最新214定积分与微积分的基本定理-副本
214定积分与微积分的基本定理-副本
第十四节定积分与微积分基本定理
[备考方向要明了]
考什么怎么考
1.了解定积分的实际背
景,了解定积分的基本思
想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
1.考查形式多为选择题或填空题.
2.考查简单定积分的求解.如2012年江西T11等.
3.考查曲边梯形面积的求解.如2012年湖北T3,
山东T15,上海T13等.
4.与几何概型相结合考查.如2012年福建T6等.
[归纳·知识整合]
1.定积分
(1)定积分的相关概念
在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式.
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x =b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).
②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
(3)定积分的基本性质
①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x.
②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.
③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x.
[探究] 1.若积分变量为t ,则∫b a f (x )d x 与∫b
a f (t )d t 是否相等?
提示:相等.
2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗?
提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算.
3.定积分∫b a [f (x )-g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么?
提示:由直线x =a ,x =b 和曲线y =f (x ),y =g (x )所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理
如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么∫b a f (x )d x =F (b )-F (a ),
这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.
为了方便,常把F (b )-F (a )F (x )|b a ,即
∫b a f (x )d x =F (x )|b a =F (b )-F (a ).
[自测·牛刀小试]
1.∫421x
d x 等于( ) A .2ln 2 B .-2ln 2 C .-ln 2
D .ln 2
解析:选D ∫421x
d x =ln x |42=ln 4-ln 2=ln 2. 2.(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )=t 2-t +2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为( )
A.176
B.14
3 C.136
D.116
解析:选A S =∫21(t 2
-t +2)d t =
????
??13t 3-12t 2+2t 21=176.
3.(教材习题改编)直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为________.
解析:∫20x 2
d x =13x 3 |20=83. 答案:83
4.(教材改编题)∫101-x 2
d x =________.
解析:由定积分的几何意义可知,∫101-x 2d x 表示单位圆x 2+y 2
=1在第一象限内部
分的面积,所以
∫101-x 2d x =14π. 答案:14
π
5.由曲线y =1x ,直线y =-x +5
2所围成的封闭图形的面积为________.
解析:作出图象如图所示.解方程组可得交点为A ????12,2,B ????2,1
2,所以阴影部分的面积,
?Skip Record If...??
? -x +5
2-
??
1x d x =
????-12x 2+52x -ln x ?Skip Record If...?=158
-2ln 2.
答案:15
8
-2ln 2
利用微积分基本定理求定积分
[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分:
(1)∫21(x 2+2x +1)d x ;(2)∫π
0(sin x -cos x )d x ;
(3)∫20x (x +1)d x ;(4)∫21
????e 2x +1x d x ; (5)?Skip Record If...? sin 2x
2d x .
[自主解答]
(1)∫21(x 2+2x +1)d x =∫21x 2d x +∫212x d x +∫2
11d x =
x 33 |21+x 2 |21+x |21=193
. (2)∫π0(sin x -cos x )d x
=∫π0sin x d x -∫π
0cos x d x =(-cos x ) |π0-sin x |π0=2. (3)∫20x (x +1)d x =∫20(x 2+x )d x
=∫20x 2d x +∫2
0x d x =13x 3 |20+12x 2 |2
0 =????13×23-0+????12×22-0=14
3
.
(4)∫21????e 2x +1x d x =∫21e 2x d x +∫2
11x d x =12e 2x |21+ln x |21=12e 4-12e 2
+ln 2-ln 1 =12e 4-1
2
e 2+ln 2. (5)?Skip Record If...? sin 2 x 2d x =?Skip Record If...?????12-12cos x d x =?Skip Record If...?12d x -12
?Skip Record If...?cos x d x
=12x?Skip Record If...?-12sin x?Skip Record If...?=π4-12=π-2
4. —————
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求定积分的一般步骤
计算一些简单的定积分,解题的步骤是:
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差; (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分; (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数; (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值; (5)计算原始定积分的值.
1.求下列定积分: (1)∫20|x -1|d x ;
(2) ?Skip Record If...?1-sin 2x d x .
解:(1)|x -1|=?????
1-x , x ∈[0,1)x -1, x ∈[1,2]
故∫20|x -1|d x =∫10(1-x )d x +∫2
1(x -1)d x
=????x -x 22 |10+????x 2
2-x |21 =12+12
=1. (2) ?Skip Record If...?1-sin 2x d x
=?Skip Record If...?|sin x -cos x |d x =?Skip Record If...? (cos x -sin x )d x +?Skip Record If...? (sin x -cos x )d x
=(sin x +cos x )?Skip Record If...?+(-cos x -sin x ) ?Skip Record If...? =2-1+(-1+2)=22-2.
利用定积分的几何意义求定积分
[例2] ∫1
0-x 2+2x d x =________.
[自主解答] ∫10-x 2+2x d x 表示y =-x 2+2x 与x =0,x =1及y =0所围成的图形
的面积.
由y =-x 2+2x 得(x -1)2+y 2=1(y ≥0), 又∵0≤x ≤1,
∴y =-x 2+2x 与x =0,x =1及y =0所围成的图形为14个圆,其面积为π4.
∴∫10-x 2
+2x d x =π4
.
在本例中,改变积分上限,求∫20-x 2+2x d x 的值.
解:∫20-x 2+2x d x 表示圆(x -1)2+y 2=1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,
所以
∫20-x 2+2x d x =π2.
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—————————————— 利用几何意义求定积分的方法
(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.
(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.
2.(2013·福建模拟)已知函数f (x )=∫x 0(cos t -sin t )d t (x >0),则f (x )的最大值为________.
解析:因为f (x )=∫x 0
2sin ????π4-t d t =2cos ????π4-t |x 0=2cos ????π4-x -2cos π4 =sin x +cos x -1=2sin ????x +π
4-1≤2-1, 当且仅当sin ????x +π
4=1时,等号成立. 答案:2-1
利用定积分求平面图形的面积
[例3] (2012·山东高考)由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.10
3 B .
4 C.163
D .6
[自主解答] 由y =x 及y =x -2可得,x =4,即两曲线交于点(4,2).由定积分的几何意义可知,由y =x 及y =x -2及y 轴所围成的封闭图形面积为
∫40(x -x +2)d x =????23x 32-12x 2+2x |40=163
. [答案] C
若将“y =x -2”改为“y =-x +2”,将“y 轴”改为“x 轴”,如何求解? 解:如图所示,由y =x 及y =-x +2可得x =1.由定积分的几何意义可知,由y =x ,y =-x +2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x =∫10x d x +∫21(-x +2)d x =23
x?Skip Record If...? |10+????2x -x 22 |21
=7
6.
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—————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤
(1)画出曲线的草图.
(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限. (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差. (4)计算定积分,写出答案.
3.(2013·郑州模拟)如图,曲线y =x 2和直线x =0,x =1,y =1
4所围成的
图形(阴影部分)的面积为( )
A.2
3 B.1
3 C.1
2
D.14
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名:张智 学生学号:201001164 所在班级:数学101 所在专业:数学与应用数学 指导老师:杨志林 摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,自十七世纪以来,微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理,它的建立标志着微积分的完成,成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明,建立了微分中值定理与积分中值定理的联系,在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词:微积分基本定理,发展史,定理的应用,定理的证明 ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 微积分基本定理的证明
专题13 定积分与微积分基本定理知识点
7.微积分基本定理练习题