理论力学 第八章 弯曲变形

dw tg w( x) w dx w =w（x）上任一点处——
tg w
w
A
C C' B
x
w挠度（

B
转角
8
§8—2 梁的挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系： 1 M 1 M(x) EI (x) EI 二、曲率与挠曲线的关系：
1 ( x) w
a x2
L
b
写出微分方程并积分 左侧段（0≤x1≤a）：
Fb x1 L Fb 2 EIw1 x1 C1 2L Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 6L EIw1
右侧段（a≤x2≤L）： Fb EIw2 x2 F ( x2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIw2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIw2 x2 C2 x2 D2 6L 6
5ql 4 384 EI
max
A ql 3 B 24 EI
例：求图示梁的跨中的挠度和转角 （EI=常数） 解：建立坐标系并写出弯矩方程
Fb M ( x1 ) x1 L Fb M ( x2 ) x 2 F ( x2 a ) L
Fb/L A x1 C
F Fa/L B
（3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。 4、确定挠曲线方程和转角方程 。
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
解一：建立坐标系并写出弯矩方程 M ( x) F ( L x)
写出微分方程并积分
EIw M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”、 ) 2 对变形的影响。 (w 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
§8—3 积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 EIw( x) M ( x) EIw( x) M ( x)dx C1
w( F1F2 Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fnபைடு நூலகம்)
三、叠加法计算的两种类型： 1、载荷叠加： 2、结构形式叠加（逐段刚化法）：
例3
已知简支梁受力如图示， q、l、EI均为已知。求C 截面 的挠度wC ；B截面的转角B
P
F
B
x
二、挠度：横截面形心沿垂直于 C1 θ 轴线方向的位移。 用 “w” 表示。 w =w（x） ……挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。 三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“” 表示。 θ =θ (x)……转角方程。 由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。 四、挠度和转角的关系




跨中挠度及转角 Fb w x L (3L2 4b 2 ); 2 48 EI
Fb L2 4b 2 2 24 LEI 两端支座处的转角—— A Fab( L b) ; B Fab( L a) 6 LEI 6 LEI
w x L


讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。
左 1max w1 0 x1 0 侧 Fab( L b) 段：1max A 6 LEI
当 a＞b 时——
右 2 max w2 0 x2 L 侧 Fab( L a) 段： 2 max B
w x
L
F x
EIw M ( x) F ( L x) 1 EIw F ( L x) 2 C1 2 1 EIw F ( L x)3 C1 x C2 6 应用位移边界条件求积分常数
X=0, w=0 ; θ =0 1 1 2 C1 FL ; C2 FL3 2 6
6 LEI
max
Fab( L a) B 6 LEI
L2 b 2 3 (l 2 b 2 ) 3 a (a 2b) 3
wmax w 0 x1
当 a＞b 时—— x1 a
wmax w1
x x1
最大挠度一定在左侧段
Fb 9 3LEI
2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。 F
5qa4 Fa 3 ( ) 24 EI 6 EI
例：叠加法求C点挠度.
B
q0
A 0.5L C
dF db b
0.5L
解、载荷无限分解如图 2bq0 dF q (b)db db L 、查梁的简单载荷变形表，
ql qx2 q M ( x) x (lx x 2 ) 2 2 2
ql/2
A
q
ql/2
B
写出微分方程并积分
q (lx x 2 ) 2 q lx 2 x 3 EIw ( ) C1 2 2 3 q lx3 x 4 EIw ( ) C1 x C2 2 6 12 EIw
wA 0; wB LBE wC1 wC 2 , C1 C 2 .
§8—4 叠加法计算梁的变形
一、前提条件：弹性、小变形。
二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每 个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。
( F1F2 Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
ql 3 B1 24 EI ql 3 B1 16 EI ql 3 B3 3EI
21
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 wC wCi 384 EI 48EI 16 EI i 1
3
wC1
11ql 4 ( ) 384 EI
解 1）将梁上的载荷分解
wC1
wC wC1 wC 2 wC 3 B B1 B 2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC2 wC3
5ql 4 wC1 384 EI
ql 4 wC 2 48EI ql 4 wC 3 16 EI
F w( x) 3Lx 2 x 3 6 EI F w 2 Lx x 2 2 EI




最大挠度及转角
wmax FL3 w( L) 3EI FL2 ( L) 2 EI
C1 0 ; C2 0
max
例：求图示梁的最大挠度和最大转角 （EI=常数） 解：建立坐标系并写出弯矩方程
……（1 ）
1 w ( x)
1 ( w)
3 2 2
→→
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系：
联立（1）、（2）两式得
M ( x) w EI
EIw M(x)
w
M>0
w
M<0
w ( x ) ＞ 0
x
w ( x )
＜
0
x
结论：挠曲线近似微分方程——
=
a
a
FL3 Fa 3 w FC 48 EI 6 EI
qL3 qa3 qA 24 EI 3EI
+
q
a
a
5qL4 5qa4 wqC 384 EI 24 EI
、叠加
A
a2 (3F 4qa) FA qA 12 EI
wC wFA wqA
确定挠曲线、转角方程
F w( x) ( L x)3 3L2 x L3 6 EI F w ( L x) 2 L2 2 EI 自由端的挠度及转角




FL3 FL2 w( L) ( L) 3EI 2 EI
解二：建立坐标系并写出弯矩方程
M ( x) F ( L x)
L x 确定挠曲线和转角方程 qx 3 w (l 2lx 2 x 3 ) 24 EI q w (l 3 6lx 2 4 x 3 ) 24 EI 最大挠度及最大转角
wmax
x L 2
C
应用位移边界条件求积分常数 X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . ql 3 C1 , C2 0 24
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 荷。
23
wC
2）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
ql 3 ql 4 wC1 , C1 8EI 6 EI l ql 3 wC 2 wB 2 B 2 C 2 2 48 EI ql 4 ql 3 l , 128 EI 48 EI 2
w x
L F
写出微分方程并积分
x 确定挠曲线、转角方程
EIw M ( x) ( FL Fx) 1 2 EIw FLx Fx C1 2 FLx 2 Fx3 EIw C1 x C2 2 6 应用位移边界条件求积分常数
X=0, w=0 ; θ =0
wC2 wC3
ql 3 ql 3 ql 3 B Bi 24 EI 16 EI 3EI i 1
3
11ql 3 ( ) 48EI
22
wC
例4 已知：悬臂梁受力如图 示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度wC和转角C 解 1）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形
应用位移边界条件和连续条件求积分常数 X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . X1=X2=a ，w1=w2 ；w／1=w／2 Fb 2 C1 C2 ( L b 2 ); D1 D2 0 6L 确定挠曲线和转角方程 Fb L 3 Fbx1 2 2 2 w2 ( x2 a)3 x2 ( L2 b 2 ) x2 w1 L b x1 6 LEI b 6 LEI Fb 2 1 w1 ( L2 b 2 ) 6 x1 w Fb L ( x a ) 2 x 2 1 ( L2 b 2 ) 2 2 2 2 6 LEI 2 LEI b 3