4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)
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4.2.1 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
0 ������ ( ������������������������ ������ )������������ -������
=
0 -������
0 -������
������������������ ������������������-
������ ������ ������������ = ������ -1.
3
B.F(x)=x
1
3
C.F(x)=3 x +1
3 2
3
D.F(x)=3 x +c(c 为常数)
3
3
【解析】因为(x )'=3x ,所以 F(x)=x 不正确.
2
1 -1
������|������������等于( C ).
1
A. B. C. D.
-1 1 -1 0 -1 0
������ ������������ ������������������ ������������������ +
【解析】
������ ( 2������-1)������������=6,则 0
2
t=
������
2
3
.
������ ( 2������-1)������������ 0
= (������ -������) =t -t=6,解得
0
t=3(t=-2 舍去).
4
计算定积分:
1 3
1 2 ( ������ -1
微积分基本定理
导.学. 固. 思
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分.
导.学. 固. 思
1664年秋,牛顿开始研究微积分问题,他反复阅读笛卡儿《几何学》,对
推荐高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理课件北师大版选修2_2
k=0(舍去).故 k=1.
答案:1
1 2 3 4 56
5.求下列定积分:
(1)
4 0
|2x-6|dx;
π
(2)
2
0
cos
4xdx.
分析利用微积分基本定理解决,其中计算定积分
������ ������
f (x)dx
的关键是
找到满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x).
解(1)∵y=|2x-6|=
1 0
(������ + 2������)d������
=
1 2
������2
+
2������������
|10
=
1 2
+
2������,
则
a=
1 2
+
2������,
������
=
−
12.
所以 f(x)=x-1.
= π -π sin xdx+ π -π cos xdx
| | π
π
=(-cos x) + sin ������
-π
-π
=0+0=0.
答案:A
题型一 题型二 题型三
题型一 由微积分基本定理求定积分
【例 1】 计算下列定积分:
(1)
2 1
������
+
1 ������
dx;
(2)
3 1
(1+x+x2)dx.
������ ������
������(������)d������
=
������(������)
− ������(������). 定理中的式子称为牛顿
4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
复习回顾
＊ 定积分： f ( x )dx A
a b
＊ 定积分的性质： 性质1 性质2
性质3 性质4
1dx b a kf ( x )dx k f ( x)dx f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx b c b a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
0
cos xdx 的值就是区间 [0, ]
其中 x 轴上方的面积为正值，x 轴下方面积为负值。 y
o
x
y cosx
返回
分析： 被积函数是由两个函数的和构成的，由定积分
的性质可知，和的定积分等于定积分的和：
f ( x) g ( x)dx
b a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b
b a b a
b
b
b
a
a
a
引入
通过学习发现，虽然被积函数 y x 2 很简单，但 直接用定积分定义计算 对于定积分
1
2
1
么有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
0 1 dx ，直接用定义计算几乎不可能。那 x
x dx 的值却比较麻烦，而
2
前面我们学习了微积分学中的最基本、最重要的
概念：导数和定积分，那么二者之间有没有内在的联
a
b
解：
2
1
2
(e x 3 x )dx
x 2 x 2 1
3 22 e dx 3 xdx e x 1 1 1 2 3 9 2 2 ( e e) (4 1) e e 2 2
＊ 定积分： f ( x )dx A
a b
＊ 定积分的性质： 性质1 性质2
性质3 性质4
1dx b a kf ( x )dx k f ( x)dx f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx b c b a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
0
cos xdx 的值就是区间 [0, ]
其中 x 轴上方的面积为正值，x 轴下方面积为负值。 y
o
x
y cosx
返回
分析： 被积函数是由两个函数的和构成的，由定积分
的性质可知，和的定积分等于定积分的和：
f ( x) g ( x)dx
b a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b
b a b a
b
b
b
a
a
a
引入
通过学习发现，虽然被积函数 y x 2 很简单，但 直接用定积分定义计算 对于定积分
1
2
1
么有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
0 1 dx ，直接用定义计算几乎不可能。那 x
x dx 的值却比较麻烦，而
2
前面我们学习了微积分学中的最基本、最重要的
概念：导数和定积分，那么二者之间有没有内在的联
a
b
解：
2
1
2
(e x 3 x )dx
x 2 x 2 1
3 22 e dx 3 xdx e x 1 1 1 2 3 9 2 2 ( e e) (4 1) e e 2 2
4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)63571
[精解详析] (1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3， ∴∫10(2x＋3)dx＝(x2＋3x)| 01＝1＋3＝4. (2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴∫0－π(cos x＋ex)dx ＝(sin x＋ex)| －0 π＝1－e－π. (3)∵x2＋1x′＝2x－x12， ∴∫312x－x12dx＝x2＋1x| 31＝7＋13＝232.
1dx＋
＝(－cos x)
2
＋x
2
＋12x2－x|42
0
2
＝1＋2－π2＋(4－0)＝7－π2.
[一点通] (1)分段函数在区间[a，b]上的定积分 可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的 分段标准进行．
(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然 后求解．
[例 3] 已知函数 f(x)＝∫x0(at2＋bt＋1)dt 为奇函数，且 f(1)－f(－1)＝13，试求 a，b 的值．
[精解详析] f(x)＝∫x0(at2＋bt＋1)dt ＝a3t3＋b2t2＋t |x0＝a3x3＋b2x2＋x. ∵f(x)为奇函数，∴b2＝0，即 b＝0. 又∵f(1)－f(－1)＝13，∴a3＋1＋a3＋1＝13.∴a＝－52.
3．求下列定积分：
(1)
2 0
sin2x2dx；(2)23(2－x2)·(3－x)dx.
解：(1)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
∴2 0
sin2x2dx＝
2 0
12－12cos
xdx
＝12x－12sin
∫abf(x)dx＝F(x)| ba＝ F(b)－F(a) ．
优课系列高中数学北师大版选修22 4.2微积分基本定理 课件(共17张)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
(三)活学活用: 利用微积分基本定理解决前面的问题
21
1
dx x
1 x 3 dx 0
找出f(x)的原 函数是关健
解（1）∵
( l n x ) = 1 x
定积分的几何意义：
b f(x) dx
在几何上表示由yf
(x)、xa、xb
与
a
x 轴所围成的曲边图形面积的代数和(即x轴上
方的面积减去x轴下方的面积).
牛顿
• 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家 和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格 兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。
• 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的 创建。
莱布尼茨
• 莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人； 1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。
• 他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广 泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习 几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写 的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工 作使他成为数理逻辑的创始人。
• 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文 学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制 定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后 当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡 斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移 居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王 安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。
•
(三)活学活用: 利用微积分基本定理解决前面的问题
21
1
dx x
1 x 3 dx 0
找出f(x)的原 函数是关健
解（1）∵
( l n x ) = 1 x
定积分的几何意义：
b f(x) dx
在几何上表示由yf
(x)、xa、xb
与
a
x 轴所围成的曲边图形面积的代数和(即x轴上
方的面积减去x轴下方的面积).
牛顿
• 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家 和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格 兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。
• 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的 创建。
莱布尼茨
• 莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人； 1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。
• 他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广 泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习 几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写 的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工 作使他成为数理逻辑的创始人。
• 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文 学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制 定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后 当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡 斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移 居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王 安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。
4.2 微积分基本定理课件 北师大版选修2-2课件
1
0
1
1 1 3 ＝ [ x＋3x]dx＋ [(2－x)＋3x]dx
1 0
1
2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 2 ＝(3x ＋6x )|0＋(2x－2x ＋6x )|1 2 1 1 2 3 ＝3＋6＋(2x－3x )|1 5 1 1 13 ＝6＋6－3× 9－2＋3＝ 6 .
a b a (3)① f ( x )d x ＝ F ( a ) － F ( a ) ＝ 0 ；② f ( x )d x ＝－ f(x)dx；
a a b
a ③若 f(x)在[－a，a]上连续，则当 f(x)是偶函数时， a 2 f(x)dx；当 f(x)是奇函数时， a－a f(x)dx＝0.
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
[ 分析 ]
从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为
一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出
面积．为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求
出两条曲线的交点的横坐标．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
1 求由曲线y＝ x，y＝2－x，y＝－3x围成的图形面积．
[分析]
本题考查定积分在几何中的应用，可以先画出
草图，求得其交点后，确定出积分的上限及下限，从而转化 为定积分问题求解．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
[解析] 图形如图所示，
y＝ x， 由 y＝2－x
y＝ x， 与 1 y＝－3x y＝2－x， 及 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 1 y＝－3x，
0
1
1 1 3 ＝ [ x＋3x]dx＋ [(2－x)＋3x]dx
1 0
1
2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 2 ＝(3x ＋6x )|0＋(2x－2x ＋6x )|1 2 1 1 2 3 ＝3＋6＋(2x－3x )|1 5 1 1 13 ＝6＋6－3× 9－2＋3＝ 6 .
a b a (3)① f ( x )d x ＝ F ( a ) － F ( a ) ＝ 0 ；② f ( x )d x ＝－ f(x)dx；
a a b
a ③若 f(x)在[－a，a]上连续，则当 f(x)是偶函数时， a 2 f(x)dx；当 f(x)是奇函数时， a－a f(x)dx＝0.
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
[ 分析 ]
从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为
一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出
面积．为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求
出两条曲线的交点的横坐标．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
1 求由曲线y＝ x，y＝2－x，y＝－3x围成的图形面积．
[分析]
本题考查定积分在几何中的应用，可以先画出
草图，求得其交点后，确定出积分的上限及下限，从而转化 为定积分问题求解．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
[解析] 图形如图所示，
y＝ x， 由 y＝2－x
y＝ x， 与 1 y＝－3x y＝2－x， 及 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 1 y＝－3x，
高中数学北师大版选修2-2 4.2微积分基本定理 课件(17张)
x)
0
2
②
1 1 x2 dx 0
4
③设
f
(
x)
x 1
2, x 0,（1为自然对数的底数），
x , x 1,e
则
e f xdx 0
1
f (x)dx
e
f (x)dx
x2
1 ln | x |
e
4
0
1
30
13
13
2、①求曲线 y x2与 y x所围成图形的面积，
其中正确的是（ B）
b
f
(
2
x) dx
.
a
若非匀速运动物体的速度为v(t)，则此物体从t=a到t=b时刻所
走过的路程S=
b v(t)dt. a
7
题型一、定积分的计算
例1、①
（ 1(ex 2x)dx 0
A、1 B、e-1
） C、e
解：
D、e+1
1(ex 2x)dx 0
(ex x2 ) |10
(e1 12 ) (e0 02 )
定积分与微积分基本定理
1
高考要求
• （1）了解定积分的实际背景，了解定积分 的基本思想，了解定积分的概念；
• （2）了解微积分基本定理的含义。
2
常见题型预览
题一：下列积分值等于1的是（ ）C
A．
1
0
题二:曲线
1
xdBx. 0 (x 1)Cdx.
y 与1直线
x
x
011dDx.
11
0 2 dx
1, x及 4 轴x所围成的区域
(4, 2)
y x 2
由草图知所求面积
y=x-2
【数学】4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
第四章 定积分 §2 微积分基本定理
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
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π ∴f2 ＝1.
答案：1
8．已知 f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且 f(x)dx＝1，
0
1
求 f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 4＝3a＋b， 又 f(x)dx＝
0
1 1
1 a 2 ax ＋bx |1＝ ＋b＝1， (ax＋b)dx＝ 2 0 2 0
b ∵f(x)为奇函数，∴ ＝0，即 b＝0. 2 1 a a 1 5 又∵f(1)－f(－1)＝ ，∴ ＋1＋ ＋1＝ .∴a＝－ . 3 3 3 3 2
[一点通] (1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变 量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分
下限不大于积分上限．
(2)当积分的上(下)限含变量x时，定积分为x的函数， 可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的 性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．
x
x
1 22 1 1 2 2 ＝ x |1＋ln x |1＝ ×2 － ×12＋ln 2－ln 1 2 2 2 3 ＝ ＋ln 2. 2
3．求下列定积分： (1) sin dx；(2) (2－x2)· (3－x)dx. 2 1－cos x 2x 解：(1)sin ＝ ， 2 2
1 1 x－ sin 而2 2 1 1 ′＝ － cos x 2 2
x
x
3
3
[一点通]
应用微积分基本定理求定积分时，首先
要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先
估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程 中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导 函数F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用 微积分基本定理求出结果．
问题3：求F(2)－F(1)的值．
1 1 3 2 2 提示：F(2)－F(1)＝ ×2 － ×1 ＝ . 2 2 2
问题4：你得出什么结论？
提示： f(x)dx＝F(2)－F(1)，且 F′(x)＝f(x)．
问题 5：由 f(x)dx 与 F(2)－F(1)之间的关系，你认为导
1
2
2 1
(2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴∫0 π(cos x＋ex)dx －
0 ＝(sin x＋ex)| －π＝1－e－π.
1 1 2 x ＋ ′＝2x－ 2， (3)∵ x x
1 1 1 22 ∫32x－ 2dx＝x2＋ | 3＝7＋ ＝ . ∴ 1 1
2 ＝∫2x2dx＋∫22xdx＋∫13dx 1 1
x3 2 25 2 2 2 ＝ |1＋x |1＋3x |1＝ . 3 3
(2)∫π(sin x－cos x)dx 0 ＝∫πsin xdx－∫πcos xdx 0 0
π ＝(－cos x) |π－sin x |0 ＝2. 0
1 21 ∫2x＋ dx＝∫2xdx＋∫1 dx (3) 1 1
理解教材新知
第 四 章
§2
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1 2 已知函数f(x)＝x，F(x)＝ x . 2 问题1：f(x) 和F(x)有何关系？
提示：F′(x)＝f(x)．
问题2：利用定积分的几何意义求 xdx的值． 3 2 ∫1xdx＝ . 提示： 2
2 1
2 0
2 0
2x
3 2
x，
xdx
∴
2 0
sin dx＝ 2
2x
1 1 － cos 2 2
1 1 x－ sin ＝2 2
x
2 0
π 1 π－2 ＝ － ＝ . 4 2 4
(2)原式＝ (6－2x－3x2＋x3)dx
1 4 3 2 3 ＝6x－x －x ＋4x |2 1 1 2 3 4 2 3 4 ＝6×3－3 －3 ＋4×3 －6×2－2 －2 ＋4×2
[2,4]三段积分求和．
[精解详析]
图像如图．
4 0 4
f(x)dx＝
2 0
sin xdx＋
2 2
1dx＋
2
(x－1)dx
2 0
＝(－cos x)
＋x
2 2
1 4 2 ＋2x －x|2
π π 2－ ＋(4－0)＝7－ . ＝1＋ 2 2
4
2
2
0 |－2＝8＋2＝10.
答案：10
5．已知
sin x－1，x≤0， F(x)＝ 2 x ，x>0，
求定积分∫1 1F(x)dx. －
0 解：∫1 1F(x)dx＝∫－1(sin x－1)dx＋∫1x2dx － 0
＝(－cos
0 x－x) |－1＋
1 31 x |0 3
6．若∫1(k－2x)dx＝2 012，则 k＝________. 0
1 1 解析：∫0(k－2x)dx＝(kx－x2) 0＝k－1＝2 012，
∴k＝2 013.
答案： 2 013
π ∫asin xdx，则 f( )＝________. 7．已知函数 f(a)＝ 0 2
a 解析：f(a)＝∫asin xdx＝－cos x |0＝－cos a＋1， 0
1 1. xdx＝________.
e 1
1 解析： xdx＝ln e－ln 1＝1.
e 1
答案： 1
2．求下列函数的定积分： (1)∫2(x2＋2x＋3)dx； 1 (2)∫π(sin x－cos x)dx； 0 1 ∫2x＋ dx. (3) 1
x
解：(1)∫2(x2＋2x＋3)dx 1
数与定积分之间有什么联系？
提示： f(x)dx＝F(b)－F(a), 其中 F′(x)＝f(x)．
b a
微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)， 则有
∫bfxdx＝ F(b)－F(a) a
定理中的式子称为 牛顿—莱布尼茨公式 ，通常称
F(x)是f(x)的一个 原函数 ．
[一点通]
(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分
可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的
分段标准进行．
(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然 Байду номын сангаас求解．
4 4.∫－2|x|dx＝________.
1 2 1 24 4 0 解析：∫－2|x|dx＝∫0xdx＋∫－2(－x)dx＝ x |0＋－ x
在计算定积分时，常常用记号F(x) | F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作
b ∫af(x)dx＝F(x)| b＝ F(b)－F(a) ． a b a
来表示F(b)－
微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系， 即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导
函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．
3 2
7 ＝－ . 4
[例 2]
π sin x，0≤x≤2 ， 已知函数 f(x)＝ π 1，2<x<2， x－1，2≤x≤4，
先画
出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
[思路点拨] 按
π π f(x)的分段标准，分成0，2 ，2，2，
6 2 所以 a＝ ，b＝ ， 5 5 6 2 即 f(x)＝ x＋ . 5 5
求定积分的一些常用技巧：
(1)对被积函数，要先化简，再求积分． (2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的 性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值 符号后才能积分．
5 ＝cos 1－ . 3
[例 3]
已知函数 f(x)＝∫x(at2＋bt＋1)dt 为奇函数， 且 0
1 f(1)－f(－1)＝ ，试求 a，b 的值． 3
[精解详析]
f(x)＝∫x(at2＋bt＋1)dt 0
a b2 x a 3 b 2 3 ＝3t ＋2t ＋t |0＝ x ＋ x ＋x. 3 2
[例1]
计算下列各定积分：
(1)∫1(2x＋3)dx； 0 (2)∫0 π(cos x＋ex)dx； － 1 ∫3(2x－ 2)dx. (3) 1 x
[思路点拨]
先求被积函数的原函数，然后利用微积
分基本定理求解．
[精解详析]
(1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，
1 ∴∫1(2x＋3)dx＝(x2＋3x)| 0＝1＋3＝4. 0