§3.2 正态总体的参数检验(发)
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验一、引言在统计学中，参数假设检验是一种常用的统计推断方法，用于对总体参数的假设进行验证。
在本文中，我们将讨论单正态总体的参数假设检验方法。
单正态总体是指样本来自一个服从正态分布的总体。
二、参数假设检验的基本步骤参数假设检验的基本步骤包括以下几个方面：1. 提出假设：在进行参数假设检验时，首先需要提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是对总体参数的一个特定取值或一组取值的陈述，备择假设（H1）是对原假设的补充或对立假设。
2. 选择检验统计量：检验统计量是一个用于判断是否拒绝原假设的量。
在单正态总体的参数假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本比例等。
3. 确定显著性水平：显著性水平是在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。
通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。
4. 计算检验统计量的观察值：根据样本数据，计算检验统计量的观察值。
5. 确定拒绝域：拒绝域是一组检验统计量的取值，如果观察到的检验统计量的取值落在这个区域内，则拒绝原假设。
6. 做出决策：根据观察到的检验统计量的取值和拒绝域的关系，做出接受或拒绝原假设的决策。
三、单正态总体均值的参数假设检验在单正态总体均值的参数假设检验中，常用的检验方法有Z检验和t检验。
1. Z检验：当总体的标准差已知时，可以使用Z检验。
Z检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准差的样本标准差。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，检验统计量近似服从标准正态分布。
2. t检验：当总体的标准差未知时，使用t检验。
t检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准误差的样本标准差。
根据学生t分布的性质，当样本容量较小时，检验统计量服从t分布。
四、实例分析为了更好地理解单正态总体的参数假设检验方法，我们以某电商平台的订单发货时间为例进行分析。
假设我们关注的是该电商平台订单的平均发货时间。
我们提出如下的原假设和备择假设：原假设（H0）：订单的平均发货时间为3天。
数理统计17：正态总体参数假设检验
数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。
假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。
根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。
设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。
⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。
以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。
对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。
8-23正态总体参数的假设检验
σ/ n
⇒ c = zα
µ ≤ µ0 ⇒
X −µ
拒 绝域 : w =
≥ X − µ0
x − µ0
σ/ n
≥ zα ( P 163)
σ/ n
σ/ n
{
X − µ0
σ/ n
≥ c} ⊂ {
X −µ
σ/ n
≥ c}
例4( P 162 − 例2) 通过测定牛奶的冰点,可检验出牛奶是否 掺水.天然牛奶冰点温度近似服从正态分布,均值µ0 = −0.545C , 标准差σ = 0.008C .牛奶掺水可使冰点温度升高而接近水的冰点 温度.公司测得一牛奶生产商提交的5批牛奶的冰点温度, 其均值 为x = −0.535,问是否可认为生产商在牛奶中掺了水?取α = 0.05.
H 1 : µ > 225 解 : 提出假设. H 0 : µ ≤ µ 0 = 225(保守) X − 225 2 µ , σ 均 未 知 , 检 验统 计 量 : W = S/ n
n = 16, x = 241.5, s = 98.73 x − µ0
H 0的拒绝域: w =
观 测值 : w = x − µ0 s/ n
2
2 ≤σ 0
{
(n − 1)S 2
σ
2
≥ c}
α
故 c = χα ( n − 1) H0拒绝域: w =
2
(n − 1)s2
2 σ0
2 ≥ χα (n − 1) ( P166)
H 0为真, 即 σ ≤ σ
2
2 0
( n − 1) S 2
σ
2
≥
( n − 1) S 2
σ 02
{
X − µ0 → N (0,1)
正态总体参数的假设检验
W1 ( 12 , )
统计量
2
(X
i 1
i
0 )
2 0
2
~ (n)
2
2、单个总体，未知， 的检验
统计量
2
2 (n 1) Sn 1
2 0
2
~ (n 1)
2
2
2 2 和 双侧检验：临界值 1
2 单侧检验：临界值 或 12
a) H 0 : 0 , H1 : 0 ; b) H 0 : 0 , H1 : 0
a), b) 为左单侧检验
x 0 H 0成立 统计量U ~ N (0,1) 0 / n
临界值为 u1 u
拒绝域W1 (, U 1 ) ，接受域 W0 [ U 1 , )
例 7.1.1 某药厂包装硼酸粉，规定每袋净重为 0.5 （ kg ） ，设每袋重量服从正态分布，标准差
0.014 (kg） 。为检验包装机的工作是否正常，随
机抽取 10 袋，称得净重分别为： 0.496 0.510 0.515 0.506 0.518 0.512 0.524 0.497 0.488 0.511 问这台包装机的工作是否正常
解：1）检验假设 H0 : 0; H1 : 0
2）统计量 t x 0 s/ n 3）计算观测值
H 0 成立
~ t (4)
x 45 . 98 , s 1 . 535
| 45 . 98 48 | | t | 2 . 942 1 . 535 / 5
4）与临界值比较 | t | 2 . 942 2 . 7764 t 0 .025 ( 4 ) （统计量的值落在拒绝域内） 结论：拒绝原假设，即认为 48 。
总体分布的正态性检验
• (2) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A 的第i列上的最大值。
• (3) [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的 每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。
• (4) max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和 max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其 第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。
~N(0， 1)
H0为真，当n充分大一般说来G1与v1的偏离不应 该太大，同样G2与v2的偏离也不应该太大。取显著 水平α下， H0的拒绝域为：
| u1 | z/4 或 | u2 | z/4
例1 下面给出了84个伊特拉斯坎（Etruscan）人
男子的头颅的最大宽度（mm）， 现在来画这些
数据的“频率直方图”.
函数名称 normpdf chi2pdf
概率密度函数 表 概率密度函数(pdf)
函数说明
调用格式
正态分布
Y=normpdf (X, MU, SIGMA)
2 分布
Y=chi2pdf (X, N)
tpdf
t 分布
fpdf
F 分布
Y=tpdf (X, N) Y=fpdf (X, N1, N2)
注意: Y=normpdf (X, MU, SIGMA)的 SIGMA 是指标准差 , 而非 2 .
[Y,I]=sort(A,dim)
其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2， 则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。
Matlab相关命令
723正态总体参数的假设检验
解: x 1 (32.56 29.66 ... 31.03) 31.13 6
1.提出假设 H0 : 32.5 H1 : 32.5
2. 2 1.21已知, 检验统计量 Z X 32.5
1.1 6
H
为真时,显然
0
Z
~
N (0,1)
3.给定 0.05, 临界值z 2 z0.025 1.96
得拒绝域为:
x 32.5
z 1.1 /
6
z0.025 1.96
4. z x 32.5 31.13 32.5 3.05 >1.96
1.1/ 6
1.1/ 6
检验统计量 z 的实测值落入拒绝域，故拒绝H0
且 T X t(n 1)
S/ n
H1为真(即拒绝H0 )时,样本均值的观测值x往往偏大.
拒绝域形式: x k 或者t x 0 c
s/ n
(3)选定 ,根据P(拒绝H0 | H0为真) ,确定拒绝域.
P(拒绝H0 | H0为真)
P0 (T
c)
P
0
(
X S
/
0
n
c)
X
P0 ( S /
它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变,现随机取26只电池,
测出其寿命的样本方差s2 9200.问根据这一数据能否推断这批
电池的寿命波动性较以往有显著的变化?(取 =0.02)
解 : 提出假设 H0 : 2 5000 检验统计量: 2 (n 1)S2
5000
H1 : 2 5000
0.02, n 26
(右边检验)
H1为真(即拒绝H0 )时,样本均值的观测值x往往偏大.
正态总体的均值和方差的假设检验课件PPT
(4)统 计 量 观 察 值 ： u(xy)/ 1 22 21301252.5
n 1 n 2 6080 30 40
( 5 ) |u | 2 .5 1 .9 6 , 拒 绝 原 假 设 H 0 .
0.42, 0.08, 0.12, 0.30 , 0.27
处理后: 0.15, 0.13, 0.00, 0.07, 0.24,
0.19, 0.04, 0.08, 0.20, 0.12 假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立, 方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在 处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ 1 ,σ 1 2 )Y , ~ N ( μ 2 ,σ 2 2 )
1 假 H 0 : μ μ 0 设 , H 1 : μ μ 0 ; 2° 取检验统计量
T X0 ~t(n1);
Sn / n
(当H0为真)时
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P |T | t /2 ( n 1 ) ,查表 t /2 ( n 1 可 ).
拒绝域： W1 = { (x1,x2,∙∙∙,xn)| |t | t /2 (n-1)}；
(4) 由样本值计算U的观测值为
ux800977080032.25;
40
40
(5)判断:由 |u|2.251.9,6故拒绝原假设H0,即
不能认为这批钢索的断裂强度为 800 Mpa .
2. σ2为未知 μ的 ，检 关 t检 验 于 验 （法）
设 X 1 ,X 2 ,,X n 是来自 N (μ ,正 σ 2)的 态 一 总 其μ 中 ,σ2未知，检 α， 验检 水 μ的 验 平 步为 骤
概率论与数理统计假设检验正态总体参数的假设检验(2)
概率论与数理统计第7章假设检验第3讲正态总体参数的假设检验(2)01 两个正态总体参数的假设检验02单侧检验03 p 值检验法—简介本讲内容*21μμ-2221σσ检验目的本节将讨论两个相互独立的正态总体，211(,)X N μσ222(,)Y N μσ的参数检验问题.设是来自总体X 的简单随机样本；112,,,n X X X 是来自总体Y 的简单随机样本；212,,,n Y Y Y 样本均值.X Y 、为两为两样本方差. 显著性水平为α .2212S S 、(3) μ1 , μ2 未知，检验.2222012112::H H σσσσ=≠，(1)σ12,σ22已知，检验.012112::H H μμμμ=≠，这些假设检验可细分为许多种情形，这里只介绍3种最常见的类型：(2)σ12,σ22未知但σ12 =σ22，检验.012112::H H μμμμ=≠，两个正态总体的参数检验，主要有比较两个均值μ1与μ2的大小，比较两个方差σ12与σ22的大小.根据已知条件的不同，由样本观测值求出统计量的观测值u ，然后作判断.确定拒绝域2{}U u α>选取检验统计量221212~(0,1)X YU N n n σσ-=+U 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，借鉴上一章区间估计(1) 已知，检验.12μμ-2212,σσ1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+122{(2)}T t n n α>+-(2) 未知但σ12 =σ22，检验.2212,σσ12μμ-T 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，由样本观测值求出统计量的观测值t ，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量211222~(1,1)S F F n n S =--2212121{(1,1)(1,1) 或}F F n n F F n n αα-<-->--2222012112::H H σσσσ=≠，(3) μ1 , μ2 未知，检验.2212/σσF 检验法建立假设由样本观测值求出统计量的观测值，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。
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§3.2 正态总体的参数检验
⎧⎪⎨
⎪⎩⎧
⎪⎨⎪⎩ 本节要讨论一个正态总体的参数检验，以及两个正态总体的参数检验问题：
单个正态总体的参数检验：方差 已知；
检验均值方差 未知.均值 已知； 检验方差均值 未知.
2
2
211
22
2
22
02
20(,)(,),(,)(,)==X N X N Y N X N μσμσμσμσσσμσμμσμ
从表中可以看出：对同一个参数的三种假设检验(),双侧检验的拒绝域是统计量的取值偏大或偏小,右侧检验的拒绝域是统计量的取值偏大,左侧检验的拒绝域是统 选用的检验统计量是相同的，但拒绝域是不同的,
计量的取值偏小当是简单假设时,第一类错误的概率一般就是显著性水平而是复合假设时，第一类错误的概率不超双侧检验，右侧检验和左侧检过验00.
,.H H αα
≥⇔<将例中的假设检验变为
，
给出该检验的步骤，并将检验结果与例3进行比较.
练习题
013:0.8:0.8H H μμ
对偶关系不是统计量。