5.4,5.5一个正态总体参数的假设检验

提出待检验假设
H 0 : µ = 23. 取α = 0.05
X − 23 X −µ 如果 H 0成立 U0 = 2 ~ N (0,1) U= ~ N (0,1) 2 6 6 X − 23 P > uα = α 2 2 6
X = 20.5, U 0 = 3.06 > 1.96 X − 23 P > 1.96 = 0.05 2 不能接受 " µ = 23" 这一假设 6
判 等 "EX = 23"成 与 ? 断 式 立 否
例 2, 用传统工艺加工的红果 罐头 , 每瓶平均维生素 C 的含量为 19毫克 , 现改进加工工艺，抽查 16 瓶罐头，测得 VC 含量为 现改进加工工艺， 瓶罐头， 23； .5； ； ； ； .5； ； ； ； .5； .8； ； .5； ； ； .(毫克 ) 20 21 22 20 22 19 20 23 20 18 20 19 22 18 23 若假定新工艺的方差 (1)σ 2 = 4为已知 ; ( 2 )σ 2 未知 , 问新工艺下 VC 的含量是否比旧工艺下 含量高 ?
2. H 0 : µ ≤ µ 0
解 .待检验的假设是 H 0 : µ ≤ 19. 设 α = 0 .05 , σ 2 = 4
分析
U= X −µ
σ
~ N(0,1)
U0 =
X − 19
σ
. U 0的分布不能确定
当H 0 成立时
n
U ≥ U0
P {U 0 > uα } ≤ P{U > uα }
X − 19 > uα ≤ α 则P σ n
α
第二类错误 当原假设 H0 不成立时，而样本值却落入了接受域，从而 不成立时，而样本值却落入了接受域， 的结论。也就是说， 作出接受 H0的结论。也就是说，把不符合 H0 的总体当 成符合 H0 的总体加以接受 . “纳伪”的错 纳伪” 误
β
( ≠ 1 − α ) 用图分析
β 与α , n有关
实际应用
X − µ P < −uα = α, σ n
U0 ≥ U P {U 0 < − uα } ≤ P {U < − uα }
X − µ0 U0 = < − ua , σ n
X − µ0 P < − uα ≤ α σ n
U0 =
一 ,已知方差 σ 2 , 关于数学期望 µ的假设检验 1, H 0 : µ = µ 0 称为双侧 (或双边 )假设检验 .
问今年的日均销售额与 去年相比有无显著变化 ? α = 0.05 解 .待检验的假设 H 0 : µ = 53 .6 X − 53.6
X −µ U= ~ N (0,1) 6 10
非参数的假设检验 . " H 0 : µ = 23, H 1 : µ ≠ 23" " H 0 : µ ≤ 19, H 1 : µ > 19"
原假设或零假设 备择假设或对立 " H 0 : µ1 =
2 2 µ2 ,σ 1 = σ 2 "
二 , 假设检验的基本思想
提出待检验假设
样本资料
先假定 H 0 成立
关于总体数学期望 µ的假设
(1)σ 2已知
(2)σ 2 未知
H0 : µ = µ0; H0 : µ ≤ µ0; H0 : µ ≥ µ0
关于总体方差 σ 2的假设
H0 :σ
2
2 = σ0 ;
H0 :σ
2
2 ≤ σ0 ;
H0 :σ
2
2 ≥ σ0 .
例1, 某百货商场的日销售额 服从正态分布 , 去年的日均销售额 为 53 .6(万元 ), 方差为 6 2 , 今年随机抽查了 10 个日销售额 , 分别是 57 .2； .8； .4； .3； .7； .3； .4； .9； .5； .5。 57 58 59 60 71 56 58 47 49 根据经验 ,方差没有变化 , 方差没有变化
2
( −∞ ,−1,96) U (1.96,+∞ )
图
记 = uα , 称 临 值 为 界 λ
否定域位于接受域的两 侧 , 称为双侧 (或双边 )假设检验 .
拒绝域在接受域的一侧 , 称为单侧 ( 单边 )假设检验。 假设检验。
四、假设检验的两类错误 第一类错误 图 在原假设 H 0成立时，由于样本值的随机性，计算值也可 成立时，由于样本值的随机性， 能落入否定域，从而作出拒绝的判断， 能落入否定域，从而作出拒绝的判断，这种把客观上符合 假设而判为不符合的错误. 弃真” 假设而判为不符合的错误. “弃真”的错 误 就是犯第一类错误的概率的最大允许值
Φ 0 (uα ) = 1 − α
称为左侧假设检验。 称为左侧假设检验。
S P{| T0 |> t α (n − 1)} = α 2 n 例 3 以往一台机器生产的垫 圈的平均厚度为 0.050 厘米 , 为了检查 这台机器是否处于正常 工作状态 , 现抽取 10 个垫圈的一组样本 , 测得其平均厚度为 0.053 厘米 , 样本方差为 0.0032 2 , 在显著水平 (1)α = 0.05, ( 2 )α = 0.01下 , 检验机器是否处于正常 工作状态 . 解.H 0 : µ = 0.050, H1 : µ ≠ 0.050 T0 = X − 0.050 S (1)当 α = 0.050时 t 0.025 ( 9) = 2.262 n
成立时： 当 H 0成立时：
57.7 − 53.6 说明“弃真” 说明“弃真”与“纳伪 ” U0 = = 2.16 6 | U 0 |= 2.16 > 1.96,故否定原假设 10 ※
X = 57.7 P{| U 0 |≥ 1.96} = 0.05
6 10
~ N (0,1)
如取α = 0.01
uα = 2.58, | U 0 |= 2.16 < 2.58
称为右侧假设检验。 称为右侧假设检验。
例5.24
某厂生产灯管的寿命X(单位 服从正态分布 单位: 例5.24 . 某厂生产灯管的寿命 单位: h)服从正态分布 N(µ, 40000), 根据经验, 灯管的平均寿命不超过 , 根据经验, 灯管的平均寿命不超过1500h, 现测 , 试了25只采用新工艺生产的灯管的寿命 其平均值为1575h, 只采用新工艺生产的灯管的寿命, 试了 只采用新工艺生产的灯管的寿命, 其平均值为 , 试问新工艺是否提高灯管的寿命?(显著性水平 试问新工艺是否提高灯管的寿命 显著性水平α=0.05) . 建立原假设H 解 建立原假设 0: µ≤1500 已知, ,x= 已知, µ0=1500, σ0=200, n=25, =1575, 给定α=0.05, , , = , , . , 查附表uα=1.645, 计算可得 查附表 . ,
1. H 0 : µ = µ 0
三 , 未知方差 σ 2 , 关于 µ的假设检验 X −µ T= ~ t ( n − 1) 当 H 0成立时 , T0 ~ t ( n − 1).
※ 注意控制犯第一类错误 的概率 ※
控制 α
α的选取，要视两种错误 发生的严重性而定 的选取，
纳伪”严重, “弃真”严重,则α取 弃真”严重, “纳伪”严重,则α取 小 大 ※ 对于固定的 α , 可以通过增大样本容量 n 来减小 β
※
在进行单边检验时 , 提假设应注意两点 :
1 .要所答是所问 , 不能所答非所问 ;
断 等 " 判 不 式 EX ≤ 19"是 成 . 否 立
例 3, 某纺织厂生产的纱线 , 其强力服从正态分布 , 为比较甲 ,乙 两地生产的棉花所纺纱 线的强力 , 各抽取 7 个和 8个样品进行 测量 , 得数据如下 (单位 : 公斤 ) 甲地 : 1.55 1.47 1.52 1.60 1.43 1.53 1.54 . 乙地 : 1.42 1.49 1.46 1.34 1.38 1.54 1.38 1.51 . 问这两种棉花所纺纱线 的强力有无显著差异 ? 其强力的方差 有无显著差异 ?
( 正态总体： 参数的假设检验； 正态总体：1)参数的假设检验；
一 , 假设检验基本问题的提 法
5. 4
假设检验概述
(2 )非参数的假设检验
.
例1.用精确方法测量某化工 厂排放的气体中 , 有害气体的含量 服从正态分布 N ( 23 , 2 2 ), 今用一简便方法测定 6次 , 所得数据为 23 , 21,19 , 24 ,18 ,18 ( 单位 : 十万分之一 ), 问用简单方法测量有害 气 体的含量是否有系统偏 差 ?
n
X − µ 若P > uα = α , σ n
X − 19 P > uα ≤ α n σ
uα = 1.645
U0 = X − 19
Φ 0 (uα ) = 1 − α
σ
n
20.8 − 19 = = 3.6 > 1.645 2 16
可见应否定原假设 µ ≤ 19, 可以认为 µ > 19. 假设检验。 称为单侧 ( 单边 )假设检验。
2
接受假设 µ = 53.6
例 2, 用传统工艺加工的红果 罐头 , 每瓶平均维生素 C 的含量为 现改进加工工艺， 瓶罐头， 19 毫克 , 现改进加工工艺，抽查 16 瓶罐头，测得 VC 含量为 23； .5； ； ； ； .5； ； ； ； .5； .8； ； .5； ； ； . 20 21 22 20 22 19 20 23 20 18 20 19 22 18 23 若假定新工艺的方差 (1)σ 2 = 4为已知 ; ( 2 )σ 2 未知 , 问新工艺下 VC 的含量是否比旧工艺下 含量高 ?