案解析)
2020年吉林省吉林市高考数学四调试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A. (0,+∞)B. (0,1)C. (−1,+∞)D. (−1,0)2.已知复数z满足z+z⋅i=2(其中i为虚数单位)，则z的虚部为()A. −1B. 1C. −iD. i3.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cong)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？’’意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．问它的体积是多少？”(注：1丈=10尺，取π=3)()A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺4.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为()A. 4B. 8C. 10D. 125.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，a=3，b=2，则sinB=()A. √33B. 13C. 12D. √326.曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为()A. y=2x+2B. y=2x−2C. y=x−1D. y=x+17.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为()A. 3√3B. 6√2C. √32D. √29.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=()A. 4B. 6C. 8D. 1010.函数f(x)=sin(x−π3)的图象的一条对称轴方程为()A. π3B. −π3C. π2D. 5π611.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=2π3，AP=3，AB=2√3，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为π3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为()A. 45πB. 57πC. 63πD. 84π12.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID−19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p=p0时，f(p)最大，则p0=()A. 1−√63B. √63C. 12D. 1−√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X<0)=0.1，则P(2<X<4)=______ ．14.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n−1，则a6=______ ．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB=2√3，则双曲线的离心率e=________．16.若函数f(x)=mx2−e x+1(e为自然对数的底数)在x=x1和x=x2，两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥E−ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)求二面角A−CD−E的余弦值．18.已知数列{a n}满足a1=3，a n+1−3a n=3n(n∈N∗)，数列{b n}满足b n=a n3n．(1)证明数列{b n}是等差数列并求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．19. 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,60]分． (1)写出张先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分)的函数关系式；(2)若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；(3)若公司每月给1000元的车补，请估计张先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．(同一时段，用该区间的中点值作代表)20. 已知椭圆E ：：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为C ，点D(−2b,0)，Q 是E 上且不在y 轴上的点．若E 的离心率为2√23，△QCD 的最大面积等于92．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)若直线l ：y =kx +m 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段中点为M ．(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点(1,3)，延长线段OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．21. 求函数f (x )=(x 2−x −1a )·e ax (a >0)的极值．22. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是{x =√32t +my =12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−4cosθ=0(ρ≥0)． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB|=16，求实数m 的值．23.已知函数f(x)=|x−a|+2|x−1|(a>0)，(1)当a=−1时，求不等式f(x)>4的解集；(2)若不等式f(x)>4−2x对任意的x∈[−3,−1]恒成立，求a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1,+∞)．故选：C．先求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题，直接利用复数代数形式的运算化简得答案．解：因为z+z⋅i=2，所以z=21+i =2(1−i)2，故z的虚部为−1，故选A．3.答案：B解析：解：设圆柱形城堡的底面半径为r尺，高为ℎ=11尺，则2πr=48尺，∴r≈8，∴城堡的体积V=πr2ℎ=3×64×11=2112立方尺．故选：B．根据底面周长计算底面半径，代入体积公式计算即可．本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：当i=2时，满足进行循环的条件，故S=2，i=4，k=2；当i=4时，满足进行循环的条件，故S=4，i=6，k=3；当i=6时，满足进行循环的条件，故S=8，i=8，k=4；当i=8时，不满足进行循环的条件，故S输出的S值为8，故选B．5.答案：A解析：根据正弦定理计算即可．本题考查了正弦定理，属基础题．解：由正弦定理得，asinA =bsinB，∴sinB=bsinAa =2×√323=√33，故选：A．6.答案：C解析：解：求导函数，可得y′=lnx+1x=1时，y′=1，y=0∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x−1即y=x−1．故选：C．求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题．7.答案：A。
吉林省吉林市2020届高三数学第四次调研考试试题 理 含答案
3
6
2
A. 1
B. 3
C. 2
D. 3
2
11．三棱锥 P − ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， BAC = 2 , AP = 3, AB = 2 3 , Q 是 BC 边上的 3
一个动点，且直线 PQ 与面 ABC 所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为 3
A． 45
B． 63
C． 57
（一）必考题：共 60 分 17.（12 分）
如图,五边形 ABSCD 中,四边形 ABCD 为长方形, SBC 为边长为 2 的正三角形,将 SBC 沿 BC 折起,使得点 S 在平面 ABCD 上的射影恰好在 AD 上.
3
（1）当 AB = 2 时,证明:平面 SAB ⊥ 平面 SCD ;
200
5%
150
0%
100
50
0
A． 6.25%
图1
B． 7.5%
C． 10.25%
水
电
交通
图2
D． 31.25%
8. 已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 的棱长为 2 ,点 P 在线段 CB1 上，且 B1P = 2PC ，平面 经过
点 A, P,C1 ，则正方体 ABCD − A1B1C1D1 被平面 截得的截面面积为
D． 84
12．在排查期间，一户 6 口之家被确认为“确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家
庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员
检测呈阳性的概率均为 p(0 p 1) 且相互独立，该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危
户”的概率为 f ( p) ，当 p = p0 ， f ( p) 最大，则 p0 =
2020-2021学年度吉林省高考第四次模拟数学理科试题及答案
高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）试题第Ⅰ 卷一． 选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．） （1）已知N 是自然数集，集合N}16{∈+=x x|A ，{}01234,,,,B =，则A B =I （） A ．{}02, B ．{}012,,C ．{}23,D ．{}024,, （2）已知复数5i12iz =-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的（） （3）已知()πα,0∈,且5cos 13α=-,则sin()tan 2παα-⋅=（ ）A ．13 B ．13- C.13-D ．13（4）某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（ ） A ．9种 B ．18种 C.12种 D ．36种（5）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)f x +=()f x ，当[]2,0x ∈-时，()2x f x =-， 则(1)f +(4)f 等于（） A ．32 B ．1C ．−1 D ． −32（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了 公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商 鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（ ）A.1.2B.1.6C. 1.8D. 2.4 （7）已知函数()()()()sin 2cos 20f x x a x ϕϕϕπ=+++<<的最大值为2，且满足()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ϕ=（） A.6πB.3πC.6π或56πD.3π或23π（8）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m ≡，例如()835mod6≡.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.2019B.2023C.2031D. 2047（9）如图，在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，以A 为顶点且 过点C 的抛物线的一部分在矩形内；若在矩形ABCD 内随机地 投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（ ） A.12 B.32 C.53 D.34（10）已知,x y 满足,2,2.y x x y x y m ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值4，则实数m 的值为（）A ．4-B ．2-C ．1-D ．1（11）已知点2F 、P 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若()212OM OP OF =+uuu r uu u r uuu r ，2222OF F M =uuu r uuuu r ，且22222OF F M a b ⋅=+uuu r uuuu r ，则该双曲线的离心率为（）A ．31+B ．32C ．3D ．23 （12）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（ ）A ．1eB ．4411e e ++ C.44211e e ++D ．44311e e ++第Ⅱ 卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（13）若0,0a b >>，且()ln 0a b +=，则11a b+的最小值是__________ （14）若()2018220180122018(12)x a a x a x a x x R +=++++∈L ，则12a -+222a −332a +…+201820182a 的 值为（15、B 、C 是球O 的球面上三点，2AB =，23AC =，60ABC ∠=o ，且棱锥O ABC -的体积为463，则球O 的表面积为___________ （16）已知ABC ∆外接圆O 的半径为1，且BO BA BC λμ=+uu u r uu r uu u r.若60ABC ∠=o，则λμ+的最大值为__________三．解答题：（本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分；第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分） （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足()22221n n n S a n S =≥-.（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式；（Ⅱ）证明：当2n ≥时，1231113232n S S S S n ++++<L . （18）（本小题满分12分）某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤20元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况，将日需求量按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值. （Ⅰ）求未来连续三天内，该经销商有连续两 天该种鲜鱼的日销售量不低于350公斤，而另 一天日销售量低于350公斤的概率；（Ⅱ）该经销商计划每日进货300公斤或400 公斤，以每日利润Y 的数学期望值为决策依据. 他应该选择每日进货300公斤还是400公斤？ （19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，60ABC ∠=o ，E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明:AE PD ⊥；（Ⅱ）设H 为线段PD 上的动点，若线段EH 长的最小值为5，求二面角--E AF C 的余弦值． （20）(本小题满分12分)已知圆C ：224x y +=与x 轴交于1F ，2F (2F 在原点右侧)两点，动点P 到1F ，2F 两点的距离之和为定值()22a a >，且12cos F PF ∠的最小值为−13．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过2F 且斜率不为零的直线l 与点P 的轨迹交于A ，B 两点，若存在点E ，使得2EA EA AB +⋅uu r uu r uu u r是与直线l 的斜率无关的定值，则称E 为“恒点”．问在x 轴上是否存在这样的“恒点”?若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．（21）(本小题满分12分)已知函数()ln f x x =.（Ⅰ）设()()1gx f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求ba的最小值.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数).以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系，设直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 6ρθθ-=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最值. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2,()3f x x g x x m =-=-++()m R ∈ （Ⅰ）解关于x 的不等式()20(R)f x a a +->∈；（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.高三年级第八次月考（第四次模拟）数学（理科）答案一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCABDBDCBBAD二．填空题13. 4 14. -1 15.48π 16. 三．解答题18.（Ⅰ）由频率分布直方图可知，日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．.....4分（Ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，此时Y1的分布列为：Y1－100 700 1500P 0.1 0.2 0.7此时利润的期望值E(Y1)＝－当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，此时Y2的分布列为：Y2－400 400 1200 2000P 0.1 0.2 0.3 0.4此时利润的期望值E(Y2)＝1200；因为E(Y1)＜E(Y2)，所以该经销商应该选择每日进货400公斤．......12分19.证明：20．【解析】(1)由已知，22x y +=4与x 轴交于1F (−2，0)，2F (2，0)，则|1F 2F | =4，由题意知|P 1F |+|P 2F |=2a ，cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-=22121212(||||)||2||||PF PF F F PF PF +-−1=2124162||||a PF PF -−1≥224162a a -−1=1−28a =−13，当且仅当|P 1F |=|P 2F |=a时等号成立，因而2a =6，由椭圆的定义知，P 的轨迹为椭圆，且1F ，2F 分别为其左、右焦点，2b =2a −2c =2，所以所求轨迹方程为26x +22y =1 …6分(2)如图，设直线l 的方程为x= my+2，A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，由222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+3)y 2+4my −2=0，则1y +2y =−243m m +，1y 2y =−223m +．（8分） 假设存在这样的“恒点”E(t ，0)，则2EA EA AB +⋅u u u r u u u r u u u r =EA EB ⋅u u u r u u u r=(1x −t ，1y )·(2x −t ，2y )=(m 1y +2−t ，1y )·(m 2y +2−t ，2y )=(m 2+1) 1y 2y +(2−t)m(1y +2y )+(2−t)2 =2222224(2)33m t m m m ----++++(2−t)2=2222(6)312103t m t t m -+-++．若2EA EA AB +⋅u u u r u u u r u u u r是与直线l 的斜率无关的定值，则其为与m 无关的定值，则32t −18=32t −12t+10，得t=73， 此时定值为(73)2−6=−59，“恒点”为(73，0)．（12分） 21. 【解析】（Ⅰ）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()'1g x a x=-， ①当0a ≤时，()'0g x >，则()g x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，令()'0g x =，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 …4分 （Ⅱ）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数， ∴()'1F x e a x=+-，0x >， 当a e ≤时，()'0F x >，()f x 在()0,+∞上是增函数，∴()0F x ≤不可能恒成立， 当a e >时，由()'10F x e a x =+-=，得1x a e=-, ∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤， 当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()'0F x >，()F x 单调递增， 当1,x a e ⎛⎫∈+∞⎪-⎝⎭时，()'0F x <，()F x 单调递减， ∴当1x a e =-时，()F x 取最大值，()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭， ∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---， ∴()()1ln a e b a e a a---≥>， 令()()1ln x e G x x---=，x e >，()()()()()'221ln ln xx e x e x e e x e G x x x e x -++-----==- 令()()()ln H x x e x e e =---，()()'ln 1H x x e =-+， 由()'0H x =，得1x e e=+， 当1,x e e ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()'0H x >，()H x 是增函数， 当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0H x <，()H x 是减函数，∴当1x e e =+时，()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，∵x e →时，()0H x →，2x e >时，()0H x >，()20H e =， ∴当(),2x e e ∈时，()'0G x <，()G x 是减函数，当()2,x e ∈+∞时，()'0G x >，()G x 是增函数，∴2x e =时，()G x 取最小值，()11122G e e e--==-， ∴b a 的最小值为1e- …12分。
吉林省长春市2020届高三质量监测(四)(四模)数学(理)试题 PDF版含答案
开始
输入 t
是
t 1?
否
14. 执行如图所示的程序框图，若输入 t [1,3] ，则输出 s et1
s 的取值范围是______________.
15. 已知向量 AB (0,1) ，| AC | 7 ， AB BC 1 ，则 △ABC 面积为______________.
s log3 t
A. 0.832
B. 0.920
C. 0.960
D. 0.992
理科数学试题 第 1 页（共 4 页）
7. 已知 a log5 2 ， b log0.5 0.2 ， c ln(ln 2) ，则 a ， b ， c 的大小关系是
A. a b c B. a c b C. b a c D. c a b
于 M , N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是
① 函数 f (x) 的图象关于点 ( 4 , 0) 成中心对称； 3
② 函数 f (x) 在 ( 1 , 1) 上单调递增； 26
③ 圆 C 的面积为 31 S . 36
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
12. 函数 f (x) emx emx x2 mx（ m R ）的图象在点 A(x1, f (x1)) ，B(x1, f (x1))
输出 s
结束
D1
C1
16. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，点 M ，N 分别 A1 是棱 BC ， CC1 的中点，则二面角 C AM N 的余弦值为
B1 PN
___________；若动点 P 在正方形 BCC1B1 （包括边界）内
D
2020年吉林省长春市高考数学四模试卷(理科) (1)
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
已知数列 是等比数列，且公比 不等于 ，数列 满足 ．
Ⅰ 求证：数列 是等差数列；
Ⅱ 若 ＝ ， ＝ ，求数列 的前 项和 ．
A. 的虚部是
B. ＝
C.若 ＝ ，则复数 为纯虚数
D.若 满足 ＝ ，则 在复平面内对应点 的轨迹是圆
4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 名男生， 名女生，现从中选出 人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）
A. 种B. 种C. 种D. 种
5.若 ，则
A. B. C. D.
1.
【答案】
B
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
可解出集合 ，然后进行并集、补集的运算即可．
【解答】
＝ ；
∴ ＝ ；
∴ ＝ ．
2.
【答案】
D
【，由等比中项的性质可得 ＝ ，变形计算可得答案．
【解答】
根据题意，在等比数列 中， ＝ ， ＝ ，
则有 ＝ ，变形可得 ；
如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ， ＝ ，点 为 的中点，且 ＝ ＝ ＝ ，点 在 上，且 ．
Ⅰ 求证： 平面 ；
Ⅱ 若平面 平面 ， ＝ 且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
已知椭圆 与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于 、 两点．
Ⅰ 求过 ， ， 三点的圆 的方程；
Ⅱ 若 为坐标原点，直线 与椭圆 和 Ⅰ 中的圆 分别相切于点 和点 （ ， 不重合），求直线 与直线 的斜率之积．