第2节 微积分基本定理
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）
积分微分知识点及习题和答案（仅供参考）仅供参考积分和微分积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种1、不定积分设F(x) 是函数f(x) 的一个原函数,我们把函数f(x) 的所有原函数F(x)+C （C 为任意常数）叫做函数f(x) 的不定积分. 记作∫f(x)dx其. 中∫叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x) 的不定积分,就是要求出f(x) 的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x) 的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x) 的不定积分.也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.2、定积分众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算.实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若F(x) 的导数是f(x), 那么F(x)+C （C 是常数）的导数也是f(x), 也就是说,把f(x) 积分,不一定能得到F(x), 因为F(x)+C 的导数也是f(x),C 是无穷无尽的常数,所以f(x) 积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用F(x)+C 代替,这就称为不定积分.而相对于不定积分,就是定积分.所谓定积分,其形式为∫f(x) dx 上(限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数.定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b] 上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b] 的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b.我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢?定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx(上限 a 下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差.正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.3、微积分积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
第二节微积分基本公式
x
( x x ) ( x )
a x x x
(x)
sin x
例3. 设 f(x )在 ( , )内 f(x )0， 连 续 ， 且
证 明
tf(t) dt 0 (0 , )内 F (x ) x 函 数 在 为 f(t) dt 0
x
单 调 增 加 函 数 .
证
d x d x f ( t ) dt tf ( t ) dt xf ( x ), f(x ), 0 0 dx dx
sin x
tan tdt 0 (3 ). lim 0 . x 0 0 sin tdt tan x
解
tan(sin x ) cos x 原式 lim 2 x 0 0 sin(tan x ) sec x
cos x lim x 2 x 0 0 x sec x =－1
f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 一 个 原 函 数 ， 则 . a
b
证 已 知 是 的 一 个 原 函 数 ， F ( x ) f ( x )
f ( x ) ( x ) ( t ) dt 又 也 是 的 一 个 原 函 数 , f
a x
[ a ,b ] F ( x ) ( x ) Cx
二、积分上限函数及其导数
1. 定义 设 f ( x ) [ a , b ] 函 数 在 区 间 上 连 续 ， 并
[ a , b ] 且 设 x 为 上 的 一 点 ，
大学数学一年级上册教案
课程名称：高等数学授课班级：数学1班授课时间：2课时教学目标：1. 理解并掌握微积分的基本概念和原理。
2. 能够运用微积分解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
教学内容：1. 微积分基本概念2. 微积分基本定理3. 微积分应用教学重点：1. 微积分基本概念的理解2. 微积分基本定理的运用教学难点：1. 微积分基本概念的应用2. 微积分在解决实际问题中的应用教学过程：一、导入1. 提问：同学们，你们在中学阶段学习过哪些数学知识？2. 回答：函数、几何、代数等。
3. 引入微积分的概念，说明微积分是研究变化和运动规律的一门数学分支。
二、微积分基本概念1. 函数的定义：函数是两个非空数集之间的对应关系。
2. 导数的定义：导数是研究函数在某一点处变化率的概念。
3. 积分的定义：积分是研究函数在区间上累积变化量的问题。
三、微积分基本定理1. 微积分基本定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么在(a, b)内存在一点c，使得f'(c)等于f(b) - f(a)除以b - a的值。
2. 举例说明微积分基本定理的应用。
四、微积分应用1. 列举生活中的实际问题，如速度、位移、面积等。
2. 运用微积分知识解决实际问题。
五、课堂练习1. 列举生活中常见的实际问题，运用微积分知识求解。
2. 学生分组讨论，解答问题。
六、总结1. 回顾本节课所学内容，强调微积分基本概念和定理的重要性。
2. 强调微积分在解决实际问题中的应用。
七、布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解微积分在各个领域的应用。
教学反思：本节课通过讲解微积分基本概念、定理和应用，使学生初步掌握了微积分的基本知识。
在教学过程中，注重理论联系实际，引导学生运用微积分知识解决实际问题。
同时，通过课堂练习和分组讨论，提高学生的动手能力和团队协作能力。
在今后的教学中，应继续加强学生的实际应用能力培养，提高教学质量。
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
第五章定积分2
x
果 限 如 上 x 在 间 a, b]上 意 动 则 于 区 [ 任 变 ， 对 每 个 定 x值 定 分 一 对 值 所 一 取 的 ， 积 有 个 应 ， 以 它 [a, b]上 义 一 函 ， 在 定 了 个 数
记 Φ( x) = ∫ f (t )dt . 积分上限函数 a
x
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Q F( x) − ∫a f (t )dt = C, ∴ ∫a f (t )dt = F( x) − F(a),
令 x=b ⇒
x x
a
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a).
牛顿—莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式
b
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结束
铃
f ( x)dx = F(b) − F(a) = [F( x)]b ∫a a
(a ≤ x ≤ b)
∆Φ = Φ( x + ∆x) − Φ( x)
=∫
x+∆x a
f (t )dt − ∫ f (t )dt
a
x
Φ(x)
o a
x
x + ∆xb
x
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结束
铃
= ∫a f (t )dt + ∫x
=∫
x+∆x x
x
x+∆x
f (t )dt − ∫a f (t )dt
y
Φ(x Φ(x))
设 5、 I1 =
π
∫−π cos mx ⋅ cos nxdx ,
π
∫−πsinmx ⋅ sinnxdx，
首页 上页 返回 下页 结束 铃
1、 m （ ） 当 = n 时 I1 =__ ,I2 =_____ ， ， （ ） 当 ≠ n 时 I1 =___ ,I2 =_____ . 2、 m ， ___ 设 cos mx ⋅ sin nxdx, 6、 1、 m （ ） 当 = n 时 I3 =____ , ， （ ） 当 ≠ n 时 I3 =_____ . 2、 m ， 7、∫4 x(1 + x)dx = _____ . 3 dx = _____ . 8、∫ 1 2 3 1+ x
第二节 微积分基本公式
x x0
x
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说明:
1)定理 2: 连续函数 f (x) 一定有原函数, 函数
( x)
x
f (t)dt
就是f(x)的一个原函数.
a
2) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .
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3) 其他变限积分求导
d ( x) f (t )d t f [ ( x)]( x)
设f ( x)
2 sin
x
1
1
t
2
dt
,
求f
(
x
).
解
f ( x)
sin 2
x
1
1
t
2dt
f ( x)
1 1 sin2 x
(sinx)
cos x 1 sin2 x
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例3
设f ( x)
x
2
e
t
dt
,
求f
(
x
).
x3
解
f (x) 0 etdt x2 etdt
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
所以 lim x0
1 e t 2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
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例5 确定常数 a , b , c 的值, 使
解 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
第五章
第二节 微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 四、小结
D3_2微积分基本公式
,
求 0
2
f
x dx
解
0
2
f
0
x dx
2
1 0
2
y
y 1 x
1
1
x dx
2
1 3 0
1 1 x d x
2 2
1 3
x
x x 2 1
y x
2
x
17 6
o
目录
1
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2
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四 不定积分
定义： 函数 f ( x )的一切原函数F(x)+C的表达式，
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定理2.
函数, 则 a
因此有
b
f t d t F b F a F x
b a
F b F a
n
n
[ F ( x k ) F ( x k 1 )]
k 1
F ( k ) x k
k 1
f ( x)dx
f ( x ) dx
( 2)
F (x) dx F (x) C
证 ：
或
d F (x) F (x) C
f ( x)dx F ( x) C
又
d f ( x )dx d F ( x) C f ( x)dx
h
h 0
lim f ( ) f (x)
h0
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说明:
1) 定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为
微积分教学大纲
微积分教学大纲一、使用说明一课程性质微积分是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一,它有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用;微积分作为一学年的课程,是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的,制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解,为进一步学习专业课打下坚实的基础;二教学目的通过本课程的学习,使学生较好地掌握微积分特有的分析思想,并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解,并能运用其手法解决实际问题中的简单课题;三教学时数本课程共132学时,8学分;四教学方法采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;五面向专业经济学、管理学所有本科专业;二、教学内容第一章函数一教学目的与要求教学目的使学生正确理解函数的定义;理解函数的各种表示法,特别是分析表示法;了解函数的几何特性及图形特征,了解反函数、复合函数概念;熟练掌握基本初等函数的性质及图形,掌握初等函数的结构并能确定其定义域,能列出简单的实际问题中的函数关系;基本要求1、理解实数与实数的绝对值的概念;2、理解函数、函数的定义域和值域,熟悉函数的表示法;3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征;4、了解反函数概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数;5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法;6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质;7、了解分段函数的概念;8、会建立简单应用问题的函数关系;二教学内容函数的定义,函数的几何特性,反函数,复合函数,初等函数,经济中的常用函数;教学重点：1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形;2、初等函数的概念,复合函数的复合步骤的分解方法;3、几个常用经济量的含义及几个常用的经济函数;教学难点：1、复合函数的复合步骤的分解方法;2、利用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的方法;第一节预备知识一、实数二、绝对值三、区间四、邻域五、集合第二节函数概念一、常量与变量二、函数的定义与表示法三、函数定义域的求法第三节函数的几何特性一、函数的单调性二、有界性三、奇偶性四、周期性第四节反函数一、反函数的定义及其图形二、反三角函数及其主值第五节复合函数一、复合函数的定义二、运算及举例第六节初等函数一、基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形二、初等函数的定义第七节分段函数一、分段函数的概念二、分段函数的图形特征第八节建立函数关系的例子一、总成本函数、总收入函数、总利润函数二、需求函数、供给函数三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数6学时;第二章极限与连续一教学目的与要求教学目的通过本章教学使学生理解极限与连续这两个高等数学中的基本概念掌握极限运算法则和两个极限存在准则,了解间断点的概念和闭区间上连续函数的性质;基本要求1、了解数列极限与函数极限概念;关于数列极限与函数极限分析定义不做要求;2、了解无穷小量的概念与基本性质,掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量与无穷大量的关系;3、知道两个极限的存在性定理,并能用于求一些简单的极限;夹逼定理,单调有界数列的极限存在性定理;4、熟练掌握两个重要极限,两个重要极限的证明不作要求;5、了解函数连续性的概念,函数间断点的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法;6、了解连续函数的性质,理解初等函数在其定义区间内必连续的结论;7、了解闭区间上连续函数的基本定理,基本定理的证明不作要求;8、掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的方法;二教学内容数列极限,函数极限,极限的基本性质,无穷小及无穷大,极限的四则运算,极限存在准则及两个重要极限,函数连续的概念及性质;教学重点：1、极限概念、极限的运算法则;2、两个重要极限,求极限的一些基本初等方法;3、函数连续性的概念、间断点的分类;教学难点：1、极限的概念;2、分段函数的连续性;3、间断点的分类;第一节 数列的极限一、数列的概念二、数列极限的定义与几何意义三、数列极限的唯一性及收敛数列的有界性第二节 函数的极限一、0x x →时,函数()f x 的极限二、x →∞时,函数()f x 的极限三、函数极限的几何解释四、单边极限第三节 极限的基本性质一、唯一性二、有界性三、保号性四、不等式性第四节 无穷小量与无穷大量一、无穷小量的定义与基本性质二、无穷小量的比较三、无穷大量的定义四、无穷小量与无穷大量的关系第五节 极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数的极限运算法则第六节极限的存在性定理一、夹逼定理二、单调有界数列的极限存在性定理第七节两个重要极限一、0sin1lim xx x→=二、1(1)lim xxex→∞+=第八节函数的连续性一、函数的改变量二、函数的连续性,左连续与右连续三、函数的连续性与极限的关系四、函数的间断点及其分类五、连续函数的和、差、积、商的连续性六、反函数与复合函数的连续性七、初等函数的连续性七、分段函数的连续性第九节闭区间上连续函数的基本定理一、有界性定理二、最值定理三、介值定理四、零点定理三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第三章导数与微分一教学目的与要求教学目的让学生理解导数与微分的概念,导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系;掌握导数四则运算法则,初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确定的函数的一阶二阶导数的求导方法,会求简单的n阶导数;基本要求1、了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系;2、熟练掌握基本初等函数的导数公式;3、熟练掌握导数的四则运算法则;4、掌握反函数的导数公式证明不作要求;5、熟练掌握复合函数的链式求导公式证明不作要求6、掌握隐函数求导法与对数求导法;7、了解高阶导数概念,掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法;8、了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；熟练掌握微分法则与微分基本公式；了解微分形式的不变性;9、知道边际与弹性的概念,会求解简单的经济应用问题;二教学内容导数概念；导数的和、差、积、商的求导法则；反函数的导数；复合函数的求导法则；高阶导数；隐函数的导数；函数的微分；微分在近似计算中的应用;教学重点：1、导数定义,利用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数;2、复合函数的导数;3、微分的定义以及计算方法;教学难点：1、导数概念的建立;2、复合函数的导数;3、微分概念的建立,微分形式不变性;第一节导数的概念一、变速直线运动的速度二、平面曲线的切线斜率三、导数的定义与几何意义四、可导与连续的关系第二节基本初等函数的导数公式推导基本初等函数的导数公式;第三节导数的四则运算导数的和、差、积、商的求导法则;第四节反函数与复合函数的导数,隐函数的导数,对数求导法一、反函数的导数二、复合函数的求导法则三、隐函数的导数四、对数求导法第五节高阶导数的概念与求法一、高阶导数的概念二、高阶导数求法第六节微分一、微分的定义与几何意义二、可导与可微的关系三、微分法则与微分基本公式四、微分形式的不变性第七节导数与微分的简单应用一、边际与弹性概念二、边际与弹性经济学意义三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数16学时;第四章中值定理与导数的应用一教学目的与要求教学目的使学生掌握中值定理的条件和结论;会用中值定理进行简单的推理论证,熟练运用洛必达法则求不定式的极限,掌握利用导数判断函数的单调性、极值、凹凸型和拐点的方法,并会描绘简单函数的图形,会用到书分析一些简单的经济问题;基本要求1、能叙述Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理,知道这些定理之间的联系,会利用这些定理证明一些简单的证明题如证明不等式;有关这些定理的证明不作要求;2、 熟练掌握00型、∞∞型的洛必达法则,了解其它未定式的定值方法;注意洛必达法则适用的条件;3、熟练掌握函数单调性的判别法;4、熟练掌握求函数的极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单的经济应用问题;5、掌握曲线凹凸性的判别法；掌握求曲线拐点与渐进线的方法;6、掌握函数作图的基本步骤与方法；会作某些简单函数的图形;二教学内容中值定理；洛必达法则；函数单调性、凹凸性及拐点的判定；函数的极值与最值及其求法；函数图形的描绘;教学重点：1、拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式;2、用洛必达法则求00,∞∞型的极限化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为00型或∞∞型;3、利用导数研究函数的单调性,极值及曲线的凹凸性;4、经济应用问题:最大利润,最小成本等;教学难点：1、三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进;2、化五种不定式∞-∞,0∞, ∞1,00,0∞为00型或∞∞型; 3、利用单调性和极值证明不等式;第一节 中值定理一、Rolle 定理二、Lagrange 定理三、Cauchy 定理第二节 洛必达法则一、洛必达法则二、洛必达法则的条件及其应用第三节 函数的单调性与凹凸性一、函数的单调性及其判别法二、函数的凹凸性及其判别法、拐点第四节 函数的极值与最值一、函数极值的定义二、函数取极值的必要条件与充分条件三、函数最值的概念四、求函数最值的基本步骤第五节 函数作图一、曲线的渐进线二、函数作图第五节 经济应用举例一、最大利润二、最小成本三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数18学时;第五章 不定积分一教学目的与要求教学目的通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,还原法和分部积分法,会求一些简单的有理函数的积分;基本要求1、了解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质;2、熟悉基本积分公式;3、熟练掌握计算不定积分的两种换元法和分部积分法;4、会计算三种简单的分式的不定积分：A dx x a -⎰, ()m A dx x a -⎰, 22(40)Mx N dx p q x px q+-<++⎰ 二教学内容不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分;教学重点：1、原函数,不定积分的定义,基本积分公式;2、换元法,分部积分法教学难点：1、第一换元法,第二换元法,分部积分法;2、有理函数式化部分分式代数和;第一节 不定积分的概念一、原函数的概念二、不定积分的定义与几何意义三、不定积分的基本性质第二节基本积分表基本积分公式;第三节换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法第四节分部积分法一、分部积分公式二、分部积分公式应用第五节有理函数的积分一、简单分式的不定积分二、真分式的分解三、求有理函数不定积分的一般步骤与方法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第六章定积分一教学目的与要求教学目的使学生理解定级分和广义积分的概念,掌握定积分的计算方法.会计算简单的广义积分,另外会用定积分求解一些简单的几何和经济问题;基本要求1、了解定积分的概念与基本性质,掌握积分中值定理;2、会求变上限积分的导数,熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式;3、熟练掌握定积分的换元积分公式与分部积分公式;4、会利用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、及简单的经济应用问题;5、了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的方法;知道广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的收敛条件;知道Γ函数的定义、性质与递推公式;二教学内容定积分的概念与性质；微积分基本定理；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分在面积、体积与经济学中的应用；广义积分;教学重点：1、定积分的概念,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的计算;2、定积分的换元法及分部积分法;3、平面图形的面积计算;教学难点：1、定积分几何意义,变上限定积分;2、广义积分的敛散性;3、”微元法”的基本思想;第一节定积分的概念与性质一、曲边梯形的面积二、定积分的定义与几何意义三、定积分的基本性质四、积分中值定理第二节微积分基本定理一、变上限积分与原函数存在定理二、变上限积分的求导方法三、牛顿——莱布尼兹公式第三节定积分的计算一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法第四节定积分的应用一、平面图形的面积二、立体的体积三、简单的经济应用问题第五节广义积分初步一、无穷积分的概念与无穷积分收敛与发散的定义及其计算二、瑕积分的概念与瑕积分收敛与发散的定义及其计算三、广义积分11pdx x+∞⎰与101p dxx⎰的敛散性判别四、Γ函数的定义、性质与递推公式五三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数14学时;第七章多元函数微积分学一教学目的与要求教学目的使学生了解空间直角坐标系的有关概念及多元函数的概念.理解多元函数微分理论,掌握多元函数微分的基本计算方法和在求极值方面的应用.了解二重积分的概念,性质.掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法及对特殊区域会用极坐标系去计算积分;基本要求1、了解空间直角坐标系的有关概念,会求空间两点间的距离;了解平面区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域等概念;2、了解多元函数的概念；掌握二元函数的定义与表示法;3、知道二元函数的极限与连续性的概念;4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法;5、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法;6、了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数极值的方法;7、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法,会计算一些简单的二重积分二教学内容多元函数的概念；偏导数；多元复合函数偏导数；隐函数的求偏导数；全微分；二元函数极值与条件极值；二重积分的概念、性质、计算法及应用;教学重点：1、偏导数的运算;2、复合函数的偏导数和全微分;3、条件极值与拉格朗日乘数法;4、二重积分定义,性质;5、在直角坐标系及极坐标系下计算二重积分教学难点：1、二元函数极限的概念;2、高阶偏导数的运算;3、复合函数的偏导数;4、极值应用问题的求解;5、二重积分定义;6、二重积分的定限第一节预备知识一、空间直角坐标系、空间两点间的距离与空间曲面与曲面方程二、平面上的区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域的概念第二节多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的定义域与几何意义三、二元函数的极限与连续性第三节偏导数与全微分一、偏导数的定义与计算方法二、全微分的定义与计算方法第四节多元复合函数微分法与隐函数微分法一、多元复合函数概念与微分法二、隐函数微分法第五节高阶偏导数一、高阶偏导数的定义二、高阶偏导数的求法第六节多元函数的极值与最值一、二元函数极值的定义二、极值的必要条件与充分条件三、条件极值与拉格朗日乘数法四、多元函数最值的概念与求法第七节二重积分一、曲顶柱体体积二、二重积分的定义与基本性质三、二重积分的计算法四、在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数28学时;第八章无穷级数一教学目的与要求教学目的使学生掌握关于级数的基本概念和基本理论及有关级数收敛性的理论和方法.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,能熟练掌握简单的幂级数收敛区间的求法.基本要求1、了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散、收敛级数的和等基本概念;2、掌握几何级数与P级数敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性;3、掌握级数收敛的条件,以及收敛级数的基本性质;4、掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法;5、掌握交错级数敛散性的莱布尼兹判别法;6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法; 二教学内容常数项级数的概念与性质；正项级数的判别法；任意项级数的判别法；幂级数的概念；收敛半径；收敛区间;教学重点：1、正项级数收敛性的判别;2、交错级数的判敛.任意级数绝对收敛与条件收敛的概念;3、幂级数的收敛半径和收敛区间教学难点：1、对级数通项的认识并选定恰当的判敛法;2、任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念;第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数及其一般项与部分和的概念二、无穷级数收敛与发散的定义三、收敛级数和的概念四、几何级数与调和级数的收敛性五、无穷级数收敛的必要条件六、收敛级数的基本性质第二节正项级数一、正项级数收敛的概念二、正项级数收敛的充分必要条件三、正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法四、P级数的敛散性第三节任意项级数一、交错级数的概念二、交错级数敛散性的莱布尼兹判别法三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念四、绝对收敛与条件收敛的判别法第四节广义积分的敛散性判别法一、无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法二、广义积分的绝对收敛性三、Β函数的定义四、Β函数与Γ函数的关系第五节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数的概念三、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的概念四、幂级数敛散性判别法五、幂级数收敛半径、收敛区间的求法六、幂级数的基本性质第六节函数的幂级数展开一、泰勒公式及其余项二、泰勒级数与麦克劳林级数三、幂级数展开定理四、将函数展成幂级数的方法直接展开法、间接展开法五、基本初等函数的幂级数展开三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数10学时;第九章微分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解微分方程的一些基本概念,掌握一些特殊而又简单的微分方程的解法,以及一阶线性方程,二阶常系数线性方程的解法,并会解一些简单的经济应用问题.基本要求1、了解微分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法;3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程；微分方程在经济学中的应用;教学重点：1、微分方程的概念;2、变量可分离的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的解法;教学难点：1、各种类型的微分方程的判别;2、建立实际问题的微分方程第一节微分方程的基本概念一、微分方程的定义二、微分方程的阶、解通解、特解、定解条件三、微分方程的初值问题第二节一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程第三节高阶微分方程一、n阶微分方程的一般形式二、二阶常系数线性微分方程的特征根解法三、几种特殊的高阶微分方程的解法三教学方法与形式采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式;四教学时数8学时;第十章差分方程初步一教学目的与要求教学目的使学生了解差分方程的基本概念;掌握一阶,二阶常系数线性齐次差分方程的解法;会解一些特殊的一阶,二阶常系数线性非齐次差分方程;了解差分方程在经济学中的简单应用; 基本要求1、了解差分与差分方程的阶、解、通解、特解等概念;2、掌握一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解法;3、会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;4、会求解一些简单的经济应用问题;二教学内容差分方程的基本概念；一阶与二阶差分方程的解法；差分方程在经济学中的应用;教学重点：1、差分与差分方程的概念;2、一阶、二阶常系数线性差分方程的特解、通解;教学难点：二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解;第一节差分方程的基本概念一、差分与差分方程的概念二、差分方程的阶、解通解、特解第二节一阶常系数线性差分方程一、一阶齐次差分方程的通解二、一阶非齐次差分方程的特解与通解第三节二阶常系数线性差分方程一、二阶齐次差分方程的通解特征根解法二、二阶非齐次差分方程的特解与通解。
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• a x 0 x 1 x 2 L x i L x n b ，用 x i 表示
区间[ xi1 , xi ] (i1,2,Ln) 的长度，记
,
在区间 [ xi1 , xi ] 上任取一点 i ，作和
数
Sn
n
f
(i
)xi
，若当(T)
0时，S n
（I 有限
i1
数），且 I
与分割 T
及 在区间 i
a5m/s2. 所以 vt v0at105t，
而停车时 v t 0 ，因此 t 2 .故 S0 2vtdt0 2(105t)dt10.
即刹车后，汽车需要走1 0 m 才能停住 .
随堂练习： P86 7
小结：这节课主要讲原函数的定义，微积分 基本定理及运用.
作业： P85 A6
• a bf(x)dxF (x)b aF (b)F (a).
• 上述公式是Newton —Leibniz公式，也称作
微积分基本公式.
• 注意： 定理的证明放到大学里去证，要用到 积上限函数
•
(x)
x
f (t)dt
,
a
x[a,b] .
例1 计算下列定积分：
• （1）
1
2xdx ;
0
• （2） 1 x 2 d x ; 0
第2节 微积分基本定理
乐安一中 王朝华
一.教学目的：使学生掌握微积分基本 定理，并运用求定积分 二．教学重点：应用微积分基本定理 计算微积分 三．教学难点：求一个函数的原函数 四．教学方法：讲练结合
• （一）复习提问 • 1定积分概念
(T)Max{xi} 1in
• 设函数y f (x)定义在区间[ a , b ] 上，用分割T 将区间 [ a , b ] 分成n个小区间，分点依次为
• （5）a x 的原函数是 a x c ； ln a
• （6）s i n x 的原函数是 cosxc；
• （7）cos x的原函数是 sinxc ；
• （8） 1 的原函数是arcsinxc. 1 x2
• 3微积分基本定理
• 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，若 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上的一个原函数，则
b
b
• （2） a [f(x ) g (x )]d x af(x )d x ag (x )d x;
• （3） 积分区间的可加性
•
bf(x)dxcf(x)dxbf(x)dx,
a
a
c
(
acb
).
• （二）讲新课
• 1原函数的定义
• 设函数 f ( x ) 定义在某区间 I 上，如果存 在函数 F ( x ) 使得 x I 都有F(x)f(x) ，
那么称函数 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 上的一
个原函数.
• 易知：f ( x ) 的所有原函数可以表示为 F(x) C （ C 为任意常数）.
• 2 常见基本初等函数的原函数表 • （1）1的原函数是 x c ；
• （2）x 的原函数是 1 x1+C(1)；
1
（3）1x 的原函数是 ln x c ； • （4）e x 的原函数是 e x c ；
[ x i1 , x i ] (i1,2,Ln)
上的选取无关，则称此极限为 f ( x ) 在区间 [ a , b ]
上的定积分，记为
b
I a f (x)dx
.
• 2定积分几何的意义 • 就是曲边梯形的面积. • 3定积分的性质
• （1） abkf(x)dxkabf(x)dx（k为任意常数）;
b
x • 例2 计算 y sin x在 [0， ] 上与 轴所围成 平面图形的面积.
• 【解】 A0 sinxdxcosx 02.
• 例3 汽车以每小时 36km 的速度行驶，到某处 需要减速停车，设汽车以等加速度 a 5m s2
• 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了距离？
【解】因为当 t 0时， v0 10m/ s；又
• （3）
2 0
c
o
s
xd
x
;
• （4） 2 e x d x . 1
【解】（1）原式= 20 1xdx21 2x21 012021.
（2）原式=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1x3 3
1 0
1(13 3
03)1 3
.
（3）原式=
sinx
2 0
sin sin01
2
.
（4）原式= 12exdxex1 2e2e1e2e.
随堂练习：P8 5 1 .