材料力学 第八章叠加法求变形(3,4,5)

例题 5-5
逐段刚化法：
变形后AB部分为曲线 BC部分为直线。
变形后：AB AB` BC B`C`
wc wB wc L wB B 2
C点的位移为：wc
例：求外伸梁C点的位移。
P B A L a
将梁各部分分别 引起的位移叠加
C
解： 1）BC部分引起的位移fc1、 θc1
例题 5-5
B Bq BM
w D w Dq w DM
q2a qa 2 2a 1 qa 3 24 EI 3 EI 3 EI
3 4 2 2

5 q2a qa 2a 1 qa4 ( ) 384 EI 16 EI 24 EI
57.6 106 Pa 57.6 MPa [ ]
故20a号槽钢满足切应力强度条件。
例题 5-7
3. 校核梁的刚度条件 如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。 由叠加原理可得
wmax Fi bi 2 wC ( 3l 2 4bi ) i 1 48 EI 1 [(120 103 N )( 0.4m ) ( 3 2.42 m 2 4 0.42 m 2 ) 48 EI ( 30 103 N )( 0.8m ) ( 3 2.4m 2 4 0.82 m 2 ) (40 103 N )( 0.9m ) ( 3 2.4m 2 4 0.92 m 2 ) (12 103 N )( 0.6m ) ( 3 2.4m 2 4 0.62 m 2 )] 1671 103 N m 4.66 10 3 m 48(210 109 Pa)(2 1780 10 8 m 4 )
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零， 而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零， 因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为 受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简 支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得 3 q / 2l / 2 ql 3 A2 B 2 24EI 384EI
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB 段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的， 其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度 w1=|B|· a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2 上去,才是原外伸梁的A端挠度wA w A w1 w2
1 qa 3 2q a 4 3 EI a 8 EI 7 qa 4 12 EI
z
* S z ,max 73 mm 100 mm 50 mm 100 11 mm
73 7 mm
104 000 mm 3
100 11 mm
2
例题 5-7
当然， S z ,max 的值也可按下式得出：
S
* z ,max
*
11 73 mm 11 mm 100 mm 100 11 mm 2 100 11 7mm mm 2 104000 mm 3
机械：1/5000~1/10000,
土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构 件正常工作时的要求。 [例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
努力学习，报效祖国！
§8-3
用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所 引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算 几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形， 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然 后叠加。
183.5 178 100% 2.9% 5% 178 所以可取20a号槽钢。
例题 5-7
2. 按切应力强度条件校核 图c最大剪力FS,max=138 kN。每根槽钢承受的最 大剪力为
FS ,max 138 kN 69 103 N 2 2
例题 5-7
Sz,max 为20a号槽钢的中性轴z以下 半个横截面的面积对中性轴z的静 矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图 d)可计算如下：
例题 5-4
按叠加原理得
wC wC 1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql 3 ql 3 3ql 3 A A1 A2 48EI 384EI 128EI ql 3 ql 3 7ql 3 B B1 B 2 48EI 384EI 384EI
2
二.小结： 1、杆件变形能在数值上等于变形过程中 外力所做的功。Vε=W 2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到 最终值： P-----广义力 1 则： V W P 其中：-----广义位移 2
FN L 拉、压： L EA TL 扭转： EI P P FN 轴力
Ml w EI
一、增大梁的抗弯刚度EI；
二、减小跨度L或增加支承降低弯矩M；
三、改变加载方式和支承方式、位置等。
§8-5 梁的弯曲应变能
一.梁的弯曲应变能 1.纯弯曲： M ( x) c
V W 1 W M 2 1 M l M 2l V M 2 EI 2E I
W
1 M x dx M 2.横力弯曲： ( x) c dV M ( x)d 2 2 EI 2 M ( x) V dx l 2 E I ( x)
P B A 刚化 EI= C P C
θc1
pa f c1 3EI pa2 c1 2 EI fc1
3
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
θ
A
P
B2
B
刚化 EI=
C
fc2
PaL B2 3EI fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B 2
Pa2 PaL c 2 EI 3 EI
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查 得为 Iz =1780.4 cm4 1780cm4
例题 5-7
于是
max
( FS ,max / 2) S z ,max (69 103 N) 104 10-6 m 3 I zd (1780 10-8 m 4 )(7 10 3 m)
P
解：由刚度条件
wmax
Pl l [ w] 48EI 500
3
得
所以
48 EI P 7.11 kN 2 500 l
[ P] 711 kN .
max
M max Pl 60MPa [ ] Wz 4Wz
所以满足强度条件。
例题 5-7
图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按 强度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知[]=170 MPa，[]=100 MPa，E=210 GPa， w 1 。 l 400
5q / 2l 4 5ql 4 wC 1 384EI 768EI ql A1 24EI 48EI q / 2l 3 ql 3 B1 24EI 48EI
q / 2l 3
3

例题 5-4
B2 A2
C
在集度为q/2的反对称均布 荷载作用下，由于挠曲线也是 与跨中截面反对称的，故有 wC 2 0
例题 5-7
解: 一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁 横截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺 寸，再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度 条件进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚 度条件不满足，应适当增加横截面尺寸。
例题 5-7
1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 梁的剪力图和弯矩 图分别如图c和图e所 示。最大弯矩为 Mmax=62.4 kN· m。梁 所需的弯曲截面系数 为
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面 的挠度 wC 和两端截面的转角A 及 B。已知EI 为常量。
例题 5-4
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
例题 5-4
C
A1
wC
B1
在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 挠度和转角的公式，得
[例8-3]如图用叠加法求 wC、 A、 B
解： 1.求各载荷产生的位移
2.将同点的位移叠加
=
+
+
3 PL 48EI
wC
A
5qL4 384EI
qL3 24EI
qL3 24EI
ML2 16EI
ML 3EI
P L2 16EI
P L2 16EI
B
ML 6EI
Wz
M max

62.4 103 N m 367 106 m 3 170 106 Pa
例题 5-7
而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz≥367×10-6 m3/2=183.5×10-6 m3=183.5 cm3。由 型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所 需的Wz= 183.5 cm3，但

例题 5-5
试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转 角B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已 知EI为常量。
解: 利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图 a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c) 所组成。 1 和弯矩 M B 2q a 2 qa 2应当作为外 FS B 2qa 2 力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处， 它们的指向和转向如图b及图c所示。