材料力学第5版(孙训方编)第八章

§Ⅰ-4 惯性矩和惯性积的转轴公式· 截面的主惯性轴和主惯性矩
在下面的分析中为使结果具有普遍性，坐标轴的原点O并
不要求必须是形心C。此外，坐标轴按所用教材的附录I标为x
轴和y轴。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
Ⅰ. 惯性矩和惯性积的转轴公式
图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，y的
惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O
*§8-7
榫齿连接
1
第八章 组合变形及连接部分的计算
§ 8- 1
Ⅰ. 组合变形
概 述
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的
变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，
则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。
烟囱（图a）有侧向 荷载（风荷，地震力）时
第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲 §8-2+ 平面弯曲的条件 §I-4 惯性矩和惯性积转轴公式· 截面的主惯性轴 和主惯性矩 §8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法 §8-6 铆钉和螺栓连接的计算
外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯
曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为： 由于水平外力F1 由于竖直外力F2
弯
矩
My(x)=F1 x
Mz(x)=F2 (x-a)
弯曲正应力

dA
y (a)
z
inertia)。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂
直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其
中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。
下节讲述对于没有对称轴的截面确定主惯性轴和主惯性矩
的相关问题。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
4. 该梁自由端的挠度（大小和方向）如何计算？
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第八章 组合变形及连接部分的计算
例题8-1 图示20a号工字钢悬臂梁（图a）上的均布荷载 集度为q (N/m)，集中荷载为 F qa ( N) 。试求梁的许可荷载 2 集度[q]。已知：a =1 m; 20a号工字钢：Wz=237×10-6 m3，
(21.5 103 ) q
M zD 0.444q (12 ) 0.456q (12 ) ( max ) D 6 Wy Wz 31.5 10 237106 M yD
(16.02103 ) q
由于 ( max ) A ( max ) D ，可见A截面为危险截面。危险点在
故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面
和D 截面上的最大弯曲正应力。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
z z
D1

z
MyA
y y
MzA
D2
M zA 0.642q (12 ) 0.266q (12 ) ( max ) A 6 Wy Wz 31.5 10 23710 6 M yA
发生弯压组合变形。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭
转组合变形（两个相互垂直平面内的弯
曲加扭转）。
吊车立柱（图c）受偏心压缩， 发生弯压组合变形。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横
截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于 组合变形。
工程实用计算法（engineering method of practical analysis）。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲
具有双对称截
面的梁，它在任何
一个纵向对称面内 弯曲时均为平面弯 曲。 故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向
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第八章 组合变形及连接部分的计算
1 1 2 利用三角函数 sin a (1 cos 2a )和 cos a (1 cos 2a ), 2 2 由上式得 Ix Iy Ix Iy I x1 cos 2a I xy sin 2a （a） 2 2 同理，根据
2
I y1 x12dA ( x cos a y sin a ) 2dA
于是有
I x1 y12 dA ( y cos a x sin a ) 2dA
A A
cos 2 a y 2 dA sin 2 a x 2 d A 2 sin a cos a xy d A
A A A
I x cos2 a I y sin 2 a I xy sin 2a
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第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-2+ 平面弯曲的条件
§8－2中讨论的是具有双对称截面的梁在两个相互垂直的 纵向对称面内同时发生弯曲的情况，其实质就是两个相互垂直 的纵向面内平面弯曲的组合。
x
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第八章 组合变形及连接部分的计算
现在的问题是，如果梁的横截面只有一个对称轴（图a） 而荷载作用在与对称轴垂直的方向，或者横截面根本就没有对
)
)
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第八章 组合变形及连接部分的计算
2. 作梁的计算简图（图b），并分别作水平弯曲和竖直弯曲
的弯矩图—My 图和Mz 图（图c ,d）。
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3. 确定此梁的危险截面。
A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但
因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面。 D 截面上Mz 最大： MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2，
旋转a 角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩 I x1, I y1和 惯性积 I x y。
1 1
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第八章 组合变形及连接部分的计算
由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标 的关系为
x1 OC OE BD x cosa y sin a y1 AC AD EB y cosa x sin a
c
dA
-
y
z
z +
dA
y (a)
(b)
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第八章 组合变形及连接部分的计算
由此可知，如果梁发生平面弯曲而z轴为中性轴，则必须满足

A
A
yz d A 0
换句话说，如果梁上的荷载所产生的弯矩作用在包含满 足 yz d A 0的y轴的那个纵向面内，则与之垂直的形心轴z就 是中性轴，梁发生平面弯曲。 反之如果荷载产生的 弯矩作用在包含z轴的纵向 面内，亦发生平面弯曲。
Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[ ]=160 MPa。
x
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x
解： 1. 将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为
qa cos 40 o 0.383qa ( 2 qa o qa ( Fz F sin 40 sin 40 o 0.321 2 Fy F cos 40 o
称轴（图b），那么还会发生平面弯曲吗？荷载沿什么方向的
形心轴时才会发生平面弯曲呢？这就要分析梁发生平面弯曲的 条件。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
横截面如图a所示无对称轴的梁，如果横截面绕形心轴z转
动发生平面弯曲，则根据平面假设，横截面上的正应力在与z My 轴垂直的y轴方向按线性规律变化（图b），即 ； Iz 而这些正应力不应构成对y轴的力矩，故应有 z d A 0， A My M 亦即应有 A I z z d A 0，即 I z A yz d A 0
处弯曲正应力为零。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
故有中性轴的方程：
My Iy
Mz z0 y0 0 Iz
中性轴与y轴的夹角q（图a）为
z0 M z I y I y tanq tan y0 M y I z I z
2 其中 角为合成弯矩 M M y M z2
与y的夹角。
My Iy
z

Mz y Iz
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第八章 组合变形及连接部分的计算
这里弯矩的正负号系根据图b所示，由右手螺旋法则按它们的 矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的。在F1和F2共
同作用下x 截面上C 点处的正应力为
''
My Iy
Mz z y Iz
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第八章 组合变形及连接部分的计算
A截面上的外棱角D1和D2处。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
4. 求许可荷载集度[q]。 根据强度条件 (
max A
) [ ]，有
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa 从而得 于是有
160106 3 q 7 . 44 10 N/m 3 21.5 10
[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m
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第八章 组合变形及连接部分的计算
确定中性轴的方向后，作平行于
中性轴的两直线，分别与横截面的周
边相切，这两个切点（图a中的点D1， D2）就是该截面上拉应力和压应力为 最大的点。从而可分别计算水平和竖 直平面内弯曲时这两点的应力，然后
叠加。
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对于如图c所示横截面具有
外棱角的梁，求任何横截面上
(d)