微积分基本定理微分形式
物理竞赛微积分知识点总结
物理竞赛微积分知识点总结1.导数与微分导数是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
对于物理竞赛而言，导数在描述速度、加速度等动力学量时有着重要的应用。
另外，在曲线的切线方程、求解最值等问题中，导数也发挥着重要作用。
微分是导数的一种运算形式，它可以捕捉函数在某一点附近的局部线性变化。
在物理问题中，微分常用于描述微小的变化量，比如位移、速度、加速度等。
2.积分与定积分积分是导数的逆运算，它可以用来求解函数的原函数或不定积分。
在物理竞赛中，积分常用于计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量、平均值等。
定积分是对指定区间上的函数值进行积分，它可以用于求解质点在一段时间内的位移、速度、加速度等物理量，还可以用于计算某些物理量的平均值、总量等问题。
3.微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理，它建立了积分与导数之间的联系。
第一积分基本定理将不定积分与定积分联系起来，可以将积分问题转化为求解原函数的问题。
第二积分基本定理则给出了定积分的计算方法，它将定积分与不定积分联系在一起，为求解定积分提供了便利。
在物理竞赛中，微积分基本定理在积分问题的求解中起着十分重要的作用。
4.微分方程微分方程是描述变化规律的数学工具，在物理竞赛中经常出现。
一阶微分方程描述了变量的变化率与变量本身之间的关系，它常用于描述弹簧振子、RC电路、衰减问题等。
对于线性微分方程，可以通过特征方程的求解来求解微分方程的通解。
在物理竞赛中，熟练掌握微分方程的解法对于解决物理问题是十分重要的。
5.级数与收敛性级数是无穷个数项的和，它在物理问题中也常常出现。
级数的收敛性是级数是否有意义的重要标志，熟练掌握级数的收敛性判别方法对于求解物理问题十分重要。
常见的级数有等比级数、调和级数、幂级数等，在物理竞赛中需要能够熟练应用级数的性质及收敛性的判别方法。
6.多元函数微积分多元函数微积分是微积分的拓展，它描述的是多元函数的变化规律。
对于物理竞赛而言，多元函数微积分在描述多变量物理量之间的关系、求解多元函数的极值等问题中有着重要的应用。
微积分基本定理证明
微积分基本定理证明微积分基本定理也被称为奥尔森定理，它是十九世纪数学家利希马克·奥尔森首先提出的重要定理。
它表达了微积分在处理数字和曲线的连续性之间的对应关系，并将分段函数拓展到更多更复杂的函数。
它的形式如下：若$f$为$[a,b]$上的连续函数，则有：$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F$为$f$的一个可微分函数（也称为$f$的积分）。
这里所说的可微分函数指在$[a, b]$上定义的函数$F$，使得$F'(x)=f(x)，\forall x \in [a, b]$。
要证明这个定理，我们将用反证法。
假设该定理不成立，即：$$\int_a^bf(x)dx\neq F(b)-F(a)$$那么，则有：$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)\neq 0$$将$f$代入上式，则有：$$\int_a^bF'(x)dx-[F(b)-F(a)]\neq 0$$令$\Delta x=x_1-x_0>0$，由$[a, b]$的分割定理得：$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=[F'(x_1)-F'(x_0)]\sum_{i=0}^{n-1}\Delta x+o(\Delta x)$$同时，将$F'(x)=f(x)$代入上式，可得：$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=f(x_1)-f(x_0)\sum_{i=0}^{n-1}\Delta x+o(\Delta x)$$因此，当$\Delta x$趋近于零时，上式又转化为：$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=f(x_1)-f(x_0)\int_a^bdx+o(\Delta x)$$由于$\Delta x$任意取值，所以，当$\Delta x$趋近于零时，$o(\Delta x)$也趋近于零，即：$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=f(x_1)-f(x_0)\int_a^bdx$$令$\int_a^bdx=1$，则有：$$\int_a^bf(x)dx-F(b)+F(a)=f(x_1)-f(x_0)$$即：$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$因此，得证。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
积分微分公式
积分微分公式摘要：一、引言二、积分与微分的概念1.积分的定义2.微分的定义三、积分与微分的关系1.微积分基本定理2.反函数定理四、积分微分公式1.基本积分公式2.基本微分公式五、实际应用1.物理中的应用2.工程中的应用六、结论正文：一、引言在数学的发展历程中，积分与微分是两个重要的概念。
它们在解决实际问题中发挥着关键作用，如物理、工程等领域。
本文将对积分与微分的关系进行详细阐述，并通过实例介绍它们在实际应用中的价值。
二、积分与微分的概念1.积分的定义积分是对一个函数在某一区间上的累积效果进行度量的方法。
通俗地说，就是求解一个曲线下的面积。
数学上，我们可以用以下符号表示：∫f(x)dx其中，f(x) 表示被积函数，x 表示自变量，∫ 表示积分符号。
2.微分的定义微分是对一个函数在某一点上的变化率进行度量的方法。
用数学符号表示为：f"(x)其中，f(x) 表示被微分函数，x 表示自变量，" 表示微分符号。
三、积分与微分的关系1.微积分基本定理微积分基本定理是积分与微分之间的桥梁。
它表明，如果一个函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，那么f(x) 在[a, b] 上的原函数（即微分后的函数）可以表示为：F(x) = ∫f(x)dx此外，微积分基本定理还给出了求解定积分的逆运算方法，即求解原函数（微分后的函数）。
2.反函数定理反函数定理是微积分基本定理的推广。
它表明，如果一个函数f(x) 在区间[a, b] 上可积，并且f(x) 在[a, b] 上单调，那么f(x) 在[a, b] 上存在反函数，且反函数也是可积的。
四、积分微分公式1.基本积分公式基本积分公式是一些常用的积分计算方法，例如：∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C其中，n 为常数，C 为积分常数。
2.基本微分公式基本微分公式是一些常用的微分计算方法，例如：(f(x) + g(x))" = f"(x) + g"(x)(cf(x))" = cf"(x)(f(x)g(x))" = f(x)g"(x) + g(x)f"(x)五、实际应用1.物理中的应用在物理学中，积分与微分发挥着重要作用。
微积分基本定理
微积分基本定理微积分基本定理是微积分学中的重要定理之一，它揭示了函数与它的导数之间的关系。
微积分基本定理分为两部分：第一部分是定积分的基本定理，第二部分是微分方程的基本定理。
本文将从这两个方面详细介绍微积分基本定理的概念、原理和应用。
一、定积分的基本定理定积分的基本定理是微积分中最基础的定理之一。
它表明了定积分与不定积分之间的关系，即定积分可以看作是不定积分的一个特例。
定积分的基本定理可以用以下数学公式表示：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数F(x)在区间[a, b]上可积，并且有：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式表明了定积分与不定积分之间的联系，也称为牛顿-莱布尼茨公式。
它告诉我们，如果知道一个函数在某个区间上的原函数，就可以求出该函数在该区间上的定积分值。
这个定理在计算曲线下面积、求函数的平均值等问题中有广泛的应用。
二、微分方程的基本定理微分方程的基本定理是微积分学中另一个重要的定理。
微分方程描述了函数的导数与函数自身之间的关系，通过微分方程可以求解一些函数的性质和行为。
微分方程的基本定理可以用以下形式表示：若函数f(x)在区间I上具有连续导数，则微分方程y'(x) = f(x)的通解可以表示为：y(x) = ∫f(x)dx + C其中C为积分常数，∫f(x)dx表示f(x)的一个原函数。
这个公式表明了微分方程的解可以通过对方程右侧函数的积分得到，同时需要加上一个积分常数。
微分方程的基本定理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，可以用来描述很多自然现象的规律。
综上所述，微积分基本定理是微积分学中两个重要的基本定理，它们揭示了函数与导数、函数与积分之间的重要关系。
这两个定理在微积分的理论体系和实际应用中都起着至关重要的作用，对于深入理解微积分学的原理和方法具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能对微积分基本定理有更深入的理解和认识。
微积分的基本概念与运算
三角函数
sin(x)、cos(x)、 tan(x)等的导数公式 ，如f(x)=sin(x)，则 f'(x)=cos(x)。
四则运算法则及复合函数求导法则
01
四则运算法则
02
复合函数求导法则
包括加法、减法、乘法、除法的导数运算法则，如 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)等。
若y=f(u)且u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的导数为 y'={f[g(x)]}'=f'(u)*g'(x)。
导数几何意义及应用
导数几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。对于一元函数y=f(x)，其在点x0处的导数f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率。
导数应用
导数在数学、物理、工程等领域有广泛应用。例如，在求函数的极值、判断函数的单调性、解决最优 化问题等方面都需要用到导数。此外，在物理学中，速度、加速度等概念也与导数密切相关。
通过求导可以得到物体的瞬时速度和加速度 ，进而研究物体的运动状态。
微分方程在力学中的应用
利用微分方程可以描述物体的运动规律，如 牛顿第二定律的微分方程形式。
振动与波动问题的分析
微积分在振动与波动问题的分析中有着广泛 的应用，如简谐振动的微分方程描述。
经济学中边际分析和弹性分析问题
边际分析
在经济学中，边际分析是一种重 要的决策方法，通过求导得到边 际成本、边际收益等经济量，进 而研究经济现象的变化规律。
积分几何意义及应用
积分几何意义
定积分的几何意义是曲线与x轴所围成的面积，而不定积分的几何意义则是求 曲线在某一点处的切线斜率。
高数常用微积分公式24个
高数常用微积分公式24个为了更好地帮助大家理解高等数学中的微积分，本文主要介绍高数常用的微积分公式24个。
首先，介绍最基本的微积分概念。
微积分是一个广义的概念，它包括微分学和积分学。
微分学是研究变动数量的变化率，变量可以表达为函数。
积分学则是将某一函数在不同区域上的积分和运算，可以表示为面积、重量或其他距离变化的概念。
其次，介绍高数常用的微积分公式。
1、微分中的基本公式：（1）函数的定义域x的导数，表示为f′(x)（2）复合函数的导数，表示为f′(g(x))（3）二阶导数的定义，表示为f″(x)2、积分中的基本公式：（1）求解定积分，表示为∫[a, b]f(x)dx（2）定积分的换折叠公式，表示为∫[a, b]f(x)dx=[a,c]f(x)dx+[c, b]f(x)dx（3）求解不定积分，表示为∫f（4）二重积分的定义，表示为∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx （5）定义域积分，表示为∫[S]f(x,y)ds3、微分与积分的关系：微分与积分有着相互联系的关系。
积分是将函数某一段区间的值累积为某一量，而微分则是积分的反过程，求出函数在有限的区间内的变化率。
这一关系也被称为微分法和积分法的反射关系。
4、偏微分的基本公式：偏微分是指关于同一变量的偏导数。
它是微分中比较复杂的一种形式，通常与多元函数相关，旨在研究函数变化率在同一点上受其他变量影响的情况。
它的基本公式为f′(x, y)=f/x, f′(x, y)=f/y。
5、常见的微分与积分公式：（1）指数函数的求导公式，表示为f′(x)=ae^(ax)（2）对数函数的求导公式，表示为f′(x)=1/x（3）三角函数的求导公式，表示为f′(x)=cos(x),f′(x)=sin(x)（4）椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=2a(a+bx)/(b^2-a^2)（5）反椭圆函数的求导公式，表示为f′(x)=-2a(a+bx)/(b^2-a^2)（6）求极限的求导公式，表示为limX→0f′(x)=f(0)（7）求微积分的积分公式，表示为∫[a,b]f(x)=F(b)-F(a)最后，本文介绍了高数常用的微积分公式24个，包括微分、积分、偏微分以及极限的求导公式，利用这些公式，大家就可以更好地理解微积分的概念，从而更好地学习高等数学中的微积分内容。
微积分中的微分方程
微积分中的微分方程微积分是现代科学和工程的基础，它包括微分和积分两个主要分支。
微分方程作为微积分的重要组成部分，在许多科学和工程领域中都扮演着重要的角色。
微分方程是描述变化率与未知函数之间关系的数学方程，它们能够描述自然界中的各种现象和过程。
微分方程的应用范围广泛，涉及到物理、化学、生物、经济、工程等领域。
下面我们将介绍微积分中的微分方程的基本概念、求解方法以及一些实际应用。
微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程，可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程仅涉及一个独立变量，而偏微分方程有多个独立变量。
常微分方程的解是一个函数，而偏微分方程的解是一个函数族。
微分方程的一般形式可以写为dy/dx=F(x,y)，其中y是未知函数，x是独立变量，F(x,y)是已知函数或表达式。
微分方程的解是使得方程左右两侧相等的函数。
通常情况下，微分方程的解是不唯一的，解的形式和性质取决于方程的具体形式和边界条件。
一阶微分方程是最基本的微分方程形式，它只涉及到一阶导数。
一阶微分方程可以分为可分离变量方程、线性方程、齐次方程和一阶Bernoulli型方程等。
可分离变量方程的形式为dy/dx=f(x)g(y)，可以通过分离变量的方法将其化简为两个单变量的微分方程，然后求解得到解析解。
线性方程的形式为dy/dx+a(x)y=b(x)，可以通过积分因子法、变量变换法等方法求解。
齐次方程的形式为dy/dx=f(y/x)，可以通过变量变换的方法将其化为线性方程求解。
一阶Bernoulli型方程的形式为dy/dx+a(x)y=b(x)y^n，可以通过变量代换的方法将其化为线性方程求解。
二阶微分方程是包含二阶及以下导数的微分方程形式。
二阶微分方程可以分为齐次方程和非齐次方程两类。
齐次方程形式为d^2y/dx^2+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)是已知函数或表达式。
齐次方程的解可以通过特征根法、特解法等方法求解。
微积分中的微分方程和常微分方程
微积分中的微分方程和常微分方程微积分是数学的一个分支，是数学中最基础的一门课程。
它的主要内容是微积分，微积分中有很多重要的概念和方法，其中最重要的概念之一就是微分方程和常微分方程。
一、微分方程微分方程是微积分中重要的概念之一，它是描述自然现象中变化的规律的数学语言。
它包括基本形式和常见的特殊形式，如：$$\frac{dy}{dx}=f(x)$$其中 $y$ 为一个函数，$f(x)$ 为一些已知函数。
这个方程的意义是求出函数 $y$，使得 $y$ 对 $x$ 取导数后等于 $f(x)$。
还有另外一种形式的微分方程，称为二阶线性微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数（称为非齐次项）等于另一个已知的函数（称为齐次项）。
二、常微分方程常微分方程又称为ODE（Ordinary Differential Equation），是微积分的一个分支，其主要研究关于未知函数 $y$ 的微分方程。
常微分方程通常分为两大类：一类是一阶线性常微分方程，如：$$y'+p(x)y=q(x)$$其中 $p(x),q(x)$ 为已知函数，$y$ 是未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
还有另外一类常微分方程，称为二阶线性常微分方程，如：$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$其中 $p(x),q(x),r(x)$ 为已知函数，$y$ 为未知函数。
这个方程的意义是求解函数 $y$，使得这个函数对 $x$ 取二阶导数后加上一些已知的函数等于另一个已知的函数。
三、微分方程在实际问题中的应用微分方程在实际问题中的应用非常广泛，大部分自然科学的问题都可以归结为微分方程。
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则 Jenny was compiled in January 2021微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）=αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
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北京师范大学珠海分校 欧阳顺湘
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从此将达
微积分基本定理
• 定积分计算：
– 按定义计算 – 微积分基本定理
注
•
定积分
b
a
f
( x)dx 与积分变量所选取的字母无
关,即
b
a
a f (x)dx b f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
f ( )x
o
[ x, x x],
a
x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
x
x0 x x0
x 0, x ( x) f ( x).
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
微积分基本定理－积分形式
定理 2（牛顿—莱布尼茨公式）
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
n 1
x b b
b
1dx
0dx
a
a
a
b
a
x
dx
1 2
(b2
a
2)
x b a b 2dx 1 ( 3 3)
a
3
Table of Definite Integrals
微积分基本定理应用 例1
计算
2 sin x dx 0
微积分基本定理应用 例1
计算 2 sin x dx 0
变上限定积分
积分上限函数
x
( x) a f (t)dt.
同理，可定义变下限定积分
b
(x) x f (t)dt
积分下限函数
只需考虑变上限积分
x
( x) a f (t)dt.
因为
b
(x) x f (t)dt
b
x
a f (t)dt a f (t)dt
变限定积分的性质－连续性
设 x>0,
x 1dt ln t x ln x ln1 ln x
1t
1
x 1 dt ln x
1t
微积分基本定理应用 例3
回忆
y
1
1 x2
微积分基本定理应用 例3
2 sin x dx cos x 2
0
0
(cos cos 0)
2
cos cos 0 0 1 1
2
微积分基本定理应用 例1
2 sin x dx 1 0
微积分基本定理应用 例2
设 x>0, 求
x1
1 t dt
微积分基本定理应用 例2
sin x dx cosx C csc2 x dx cot x C
cosx dx sin x C sec x tan x dx sec x C
sec2 x dx tan x C cscx cot x dx cscx C
Table of Indefinite Integrals
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
从不定积分到定积分
Table of Indefinite Integrals
x n dx x n1 C n 1
ex dx ex C
1 x
dx
ln
x
C
ax dx ax C ln a
又
( x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,
F( x) ( x) C x [a,b]
令 x a F(a) (a) C,
(a)
a
a
f
(t )dt
0
F(a) C,
F ( x)
x
a
f
(t )dt
C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
[a,b]上可积函数 f(x) 的变限定积分
Φ(x), ψ(x) 是[a,b]上的连续函数.
变限定积分的性质－可导性
微积分基本定理（微分形式）
定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt 在[a,b] 上具有导数，且它的导
数是(
x)
d dx
变上限定积分
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a,b]上的一点， 考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以
它在[a, b]上定义了一个函数，
记
( x)
x
a
f
(t )dt .
x
a
f (t )dt
f (x)
y
证
( x
x)
xx
a
f
(t )dt
(a x b)
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
注
• 微积分基本定理表明： • 如果 f 连续，则它的变上限积分是它的一个
原函数。
x
f (x)dx a f 果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t )dt
就是
f
( x) 在[a,b] 上的一个
原函数.
定理的重要意义：
kdx kx C
1
x2
dx 1
tan1
x
C
1 dx sin1 x C 1 x2
Example：Definite Integrals
x x ndx 1 n1 C (n 1) n 1
x b a b ndx 1 ( n1 n1)
a
令x b
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.