第八章振动与波动

波动曲线与振动曲线不同。
x
t
振动曲线 动画：波的形成
y
y
u
x t
波动曲线
3. 波的定性表示－波面和波线
（1）波面（wave surface ):振动相位相同的点联结成的面。 （2）波线（wave rays ):沿波的传播方向所作的有向线段。 （3）波前(wave front）：波动传播到的最前面的波面。
一、波动的基本概念（Basic concept ）
1.波动的产生
（1）机械波 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地 传播形成机械波 波源：作机械振动的物体
弹性介质：承担传播振动的物质
（2）电磁波 变化的电场和磁 场在空间的传播 形成电磁波
E
o H
视频：水波的波源
u
x
2. 波动的分类—— 横波和纵波
A cos
A sin
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
x A cos cos t A sin sin t A cos( t )
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
§3 简谐振动的合成
同方向同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
( A1 cos 1 A2 cos 2 ) cos t ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t

简谐振动的运 动学特征
讨论
(1)模型的解——位移与时间的关系
x A cos(t )
A， 是积分常数，A为振幅，φ 为初相位
做简谐振动的物体，其位移是时间的余弦函数， 也可以说，位移是时间的余弦函数的运动为简 谐振动。
讨论
x A cos( t )
振幅（amplitude) A: 振动物体离开平衡位置的最大 位移（或角位移）的绝对值。 周期(period)T:物体完成一次全振动所需时间。
a A 2
o
A 2
a t
图
T
t
a am cos( t )
讨论
x A cos( t ) (t ) 是振动物体t 时刻的相位
(4)相位
x(t ) A cos(ω t )
相位确定了振动的状态 . 相位的意义 :
v A sin( t ) 2 a A cos( t )
A cos(t ) A cos(t T )
T
2

1 频率（frequency) :单位时间内振动的次数。 T 2
角频率(angular frequency) :
2 2 T
相位(phase)t — 决定谐振动物体的运动状态
xm
思考题 8-3 下列表述是否正确，为什么？（1）若物体受到一 个总是指向平衡位置的合力，则物体必然做振动，但 不一定是简谐振动；（2）简谐振动过程是能量守恒的 过程，因此，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。

√
8-7 一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周 期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将如 何变化？

o
x0 A cos
x0
x
旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动.

A
t t 时
t
o
x A cos(t )
x
旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动
动画：不同相 位的简谐振动 动画：位移、 速度、加速度 的旋转矢量法
x A cos(t )
如空气中传播的声波。
t 0
t
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
T 4
t
t T
t
3 T 4
T 2
5 T 4 3 t T 2

纵 波
动画：纵波
基本知识
波动中各质点并不随波前进；
各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播； 波速是相位的传播速度；
例 一个物体做简谐振动，振幅为0.24m，振动周期为4s。开始 时物体在 x 0.12 m 处向负方向运动，试写出该物体的振动 方程，并求出t=1s时物体的位移、速度和加速度。
解： 由题意可知，振幅 A 0.24m
v0
-0.24 -0.12 0 2 2 rad / s 角频率 T 4 2
am 2 A
讨论
(3)位移、速度和加速 度的函数曲线 ( 0)
A
x
x t 图
o
A
A
t
T
x A cos( t )
v A sin(t )
v v m cos( t
v
v t 图
T
o
A
t

2
)
a 2 A cos(t )
am 2 A
旋转矢量的端点在x轴上的投影点的运动为简谐运动.

A
t t 时
t
o
x A cos(t )
x
同方向同频率的简谐振动的合成
x A cos( t )
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
1.若两分振动同相,21=2k (k=0,1,2,…) 则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强 2.若两分振动反相, 即 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,…) 则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱
旋转矢量法处理谐振动的合成
x x1 x2
A cos( t )
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )

A2
2
O

x2பைடு நூலகம்
A A1
2 1
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
相位每改变 2 振动重复一次
x
A
= 2
O -A
t
讨论
x A cos( t )
(5)振幅和初相位的确定
如果我们知道以下初始条件:
x0 A cos ,
v0 A sin
2 v0 v 2 0 A x0 , arctan x0 x 0
0.12 0.24 xm


3
t 0时, x0 0.12,
带入简谐振动方程
A

v0 0 0.12 0.24cos 3 1 解得 cos , 2 3 因为v0为负值，根据 v0 A sin ，故只能取 3 该物体的振动方程为 x 0.24cos t m 3 2
（1）横波： 介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波称横波。 如柔绳上传播的波。
t 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
t
T 4 T t 2
t
t T
t
3 T 4
5 T 4

横 波
动画：横波
（2）纵波
介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波称纵波。
介 绍
振动与波动是密切联系的物理现象。振动 是产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。 过去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范 畴，实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电 磁学、光学乃至量子力学之中。机械振动在介 质中的传播形成机械波，电磁振动在空间的传 播形成电磁波。虽然机械振动和机械波与电磁 振动和电磁波在本质上有所不同，但它们的变 化规律是类似的。因此，本章讨论机械振动和 机械波的基本规律，但这些规律的意义绝不局 限于力学，它是研究光学、量子力学乃至整个 物理学的基础。
动画：同频率同方向谐振动的合成
1
x
x1 x x1 x2
作业
1，5，7，15，16， 19
复习
1. 简谐振动的数学模型
x A cos( t )
振幅（amplitude) A: 振动物体离开平衡位置的最大 位移（或角位移）的绝对值。 周期(period)T:物体完成一次全振动所需时间。
最简单、最基本的振动是简谐运动，任意复杂的振动可分 解为若干个简谐振动的合成。 物体在与其平衡位置的位移成 反比的线性回复力作用下所作 的等幅振动称简谐振动。典型 的简谐振动是弹簧振子的运动。 在弹簧振子中，振动的物体受 到弹性力的作用，弹性力服从 胡克定律。
k
0
F
m
x
X
F kx
k为弹簧的劲度系数
讨论
x A cos( t )
(6) 振动的能量
1 1 E k mv 2 m 2 A 2 sin2 (t ) 2 2
v A sin(t )
简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
EP
1 2 1 kx kA2 cos2 (t ) 2 2
1 频率（frequency) :单位时间内振动的次数。 T 2 2 角频率(angular frequency) : 2
相位(phase)t — 决定谐振动物体的运动状态
T
A cos(t ) A cos(t T )
T
: 初相位（initial phase ）