材料力学叠加法求变形
材料力学(赵振伟)梁的弯曲变形2
3. 应用叠加原理的若干情况 1 ) 荷载的分解或重组
q m
q
L/2 L/2
L
F
q
q
m L/2 L/2
F
例
q0
EI
A 求图示自由端的挠度。
L2
L2
q0
L
w1
q0
w3
B
w2
L2
L2
w1
q0 L4 8EI
w2
q0 L 24
8EI
q0 L4 128EI
w3
B
L 2
q0 L 23
6EI
L 2
q0 L4 96EI
wA
w1
w2
w3
41q0 L4 384EI
2) 逐段刚化法
依据： 若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的 变形不是相互独立的，那么，结构中 A 点的位移是各个部 分在这一荷载作用下的变形在 A 点所引起的位移的叠加。
A EI a
变形刚体
F
F
Fa 2
B
C
a/2
wwww1122
B (F1, F2,, Fn ) B1(F1) B2 (F2 ) Bn(Fn )
yB (F1, F2,, Fn ) yB1(F1) yB2 (F2 ) yBn(Fn )
叠加法的特征： 1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
分析和讨论
q
在下列不同的支承方 式中，哪一种刚度最高？
q
q
分析和讨论
q
梁由混凝土材料制成，如果横截面从左图改为右图，能 够改善强度吗？能够改善刚度吗？
梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善强度吗？ 梁的材料由普通钢改为优质钢，能够改善刚度吗？
用叠加法求梁的变形
y B y Bq y BRB
y Bq y BRB 0
(3).将(a)(b)代入(c)得：
(c)
RB L3 qL4 0 8EI Z 3EI Z
RB
3 qL 8
yBRB
A
RB
目录
§7-5 梁的刚度校核
一.刚度条件：
土建工程：以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也
max
M max Wz
q 2
（其中：M max L2 45 KNm
Wz
b 2 2 3 h b ） 6 3
b3
3M max 178m m 2
h 2b 356 mm
(2).按刚度条件设计： 由附录查得：
f max f L L
就满足了，因此刚度校核在土建工程中处于从属地位。 机械工程：对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度 和转角都有一定的限制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工 精度，轴端转角过大，会使轴承严重磨损。
桥梁工程：挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。
综上所述：在工程设计中，我们有必要对梁的挠度和转角进行限
MeL 3EI Z
Bq
BM
qL3 24EI Z
MeL 6 EI Z
yCq
5qL4 384EI Z
MeL2 16EI Z
yCM
(2).进行代数相加，求得：
yC yCq yCM
5qL4 MeL2 384EI Z 16EI Z
A Aq AM
§7-3 用叠加法求梁的变形
一.概述：
我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法， 但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加
材料力学梁的弯曲变形第3节 用叠加法求梁的变形
y M (x) EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。
• 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。
a
x
5ql 4 384 EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷
梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。
（2）查表得这两钟情况下
截面 B 的挠度和转角
yBq
ql3 2EI
2ql
3
（顺时针）
3EI
例6-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。
解： 1）简化、分解载荷
2）分别计算 B 截面挠度：
悬臂梁因 B 截面产生转角引
起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 载荷作用下产生的挠度 yC2
0.5qa2
qa
+
B
yA3
ql4 8EI
7ql 4 384EI
5Fl3 48EI
41ql4 5Fl3 384EI 48EI
代入数值得：
yA 3.89 103 m 3.89mm（）
ql 4 8EI
+
Bq
ql3 6EI
用叠加法求弯曲变形
yC
3 i 1
yCi
5ql4 384EI
ql 4 48EI
ql4 16EI
11ql4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql3 24EI
ql3 16EI
ql3 3EI
11ql3 ( ) 48EI
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
材料力学
材料力学
用叠加法求弯曲变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩 为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
EI
d2y dx2
EIy''
M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为 M i ( x) ，转角为 i ，挠度为 yi ，则有：
EIy''i Mi ( x)
材料力学
7-4
解 1）首先，将梁上的载荷变成有表可查 的情形
为了利用梁全长承受均布载荷 的已知结果，先将均布载荷延长至梁 的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB 段还需再加上集度相同、 方向相反的均布载荷。
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用
yC
的情形，计算各自C截面的挠度和转角。
等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数 和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
材料力学
目录
材料力学 材料力学
用叠加法求弯曲变形
例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI 均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的 转角B
力学叠加原理的适用条件
力学叠加原理的适用条件力学叠加原理是力学中常用的一种分析方法，它将一个物体所受的外力分解为若干个小力，然后分别计算每个小力对物体的引起的变形或运动的影响，最后将这些影响叠加起来，得到物体整体的变形或运动情况。
力学叠加原理的适用条件包括以下几个方面：1. 线性弹性材料：力学叠加原理适用于线性弹性材料，即材料的应力和应变之间存在线性关系，并且能够弹性恢复形变。
线性弹性材料的特点是应力和应变之间的关系是线性的，即无论应力大小如何变化，它们之间的比值始终是一常数，材料在受力后无论变形多少，当外力消失后都能恢复到原来的形状。
2. 小变形条件：力学叠加原理适用于小变形条件下的物体，即受力物体的变形较小，不引起应力场的显著变化。
在力学中，小变形条件通常指物体的线度、厚度或直径变形小于其初始尺寸的1/10。
在小变形条件下，物体的初始形状和应力分布近似不变，因此可以将受力物体的总位移或变形视为各个小力引起的位移或变形的叠加。
3. 线性叠加原理：力学叠加原理适用于线性叠加的情况，即外力是线性组合关系。
线性叠加原理指的是力学叠加原理适用于外力与物体响应之间满足线性叠加关系的情况，即若将待叠加的若干个外力分别作用于物体，所引起的物体响应再次叠加时，响应与外力的叠加关系满足线性关系。
4. 结构简单：力学叠加原理适用于结构相对简单的情况，即受力物体可以近似为刚体或简单连续体。
对于结构较为复杂或存在非线性现象的物体，力学叠加原理往往不能直接应用。
对于这种情况，可以通过对复杂结构进行适当简化，或者应用其他运动学、力学原理进行分析。
5. 边界条件：力学叠加原理的应用还需要考虑受力物体的边界条件，例如支撑、约束等。
受力物体的边界条件会影响物体的力学响应，因此力学分析时需要考虑这些边界条件的影响，对于不同的边界条件需要选取不同的叠加原理来进行分析。
总结起来，力学叠加原理适用于线性弹性材料的小变形条件下，外力满足线性叠加关系的简单结构物体，并且需要考虑受力物体的边界条件。
材料力学课件：梁弯曲变形的叠加法
qA
q L3 24 E I
qa 3 3 EI
5 q4 E I
A
FA
qA
a2
12 EI
(3 F
4 qa )
5 qa 4 F a 3 yC y FA yqA 24 E I 6 E I
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
例题2：求图示梁C截面的挠度
§ 3 . 8 梁的强度计算
2)计算支座反力，做内力图
q=10 kN/m
FRB=30kN，FRD=10kNy
A
B
200
30
2m
200
yc
z
F=20 kN
D C
3m
1m
My
max
30
max
Iz
10103 158103 6010108
26.3MPa
max
t
40MPa
前情回顾：弯曲变形的度量 积分法
§ 5 . 4 用叠加法计算梁的弯曲变形
F q 例题1：叠加法求A截面的转角和C截面的挠度. 解：a)载荷分解如图 b)由梁的简单载
A
C
a
a
F
a
a
q
a
a
+
=
荷变形表(教材P112页)
查简单载荷引起的变形
FA
F L2 16 EI
Fa2
4 E I F L3
Fa3
y FC 4 8 E I 6 E I
§ 3 . 8 梁的强度计算
习题：铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力 [σt]= 40 MPa,许用压应力 [σc]=160 MPa。试按正应力强度条件校核
梁的强度。若载荷不变，但将T形横截面倒置，
材料力学试题
材料力学试题一、填空题1、利用叠加法求杆件组合变形的条件是：1.为 小变形 ；2.材料处于 线弹性范围 。
2、一直径为D 的实心轴，另一内外直径之比d 2/D 2=0.8的空心轴，两轴的长度、材料、扭矩和单位长度扭转角均分别相同，则空心轴与实心轴的重量比W 1/W 2= 2.13 。
3、表示交变应力情况的5个量值：σm 、σa 、r 及σmax 、σmin ，其中只有 2 个是独立的。
7、长度L 的杆件受到轴力为N 的作用，杆件截面抗拉刚度为EA ，则杆件的变形能等于 EAL N U 22= 。
8、已知自由落体冲击问题的动荷系数K d ，对应静载荷问题的最大应力为σjmax ，则冲击问题的最大应力可以表示为 m ax j d K σ 。
9、影响构件持久极限的主要因素是表面质量，应力集中，构件尺寸。
10、图示木榫联接。
横截面为正方形，边长为a ，联接处长度为2t 。
则木榫联接处受剪切面的面积等于 at 。
二、选择题1、应用拉压正应力公式AN =σ的条件是（ B ）。
（A ）应力小于比例极限； （B ）外力的合力沿杆轴线；（C ）应力小于弹性极限； （D ）应力小于屈服极限。
2、阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ）。
（A ）扭矩最大截面； （B ）直径最小的截面；（C ）单位长度扭转角最大的截面； （D ）不能确定。
3、空心圆轴的外径为D ，内径为d ，α= d / D 。
其抗扭截面系数为（ D ）。
（A ）()α-π=1163D W P ； （B ）()23116α-π=D W P ； （C ）()33116α-π=D W P ； （D ）()43116α-π=D W P 。
4、梁在集中力作用的截面处，它的内力图为（ B ）。
(A ) Q 图有突变， M 图光滑连续； (B ) Q 图有突变，M 图有转折；(C ) M 图有突变，Q 图光滑连续； (D ) M 图有突变，Q 图有转折。
5、梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为（ C ）。
材料力学公式大全
材料力学公式大全一、轴向拉伸与压缩。
1. 内力 - 轴力（N）- 截面法：N = ∑ F_外（外力沿杆件轴线方向的代数和）2. 应力 - 正应力（σ）- σ=(N)/(A)，其中A为杆件的横截面面积。
3. 变形 - 轴向变形（Δ l）- 胡克定律：Δ l=(NL)/(EA)，其中L为杆件的原长，E为材料的弹性模量。
4. 应变 - 线应变（varepsilon）- varepsilon=(Δ l)/(l)二、剪切。
1. 内力 - 剪力（V）- 截面法：V=∑ F_外（垂直于杆件轴线方向外力的代数和）2. 应力 - 切应力（τ）- τ=(V)/(A)（A为剪切面面积）3. 剪切胡克定律。
- τ = Gγ，其中G为材料的切变模量，γ为切应变。
三、扭转。
1. 内力 - 扭矩（T）- 截面法：T=∑ M_外（外力偶矩的代数和）2. 应力 - 切应力（τ）- 对于圆轴扭转：τ=(Tρ)/(I_p)，在圆轴表面ρ = R时，τ_max=(TR)/(I_p)，其中R为圆轴半径，I_p=(π D^4)/(32)（对于实心圆轴，D为直径），I_p=(π(D^4 - d^4))/(32)（对于空心圆轴，d为内径）。
3. 变形 - 扭转角（φ）- φ=(TL)/(GI_p)（单位为弧度）四、弯曲内力。
1. 剪力（V）和弯矩（M）- 截面法：V=∑ F_外（垂直于梁轴线方向外力的代数和），M=∑ M_外（外力对所求截面形心的力矩代数和）- 剪力图和弯矩图的绘制规则：- 无荷载段：V为常数，M为一次函数（斜直线）。
- 均布荷载段：V为一次函数（斜直线），M为二次函数（抛物线）。
- 集中力作用处：V图有突变（突变值等于集中力大小），M图有折角。
- 集中力偶作用处：V图无变化，M图有突变（突变值等于集中力偶大小）。
五、弯曲应力。
1. 正应力（σ）- 对于梁的纯弯曲：σ=(My)/(I_z)，其中y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对中性轴z的惯性矩。
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PaL 3EI
a
[例8-4] 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
wC
5q(2a)4
384 EI
Pa(2a)2 16 EI
0
P 5 qa 6
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解: qa 2
B
2 2a qa (2a)2
3EI
16EI
qa3 顺时针
12 EI
C
B
qa 3 6EI
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
例题 5-7
解:一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横 截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸， 再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件 进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条 件不满足，应适当增加横截面尺寸。
而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，
因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为
受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简
支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得
A2
B2
q / 2l / 23
24EI
ql 3 384EI
例题 5-4
按叠加原理得
wC
wC 1
wC 2
5ql 4 768EI
5q / 2l4
384EI
5ql4 768EI
A1
q / 2l 3
24EI
ql 3 48EI
B1
q / 2l 3
24EI
ql 3 48EI
例题 5-4
在集度为q/2的反对称均布
B2 荷载作用下，由于挠曲线也是
C
A2
与跨中截面反对称的，故有
wC 2 0
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，
§8-3 用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所 引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算 几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形， 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然 后叠加。
简支梁BC，由q产生的Bq 、wDq(图d)，由MB产生的 BM 、wDM (图e)。可查有关式，将它们分别叠加后 可得 B、wD，它们也是外伸梁的 B和wD。
例题 5-5
B
Bq
BM
q2a 3
24EI
qa 2 2a
3EI
1 qa3 3 EI
wD
wDq
wDM
5 q2a4
384 EI
qa 2 2a 2
0 5ql4 768EI
A
A1
A2
ql 3 48EI
ql 3 384EI
3ql 3 128EI
B
B1
B2
ql 3 48EI
ql 3 384EI
7ql 3 384EI
例题 5-5
试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角
B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知
EI为常量。
例题 5-5
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL4 384EI
A
qL3 24EI
B
qL3 24EI
+
PL3 48EI
PL2
16EI PL2
16EI
+
ML2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
C
刚化
P
EI=
C
θc1
fc1
pa3 3EI
fc1
c1
pa2 2EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B2
θB2
P Pa
c
Pa 2 2EI
PaL 3EI
fc fc1 fc2
fc
pa3 3EI
解: 利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图
a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)
所组成。
FS B
2qa
和弯矩
M B
1 2qa2 qa2应当作为外
2
力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，
它们的指向和转向如图b及图c所示。
例题 5-5
图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况 与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处 的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。
16EI
1 qa4 24 EI
()
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度 w1=|B|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2
上去,才是原外伸梁的A端挠度wA wA w1 w2
1 3
qa3 EI
பைடு நூலகம் 解：
三. 梁的刚度条件 刚度条件：wmax [ w];
ll
max [ ]
机械：1/5000~1/10000, 土木：1/250~1/1000 机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构
件正常工作时的要求。
[例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
P
解：由刚度条件
wmax
Pl 3 48 EI
[w]
l 500
得
P
48EI 500l 2
7.11 kN
所以 [ P] 7.11 kN
max
M max Wz
Pl 4Wz
60MPa [ ]
所以满足强度条件。
例题 5-7
图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强
度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知[]=170
qa 3 4 EI
顺时针
wC
B
a qa4 8EI
5qa4 24 EI
[例8-6]求图示梁B、D 两处的挠度 wB、 wD 。
解：
q(2a)4 qa(2a)3 14qa4
wB 8EI
3EI
3EI
wD
wB 2
2qa(2a)3 48EI
8qa 4 3EI
[例8-7]求图示梁C点的挠度 wC。
a
2qa
8EI
4
7 qa4 12 EI
逐段刚化法：
变形后：AB AB` BC B`C`
变形后AB部分为曲线 BC部分为直线。
C点的位移为：wc
wc wB wc
wB
B
L 2
例：求外伸梁C点的位移。
P
A
B
C
L
a
将梁各部分分别 引起的位移叠加
解： 1）BC部分引起的位移fc1、 θc1
P
A
B
挠度 wC 和两端截面的转角A 及 B。已知EI为
常量。
例题 5-4
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
例题 5-4
C
A1 wC
在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 B1 挠度和转角的公式，得
wC1