第8章 弯曲变形
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工程力学第八章 直梁弯曲
实际加工中，采用在铣刀 对面加顶尖的方式。其力学 原理是：增加铣刀的支座约 束，其受力图如图c所示，使 铣刀根部截面上的弯矩MW 减小。铣刀所受的径向力F， 一部分由顶尖承担，使铣刀 根部截面上的应力也相应减 小，从而保证了铣刀不被折 断，提高了生产效率。
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
二、选择合理的截面形状
Mw y σ= Iz
Mw——横截面上的弯矩，N·m或N·mm； y——点到中性轴z的距离，m或mm； Iz——截面对中性轴z的惯性矩，m4或mm4。
最大正应力：σ max
M w ymax M w = = Iz Wz
Wz =
Iz ymax
Wz为抗弯截面系数，单位为m3或mm3。
§8－3 弯曲正应力
工程中常见梁截面图形惯性矩和抗弯截面系数计算公式 截面图形 惯性矩 抗弯截面系数
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
2．弯矩的正负规定
梁弯曲成凹面向 上时的弯矩为正 梁弯曲成凸面向 上时的弯矩为负
弯矩的计算规律：某一截面上的弯矩，等于该截面 左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩的代数和。
弯曲内力——剪力和弯矩 §8－2 弯曲内力 剪力和弯矩
三、弯矩图
1．弯矩方程与弯矩图
§8－1 平面弯曲的力学模型
(1)活动铰链支座 (2)固定铰链支座 (3)固定端支座
§8－1 平面弯曲的力学模型
3．载荷的基本类型 (1)集中力
(2)集中力偶 (3)分布载荷
F1
集中力
（分布力）
§8－1 平面弯曲的力学模型
4．静定梁的力学模型
名称
简支 梁
描
述
图
示
一端为活动铰链支座, 另 一端为固定铰链支座的梁 一端或两端伸出支座外的 简支梁，并在外伸端有载 荷作用 一端为固定端，另一端为 自由端的梁
8章弯曲应力及弯曲强度
弯 矩 图 特 点
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
工程力学第八章__直梁弯曲
作用面内的一条曲线。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
08第八章 弯曲变形
二、梁计算简图 1支座形式与支反力 作用在梁上的外力，包括载荷和支座反力 载荷和支座反力。工程中常见支座有以下 载荷和支座反力 三种形式: （1）固定铰支座。如图8-3（a）所示，固定铰支座限制梁在支承处 固定铰支座。 固定铰支座 任何方向的线位移，其支座反力可用2个正交分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA。 （2）活动铰支座。如图8-3（b）所示，活动铰支座只能限制梁在支 活动铰支座。 活动铰支座 承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用一个分量FRA表示。 （3）固定端。如图8-3（c）所示，固定端支座限制梁在支承处的任 固定端。 固定端 何方向线位移和角位移，其支座反力可用3个分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA，以及位于梁轴平面内的反力偶 MA。
解：（1）列弯矩方程 选取A为坐标原点，坐标轴如图8-13所示。在截 面x处切开，取左段为研究对象，列平衡方程： （2）作弯矩图 由弯矩方程可知，弯矩M为x的一次函数，所以 弯矩图为一条斜直线。（由两点可画出一条直线）
例8-7图8-14（a）所示悬臂梁，在全梁上受集度 为q的均布载荷作用。作该梁的弯矩图。
例8-1：如图8-8所示悬臂梁，求图中1-1和2-2截 面上的剪力和弯矩。
解： （1） 计算1-1上的剪力和弯矩。 假想在1-1截面处把梁截开，考虑左段梁的平衡， 剪力和弯矩按正方向假设。
得：
（2） 计算2-2上的剪力和弯矩。假想在2-2截面 处把梁截开，考虑左段梁的平衡，剪力和弯矩按 正方向假设。
弯矩图如图8-11（b）所示，由于在C点处有集中力 偶Mo作用，C点左侧与C点右侧弯矩不变，有突变， 突变值即为集中力偶Me。如b>a，则最大弯矩发生 在集中力偶作用处右侧横截面上 。
例8-5：图8-12（a）所示简支梁，在全梁上受集 度为q的均布载荷，作此梁的弯矩图。
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
第 8 章 弯曲刚度
例题 8-2
F
A
a
q
a
C
叠加法求A截面 B 的转角和C截面 的挠度. 解：
B
Fa 2 FA 4 EI
Fa 3 w FC 6 EI
F
A
a
=
FA C
wFC
a
q
+
B
A
a
qA C
wqC
a
qa 3 qA 3 EI 5 qa4 w qC 24 EI
d w M 2 EI dx
2
w
d 2w 0,M 0 2 dx M M
d 2w 0,M 0 2 dx
M M
本书所采 用的情况
x
x
d w M 2 EI dx
2
w
d w M 2 EI dx
2
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
EIw( x ) M ( x )
EIw( x ) M ( x )dx C 1
41ql 4 24 EI
§6 简单静不定梁
q
A
FAy
a
C
a
B
FBy
F
y
0 , FAy FBy 2qa 0.
0 , FBy 2a 2qa a 0.
M
A
1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。
q
A
FAy
a
C
§2 小挠度微分方程及其积分 一、 小挠度微分方程
1 M( x ) ( x ) EI z
曲率与弯矩的关系
B
1 3 2 ( x ) 2 dw 1 dx d 2w dx 2
工程力学第8章 变形及刚度计算
第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
材料力学第八章-弯曲变形
q0 B x 等价 MA A EI f q0 B
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
L
A
L
解：建立静定基 确定超静定次数 用反力代替多余约束 得新结构 —— 静定基
或
q0
A
B L RB
32
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
f B f Bq f BRB 0
物理方程
=
A B RB q0 A B
qL RB L f Bq ; f BRB 8EI 3EI
A A 铰连接
P
C D
C
D
B
A点：f A 0, A 0
B点： f B左 f B右
C点： f C左 f C右 C左 C右
D点：f D 0
21
边界条件、连续条件应用举例
P
弯矩图分二段，
共积分常数 需4个边界条件 和连续条件
A B
C
(+)
A点： A 0 B点： f B左 f B右 , C点：f C 0
解：载荷分解如图
=
P A B
查梁的简单载荷变形表，
得到变形
Pa PA 4 EI
q B
2
Pa f PC 6 EI
3
+
A
qa qA 3EI
3
5qL f qC 24 EI24
4
P
A
C a a
q B
Pa PA 4 EI
qa 3 qA 3EI
2
Pa 3 f PC 6 EI
Differential Equation of beam deformation 1 M ( x) 已知曲率为 EI z x
M>0
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梁的轴线x轴的夹角。
第8章 弯曲变形
图8-25
第8章 弯曲变形
使8用.7规.2范说用明查表法和叠加法求梁变形
由于确定梁的挠曲线方程 比较复杂，工程中将在常用简单载荷
作用下的弯曲变形的挠曲线方程、挠度和转角的计算式列成表，以便
引用。用时在相关机械手册中查取。
通过查表确定梁变形值的方法称为查表法。如果梁同时受到几种
使用规范说明
表8-3 常用截面梁的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
第8章 弯曲变形
使8用.5规范梁说弯明 曲时的正应力强度计算
由于塑性材料的抗拉和抗压性能相同，即 [σ1 ] =[σy ] ，工程实
践中，为了充分发挥梁的抗弯能力，一般采用上、下对称于中性轴的
截面形状，其强度条件为
但对于抗拉和抗压性能不同的脆性材料，即 [σ1 ] ﹤[σy ] ，一般
，除 所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应
力均小于甚至远小于许用应力，高强度富裕，材料未得到充分利用。
为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，
这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若使变截面梁每个截
面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁。
力和弯矩可以表示为坐标x的函数，即
上述两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
第8章 弯曲变形
使8用.3规.2范说剪明力图和弯矩图
一般以梁的左端为原点建立直角坐标系，以横坐标轴x轴表示梁
的横截面位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩的数值，按一
定的比例将正的剪力或弯矩画在x轴上方，负的剪力或弯矩画在x轴下
图8-3
第8章 弯曲变形
1．梁的简化
使用规为范了说研究明和绘图的方便，首先对梁本身进行简化，就是用梁的轴
线来代替实际的梁。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为图8-4所
示的三种基本形式。
（1）简支梁 一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁 称为简支梁（图8-4a）。
（2）外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或 两端伸出支座以外，所以称为外伸梁（图8-4b）。
左段）为研究对象，如图8-7c所示，由于整个梁是平衡的，所以左段
梁也应是平衡的。左段梁受向上的集中力F的作用，要使左段梁平衡
，在截面 上必定有一个作用线与外力F平行、等值、反向的内力FQ存 在。同时，集中力F对截面形心C的矩使左段梁有顺时针转动的趋势
，因而截面 上必定有一个在梁的纵向对称平面内的内力偶M与之保持
轴线将弯曲成一条在纵向对称平面内的平面曲线，这种弯曲称为平面
弯曲。
平面弯曲是最常见、最简单的弯曲变形。梁上的载荷和支承情况
一般比较复杂，为了便于分析和计算，在保证足够精度的前提下，需
要对梁进行力学简化。
第8章 弯曲变形
图8-6
第8章 弯曲变形
使8用.2规范梁说的明 内力——剪力与弯矩如图8-7所示，假想源自梁在截面 处截开，保留它的任一段（如
采用上、下不对称于中性轴的截面形状，其强度条件分别为
第8章 弯曲变形
使8用.6规范提说高明 梁强度的措施
在梁的强度设计中，常遇到如何根据工程实际情况来提高梁的
抗弯强度的问题。
8.6.1 合理布置梁的支座和载荷
在载荷不变的前提下，通过合理布置载荷和安排梁的支座位置，
可以降低梁的最大弯矩。
（1）使集中力远离简支梁的中点。
转角小于许用转角，即
以上两式称为梁的刚度条件。其中， [y ] 为弯曲梁的许用挠度
， [θ] 为弯曲梁的许用转角。其具体数值根据实际工作条件规定，可
参照有关手册确定。
在设计梁时，一般应使其先满足强度条件，再进行刚度条件校核
使用规作范用说在明梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：
（1）集中载荷 当载荷的作用范围和梁的长度相比较很小时，可 以简化为作用于一点的力，称为集中载荷或集中力。
（2）集中力偶 当梁的某一小段内（其长度远远小于梁的长度） 受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶
（3）分布载荷 即梁的全长或部分长度上连续分布的载荷，如图 8-5c所示梁上的载荷。如梁的自重，水坝受水的侧向压力等，均可视 为分布载荷。
（2）将载荷分散作用。
（3）合理安排支座位置。
第8章 弯曲变形
使8用.6规.2范说合明理选择梁的截面
从梁的弯曲强度条件可知，梁的抗弯截面系数 Wz越大，横截面
上的最大正应力就越小，梁的抗弯承载能力就越大。 Wz的值与截面
尺寸与截面形状有关，梁的截面面积A越大， Wz就越大，但消耗的
材料也会增加，在设计梁时，应采用合理的截面形状。因此合理的截
等强度梁的制造成本较高，一般不采用。摇臂钻的摇臂、鱼腹梁、阶
梯轴等都是变截面梁，可以认为是近似的等强度梁。
第8章 弯曲变形
使8用.7规范梁说的明 弯曲变形及刚度条件
8.7.1 梁的挠度和转角
如图8-25所示，悬臂梁在集中载荷F的作用下，由于弯曲而变形
，其轴线AB变形后弯成平面曲线AB1。轴线AB上的各点在y轴方向 上产生了垂直位移，该位移量（由于是小变形，水平方向的位移忽略
横截面上，只有弯矩M而无剪力FQ，梁在这段的弯曲称为纯弯曲。
第8章 弯曲变形
图8-15
第8章 弯曲变形
使8用.4规.2范说梁明纯弯曲时横截面上的正应力
在平面弯曲时，工程上近似地认为梁横截面上的弯矩是由截面上
的正应力形成的，而剪力则由截面上的切应力所形成。
1．实验观察
梁是由许多纵向纤维组成的，上面的纵向纤维因单向受压而缩短
表示
式中， σ——横截面上距中性轴为y的各点的正应力；
M——横截面上的弯矩；
y——所求点到中性轴的距离；
Iz ——横截面对中性轴z的惯性矩，它表示截面的几何性
质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何量，反映了截面的抗弯能
力，常用单位有m4 、mm4 。
第8章 弯曲变形
表8-3所示为几种常用截面梁的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
不计）称为挠度，用y表示，它的单位是mm。如图8-25中的CC1即为 C点截面处的挠度。一般规定，向上的挠度为正，向下的挠度为负。
在弯曲变形过程中，梁的横截面相对于原来位置绕中性轴转过的角度
称为该截面的转角，用 表示，它的单位是弧度（rad）。由于变形后
截面仍垂直于曲线，所以截面的转角 等于该截面处挠曲线的切线与
（3）画剪力图和弯矩图。
（4）其他注意事项与绘制轴力图相同。
第8章 弯曲变形
表8-2 不同载荷作用下剪力图与弯矩图的特点
第8章 弯曲变形
根据上述特点，可将剪力图和弯矩图的画法归纳为以下三种：
使用规两范点说连直明线法：所有的剪力图和除均布载荷作用下的弯矩图都是
直线构成的，都可以用求得两个关键点的坐标，从而两点连直线作图
载荷联合作用而发生变形时，可先从表中查出每种载荷单独作用下的
弯曲变形，然后将它们叠加，求出梁的实际弯曲变形量，这种方法称
为叠加法。
第8章 弯曲变形
使8用.7规.3范说梁明的刚度条件
梁的变形计算，其目的主要是为了进行刚度计算。满足梁的刚度
要求，就是指梁在外力作用下，应保证最大挠度小于许用挠度，最大
方，这样得出的曲线图分别称为剪力图和弯矩图。
在绘制剪力图和弯矩图时，常根据剪力方程和弯矩方程。利用剪
力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图的基本思路如下：
（1）求约束力。
（2）分段建立剪力方程和弯矩方程。分段的原则是：剪力图以相 邻外力的作用点来分；弯矩图以相邻外力的作用点、力偶的作用面和 均布载荷的两端点来分。
两点连曲线法：当悬臂梁作用均布载荷（如例8-4）时，其弯矩
图是抛物线的一部分（上升部分或下降部分），故可用先找到首尾两
点后，将这两点连成光滑曲线的方法作图。
三点连曲线法：如图8-14a所示的简支梁作用均布载荷时，其弯
矩图为二次抛物线。这时必须先画梁的剪力图，找到剪力为零的点的
位置，并求出该点的弯矩值——极值，再找到均布载荷作用的始末两
布有以下特点：
（1）中性轴上的线应变为零，所以其正应力也为零。
（2）与中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律， 它们的正应力也必相等。
（3）如图8-18所示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为压应 力（即负值），中性轴下部各点正应力为拉应力（即正值）。弯曲变 形时，横截面上中性轴上下部分，正应力的方向相反。
，下面的纤维由于单向受拉而伸长，其间必有一层纤维既不伸长也不
缩短，保持原有的长度，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线
叫中性轴。
由理论可以证明：中性轴必通过截面的形心。
第8章 弯曲变形
2．梁纯弯曲时横截面上的正应力的分布规律
使用规由范上说述分明析可知，矩形截面梁在纯弯曲时，横截面上正应力的分
（4）横截面上的正应力沿y轴呈线性分布，即 ，K为待定常数，如 图8-18所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上下边缘处。 正、负弯矩对应的应力分布规律如图8-19a、b所示。
第8章 弯曲变形
图8-18
图8-19
第8章 弯曲变形
3．梁纯弯曲时横截面上的正应力计算
使用规有范理说论可明证明，梁纯弯曲时横截面上正应力的计算公式可用下式
面形状应是：用最小的截面面积（即用材料少），得到最大的抗弯截
面系数 Wz 。通常用比值 Wz/A来衡量截面的合理性和经济性，该比 值越大，截面就越经济合理。