18版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系学案苏教版必修2
高中数学2.2.3圆与圆的位置关系教案苏教版必修2
223 圆与圆的位置关系教学目标：1 •理解圆与圆的位置关系；2 •利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距；3 •会用圆心距与两圆半径之间的大小关系判断两圆的位置关系.教材分析及教材内容的定位：本节教材是本单元的最后一节，从知识结构来看，它是直线与圆位置关系的延续，从解决问题的思想方法来看，它反映了事物内部的量变与质变. 通过这些对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在几何教学中都占有重要的地位.教学重点：两圆位置关系的判定.教学难点：通过两圆方程联立方程组的解来判断圆与圆的位置关系.教学方法：导学点拨法、电脑、投影.教学过程：一、问题情境1. 情境：古希腊哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你也有不懂的地方吗？”芝诺风趣的打了一个比方：“如果有小圆代表你学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一些，但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多”请你谈谈其中的道理；2. 问题1:直线与圆的位置关系的几何特征是通过公共点来刻化的，请同学们猜想一下：圆与圆的位置关系按公共点分类能划分为哪几类？问题2:圆与圆的位置关系有几种情况?问题3:(师指出圆与圆的五种位置关系的名称之后提问)你能给这五种位置关系分别下一个准确的定义吗？二、学生活动1. 回顾知识点互相交流；2. 在教师引导下，阅读教科书；3•禾U用类比方法，总结出判定圆与圆的位置关系的方法.4•学生动手在同一个直角坐标系中画出两个圆，观察并思考用数学语言发表自己的解题方法5•在教师的引导下总结判定两圆位置关系的方法一代数法与几何法三、建构数学1•弓I导学生自己总结给出判定圆与圆位置关系的步骤；2. 圆与圆之间有_ ,_____ , , ,五种位置关系.3. 判断圆与圆的位置关系有两种方法：(1)几何方法：2 2 2 2 2 2两圆(x aj (y bi) r i(口0)与(x a?) (y b?) D(D 0)圆心距d =d r i b两圆d r i b两圆r i r2d r i r2两圆d r i D两圆0 d »r2两圆d 0时两圆为___________________________________ .2 2x y D i x E i y 0(2)代数方法：方程组x2y2D2x E2y F20有两组不同实数解__________________________________ ；有两组相同实数解__________________________________ ；无实数解__________________________________________4. 两圆的公切线条数.当两圆内切时有 _______ 条公切线；当两圆外切时有_____________ 条公切线；相交时有________ 条公切线；相离时有_________ 条公切线；内含时_________ 公切线.四、数学运用1. 例题.例1判断下列两圆的位置关系，并说明它们有几条公切线.(1)(x 2)2 (y 2)2 1 与(x 2)2(y 5)2 16(2) x2y26x 7 0与x2y26y 27 0例2求过点A(0,6)且与圆C ：x2y210x 10y 0切于原点的圆的方程.例 3 已知圆C：x2+ y2+ 4x + y+ 1 = 0 和圆0： x2+ y2+ 2x + 2y+ 1 = 0.(1)判断两圆的位置关系，若两圆相交，求公共弦AB所在直线的方程及公共弦的长；(2)试求两圆的公切线方程.2•练习.2 2 2 2(1)两圆x + y + 4x—4y + 7= 0和x + y - 4x —10y + 13= 0的公切线的条数为 .(2)若半径为1的动圆与圆x + y = 4相切，则动圆圆心的坐标满足的关系是_ .(3)圆x2+ y2= 1上动点A到圆(x —3)2+ (y —4) 2= 1上动点B间距离的最大值和最小值分另寸为_______ .(4)若两圆x2+ y2= 9与x2+ y2—8x + 6y —8a—25 = 0只有惟一的一个公共点，求实数a的值.(5)求与圆C： x2+ y2—4x —2y — 4 = 0相外切，与直线y= 0相切且半径为4的圆方程.(6)已知O C1：x2+ y2+ 6x — 4 = 0 和O C2: x2+ y2+ 6y—28 = 0 相交于A, B两点.求圆心在直线x—y—4= 0上，且经过A, B两点的圆C方程.五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1. 圆与圆的五种位置关系；2. 圆与圆的位置关系的判定：(1)几何方法；(2)代数方法；3. 一个思想：数形结合思想方法.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2直线与圆的位置关系学案苏教版必修2201707221102
2．2.2直线与圆的位置关系1．掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法．(重点)2．能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关系，解有关弦长的问题．(重点)3．理解一元二次方程根的判定及根与系数关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的关系问题．(难点)[基础·初探]教材整理直线与圆的位置关系及判断方法阅读教材P112～P113例1上面的部分，完成下列问题．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个几何法：设圆心到直线的距离d＝判d＜r d＝r d＞r定|Aa＋Bb＋C|A2＋B2方代数法：由Error!消元法得到一元二次方程，判Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0别式为Δ图形1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(√)(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．(√)2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．1【解析】由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与a2＋b2圆相交．【答案】相交3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为________．|m|【解析】由直线与圆的距离d＝＝m，解得m＝2.2【答案】 24．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2 3，则圆C的面积为________．【解析】圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2.|AB|＝2 3，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的|0－a＋2a| 2 3 |0－a＋2a|距离d＝ 2 ，由勾股定理得(2 )2＋( 2 )2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.【答案】4π[小组合作型]直线与圆的位置关系的判断已知直线y＝2x＋1和圆x2＋y2＝4，试判断直线和圆的位置关系．【精彩点拨】法一：利用代数法；法二：利用几何法；法三：利用直线方程(此题直线过定点(0,1))．【自主解答】法一：∵Error!∴5x2＋4x－3＝0.判别式Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0.∴直线与圆相交．法二：∵x2＋y2＝4，∴圆心为(0,0)，半径r＝2.又∵y＝2x＋1，|2 × 0－0＋1| 5∴圆心到直线的距离d＝＝<2＝r.22＋12 5∴直线与圆相交．法三：由题意知，直线过定点(0,1)．而02＋12＝1<4.所以点(0,1)在圆内，从而直线与圆相交．直线与圆位置关系的判定方法[再练一题]1．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【解】法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，4(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；34(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；34(3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．3法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心 C (2,1)到直线 mx －y －m －1＝0的距离 |2m －1－m －1| |m －2| d ＝ ＝ . 1＋m 2 1＋m 24(1)当 d <2，即 m >0或 m <－ 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；3 4(2)当 d ＝2，即 m ＝0或 m ＝－ 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；3 4(3)当 d >2，即－ <m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．3直线与圆的相交弦问题(1)已知圆 x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线 x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为 4，则实数 a的值是__________．(2)已知过点(2,5)的直线 l 被圆 C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为 4，则直线 l 的方程 为__________.【导学号：41292106】【精彩点拨】 (1)将圆的一般方程化为标准方程，利用弦心距、半弦长和半径构成直角 三角形求解．(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜率的 方程求解，验证斜率不存在的情况．【自主解答】 (1)将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－ |－1＋1＋2|1,1)，半径 r ＝ 2－a ，圆心到直线 x ＋y ＋2＝0的距离 d ＝ ＝ 2，故 r 2－d 2＝4，2 即 2－a －2＝4，所以 a ＝－4.(2)当直线斜率不存在时，x －2＝0满足题意； 当直线斜率存在时，设方程为 y －5＝k (x －2)， 即 kx －y －2k ＋5＝0.圆 C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线 l 被圆 C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝ 0截得的弦长为 4，|k －2－2k ＋5|4 所以 2 5－(k 2＋1)2＝4，所以 k ＝ ，所以直线 l 的方程为 4x －3y ＋7＝0.3综上所述，直线 l 的方程为 x －2＝0或 4x －3y ＋7＝0. 【答案】 (1)－4 (2)x －2＝0或 4x －3y ＋7＝04[再练一题]2．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________．【解析】最短的弦为过点(3,1)且与圆心(2,2)和点(3,1)连线的垂直的弦，弦长l＝2 4－3－22－1－22＝2 2.【答案】 2 2[探究共研型]圆的切线问题探究1求过点P(3,4)的圆C：x2＋y2＝25的切线方程．【提示】∵点P(3,4)在圆上，∴切点为P，设切线斜率为k.3－0 3则k·k PC＝－1，∴k＝－＝－.4－0 43切线方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0.45(－5，2)的圆x2＋y2＝25的切线方程．探究2求过点Q5(2 )2>25，∴点Q在圆外．【提示】∵(－5)2＋若所求直线斜率存在，设切线斜率为k，5 则切线方程为y－＝k[x－(－5)]，25 即kx－y＋5k＋＝0.2因圆心C(0,0)到切线的距离等于半径5，5|5k＋2|3所以＝5，∴k＝.k2＋1 43 15 5故所求切线方程为x－y＋＋＝0，4 4 2即3x－4y＋25＝0.若所求直线斜率不存在．则直线方程为x＝－5，圆心C(0,0)到x＝－5的距离为5，符合题意．5(1)过点A(3,2)，求圆的切线方程；(2)过点B(4，－3)，求圆的切线方程．【精彩点拨】(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．(2)直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．【自主解答】(1)∵(3－3)2＋(2－1)2＝1，∴A在圆上．由题意知圆心C(3,1)，直线CA无斜率，∴切线斜率为0，∴所求切线方程为y＝2.(2)∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，∴点B在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，|3k－1－3－4k| 15所以＝1，解得k＝－.k2＋1 815 所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，8即15x＋8y－36＝0；②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.过一点的圆的切线方程的求法1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．对于填空题可以直接利用以下两个结论：(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)当点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上时，切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.2．若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．[再练一题]23．已知圆的方程为x2＋y2＝13，它与斜率为－的直线相切，求该切线的方程．32 【解】设切线方程为y＝－x＋b，即2x＋3y－3b＝0，3|2 × 0＋3 × 0－3b|依题意得：＝13，22＋3213解得b＝±.3∴切线方程为2x＋3y＋13＝0或2x＋3y－13＝0.1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是________．|3 × 1－4 × 1＋12| 11【解析】圆心(1，－1)到直线的距离为＝<3，∴直线与圆相交．5 5【答案】相交2．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________．【解析】点P到原点O的距离为PO＝10，∵r＝3，∴切线长为10－9＝1.【答案】 13．已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.【解析】如图所示，∵直线AB的方程为x－3y＋6＝0，3∴k AB＝，∴∠BPD＝30°，3从而∠BDP＝60°.在Rt△BOD中，∵|OB|＝2 3，∴|OD|＝2.取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，∴OH为直角梯形ABDC的中位线，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.【答案】 44．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________.【导学号：41292107】【解析】令y＝0，得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，即圆心C(－1,0)．|－1＋0＋3| 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝2，2所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.【答案】(x＋1)2＋y2＝25．已知圆x2＋y2＝8，定点P(4,0)，问过P点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？【解】设圆心到直线的距离为d，过P点的直线斜率为k，由题意，知斜率k存在，则其方程为y＝k(x－4)，|k·0－0－4k| 4|k|则d＝＝.1＋k2 1＋k24|k|(1)d＝r，即＝8，∴k2＝1，∴k＝±1时，直线与圆相切．1＋k24|k|(2)d<r，即< 8，∴k2<1，即－1<k<1时，直线与圆相交．1＋k24|k|(3)d>r，即> 8，∴k2>1，即k<－1或k>1时，直线与圆相离．1＋k2。
高中数学 第二章平面解析几何 圆与圆的位置关系教案 苏教版必修2
高中数学 第二章平面解析几何 圆与圆的位置关系教案 苏教版必修2第二章 平面解析几何初步第二节 圆与方程第15课时 圆与圆的位置关系【学习导航】知识网络学习要求1．掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；2．了解用代数法研究圆的关系的优点； 3．了解算法思想．【课堂互动】自学评价1．圆与圆之间有外离，外切，相交， 内切，内含五种位置关系．2.设两圆的半径分别为12,r r ，圆心距为d ， 当12d r r >+时，两圆外离， 当12d r r =+时，两圆外切，当1212||r r d r r -<<+时，两圆相交， 当12d r r =-时，两圆内切， 当12d r r <-时，两圆内含．3.思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精典范例】例1：判断下列两圆的位置关系：2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与222226706270x y x x y y ++-=++-=（）与 【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距22[2(2)](52) 5.d =--+-=因为 12d r r =+，所以两圆外切．（2）将两圆的方程化为标准方程，得2222(3)16,(3)36x y x y ++=++=． 故两圆的半径分别为1246r r ==和，两圆的圆心距22(03)(30)32d =-+-= ．因为1212||r r d r r -<<+，所以两圆相交．点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断 d 与12r r +的大小，有时还需要判断d 与12r r -的关系．例2：求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程． 分析：如图，所求圆经过原点和(0,6)A ，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程． 【解】将圆C 化为标准方程，得22(5)(5)50x y +++=，则圆心为(5,5)C --，半径为52．所以经过此圆心和原点的直线方程为0x y -=． 设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=． 由题意知，(0,0),(0,6)O A 在此圆上，且圆心(,)M a b 在直线0x y -=上，则有222222(0)(0),3,(0)(6),3,03 2.a b r a a b r b a b r ⎧-+-=⎧=⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩于是所求圆的方程是22(3)(3)18x y -+-=．点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线3y =上，又圆心在直线0x y -=，从而圆心坐标为(3,3)，32r =，所以所求圆的方程为22(3)(3)18x y -+-=．追踪训练一听课随笔圆与圆的位置关系 外切 相交 内切 外离 内含1.判断下列两个圆的位置关系：2222(1)(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与； 2222(2)2232030x y x y x y x y +-+=+--=与3． 答案：（1）内切，（2）相交．2. 若圆22x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交，求实数m 的取值范围．答案：1121m <<． 【选修延伸】一、两圆公共弦长及公共弦所在直线方程 例3: 已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去2x 项、2y 项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．【解】设两圆交点为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A B 、两点坐标满足方程组22222610,(1)42110,(2)x y x y x y x y ⎧++-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩，(1)(2)-得3460x y -+=．因为，A B 、两点坐标都满足此方程， 所以，3460x y -+=即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆1C 的圆心(1,3)-，半径3r =． 又1C 到直线的距离为95d ==．所以，245AB ===．即两圆的公共弦长为245．点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要 注重分析．例5：求过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程．分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径 【解】（法一）可求得两圆连心线所在直线的方程为30x y ++=． 由40,30,x y x y --=⎧⎨++=⎩得圆心17(,)22-．利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长d =所以，圆半径22217|()4|89()22d r ⎛⎫--+ ⎪=+=． 所以，所求圆方程为221789()()222x y -++=，即227320x y x y +-+-=（法二）设所求圆的方程为222264(628)0x y x x y y λ++-+++-=即22664280111x y x y λλλλλ++++-=+++．故此圆的圆心为33(,)11λλλ--++，它在直线40x y --=上，所以334011λλλ--+-=++，所以7λ=-．所以所求圆方程为227320x y x y +-+-=点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程．思维点拔：解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质．追踪训练二1．一个圆经过圆221:890C x y x +--=和圆222:8150C x y y +-+=的两个交点，且圆心在直线210x y --=上，求该圆的方程．答案：22101412033x y x y +---=．2．已知一个圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程． 答案：221364()()555x y ++-=．听课随笔。
18版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系学案苏教版必修21707221101
2.2.3 圆与圆的位置关系1．能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．(重点)2．当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．(易错点)3．了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．(难点)[基础·初探]教材整理 圆与圆的位置关系 阅读教材P 115，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交，Δ＝0⇒内切或外切，Δ<0⇒外离或内含.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．(√) (2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(×) (4)若两圆有公共点，则|r 1－r 2|≤d ≤r 1＋r 2.(√)2．两圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0及x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的公共弦所在的直线方程为______________．【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0， ①x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0， ②①－②得：x ＋y ＋2＝0. 【答案】 x ＋y ＋2＝03．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.【答案】 (－1,0)和(0，－1)[小组合作型]两圆位置关系的判定已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0.(1)m ＝1时，圆C 1与圆C 2有什么位置关系？ (2)是否存在m 使得圆C 1与圆C 2内含？【精彩点拨】 (1)参数m 的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d 与r 1＋r 2和|r 1－r 2|的大小关系．(2)假设存在m 使得圆C 1与圆C 2内含，则圆心距d <|r 1－r 2|.【自主解答】 (1)∵m ＝1，∴两圆的方程分别可化为：C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. C 2：(x ＋1)2＋y 2＝1.两圆的圆心距d ＝ 1＋1 2＋ －2 2＝22， 又∵r 1＋r 2＝3＋1＝4，r 1－r 2＝3－1＝2， ∴r 1－r 2<d <r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相交． (2)假设存在m 使得圆C 1与圆C 2内含， 则 m ＋1 2＋ －2 2<3－1， 即(m ＋1)2<0，显然不等式无解．故不存在m 使得圆C 1与圆C 2内含．判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．[再练一题]1．已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax －2y ＋a 2－15＝0，C 2：x 2＋y 2－4ax －2y ＋4a 2＝0(a >0)．试求a 为何值时两圆C 1，C 2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含． 【解】 对圆C 1，C 2的方程，经配方后可得：C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16， C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，r 1＝4，C 2(2a,1)，r 2＝1， ∴|C 1C 2|＝ a －2a 2＋ 1－1 2＝a ， (1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切， 当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切． (2)当3<|C 1C 2|<5即3<a <5，时，两圆相交． (3)当|C 1C 2|>5，即a >5时， 两圆外离． (4)当|C 1C 2|<3，即0<a <3时，两圆内含．两圆相交的问题已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)求公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的长．【精彩点拨】【自主解答】 (1)设两圆的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将点A 的坐标代入两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21－2x 1＋10y 1－24＝0， ①x 21＋y 21＋2x 1＋2y 1－8＝0， ②①－②，得x 1－2y 1＋4＝0，故点A 在直线x －2y ＋4＝0上．同理，点B 也在直线x －2y ＋4＝0上，即点A ，B 均在直线x －2y ＋4＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB 的方程为x －2y ＋4＝0，即公共弦所在直线的方程为x－2y ＋4＝0.(2)圆C 1的方程可化为(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，所以C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.C 1(1，－5)到公共弦的距离d ＝|1－2× －5 ＋4|12＋ －22＝3 5. 设公共弦的长为l ，则l ＝2r 21－d 2＝2 52 2－ 35 2＝2 5.1．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．2．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．[再练一题]2．求圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.即两圆的交点坐标为A (－1，－1)，B (3,3)．设所求圆的圆心坐标C 为(a ，a －4)，由题意可知CA ＝CB ， 即 a ＋1 2＋ a －3 2＝ a －3 2＋ a －7 2， 解得a ＝3，∴C (3，－1)．∴CA ＝ 3＋1 2＋ －1＋1 2＝4， 所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.[探究共研型]两圆相切的问题探究1 若已知圆C 1：x 2＋y 2＝a 2(a >0)和C 2：(x －2)2＋y 2＝1，那么a 取何值时C 1与C 2相外切？【提示】 由|C 1C 2|＝a ＋1，得a ＋1＝2，∴a ＝1.探究2 若将探究1中，C 2的方程改为(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)，那么a 与r 满足什么条件时两圆相切？【提示】 若两圆外切，则a ＋r ＝|C 1C 2|＝2，即a ＋r ＝2时外切．若两圆内切，则|r －a |＝|C 1C 2|＝2.∴r －a ＝2或a －r ＝2.已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明：圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的公切线的方程； (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．【精彩点拨】 (1)证明|C 1C 2|＝r 1＋r 2，两圆方程相减得公切线方程． (2)由圆系方程设圆的方程，将已知点代入．【自主解答】 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式， 得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13； 圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13，因为|C 1C 2|＝ 4＋2 2＋ －2－2 2＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.两圆相切有如下性质：(1)设两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔O 1O 2＝|r 1－r 2|，外切⇔O 1O 2＝r 1＋r 2.(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．[再练一题]3．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．【解】 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 圆心C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －1 2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝⎛⎭⎪⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.1．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________．【解析】 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 【答案】 相交2．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＋2y ＝8外离，则实数m 的取值范围是________．【解析】 圆C 1可化为(x －m )2＋y 2＝1，圆C 2可化为x 2＋(y ＋1)2＝9，所以圆心C 1(m,0)，C 2(0，－1)，半径r 1＝1，r 2＝3，因为两圆外离，所以应有C 1C 2>r 1＋r 2＝1＋3＝4，即m －0 2＋ 0＋1 2>4，解得m >15或m <－15. 【答案】 (－∞，－15)∪(15，＋∞)3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________． 【解析】 设圆心坐标为(a ，b )，由题意知b ＝6，a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.【答案】 (x ±4)2＋(y －6)2＝364．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线方程为________.【解析】直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.【答案】x＋y－1＝05．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含．【解】将圆C1，圆C2化为标准形式得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.则C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2，C1C2＝ m＋1 2＋ m＋2 2＝2m2＋6m＋5.(1)当圆C1与圆C2外切时，有r1＋r2＝C1C2，则2m2＋6m＋5＝5，解得m＝－5或2，即当m＝－5或2时，两圆外切．(2)当圆C1与圆C2内含时，C1C2<r1－r2，∴2m2＋6m＋5<1，即m2＋3m＋2<0.∵f(m)＝m2＋3m＋2的图象与横坐标轴的交点是(－2,0)，(－1,0)，∴由m2＋3m＋2<0，可得－2<m<－1，即当－2<m<－1时，两圆内含．。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第一课时 直线与圆的位置关系
位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系高效测评北师大版必修2（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题（每小题5分,共20分)1．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不确定解析: 圆C：x2＋（y－1）2＝5的圆心C为（0，1），半径为错误!.由圆心（0,1）到直线2x－y＋3＝0的距离：d＝错误!＝错误!错误!＜错误!.∴直线和圆相交．答案：A2．若圆心在x轴上、半径为错误!的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C 的方程是（）A．（x－5)2＋y2＝5 B．(x＋错误!）2＋y2＝5C．（x－5）2＋y2＝5 D．（x＋5)2＋y2＝5解析：设圆心为(x0，0)，则由题意知圆心到直线x＋2y＝0的距离为错误!，故有错误!＝错误!，∴|x0｜＝5.又圆心在y轴左侧，故x0＝－5.∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5，选D。
答案: D3．若点P（2，－1）为圆C：（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( ) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0解析: 圆心是点C(1,0)，由CP⊥AB,得k AB＝1，所以直线AB的方程为x－y－3＝0,故选D。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 圆与圆的位置关系学案 苏教版必修2
2.2.3 圆与圆的位置关系学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.知识点 两圆位置关系的判定思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？思考2 已知两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？梳理 (1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒ ，Δ＝0⇒ ，Δ<0⇒ .类型一 两圆的位置关系命题角度1 两圆位置关系的判断例1 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是________.反思与感悟判断圆与圆的位置关系的一般步骤(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要).(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系.(5)根据大小关系确定位置关系.跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线有________条.命题角度2 已知两圆的位置关系求参数例2 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；(2)相交；(3)外离.反思与感悟(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径.②计算两圆圆心的距离d.③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合.(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系.跟踪训练2 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为________.类型二两圆相切的问题例3 求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程.反思与感悟 两圆相切有如下性质(1)设两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则两圆⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔O 1O 2＝|r 1－r 2|，外切⇔O 1O 2＝r 1＋r 2.(2)当两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(当两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算.跟踪训练3 求和圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程.类型三 两圆相交的问题例4 求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程.反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)，然后用待定系数法求出λ即可.跟踪训练4 已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)求两圆公共弦的长；(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程.1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是________.2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有________个.3.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是______________.4.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________________________________________________________________.5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝________.1.判断两圆的位置关系的方法(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系确定.2.当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.答案精析问题导学知识点思考1 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．几何方法判断圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．思考2 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．梳理(1)> ＝＝< (2)C1与C2相交C1与C2外切或内切C1与C2外离或内含题型探究例1 相交跟踪训练1 2例2 解将两圆方程写成标准方程，则C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.(2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2.(3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆外离，此时a＞2或a＜－5.跟踪训练2 ±3或±5例3 解圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－43，r ＝6.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 跟踪训练3 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，∴a －2＋b ＋2＝1.①(1)若两圆外切，则有a －2＋b ＋2＝1＋2＝3，②由①②解得a ＝5，b ＝－1，∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1. (2)若两圆内切，则有a －2＋b ＋2＝2－1＝1，③由①③解得a ＝3，b ＝－1，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 例4 解 设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0， 所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．又圆心在直线x －y －4＝0上， 所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0. 跟踪训练4 解 (1)两圆方程相减得x －2y ＋4＝0，此即公共弦所在的直线方程．又圆C 2的圆心C 2(－1，－1)到公共弦的距离d ＝|－1＋2＋4|5＝5，且d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 22(l 为公共弦长)，∴l ＝2r 22－d 2＝25， 即公共弦长为2 5.(2)方法一 ∵圆心C 1(1，－5)， 圆心C 2(－1，－1)，∴连心线C 1C 2的方程为2x ＋y ＋3＝0， 它与公共弦的交点(－2,1)即为所求圆的圆心． 又所求圆的半径为l2＝5，∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.方法二 ∵所求圆经过两圆交点，设圆的方程为(x 2＋y 2－2x ＋10y －24)＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(2λ－2)x ＋(2λ＋10)y －8λ－24＝0，① 其圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－λ1＋λ，－5－λ1＋λ.∵圆心在公共弦x －2y ＋4＝0上， ∴1－λ1＋λ＋10＋2λ1＋λ＋4＝0， 解得λ＝－3.代入①并整理，得所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y ＝0. 当堂训练1．相交 2.2 3.3x －y －9＝04．(x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 5．1。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.3 圆与圆的位置关系》00
圆与圆的位置关系
阜宁县第一高级中学张文
学习目标：1了解圆与圆的位置关系。
2了解判断圆与圆的位置关系的方法。
3掌握圆与圆位置关系的应用。
教学重点：圆与圆位置关系的判断方法。
教学过程：
一，回顾
1.求圆224
+=的过点（1，3）的切线方程。
x y
2.求过原点且与圆22
(1)(2)1
-+-=相切的直线方程。
x y
注意：切线斜率不存在的情况
上节课我们学习的直线与圆的位置关系，那么圆与圆又有哪些位置关系呢？
二．新课探究
判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系
两圆的位置关系：
外离外切相交内切内含
d＞Rr d=Rr|R-r|＜d＜Rr d=|R-r|d＜|R-r|
（1）＋22＋－22＝1与－22＋－52＝16；
（2）2＋2＋6－7＝0与2＋2＋6－27＝0．
1分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系
（1）2222(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与
2若圆 22x y m += 与圆 2268110x y x y ++--= 相交，求实数m 的取值范围。
3已知圆 与圆 没有公共点，求正数a 的取值范围
4．两圆2＋2＋4－4＋7＝0和2＋2－4－10＋13＝0的公切线的条数为 ．
三．小结
（1）两圆的位置关系
（2）已知位置关系求参数范围
（3）注意其中措辞：“相切”，“没有公共点” 22()1x a y -+=2225x y +=。
2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.2 直线与圆的位置关系学案 苏教版必修2
2.2.2 直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.知识点 直线与圆的三种位置关系及判定思考 用代数法如何根据方程判定直线与圆的位置关系？ 梳理类型一 直线与圆的位置关系的判断例1 求实数m 的取值范围，使直线x －my ＋3＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离.反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________.类型二 切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程. 引申探究若本例的条件不变，求其切线长.反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目. (1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k ，则由垂直关系知，切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.跟踪训练 2 若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 类型三 弦长问题例3 (1)过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________.(2)圆心为C (2，－1)，截直线y ＝x －1所得的弦长为22的圆的方程为___________. (3)直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交于A 、B 两点，截得的弦长为45，求直线l 的方程.反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22求解.(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在).(3)几何法：如图，直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有(AB2)2＋d 2＝r 2，即AB ＝2r 2－d 2.通常采用几何法较为简便.跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝8. (1)证明：直线l 与圆相交；(2)当直线l 被圆截得的弦长最短时，求直线l 的方程，并求出弦长.1.直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是________.2.若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线方程为________________. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则AB ＝________.5.直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，且MN ≥23，则k 的取值范围是________.1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.2.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在.3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.答案精析问题导学 知识点思考 联立直线与圆的方程，根据方程组解的个数判定直线与圆的位置关系．当方程组无解时，相离；当方程组有一解时，相切；当方程组有两解时，相交． 梳理 > ＝ < 无解 只有一解 题型探究例1 解 圆的方程化为标准形式为(x －3)2＋y 2＝4， 故圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝6m 2＋1，圆的半径为r ＝2.①若相交，则d ＜r ，即6m 2＋1＜2，所以m ＜－22或m ＞22； ②若相切，则d ＝r ，即6m 2＋1＝2，所以m ＝±22； ③若相离，则d ＞r ，即6m 2＋1＞2，所以－22＜m ＜2 2. 跟踪训练1 [0°，60°]例2 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158.所以切线方程为－158x －y ＋152－3＝0，即15x ＋8y －36＝0. ②若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4. 引申探究解 因为圆心C 的坐标为(3,1)， 设切点为B ，则△ABC 为直角三角形，AC ＝－2＋＋2＝17，又BC ＝r ＝1， 则AB ＝AC 2－BC 2＝172－12＝4，所以切线长为4. 跟踪训练2 x ＋2y －5＝0例3 (1)30 (2)(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 (3)解 若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意， ∴直线l 的斜率存在， 设其方程为y －5＝k (x －5)， 即kx －y ＋5(1－k )＝0.如图所示，OH 是圆心到直线l 的距离，OA 是圆的半径，AH 是弦长AB 的一半，在Rt△AHO 中，OA ＝5，AH ＝12AB＝12·45＝2 5. ∴OH ＝OA 2－AH 2＝5， ∴－kk 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝2.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.跟踪训练3 (1)证明 ∵l ：kx －y ＋k ＋2＝0，直线l 可化为y －2＝k (x ＋1)， ∴直线l 经过定点(－1,2)．又∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2)在圆C 内，∴直线l 与圆相交． (2)解 由(1)知，直线l 过定点P (－1,2)． 又圆C ：x 2＋y 2＝8的圆心为原点O ， ∴与OP 垂直的直线截得的弦长最短． ∵k OP ＝－2，∴k l ＝12，∴直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.设直线l 与圆交于A 、B 两点，OP ＝－2＋22＝5，∴AB ＝2r 2－OP 2＝28－5＝2 3.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0，弦长为2 3. 当堂训练1．相交 2.(－∞，0)∪(10，＋∞) 3．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 4．2 5.(－∞，0]。
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2.2.3 圆与圆的位置关系1．能根据两个圆的方程，判断两圆的位置关系．(重点)2．当两个圆有公共点时能求出它们的公共点，能运用两圆的位置关系解决有关问题．(易错点)3．了解两圆相交时公共弦所在直线的求法；了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是不是两圆的公切线．(难点)[基础·初探]教材整理 圆与圆的位置关系 阅读教材P 115，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交，Δ＝0⇒内切或外切，Δ<0⇒外离或内含.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两圆方程联立，若方程组有两个解，则两圆相交．(√) (2)若两个圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(×) (4)若两圆有公共点，则|r 1－r 2|≤d ≤r 1＋r 2.(√)2．两圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0及x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的公共弦所在的直线方程为______________．【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0， ①x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0， ②①－②得：x ＋y ＋2＝0. 【答案】 x ＋y ＋2＝03．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.【答案】 (－1,0)和(0，－1)[小组合作型]两圆位置关系的判定已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＝0.(1)m ＝1时，圆C 1与圆C 2有什么位置关系？ (2)是否存在m 使得圆C 1与圆C 2内含？【精彩点拨】 (1)参数m 的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d 与r 1＋r 2和|r 1－r 2|的大小关系．(2)假设存在m 使得圆C 1与圆C 2内含，则圆心距d <|r 1－r 2|.【自主解答】 (1)∵m ＝1，∴两圆的方程分别可化为：C 1：(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. C 2：(x ＋1)2＋y 2＝1.两圆的圆心距d ＝＋2＋－2＝22，又∵r 1＋r 2＝3＋1＝4，r 1－r 2＝3－1＝2， ∴r 1－r 2<d <r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相交． (2)假设存在m 使得圆C 1与圆C 2内含， 则m ＋2＋－2<3－1，即(m ＋1)2<0，显然不等式无解．故不存在m 使得圆C 1与圆C 2内含．判断圆与圆的位置关系时，通常用几何法，即转化为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关系．[再练一题]1．已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax －2y ＋a 2－15＝0，C 2：x 2＋y 2－4ax －2y ＋4a 2＝0(a >0)．试求a 为何值时两圆C 1，C 2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含． 【解】 对圆C 1，C 2的方程，经配方后可得：C 1：(x －a )2＋(y －1)2＝16， C 2：(x －2a )2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，r 1＝4，C 2(2a,1)，r 2＝1， ∴|C 1C 2|＝a －2a2＋－2＝a ，(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切， 当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切． (2)当3<|C 1C 2|<5即3<a <5，时，两圆相交． (3)当|C 1C 2|>5，即a >5时， 两圆外离． (4)当|C 1C 2|<3，即0<a <3时，两圆内含．两圆相交的问题已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)求公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的长．【精彩点拨】【自主解答】 (1)设两圆的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将点A 的坐标代入两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21－2x 1＋10y 1－24＝0， ①x 21＋y 21＋2x 1＋2y 1－8＝0， ②①－②，得x 1－2y 1＋4＝0，故点A 在直线x －2y ＋4＝0上．同理，点B 也在直线x －2y ＋4＝0上，即点A ，B 均在直线x －2y ＋4＝0上．因为经过两点有且只有一条直线，所以直线AB 的方程为x －2y ＋4＝0，即公共弦所在直线的方程为x－2y ＋4＝0.(2)圆C 1的方程可化为(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，所以C 1(1，－5)，半径r 1＝5 2.C 1(1，－5)到公共弦的距离d ＝|1－－＋4|12＋－2＝3 5. 设公共弦的长为l ， 则l ＝2r 21－d 2＝222－52＝2 5.1．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．2．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程；再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．[再练一题]2．求圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程.【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.即两圆的交点坐标为A (－1，－1)，B (3,3)．设所求圆的圆心坐标C 为(a ，a －4)，由题意可知CA ＝CB ， 即a ＋2＋a －2＝a －2＋a －2，解得a ＝3，∴C (3，－1)． ∴CA ＝＋2＋－1＋2＝4，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.[探究共研型]两圆相切的问题探究1 若已知圆C 1：x 2＋y 2＝a 2(a >0)和C 2：(x －2)2＋y 2＝1，那么a 取何值时C 1与C 2相外切？【提示】 由|C 1C 2|＝a ＋1，得a ＋1＝2，∴a ＝1.探究2 若将探究1中，C 2的方程改为(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)，那么a 与r 满足什么条件时两圆相切？【提示】 若两圆外切，则a ＋r ＝|C 1C 2|＝2，即a ＋r ＝2时外切．若两圆内切，则|r －a |＝|C 1C 2|＝2.∴r －a ＝2或a －r ＝2.已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明：圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的公切线的方程； (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．【精彩点拨】 (1)证明|C 1C 2|＝r 1＋r 2，两圆方程相减得公切线方程． (2)由圆系方程设圆的方程，将已知点代入．【自主解答】 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式， 得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13； 圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13，因为|C 1C 2|＝＋2＋－2－2＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，这就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.两圆相切有如下性质：(1)设两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔O 1O 2＝|r 1－r 2|，外切⇔O 1O 2＝r 1＋r 2.(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦)．在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．[再练一题]3．求与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线l ：x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．【解】 圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1， 圆心C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝⎛⎭⎪⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4.1．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________．【解析】 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 【答案】 相交2．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＋2y ＝8外离，则实数m 的取值范围是________．【解析】 圆C 1可化为(x －m )2＋y 2＝1，圆C 2可化为x 2＋(y ＋1)2＝9，所以圆心C 1(m,0)，C 2(0，－1)，半径r 1＝1，r 2＝3，因为两圆外离，所以应有C 1C 2>r 1＋r 2＝1＋3＝4，即m －2＋＋2>4，解得m >15或m <－15.【答案】 (－∞，－15)∪(15，＋∞)3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________． 【解析】 设圆心坐标为(a ，b )，由题意知b ＝6，a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.【答案】 (x ±4)2＋(y －6)2＝364．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线方程为________.【解析】直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.【答案】x＋y－1＝05．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含．【解】将圆C1，圆C2化为标准形式得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.则C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2，C1C2＝m＋2＋m＋2＝2m2＋6m＋5.(1)当圆C1与圆C2外切时，有r1＋r2＝C1C2，则2m2＋6m＋5＝5，解得m＝－5或2，即当m＝－5或2时，两圆外切．(2)当圆C1与圆C2内含时，C1C2<r1－r2，∴2m2＋6m＋5<1，即m2＋3m＋2<0.∵f(m)＝m2＋3m＋2的图象与横坐标轴的交点是(－2,0)，(－1,0)，∴由m2＋3m＋2<0，可得－2<m<－1，即当－2<m<－1时，两圆内含．。