第8章 弹性体振动
第八章弹性体的应力和应变§81弹性体的拉伸和压缩弹性体有四种
第八章 弹性体的应力和应变§8.1 弹性体的拉伸和压缩弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。
其实，最基本的形变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。
1. 正压力（拉伸压缩应力） 其中， 沿作用力截面的法线方向。
2. 线应变（相对伸长或压缩）绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸伸长nF Sσ＝（1）例：如图示， 0σ>（或压缩）。
公式：当 时，为拉伸形变； 时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。
如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ，横向形变后为 。
横向形变和纵向形变之比为泊松系数：3. 胡克定律当应变较小时，应力与应变成正比：其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
l l ε∆=（2）0100b b b b b ε-∆==（3）1εμε=（4）Y σε＝（5） 或n F lY S l ∆=（6） 0ε<0ε<设一纵波传播中，t 时刻 x 处媒质的变形情况， 表示 所取媒质的长度，x 处媒质的位移为 y(x) ，处媒质的位移为 ，因此 媒质的应变为： ，取，即为 x 处媒质的应变：拉伸或压缩的形变势能同时有：弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能：§8.2 弹性体的剪切形变 一、剪切形变·剪切应力与应变（9）()y x x +∆0()()lim x y x x y x y x x ε∆→+∆-∂==∆∂xy ∆ ∆ / 0x ∆→x ∆x x +∆所以： （7）n F y Y S x ∂=∂212pE Y V ε=（8）0212pE Y ε=当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的形变叫做剪切形变。
例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。
1.剪应力其中：S 为假想截面ABCD 的面积，力F 在该面上均匀分布。
弹性体的振动
以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻 的纵向位移。在杆上取微元段dx，它 的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二 定律，它的运动方程为
将它代入式(6.3.1)并化简，得
可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波 动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变 量法
上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量
6.4 梁的弯曲振动
粱弯曲振动的运动方程
考察匀质等截面细直梁的横向弯曲振动。假 定梁只有纵向对称平面，所受的外力也在此对 称平面内，故梁在此平面内作弯曲振动；还假 定梁的长度与截面高度之比大于10。根据材 料力学“简单梁理论”，忽略剪切变形和转动 惯量的影响，这种梁称做欧拉—贝努利(EulerBernoulli)梁。于是，梁上各点的运动只需用 梁轴线的横向位移表示
设梁长为l，单位长度的质量r及抗弯刚度EI均 为常数，建立如上图所示的坐标系。
在梁上距左端x处取微元段dx，在任意瞬时t， 此微元段的横向位移可用y(x,t)表示。按其受 力情况。微元段沿y方向的运动方程为
忽略转动惯量的影响，各力对右截面上任一点 的矩之和应为零，即
略去二阶微量，有 由材料力学知，弯矩与挠曲线的关系为 将(6.4.2)和( 6.4.3)代入(6.4.1)中，得
方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是
其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条 件(6. 2.7)，得 于是有
而由条件(6.2.15)可得
上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系 列特征值bi
所以系统的各阶固有频率为：
与其相应的特征函数，亦称振型函数为 弦对应于各阶固有频率pi的主振动为
• 由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有 共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的 一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相 应的地位和发展。
弹性体振动中的应力分布及其影响因素
弹性体振动中的应力分布及其影响因素弹性体振动是一种重要的物理现象，在许多领域都有广泛的应用。
在弹性体振动中，应力分布是一个关键的因素，它决定了弹性体在振动过程中的变形和响应。
本文将探讨弹性体振动中的应力分布及其影响因素。
首先，我们来了解一下弹性体振动的基本原理。
当一个弹性体受到外力作用时，会发生变形，并产生应力。
在振动过程中，弹性体会以一定的频率在平衡位置附近做小幅度的振动。
这种振动可以通过弹性体的模态来描述，每个模态都对应着一种特定的振动形式。
在弹性体振动中，应力分布是非常复杂的。
一般来说，应力分布随着振动的进行而发生变化。
在振动的最大位移处，应力最大；在平衡位置附近，应力较小。
同时，应力还会随着振动频率的变化而发生变化。
在某些特定的频率下，应力可能会达到最大值，这被称为共振现象。
应力分布的形式和振动模态有关。
对于不同的振动模态，应力的分布也会有所不同。
例如，在弦的振动中，应力分布呈现出波纹状，而在圆盘的振动中，应力分布则呈现出同心圆状。
影响弹性体振动中应力分布的因素有很多。
首先是弹性体的材料性质。
不同的材料具有不同的弹性模量和泊松比，这会影响应力的分布。
弹性模量越大，弹性体的刚度越高，应力分布也会相应增大。
泊松比则决定了弹性体在振动过程中的横向收缩程度，从而影响应力的分布。
其次是振动的频率。
振动的频率会直接影响应力的分布。
在共振频率附近，应力会达到最大值。
因此，在设计弹性体振动系统时，需要避免共振频率的出现，以防止应力过大导致破坏。
此外，弹性体的几何形状也会对应力分布产生影响。
不同的几何形状会导致不同的模态分布，从而影响应力的分布。
例如，在梁的振动中，应力分布会随着梁的截面形状和尺寸的变化而变化。
最后，还有外界环境对应力分布的影响。
例如，温度的变化会导致弹性体的尺寸发生变化，从而影响应力的分布。
此外，外界的约束条件也会对应力分布产生影响。
例如，在一个受到约束的弹性体中，应力的分布会受到约束条件的限制。
第八章弹性体的应力和应变-盐城师范学院
第八章弹性体的应力和应变学时安排：3课时教学目的与要求：1、掌握应力和应变的相互关系、拉伸形变的胡克定律及其适用范围；2、了解杨氏模量、泊松比、剪切模量、固体的弹性形变势能、弹性形变势能密度等概念；3、了解梁的弯曲、杆的扭转的基本知识和结论。
教学重点：弹性体的拉伸和压缩。
教学难点：应力、杨氏模量、剪切模量、泊松比等概念的物理意义。
习题：8.1.2 8.1.3 8.1.6Chapter8 弹性体的应力和应变形变的分类：塑性形变：外力撤消后，形变不完全消失；弹性形变：外力撤消后，形变完全消失，此类物体为弹性体——理想模型；本章的研究范围：各向同性的均匀弹性体的弹性形变，均匀弹性体：体内各点的弹性相同。
各向同性的弹性体：体内各点的弹性与方向无关。
弹性形变的种类：伸长、缩短、切变、扭转、弯曲……； 弹性形变的基本种类：长应变、切应变。
§8—1 弹性体的拉伸和压缩一、外力、内力与应力1．外力：对于给定物体，外界（其它物体）对它的作用力2．内力：物体内部各部分之间的相互作用力。
内力的求法：外力→物体形变→内力，为了研究内力，用一假想的平面S 将物体分为两个部分：则S 面的两侧的相互作用力——内力F ' 、F求内力的方法：隔离体法，S 面的两侧分别为一个隔离体。
物体处于平衡时，列出左侧（或右侧）隔离体的平衡方程式，由外力求内力。
S 面上受力不均匀时，在S 面上任一点（O 点）处取面元S ∆，0n 自受力一侧指向施力物一侧，是S ∆的外法向，S ∆确定了即可确定S ∆的受力（内力）。
3．应力：描述物体内部各点处内力强度的物理量（1）定义：①平均应力：F p S ∆=∆ ②应力：0lim S F p S∆→∆=∆ 物理意义：作用于物体某点处某有向面元的平均应力，当面元0S ∆→时的极限——该无限小有向面元上的应力。
③正应力：p n σ=⋅ σ正应力为p 在无穷小有向面元的外法向上的投影，σ取“+”——有向面元的某一侧受到另一侧的拉力σ取“－”——有向面元的某一侧受到另一侧的压力 ④剪切应力：τ，p 在无穷小有向面元的外法线垂直方向上的投影。
振动理论与应用第8章 弹性体的一维振动
Theory of Vibration with Applications
返回首页
8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
dU dx
x =0
= 0,
dU dx
x =l
=0
px px U ( x) = C cos + D sin a a p p D = 0， C sin l = 0 a a p ∴ sin l = 0 a
Theory of Vibration with Applications
返回首页
8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
U ( x ) = C cos px px + D sin a a
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
U (0) = 0 , U (l ) = 0
若
k =，相当于自由端，即 0
Theory of Vibration with Applications
返回首页
8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
例8-2 与例8-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。 解：此系统仍属于复杂边界条件问题。 当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力 因此杆的边界条件为
U (0) = 0 , EA dU dx
x =l
= − kU (l )
U ( x) = C cos
EA
px px + D sin a a
p C = 0, U ( x) = D sin x a
弹性体中的波动与振动
弹性体中的波动与振动在自然界中，波动和振动是非常常见的现象，而弹性体中的波动与振动则是一个非常有趣和复杂的研究领域。
弹性体是一种能够恢复其形状和体积的物质，当其受到外力作用时，就会发生波动和振动。
一、弹性体的特性弹性体具有可以恢复形变的特性，当外力作用撤除后，弹性体会回到原来的形态。
这种属性来源于弹性体的分子内部结构。
弹性体的分子间力可以解释为由于电荷相互作用所产生的力，这种力可以使得分子在受到外力作用后变形，并将变形的形状存储下来。
当外力消失时，分子间的力就能使弹性体恢复原始形态。
二、弹性体中的波动在弹性体中，波动表现为能量的传递。
当弹性体受到一个扰动时，这个扰动会通过分子间的力传递给其周围的分子，从而导致波动的形成。
这个传递的过程可以通过振动的方式进行。
在弹性体中，波动有两种常见的类型：横波和纵波。
横波是指波动的方向与传播方向垂直的波动，而纵波则是指波动方向与传播方向相同的波动。
三、弹性体中的振动振动是指弹性体内部的周期性运动。
当弹性体受到一个外力作用时，它会产生振动。
振动可以分为简谐振动和复杂振动。
简谐振动是指一个物体沿一个固定轴线作往返运动。
弹簧振子是一个常见的简谐振动的例子。
当一个弹簧振子受到外力作用时，它会在平衡位置附近产生往复运动，这种运动是以一定的频率进行的。
复杂振动则是指一个物体在多个方向上的振动。
例如，当一个匀质杆的一个端点受到扰动时，杆会以不同的频率和振幅在不同方向上振动。
四、弹性体中的应用由于弹性体的特性和波动振动的机制，弹性体在许多领域都有很重要的应用。
在工程领域，弹性体的特性被广泛应用于设计和制造材料和结构。
例如，钢材的弹性和刚性使得它成为建筑、桥梁和机械的重要构件。
在医学领域，弹性体的波动特性被用于声波成像技术，如超声波医学成像。
超声波技术通过测量声波在人体组织中的传播速度和反射程度来生成图像，从而帮助医生进行诊断。
在地震学领域，弹性体的波动特性被用于研究地震的传播和影响。
第8章 弹性体的一维振动
d dx
(EA
dU j dx
)
=
−
p
j
2ρAU
j
（8-22b）
用U j 乘以式（8-22a），用U i 乘以式（8-22b），并分别沿杆长 l 对 x 进行积分，得
190
∫ ∫ l
0U j
d (EA dU i )dx = − dx dx
pi2
l
0 ρAU iU j d x
（8-23a）
∫ ∫ l
0Ui
d2 U (x) + p2 U (x) = 0
d x2
a2
（8-7）
当U (x) 具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下，求解 p2 值及振型函数U (x) 称为杆作纵向
振动的特征值问题。 p2 为特征值，U (x) 又称为特征函数或主振型；而 p 是固有频率。
式（8-7）的解可表示为
U (x) = C cos px + D sin px
d (EA dU j )dx = − dx dx
p
2 j
l
0 ρAU iU j d x
再利用分部积分，可将式（8-23）中左边积分为
∫ ∫ U
j
( EA
dUi dx
)
l 0
−
l EA dU i 0 dx
dU j dx
d x = −pi2
l
0 ρAU iU j d x
（8-23b） （8-24a）
∫ ∫ Ui
3.00
4.00
5.00
10.0
20.0
100.0 ∞
β1
1.08
1.20
1.27
1.32
1.42
弹性体的震动
弹性体的振动5.1 引言任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成的，也就是说这些零部件都是弹性体（连续系统）。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此，对工程上常用的连续弹性体（如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统）进行振动分析，求出它们的固有频率和主振型，计算它们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
(a)(b)5.1多自由度系统和弹性体的动力学模型多自由度系统（离散系统）和弹性体（连续系统）是对同一个客观事物（机器零部件）的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图5.l(a)所示，它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n个集中质量(m1，m2，…，m n。
)和n-1个弹簧(k1，k2，…，k n-1)所组成的n个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成，如图5.1(b)所示。
当一个零件的分段数n→∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x也从一个离散值(x1，x2，…，x n)变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x和时间t所表达的二元函数(,)y x t来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由度系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 弹性体振动§8-1 概述任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
xx)a )b ((图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。
当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
在本章中，我们只研究弹性体的最简单情况，即等截面的杆、轴的振动，而且假设弹性体的质量和刚度均匀分布，在振动过程中弹性体不产生裂纹，即要求广义坐标的变化是连续的。
此外，我们的讨论只局限在线性范围内，即认为弹性体的应力应变关系服从虎克定律，而且是均质各向同性的。
§8-2 杆的纵向振动8.2.1运动方程假设有一根均质等截面的棱柱形杆，杆长为l ，截面积为A ，质量密度为ρ，拉压弹性模量为E 。
取杆件中心线为x 轴，原点取在杆的左端面(见图8-2a)。
假设在振动过程中杆的横截面只有x 方向的位移，而且每一截面都始终保持平面并垂直于x 轴线。
当杆件处于平衡状态，杆上各截面的位置用它们的x 坐标来表示。
当杆件振动时，x 截面的纵向位移则用广义坐标来u 表示。
显然对应于一个x 就有一个u ，而不同时间内每个u 也在变化，因此u 是x 和t 两个变量的函数。
u ＝u (x ,t))a )b oSdx xS S ∂∂+22tu Adx ∂∂ρA图8-2 棱柱形杆的纵向振动现在，我们在x 截面处取杆件上一个微小的单元体来研究(见图8-2b)，分析其受力状态。
设x 截面的振动位移为u ，则在x ＋dx 截面处的振动位移就应该是dx xuu ∂∂+。
又设x 截面上的拉压内力为S ，则x ＋dx 截面上的拉压内力应为dx xSS ∂∂+。
这一微元段所产生的惯性力是22t u Adx∂∂ρ。
根据达伦培尔原理可以得出以下关系式：0)(22=∂∂--∂∂+tu Adx S dx x S S ρ (8-1)根据虎克定律：εσE =。
其中微元段的轴向应变量ε为：xu dx udx x uu ∂∂=-∂∂+=)(ε故用微元段的轴向应力σ来表示其轴向拉压内力S 时，可得：xuEAAE A S ∂∂===εσ (8-2) 将(8-2)式代入(8-1)式得：02222=∂∂-∂∂t u Adx x u EA ρ即2222t uE x u ∂∂=∂∂ρ或222221tu axu ∂∂=∂∂ (8-3)式中：ρEa =(8-4)(8-3)式即为等截面杆纵向自由振动的运动方程，它是一个二阶齐次偏微分方程式，也 就是偏微分方程理论中著名的两阶波动方程。
式中a 可以证明是声波在杆件中沿x 轴的传播速度，对一定的杆来说，a 是个常数。
8.2.2固有频率和主振型如前所述，通过求解系统自由振动的运动方程，可以求出系统的固有频率和主振型。
现在要求杆件纵向振动的固有频率和主振型，就要求解(8-3)式所示的偏微分方程式。
我们现在不用偏微分方程的理论来求(8-3)式的解，而是根据对多自由度振动系统的了解，仍然用待定系数法来寻找它的简谐振动的特解．如前所述，多自由度系统自由振动的解为，{}{}t i ne A x ω=当自由度数n →∞时，上式中的振动位移的列矢量{}x 就变成截面位置坐标x 和时间t 两个变量的连续函数u (x , t )。
上式中的振幅列矢量(即主振型){}A 也就变成了连续函数U (x ),因为在弹性体振动过程中，对应于每一个截面位置坐标x 就有一个振幅U ，但由于弹性体截面有无穷多个，所以U 也有无穷多个，故不能象多自由度系统那样用n 个振幅组成的列矢量来表示，而只能用一个未知函数U (x )来表示。
显然U (x )表示了杆件纵向振动的振型，故称其为振型函数。
此外，还应有一个时间函数由Φ(t )，它表示杆件的振动方式。
通过以上分析，我们可以推断出杆件纵向振动的解应具有以下形式：)()(),(t x U t x u Φ= (8-5)将上式分别对x 和t 求二阶偏导：2222)()(dx x U d t x u Φ=∂∂ 2222)()(dt t d x U t u Φ=∂∂将以上两式代入(8-3)得：22222)()(1)()(dtt d x U adxx U d t Φ=Φ应用分离变量法，则上列偏微分方程的形式可以改变为：22222)()(1)()(dt t d t dx x U d x U a ΦΦ= (8-6)上式左边仅是坐标x 的函数，右边仅是时间t 的函数，因此它们必须等于同一个常数上式方能成立。
若假设这一常数为2n ω-(因为只有把常数设为负值，才可能得到满足边界条件的非零解)，则(8-6)式就变成下列两个常微分方程式：0)()(222=Φ+Φt dt t d n ω (8-7)0)()(2222=+x U adxx U d nω (8-8)显然，(8-7)、(8-8)式的解分别为：t B t A t n n ωωsin cos )(11+=Φ (8-9)axD axC x U n n ωωsincos)(11+= (8-10)式中，n ω即为杆件纵向自由振动的频率，也就是杆件的固有频率。
U (x )则是杆件纵向自由振动的振型函数，即主振型。
将(8-9)、(8-10)式代回(8-5)式，即可得杆件纵向自由振动的解：)sin cos )(sincos(),(1111t B t A a xD axC t x u n n n n ωωωω++= )sin()sincos (11ϕωωω++=t axD axC A n n n)sin()sincos(ϕωωω++=t axD a x C n n n (8-11)式中C 、D 、n ω、ϕ为四个待定常数，要由杆件的两个边界条件和振动时的两个初始条件来决定。
现以杆件两端是由自由端的情况为例来说明求固有频率及主振型的方法。
由于自由端上应力σ为零，故应变ε也为零。
因此自由端的边界条件可写成：00=∂∂=x xu ，0=∂∂=lx xu将以上两个边界条件分别代入(8-11)式得：0)sin(0=+=∂∂=ϕωωt aD xun n x (8-12)0)sin()sincos(=+-=∂∂=ϕωωωωωt alaCalaDxun n nn nlx (8-13)因为对于任何t 值，以上两式都必须成立，所以0)sin(≠+ϕωt n 。
因此，以(8-12)式得到D ＝0。
这时，不能再令C ＝0，否则就得到u (x ,t )=0的非振动解。
从(8-13)式可以看出，要使u (x ,t )有非零解，就必须有:0sin =aln ω (8-14)上式就是杆件纵向振动的频率方程，由此可以求得无限多阶固有频率。
因为由(8-14)式可得：πωi aln = 故杆件的固有频率为：),,3,2,1(∞⋅⋅⋅===i Eli l ia ni ρππω (8-15)对应于上述无限多阶固有频率，就有无限多阶主振型：lxi C x U i i πcos)(= (8-16) 令i ＝1、2、3分别代入(8-15)与(8-16)式，即可求得具有自由端的杆件纵向振动时的前三阶固有频率和相应的主振型。
第一阶固有频率和主振型为：ρπωEln =1，lxC x U πcos)(11=第二、三阶固有频率和主振型为：ρπωEl n 22=，lxC x U π2cos)(22= ρπωEln 33=，lxC x U π3cos)(31= 这三阶主振型表示在图8-3之中，可以看出，随着频率阶数的升高，节点数也在增加。
)a 0l2l 2l c1c1-0l2l 22c cc24l 43l )b 2--)c 0l2l 2l c3c3c3c36l 3l 3l 56l图8-3 杆件纵向振动的主振型§8-3 轴的扭转振动8.3.1运动方程设有一根均质等截面面轴，长度为l ，半径为r ，质量密度为ρ，剪切弹性模量为G ，截面的极惯性矩为J p 。
取轴线为x 轴，原点取在轴的左端面(见图8-4)。
22tdx J p ∂∂θρdx xT ∂∂+T图8-4 圆轴的扭转振动在轴的x 截面处截取微元段dx ，并取x 截面相对平衡位置的转角θ为广义坐标，则在x ＋dx 截面上的角位移应为dx x∂∂+θθ。
故微元段两端截面的相对扭转角θd 为： dx xdx x d ∂∂=-∂∂+=θθθθθ)( 因此微元段上的角应变量xdx d ∂∂==θθεθ。
故x 截面上的内扭矩T 为：xGJ T p∂∂=θ 单位长度上扭矩的变化量为：22xGJ x T p ∂∂=∂∂θ 所以x ＋dx 截面上的内扭矩为：22xGJ T dx x T T p ∂∂+=∂∂+θ 圆柱形微元段的极转动惯量I p 为：dx J I p p ρ=根据转动方程式可得：T dx xGJ T tdxJ pp -∂∂+=∂∂)(2222θθρ即2222x Gt ∂∂=∂∂θθρ(8-17)令ρGb =则(8-17)式可改写成：222221t u b x u ∂∂=∂∂ (8-18)上式就是等截面圆轴扭转自由振动的运动方程。