17.1勾股定理___________实际应用
知识回忆 ： ☞
勾股定理及其数学语言表达式:
B
直角三角形两直角 边a、b的平方和等于斜 边c的平方。 a
c
b
A
a b c
2 2
2
C
勾股定理的实际应用
B
A D C
A的面积+B的面积=C的面积
如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个 正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容 易得出S1、S2、S3之间有的关系式
在RtΔCDE中，由勾股定理得 3 9-x
D
X
3
E B1
A
X 3 (9 X )
2 2
2
解得X 4
AE=9-x=5
SΔACE=1／2 AE CD=7.5
●
例5:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长. 解:设DE为X, 则CE为 (8－X).
所以卡车能通过隧道.
引例3、现在想知道寿春中学旗杆的高，发现旗杆 顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端 拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算 出来旗杆的高度吗？
A x米 (x+1)米
C
5米
B
(1)将实际问题转化为数学问题: 作出几何图形 找直角三角形 明确各边长 (2)运用勾股定理、方程思想解决生活中 的一些实际问题.
A 8
B
16X=80 X=5 在Rt ADE中，∠D=90°， ∴AE2=AD2+DE2，
∴AE2=102+52=125,
∴AE=
125=5 5.
选做 2
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， 求证：AD2-AB2=BD· CD 证明： 过A作AE⊥BC于E
A
∵AB=AC，∴BE=CE 在Rt △ADE中，
探究活动
3.小明要外出旅游，他所带的行李箱如 图，长40cm，宽30cm，高60cm，请问 ：一把70cm长的雨伞能否装进这个行 D' C' 李箱？
解：如图，由题意可知△ ADC 和 △ ABC都是直角三角形。
2 2
A'
B'
AC AB BC 50 / /2 /2 AC AC CC 6100 6100 >70 ∴可以装进行李箱。 A
用勾股定理建立方 程，关键是找出三 边的关系，能用同 一个未知数表示未 知边。
10 米
C
AC+CD=AB+BD=30米
x
D
30-x
┏
B
20 米
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
练3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题. 这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形, 在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦 苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度 和这根芦苇的长度各是多少尺？ D 解:设水池的深度AC为X尺, B C 则芦苇高AD为 (X+1)尺. 根据题意得: BC2+AC2=AB2 ∴52+X2 =(X+1)2 25+X2=X2+2X+1 X=12 ∴X+1=12+1=13(尺) 答:水池的深度为12尺,芦苇的长度为13尺.
O E
A C
提高训练：如图，一架云梯AB斜靠在墙上， 底端B到墙角C的距离是7m，若云梯上端下 滑4m，则底端B沿水平方向向外滑动8m， 试求AB的长度。
1.AB是哪个三角形的边？ 2.该三角形有何特征？ 3.题目的等量关系是什 么？ A 4m D
E
8m
B 7m
C
2、
儿童游乐园有一秋千，在平衡位置时，下端A离地面 距离AE为0.6米，当秋千荡到OA1位置时，下端A1离平衡位 置的水平距离A1B等于2.4米，A1离地面距离A1F为1.4米，求 秋千OA的长。
练1.旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，如果当他 把绳子的下端拉开8米后，发现下端离地面还差2m， 你能帮他算出来旗杆的高度吗？
A x米 (x+1)米
C
8米
B
练2、 在一块平地上，一棵树的10米高的D处有两 只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A 处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只 猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?
点C重合在一起,EF为折痕,若AB=8,BC=4.
(1)求△BFC 面积。 (2)试求以折痕EF为边长 的正方形面积。
A D
E
C
O B
F
2、长方形ABCD边长为9和3，若 沿对角线AC折 叠后，点B落在B1处。 9 B C 1 2 （1）求证：AE=CE （2）求三角形ACE的面积
分析:CE+DE=AE+DE=9 设DE=X,则CE=9-x
60cm
D
C
30cm 40cm
B
例1、如图，有一个无盖长方体盒子，它的长是60厘
米，宽和高都是40厘米，在A处有一只蚂蚁，它想吃 到B点处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？
B C
100
B
40
A A
AB2=BC2+AC2=1002+402=11600 ∴AB≈108厘米
CD OC OD
2 2 2
2
1 0.8 0.6
H 2米
CH = 0.6+2.3 = 2.9＞2.5 因此高度上有0.4米的余量，所以 卡车能通过厂门.
练习：
2、一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡 车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧 道，它能顺利通过吗？
A
D
？
解：在RtΔOCD中，由勾股 定理得
一、勾股树
S2 S3
S1
2、如图所示，图中所有三角形是直角三角 形，所有四边形是正方形，s1=9，s3=144， s4=169 ，则s2= 16 ．
S1 S3 S2
S5
S4
考点一：利用勾股定理求面积
求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．
考点二： 在直角三角形中，已知两边求第三边
A
10 B 17 8 D 15 C A 17 8 10 C 15
6
D
6
B
BC=BD＋DC=21
BC=DC－BD=9
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
考点五：构造直角三角形解决实际问题
如图所示是某机械零件的平面图,尺寸如 图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位 :毫米)
由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10. ∵∠B=90°， ∴ AB2+ BF2＝AF2， 10 2+ BF2＝102， 即 8 D ∴BF＝6， X ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4. 10 E X ∵∠C=90°， (8- X) ∴ CE2+CF2＝EF2， F C (8－ X)2+42=X2， 64 －16X+X2+16=X2， 80 －16X=0，
(1)将实际问题转化为数学问题, 建立几何模型. (2)运用勾股定理解决生活中的一 些实际问题.
7 .观察下列表格：
猜想 列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25
……
32=4+5 52=12+13 72=24+25 ……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= 84 ，c= 85
CD OD OC
2 2
2
2
2
CD OD OC
2.5 1.5
2 2
1.5m C 2(m) 分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能 否通过，只要看卡车位于隧道中线一 因为2＞1.8，高 侧时，其右侧高度是否小于（ CD ）. 度上有0.2米的余量， 如何求CD呢？
O
.
连接OD，得到RtΔOCD
在△ABC中，∠C=90°. (1)若b=8，c=10，则a=
6
; ;
B
(2)若a=5，b=12，则c =
13
a
C
c
b
A
a b c
2 2
2
1、已知直角三角形的两直角边长分别是5和12， 则第三边为 13 。
2、已知直角三角形的两条边长分别是5和12， 则第三边为 13或 119 。
3、已知在ΔABC中，AB=10，AC=17,BC边的 高为8,则边BC的长为（ D ） A 21 B 9 C 21或 9 D 以上都不对
解得X 3
●
2
A
1
SΔBCF=1／2 BF CB=6 (2)在RtΔABC中，由勾股定理易求AC＝ 80 在RtΔOFC中，由勾股定理易求得OF= 5
F
8-x
B
易证EC=FC,由等腰三角形三线合一可证OE=OF EF= 2 5 正方形面积为 (2 5)2 20
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶 补充：
西港口
甲 乙
东
南
B
勾股定理的应用四:航海问题
甲轮船以１５海里／时的速度从港口向东南方向航 行，乙船同时以２0海里／时速度向东北方向航行 求它们离开港口２小时后相距多远？ 北 A 解:2小时甲、乙各行的路程是
甲 港口 乙
西
南
甲：20 2=40 乙：15 2=30 东 东南方向与东北方向夹角是90 由勾股定理可知 2 2 2 AB = 40 + 30 AB=50海里 答：它们离开港口2小时后相距 50海里. B 返回
人教版八年级数学下册17.1勾股定理的应用-最短路径问题(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过直尺和三角板在纸上绘制直角三角形，并实际测量勾股定理的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的应用，特别是解决最短路径问题。
-重点讲解：
-勾股定理的推导过程及其证明。
-勾股定理在直角三角形中的具体应用，特别是求解最短路径问题。
-通过实际案例，让学生理解勾股定理在实际生活中的重要性。
-举例解释：以直角三角形ABC为例，假设a、b为直角边，c为斜边，讲解如何利用勾股定理（a²+b²=c²）求解斜边长。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用-最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找两点之间最短距离的情况？”比如从家到学校的最近路线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
八下数学17.1 (3)勾股定理的应用
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
A
A
B
解：台阶的展开图如图：连结AB
在Rt△ABC中根据勾股定理
AB2=BC2＋AC2
＝552＋482＝5329
∴AB=73cm C
B
2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
D A
B
解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线， ∴AE=BE
设AE=xcm，则EC=(10－x)cm
在Rt△EBC 中，根据勾股定理：
C E
BE2=BC2+EC2 x2=62＋ (10－x)2
解得x=6.8
∴EC=10－6.8=3.2cm
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
作业
• P29 12题 选作，拓广探索13
作图
1.运用勾股定理做长度为 n 的线段 2.利用勾股定理解决非直角三角形 中的问题 3.用勾股定理解决简单的实际问题
认真阅股定理做长度为 n 的线段
2.利用勾股定理证明线段之间的平方关系 3.解决最短路径
人教版八年级下册17.1勾股定理(教案)
（2）勾股定理的证明方法：掌握至少两种证明方法，如割补法、动态拼图法等，以便加深对定理的理解。
举例：通过割补法证明，将直角三角形分割成两个小直角三角形和一个矩形，推导出勾股定理。
（3）勾股定理的应用：学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度，判断一个三角形是否为直角三角形等。
五、教学反思
在今天的勾股定理教学过程中，我发现学生们对于定理的概念和应用表现出较大的兴趣，但同时也存在一些理解和操作上的难点。让我来谈谈几个值得注意的方面。
首先，关于勾股定理的概念，大多数学生能够理解直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方这一关系，但在具体应用到实际问题中时，部分学生仍然会感到困惑。这说明我们在教学中需要更多实际案例的引导，让学生更好地将理论知识与实际应用结合起来。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：已知直角三角形的两个直角边长度，求斜边长度。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
勾股定理生活中的应用
勾股定理生活中的应用
勾股定理是数学中的一条重要定理，它在生活中有着广泛的应用。
勾股定理是
指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个简单的公式在我们的日常生活中有着很多实际的应用。
首先，勾股定理在建筑设计中起着重要作用。
在设计房屋或其他建筑物时，建
筑师需要使用勾股定理来计算房屋的结构和角度。
这有助于确保建筑物的结构稳固，同时也能够确保建筑物的外观符合设计要求。
其次，勾股定理在地理测量中也有着重要的应用。
地理学家和测量员们经常使
用勾股定理来计算地球上不同地点之间的距离和角度。
这有助于我们更好地理解地球的形状和大小，同时也能够帮助我们更准确地进行地图绘制和导航。
此外，勾股定理在工程领域也有着广泛的应用。
工程师们经常使用勾股定理来
计算机械设备的角度和距离，以确保设备能够正常运行并且安全稳定。
这对于工程项目的顺利进行至关重要。
最后，勾股定理还在日常生活中有着一些小小的应用。
比如在装修房屋时，我
们可能需要使用勾股定理来确保墙角的垂直度；在购买家具时，我们可能需要使用勾股定理来计算家具的尺寸和摆放位置。
总之，勾股定理在我们的生活中有着广泛的应用，它不仅帮助我们更好地理解
世界，同时也为我们的生活和工作提供了便利。
因此，我们应该更加重视数学知识的学习，以便更好地应用数学知识解决实际问题。
勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理是古希腊数学家勾股所提出的，它表明了一个有三个正整
数组成的三角形的三条边（a,b,c）之间的关系，即a^2+b^2=c_2，主要
用于计算三角形中各边的长度，这个定理应用广泛。
1. 三棱锥和其他几何体
勾股定理在解决三角形问题的同时也有助于计算立体几何图面的表面
积和体积，特别是可以用来计算三棱锥的表面积和体积，对于任何一
个具有两个边长的三棱锥，可以使用勾股定理来求解它的底面和顶面
之间的距离，从而算出它的表面积和体积。
2. 建筑计算
勾股定理在建筑计算中也有用到，它可以帮助计算建筑物外墙和屋顶
坡度的高度，或者确定其他三角形形状建筑物的高度。
同时，屋面的
坡度也可以使用勾股定理来计算，因为屋面的坡度也是一个三角形，
勾股定理可以用来确定屋面的高度和角度。
3. 水利
建纳水利也是勾股定理的常用应用，它可以用来计算水渠或水坝底开
口的高度。
由于受水库底部和上部水平面之间的水头高度受到引水渠
容积受限，进一步受到引水渠斜度限制，那么可以使用勾股定理来求
解引水渠底开口高度。
因此，可以用勾股定理确定引水渠中水的流量，从而计算出正确的储水渠的容积。
4. 导航测量
导航测量中也使用到勾股定理，比如用它来计算从某一特定点到特定方位的垂直距离。
对角线距离也可以通过使用勾股定理来进行计算，这是由于当测量站和要测量的点之间存在着三角形关系，用勾股定理就可以求出两点之间的距离。
17.1 勾股定理的应用常见题型及答案
17.1.2 勾股定理的应用【常见题型一】【题型1 蚂蚁行程模型】【例】如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，=5（cm）．则AD＝10×12又因为CD＝AB＝12cm，所以AC=√122+52=13（cm）．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．【变式】如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（3+√13）cm B．√97cm C．√85cm D．√109cm【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是√42+92=√97；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是√72+62=√85；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是√32+102=√109；三种情况比较而言，第二种情况最短．故选：C．【题型2 范围影响问题】【例】如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C 与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，环卫车周围130m 以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间．【解答】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，=120（m），∴CD=150×200250∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=√EC2−CD2=√1302−1202=50（m），∴EF＝100（m），∵环卫车的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【变式】如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，OA＝40米，∴AH=12∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=√AC2−AH2=√502−402=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【题型3 大树折断模型】【例】如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．12米C．14米D．16米【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC=√AB2+AC2=√62+82=10（m），∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故选：D．【题型4 风吹荷花模型】【例】如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是尺．【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．【解答】解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即芦苇长13尺．故答案是：13．【变式】如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD 可得BD长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴AB=√132−52=12（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝8（m），∴AD=√CD2−AC2=√82−52=√39（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12−√39）m．故答案为：（12−√39）．【题型5 方向角问题】【例】如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A 出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，然后利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度．【解答】解：由题意知，∠BAC＝90°，AB＝2×120＝240，AC＝2×90＝180，由勾股定理得BC=√AB2+AC2=√2402+1802=300，答：此时两艘海舰相距300海里．【题型6 梯子问题】【例】（2022春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为米．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米2），∵AB＞0，∴AB＝2.5（米），在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2米，A'B＝AB＝2.5米，∴BD2+A′D2＝A′B2，即BD2+22＝2.52（米2），∵BD＞0，∴BD＝1.5（米），∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米），故答案为：2.2．【变式】一个长度为5米的梯子的底端距离墙脚2米，这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头吗？【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比较．【解答】解：梯子顶端到地面的垂直距离为：√52−22=√21，因为√21＞4.5，所以这个梯子的顶端能达到4.5米的墙头．【题型7 勾股定理之选址使到两地距离相等】【例】如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．【分析】根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，由勾股定理得：在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，由题意可知：AE＝BE，所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3所以，E应建在距C点13.3km，即CE＝13.3km．【变式】在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．【解答】解：设树的高度为x米．∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案为：7.5．。
勾股定理的应用场景
勾股定理的应用场景
勾股定理是一个基本的几何定理，它描述了直角三角形三边之间的关系。
勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，涉及到许多领域。
以下是一些勾股定理的应用场景：
1.建筑工程：在建筑工程中，勾股定理常用于计算房屋的地
基、墙角等的角度和长度。
例如，在确定墙角是否垂直
时，可以使用勾股定理来验证两条边的平方和是否等于斜边的平方。
2.地理测量学：在地理测量学中，勾股定理用于计算地球表
面的距离和高度。
例如，在测量山峰的高度时，可以使用勾股定理结合其他测量数据来计算。
3.物理学：在物理学中，勾股定理常用于计算物体的速度和
加速度。
例如，在抛体运动中，可以使用勾股定理来计算物体的水平位移和垂直位移。
4.航空航天工程：在航空航天工程中，勾股定理用于计算飞
机、火箭等的速度和加速度。
例如，在导弹制导系统中，可以使用勾股定理来计算导弹的飞行轨迹和落点。
5.计算机图形学：在计算机图形学中，勾股定理用于计算三
维物体的位置和角度。
例如，在三维建模软件中，可以使用勾股定理来计算物体的空间位置和方向。
6.数学：在数学领域，勾股定理是三角函数的基础，可以用
于解决各种三角形的计算问题。
此外，勾股定理在数学证明和解题中也经常用到。
总之，勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，涉及到建筑工程、地理测量学、物理学、航空航天工程、计算机图形学和数学等多个领域。